圓與二次函數(shù)結(jié)合型壓軸題（學(xué)生版）-2024年中考數(shù)學(xué)重難點

圜與二次函數(shù)結(jié)合型度軸題專題

知識剖析

通用的解題思路：

一、點在圓上的使用技巧,①沒告訴半短，利用圓上的點到圓心的距離等于半徑可以表示出半徑的長度;②告

訴半徑,18上的點到圓心的距離等于半徑這個等找關(guān)系可以求出一個參數(shù)。

二、判斷直線與圓的位置關(guān)系的標(biāo)準(zhǔn)流程:第一步，利用圓上的點到圓心的距離等于半徑表示出半徑r,第二

步，表示出圓心到直線的距離原第三步，比較半徑r和距離d的大小:若半徑r＞距離d,則直線與圓相交，若

半徑r=距離原則直線與圓相切,若半徑r＜距離d,則直線與圓相離。

三、記直線I被圓。檢得的弦長為爵目的常用方法

弦長公式:48=2擰二？

經(jīng)典例題

:題目Q（長沙中考）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，aR0）的對稱軸為y軸,且經(jīng)過（0,0）和

（瓶，上）兩點,點P在該拋物線上運動，以點P為圓心的。P總經(jīng)過定點4（0,2）.

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⑴求a,6,c的值；

（2）求證:在點P運動的過程中，。P始終與①軸相交；

⑶設(shè)。P與2軸相交于M（X1,0）,N（M，0）（0＜g）兩點，當(dāng)A4MN為等腰三角形時,求圓心P的縱坐

標(biāo).

???

［題目2j（岳麓區(qū)校級月考）如圖，已知直線/：g=-1和拋物線L：y=ax\bx+c（aW0），拋物線乙的頂點為

原點,且經(jīng)過點A，直線n=k岔+1與n軸交于點尸，與拋物線L交于點_8（%1,%）,C（力2，紡），且61

〈62?

（1）求拋物線L的解析式；

（2）點P是拋物線刀上一動點.

①以點P為圓心，PF為半徑作。P,試判斷。P與直線Z的位置關(guān)系，并說明理由；

②若點Q（2,3）,當(dāng)|PQ—PF|的值最大時，求點P的坐標(biāo)；

（3）求證:無論k為何值，直線Z總是與以為直徑的圓相切.

S1圖2

,題目區(qū)在平面直角坐標(biāo)系吟/中，已知二次函數(shù)+皿+九的圖象經(jīng)過點42,0）和點3（1,號）,

⑴求該二次函數(shù)的表達式；

（2）設(shè)拋物線上有一動點P從點B處出發(fā)沿拋物線向上運動，其縱坐標(biāo)yi隨時間t（t>0）的變化規(guī)律為僅

=一；+2九現(xiàn)以線段QP為直徑作。C.

①當(dāng)點P在起始位置點B處時，試判斷直線Z與。。的位置關(guān)系,并說明理由；在點P運動的過程中，直線

Z與。。是否始終保持這種位置關(guān)系？請說明你的理由.

②若在點P開始運動的同時,直線，也向上平行移動,且垂足Q的縱坐標(biāo)紡隨時間t的變化規(guī)律為物=—1

+3t,則當(dāng)t在什么范圍內(nèi)變化時，直線，與。。相交？此時,若直線I被0。所截得的弦長為a,試求a2的

最大值.

題目區(qū)（長沙中考）如圖半徑分別為小，"（0＜?。季牛┑膬蓤A0O1和0。2相交于P，Q兩點，且點P（4,1），

兩圓同時與兩坐標(biāo)軸相切，。Oi與2軸，y軸分別切于點M，點N,。。?與加軸，“軸分別切于點五，點笈?

（1）求兩圓的圓心。1，。2所在直線的解析式；

（2）求兩圓的圓心Q,Q之間的距離d；

（3）令四邊形POXQO2的面積為8,四邊形RMOQ2的面積為S2.

試探究：是否存在一條經(jīng)過P,Q兩點、開口向下，且在x軸上截得的線段長為國N的拋物線？若存在，

V2d

請求出此拋物線的解析式;若不存在,請說明理由.

題目回（廣益）如圖1,已知一次函數(shù)g=-c+4與反比例函數(shù)沙=旦相交于P,Q兩點（P在Q的右側(cè)）.

X

（1）求P,Q的坐標(biāo)并寫出△OPQ的面積；

（2）如圖2,已知M（m,rn）,N（n,九），其中（0VmVn）,若分別以7W,N為圓心的圓均與c軸相切，切點分

別為4B,并且點P既在。河上又在。N上.

①求直線的解析式；

②求出線段AW的長度d；

2

（3）在（2）的前提上,記四邊形PMQN的面積為S1，四邊形AMNB的面積為S2,已知拋物線y=ax+bx+

c滿足兩個條件：①經(jīng)過點P和點Q,②該拋物線截立軸得到的線段長度為色盤,請求出拋物線二次項系

a

數(shù)a的值.

圖1圖2

2

題目回已知：如圖,拋物線y=ax+bx+c（a豐O）經(jīng)過X軸上的兩點A（g,0）、B（x2,0）和夕軸上的點C

（0,-y）,?P的圓心P在"軸上，且經(jīng)過B、C兩點，若6=圖，AB=2』,

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)。在拋物線上，且C,。兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，問直線BD是否經(jīng)過圓心P,并說明理由；

（3）設(shè)直線BD交。P于另一點E,求經(jīng)過H點的。P的切線的解析式.

題目力（青竹湖）定義:如果一條直線與一條曲線有且只有一個交點，且曲線位于直線的同旁,稱之為直線與

曲線相切，這條直線叫做曲線的切線，直線與曲線的唯一交點叫做切點.

（1）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點。為坐標(biāo)原點，以點40,一3）為圓心，5為半徑作圓A,交①軸的負(fù)半軸

于點求過點B的圓人的切線的解析式；

（2）若拋物線g=a/gw0）與直線9=上/+6（%￡。）相切于點（2,2）,求直線的解析式；

（3）若函數(shù)g=；/+（n—k—1）力+m+fc—2的圖象與直線相切，且當(dāng)一1＜九42時，zn的最小值

為k,求k的值.

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目8J（麓山國際）如圖，經(jīng)過定點A的直線沙=—2）+1（A:<0）交拋物線y=——+42；于。兩點（點

。在點B的右側(cè)），D為拋物線的頂點.

⑴直接寫出點A的坐標(biāo)；

⑵如圖（1）,若△ACD的面積是面積的兩倍，求％的值；

⑶如圖⑵，以AC為直徑作。E,若0E與直線9=力所截的弦長恒為定值，求力的值.

圖⑴圖（2）

題目包（長郡）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點”的坐標(biāo)是（5,4）,0M與y軸相切于點。，與c軸相交于A、

B兩點.

（1）分別求A、B、。三點的坐標(biāo)；

（2）如圖1,設(shè)經(jīng)過4B兩點的拋物線解析式為y=5/+%,它的頂點為E,求證:直線EA與。河相

切；

（3）如圖2,過點M作直線FG〃;y軸，與圓分別交于F、G兩點，點P為弧FB上任意一點（不與3、F重

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合），連接FP、AP,FN_LBP的延長線于點N.請問P是否為定值，若為定值,請求出這個值，若

不為定值,請說明理由.

圖1圖2

題目?（長郡）如圖1,拋物線y=*—2,與2軸交于O、A兩點,點B為拋物線的頂點,連接OB.

⑴求乙4OB的度數(shù)；

（2）如圖2,以點A