圓與二次函數(shù)結(jié)合型壓軸題（學(xué)生版）-2024年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)

圜與二次函數(shù)結(jié)合型度軸題專題

知識(shí)剖析

通用的解題思路：

一、點(diǎn)在圓上的使用技巧,①?zèng)]告訴半短，利用圓上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑可以表示出半徑的長(zhǎng)度;②告

訴半徑,18上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑這個(gè)等找關(guān)系可以求出一個(gè)參數(shù)。

二、判斷直線與圓的位置關(guān)系的標(biāo)準(zhǔn)流程:第一步，利用圓上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑表示出半徑r,第二

步，表示出圓心到直線的距離原第三步，比較半徑r和距離d的大小:若半徑r＞距離d,則直線與圓相交，若

半徑r=距離原則直線與圓相切,若半徑r＜距離d,則直線與圓相離。

三、記直線I被圓。檢得的弦長(zhǎng)為爵目的常用方法

弦長(zhǎng)公式:48=2擰二？

經(jīng)典例題

:題目Q（長(zhǎng)沙中考）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，aR0）的對(duì)稱軸為y軸,且經(jīng)過（0,0）和

（瓶，上）兩點(diǎn),點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心的。P總經(jīng)過定點(diǎn)4（0,2）.

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⑴求a,6,c的值；

（2）求證:在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，。P始終與①軸相交；

⑶設(shè)。P與2軸相交于M（X1,0）,N（M，0）（0＜g）兩點(diǎn)，當(dāng)A4MN為等腰三角形時(shí),求圓心P的縱坐

標(biāo).

???

［題目2j（岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知直線/：g=-1和拋物線L：y=ax\bx+c（aW0），拋物線乙的頂點(diǎn)為

原點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)A，直線n=k岔+1與n軸交于點(diǎn)尸，與拋物線L交于點(diǎn)_8（%1,%）,C（力2，紡），且61

〈62?

（1）求拋物線L的解析式；

（2）點(diǎn)P是拋物線刀上一動(dòng)點(diǎn).

①以點(diǎn)P為圓心，PF為半徑作。P,試判斷。P與直線Z的位置關(guān)系，并說明理由；

②若點(diǎn)Q（2,3）,當(dāng)|PQ—PF|的值最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）求證:無論k為何值，直線Z總是與以為直徑的圓相切.

S1圖2

,題目區(qū)在平面直角坐標(biāo)系吟/中，已知二次函數(shù)+皿+九的圖象經(jīng)過點(diǎn)42,0）和點(diǎn)3（1,號(hào)）,

⑴求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）設(shè)拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B處出發(fā)沿拋物線向上運(yùn)動(dòng)，其縱坐標(biāo)yi隨時(shí)間t（t>0）的變化規(guī)律為僅

=一；+2九現(xiàn)以線段QP為直徑作。C.

①當(dāng)點(diǎn)P在起始位置點(diǎn)B處時(shí)，試判斷直線Z與。。的位置關(guān)系,并說明理由；在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，直線

Z與。。是否始終保持這種位置關(guān)系？請(qǐng)說明你的理由.

②若在點(diǎn)P開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí),直線，也向上平行移動(dòng),且垂足Q的縱坐標(biāo)紡隨時(shí)間t的變化規(guī)律為物=—1

+3t,則當(dāng)t在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，直線，與。。相交？此時(shí),若直線I被0。所截得的弦長(zhǎng)為a,試求a2的

最大值.

題目區(qū)（長(zhǎng)沙中考）如圖半徑分別為小，"（0＜?。季牛┑膬蓤A0O1和0。2相交于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P（4,1），

兩圓同時(shí)與兩坐標(biāo)軸相切，。Oi與2軸，y軸分別切于點(diǎn)M，點(diǎn)N,。。?與加軸，“軸分別切于點(diǎn)五，點(diǎn)笈?

（1）求兩圓的圓心。1，。2所在直線的解析式；

（2）求兩圓的圓心Q,Q之間的距離d；

（3）令四邊形POXQO2的面積為8,四邊形RMOQ2的面積為S2.

試探究：是否存在一條經(jīng)過P,Q兩點(diǎn)、開口向下，且在x軸上截得的線段長(zhǎng)為國N的拋物線？若存在，

V2d

請(qǐng)求出此拋物線的解析式;若不存在,請(qǐng)說明理由.

題目回（廣益）如圖1,已知一次函數(shù)g=-c+4與反比例函數(shù)沙=旦相交于P,Q兩點(diǎn)（P在Q的右側(cè)）.

X

（1）求P,Q的坐標(biāo)并寫出△OPQ的面積；

（2）如圖2,已知M（m,rn）,N（n,九），其中（0VmVn）,若分別以7W,N為圓心的圓均與c軸相切，切點(diǎn)分

別為4B,并且點(diǎn)P既在。河上又在。N上.

①求直線的解析式；

②求出線段AW的長(zhǎng)度d；

2

（3）在（2）的前提上,記四邊形PMQN的面積為S1，四邊形AMNB的面積為S2,已知拋物線y=ax+bx+

c滿足兩個(gè)條件：①經(jīng)過點(diǎn)P和點(diǎn)Q,②該拋物線截立軸得到的線段長(zhǎng)度為色盤,請(qǐng)求出拋物線二次項(xiàng)系

a

數(shù)a的值.

圖1圖2

2

題目回已知：如圖,拋物線y=ax+bx+c（a豐O）經(jīng)過X軸上的兩點(diǎn)A（g,0）、B（x2,0）和夕軸上的點(diǎn)C

（0,-y）,?P的圓心P在"軸上，且經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，若6=圖，AB=2』,

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)。在拋物線上，且C,。兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，問直線BD是否經(jīng)過圓心P,并說明理由；

（3）設(shè)直線BD交。P于另一點(diǎn)E,求經(jīng)過H點(diǎn)的。P的切線的解析式.

題目力（青竹湖）定義:如果一條直線與一條曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且曲線位于直線的同旁,稱之為直線與

曲線相切，這條直線叫做曲線的切線，直線與曲線的唯一交點(diǎn)叫做切點(diǎn).

（1）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以點(diǎn)40,一3）為圓心，5為半徑作圓A,交①軸的負(fù)半軸

于點(diǎn)求過點(diǎn)B的圓人的切線的解析式；

（2）若拋物線g=a/gw0）與直線9=上/+6（%￡。）相切于點(diǎn)（2,2）,求直線的解析式；

（3）若函數(shù)g=；/+（n—k—1）力+m+fc—2的圖象與直線相切，且當(dāng)一1＜九42時(shí)，zn的最小值

為k,求k的值.

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目8J（麓山國際）如圖，經(jīng)過定點(diǎn)A的直線沙=—2）+1（A:<0）交拋物線y=——+42；于。兩點(diǎn)（點(diǎn)

。在點(diǎn)B的右側(cè)），D為拋物線的頂點(diǎn).

⑴直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

⑵如圖（1）,若△ACD的面積是面積的兩倍，求％的值；

⑶如圖⑵，以AC為直徑作。E,若0E與直線9=力所截的弦長(zhǎng)恒為定值，求力的值.

圖⑴圖（2）

題目包（長(zhǎng)郡）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)”的坐標(biāo)是（5,4）,0M與y軸相切于點(diǎn)。，與c軸相交于A、

B兩點(diǎn).

（1）分別求A、B、。三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖1,設(shè)經(jīng)過4B兩點(diǎn)的拋物線解析式為y=5/+%,它的頂點(diǎn)為E,求證:直線EA與。河相

切；

（3）如圖2,過點(diǎn)M作直線FG〃;y軸，與圓分別交于F、G兩點(diǎn)，點(diǎn)P為弧FB上任意一點(diǎn)（不與3、F重

5

合），連接FP、AP,FN_LBP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.請(qǐng)問P是否為定值，若為定值,請(qǐng)求出這個(gè)值，若

不為定值,請(qǐng)說明理由.

圖1圖2

題目?（長(zhǎng)郡）如圖1,拋物線y=*—2,與2軸交于O、A兩點(diǎn),點(diǎn)B為拋物線的頂點(diǎn),連接OB.

⑴求乙4OB的度數(shù)；

（2）如圖2,以點(diǎn)A