押重慶卷第16-18題（求陰影部分面積、分式+不等式含參運(yùn)算、閱讀材料）（解析版） -備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)臨考題號押題

押重慶卷第16-18題押題方向一：求陰影部分面積（扇形）3年成都真題考點(diǎn)命題趨勢2023年重慶A卷第16題根據(jù)矩形的性質(zhì)求面積；90度的圓周角所對的弦是直徑；求其他不規(guī)則圖形的面積；從近年重慶中考來看，求陰影部分面積以填空題形式考查，難度適中；預(yù)計(jì)2024年重慶卷還將繼續(xù)扇形的面積公式進(jìn)行考查，還要注意割補(bǔ)法的應(yīng)用。2023年重慶B卷第16題根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長；求其他不規(guī)則圖形的面積；2022年重慶A卷第15題利用菱形的性質(zhì)求面積；求其他不規(guī)則圖形的面積；2022年重慶B卷第15題利用矩形的性質(zhì)求角度；求扇形面積；根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)；2021年重慶A卷第16題求扇形面積；2021年重慶B卷第16題利用菱形的性質(zhì)求面積；求其他不規(guī)則圖形的面積；1．（2023·重慶·中考真題）如圖，⊙O是矩形ABCD的外接圓，若AB=4,AD=3，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）

【答案】25【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角及勾股定理得到BD=5，再根據(jù)圓的面積及矩形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：連接BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴BD是⊙O的直徑，∵AB=4,AD=3，∴BD=AB∴⊙O的半徑為52∴⊙O的面積為254π，矩形的面積為∴陰影部分的面積為254故答案為254

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，圓的面積，矩形的面積，勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·重慶·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E為BC的中點(diǎn)，連接AE，DE，以E為圓心，EB長為半徑畫弧，分別與AE，DE交于點(diǎn)M，N，則圖中陰影部分的面積為

【答案】4?π【分析】利用矩形的性質(zhì)求得AB=CD=2,BE=CE=2，進(jìn)而可得∠BAE=∠AEB=∠DEC=∠CDE=45°，然后根據(jù)S陰影【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，E為BC的中點(diǎn)，∴AB=CD=2,BE=CE=12BC=2∴∠BAE=∠AEB=∠DEC=∠CDE=45°，∴S陰影故答案為：4?π．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和不規(guī)則面積的計(jì)算，熟練掌握矩形的性質(zhì)、明確陰影面積為兩個(gè)全等的等腰直角三角形的面積減去兩個(gè)圓心角為45°的扇形面積是解題關(guān)鍵．3．（2022·重慶·中考真題）如圖，菱形ABCD中，分別以點(diǎn)A，C為圓心，AD，CB長為半徑畫弧，分別交對角線AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．若AB=2，∠BAD=60°，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果不取近似值）【答案】2【分析】連接BD交AC于點(diǎn)G，證明△ABD是等邊三角形，可得BD＝2，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)及勾股定理求出AC，再由S陰影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF得出答案．【詳解】解：連接BD交AC于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝2，AC⊥BD，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形，∠DAC＝∠BCA＝30°，∴BD＝2，∴BG＝12∴AG=A∴AC＝2AG=23∴S陰影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF＝12故答案為：23【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積公式等，在求陰影部分面積時(shí)，能夠?qū)⑶蟛灰?guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積是解題的關(guān)鍵．4．（2022·重慶·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以B為圓心，BC的長為半徑畫弧，交AD于點(diǎn)E．則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）【答案】π【分析】先根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值，求出∠ABE，進(jìn)而求出∠EBC，再根據(jù)扇形的面積公式求解即可．【詳解】解：∵矩形ABCD，∴∠A=∠ABC=90°，∵以B為圓心，BC的長為半輕畫弧，交AD于點(diǎn)E，BC=2，∴BE=BC=2，在Rt△ABE中，AB=1，∴cos∴∠ABE=60°，∴∠EBC=90°?60°=30°，S陰影=30π故答案為：π3【點(diǎn)睛】本題考查了由特殊角的三角函數(shù)值求角度數(shù)，矩形的性質(zhì)，扇形的面積的計(jì)算，綜合掌握以上知識點(diǎn)并熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．5．（2021·重慶·中考真題）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，分別以點(diǎn)A，C為圓心，AO長為半徑畫弧，分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．若BD＝4，∠CAB＝36°，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）．【答案】4【分析】利用矩形的性質(zhì)求得OA=OC=OB=OD=2，再利用扇形的面積公式求解即可．【詳解】解：∵矩形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，且BD=4，∴AC=BD＝4，OA=OC=OB=OD=2，∴S陰影故答案為：45【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，扇形的面積等知識，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．6．（2021·重慶·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC=12，BD=16，分別以點(diǎn)A，B，C，D為圓心，12AB的長為半徑畫弧，與該菱形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留【答案】96-25【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB的長和菱形的面積，再根據(jù)扇形的面積公式求出四個(gè)扇形的面積和即可得出答案【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，∴AC⊥BD，AO=6，BO=8；∴AB=O∴菱形ABCD的面積=1∵四個(gè)扇形的半徑相等，都為12∴四個(gè)扇形的面積=360π×∴陰影部分的面積=96-25π故答案為：96-25π【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形面積計(jì)算、菱形的性質(zhì)，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．此類題考查了特殊四邊形形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積公式等，在求陰影部分面積時(shí)，能夠?qū)⑶蟛灰?guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積是解題的關(guān)鍵。1．如圖，⊙O是正方形ABCD的外接圓，將⊙O分別沿AB、CB向內(nèi)翻折．若AC=6，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）【答案】27?【分析】本題考查了正多邊形與圓，圓的面積公式，正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)和勾股定理，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=CD，∠D=90°，求得AD=CD=32【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠D=90°，∴由勾股定理得：AC∴AD=CD=32∵將⊙O分別沿AB、CB向內(nèi)翻折，∴圖中陰影部分的面積=正方形的面積?（⊙O的面積?正方形的面積）÷4×2=32故答案為：27?92．如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)C為半圓上的一點(diǎn)，OD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，延長OD與半圓O交于點(diǎn)E．若AB=16，∠CAB=30°，則圖中陰影部分的面積為．【答案】32【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，含30度角的直角三角形，扇形面積的計(jì)算，關(guān)鍵是由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出OD長．連接OC，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAC=∠OCA=30°，即可求出∠AOC=180°?30°?30°=120°，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出OD=12OA=4，由勾股定理求出AD=OA2?OD2=43，由垂徑定理得到AC=2AD=83，求出△AOC的面積【詳解】解：連接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，∴∠AOC=180°=?30°?30°=120°，∵AB=16，∴OA=1∵OD⊥AC，∠OAD=30°，∴OD=1∴AD=O∵OD⊥AC，∴AC=2AD=83∴△AOC的面積=1∵扇形AOC的面積=120π×∴陰影的面積=（扇形AOC的面積?△AOC)×1故答案為：3233．如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=22，以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑作弧交BC于E，連接AE，則圖中陰影部分的面積為【答案】4【分析】本題考查求不規(guī)則圖形的面積，利用矩形的面積減去三角形ABE的面積減去扇形的面積，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：AE=AD=BC=22，∠B=90°由勾股定理知BE=A∴AB=BE，∴△ABE為等腰直角三角形，∴∠BAE=45°,∴∠DAE=45°，故陰影部分面積=AB×BC?14．如圖，在扇形AOB中，∠AOB=105°，半徑OA=8，將扇形AOB沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在AB上的點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，則圖中陰影部分的面積是．（結(jié)果保留π）【答案】8π?16【分析】連接OD，交BC于E，根據(jù)對折得出BC⊥OD，DE=OE=4，∠DBE=∠OBE，OB=BD=8，易知△DOB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠DOB=∠DBO=60°，求出∠COD=∠AOB?∠DOB=45°，求出CE=OE=4，再分別求出扇形AOD和△COD的面積即可．【詳解】解：連接OD，交BC于E，∵沿BC對折點(diǎn)O和D重合，OD=8，∴BC⊥OD，DE=OE=3，∠DBE=∠OBE，OB=BD=8，∴∠BEO=90°，△DOB是等邊三角形，∴∠DOB=∠DBO=60°，∵∠AOB=105°，∴∠COD=∠AOB?∠DOB=45°，∵∠OEC=90°，∴CE=OE=4，∴陰影部分的面積=S扇形AOD?S故答案為：8π?16．【點(diǎn)睛】本題考查了求不規(guī)則圖形的面積，扇形的面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，能把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵．5．如圖，在扇形OAB中，∠AOB=105°，半徑OA=10，將扇形OAB沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在AB上的點(diǎn)D處，折痕BC交OA于點(diǎn)C，則圖中陰影部分面積為．【答案】175【分析】此題考查的是扇形面積公式，在解答此題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．先連接OD，由折疊的性質(zhì)，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，則可得ΔOBD是等邊三角形，ΔOCD是等腰直角三角形，故可得出OC的長，再根據(jù)【詳解】解：連接OD，∵ΔCBD由∴CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，∴Δ∵∠AOB=105°，∴∠COD=∠CDO=45°，∴Δ∵半徑OA=10，∴OC=O∴S故答案為：1756押題方向二：分式+不等式含參運(yùn)算3年成都真題考點(diǎn)命題趨勢2023年重慶A卷第17題解分式方程；求一元一次不等式組的整數(shù)解；從近年重慶中考來看，分式與不等式的綜合含參運(yùn)算難度較大，應(yīng)前兩年考查的選擇題，相對來說難度有所增加；預(yù)計(jì)2024年重慶卷還將繼續(xù)對分式和不等式的考查，特別是計(jì)算能力的考查。還應(yīng)注重對分情況討論，枚舉法的培養(yǎng)。2023年重慶B卷第17題根據(jù)分式方程解的情況求值；由不等式組解集的情況求參數(shù)；2022年重慶A卷第11題根據(jù)分式方程解的情況求值；由一元一次不等式組的解集求參數(shù)；2022年重慶B卷第11題根據(jù)分式方程解的情況求值；由一元一次不等式組的解集求參數(shù)；2021年重慶A卷第11題根據(jù)分式方程解的情況求值；求一元一次不等式組的整數(shù)解；由不等式組解集的情況求參數(shù)；2021年重慶B卷第11題根據(jù)分式方程解的情況求值；由不等式組解集的情況求參數(shù)；1．（2023·重慶·中考真題）若關(guān)于x的一元一次不等式組x+32≤42x?a≥2，至少有2個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程a?1【答案】4【分析】先解不等式組，確定a的取值范圍a≤6，再把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，解得y=a?12，由分式方程有正整數(shù)解，確定出【詳解】解：x解不等式①得：x≤5，解不等式②得：x≥1+∴不等式的解集為1+∵不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，∴1+解得：a≤6；∵關(guān)于y的分式方程a?1y?2∴a?1?4=2解得：y=a?1即a?12≥0且解得：a≥1且a≠5∴a的取值范圍是1≤a≤6，且a≠5∴a可以取：1，3，∴1+3=4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．2．（2023·重慶·中考真題）若關(guān)于x的不等式組x+23>x2+14x+a<x?1的解集為x<?2，且關(guān)于y的分式方程【答案】13【分析】先求出一元一次不等式組中兩個(gè)不等式的解集，從而可得a≤5，再解分式方程可得a>?2且a≠1，從而可得?2<a≤5且a≠1，然后將所有滿足條件的整數(shù)a的值相加即可得．【詳解】解：x+23解不等式①得：x<?2，解不等式②得：x<?a+1∵關(guān)于x的不等式組x+23>x∴?a+1解得a≤5，方程a+2y?1+y+2解得y=a+2∵關(guān)于y的分式方程a+2y?1∴a+23>0解得a>?2且a≠1，∴?2<a≤5且a≠1，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為?1+0+2+3+4+5=13，故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組、分式方程，熟練掌握不等式組和分式方程的解法是解題關(guān)鍵．3．（2022·重慶·中考真題）若關(guān)于x的一元一次不等式組x?1≥4x?135x?1＜a的解集為x≤?2，且關(guān)于y的分式方程y?1A．－26 B．－24 C．－15 D．－13【答案】D【分析】根據(jù)不等式組的解集，確定a＞-11，根據(jù)分式方程的負(fù)整數(shù)解，確定a＜1，根據(jù)分式方程的增根，確定a≠-2，計(jì)算即可．【詳解】∵x?1≥4x?1解①得解集為x≤?2，解②得解集為x＜∵不等式組x?1≥4x?135x?1∴a+15解得a＞-11，∵y?1y+1=ay+1?2的解是y=a?1∴a＜1且a≠-2，∴-11＜a＜1且a≠-2，故a=-8或a=-5，故滿足條件的整數(shù)a的值之和是-8-5=-13，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式組的解集，分式方程的特殊解，增根，熟練掌握不等式組的解法，靈活求分式方程的解，確定特殊解，注意增根是解題的關(guān)鍵．4．（2022·重慶·中考真題）關(guān)于x的分式方程3x?ax?3+x+13?x=1的解為正數(shù)，且關(guān)于y的不等式組y+9≤2(y+2)2y?a3A．13 B．15 C．18 D．20【答案】A【分析】先通過分式方程求出a的一個(gè)取值范圍，再通過不等式組的解集求出a的另一個(gè)取值范圍，兩個(gè)范圍結(jié)合起來就得到a的有限個(gè)整數(shù)解．【詳解】由分式方程的解為整數(shù)可得：3x?a?x?1=x?3解得：x=a?2又題意得：a?2>0且a?2≠3∴a>2且a≠5，由y+9≤2y+2得：由2y?a3>1∵解集為y≥5∴3+a解得：a<7綜上可知a的整數(shù)解有：3，4，6它們的和為：13故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)的分式方程和含參數(shù)的不等數(shù)組，掌握由解集倒推參數(shù)范圍是本題關(guān)鍵．5．（2021·重慶·中考真題）若關(guān)于x的一元一次不等式組{3x?2≥2(x+2)a?2x<?5的解集為x≥6，且關(guān)于y的分式方程y+2ay?1+3y?8A．5 B．8 C．12 D．15【答案】B【分析】先計(jì)算不等式組的解集，根據(jù)“同大取大”原則，得到5+a2<6解得a<7，再解分式方程得到y(tǒng)=a+52，根據(jù)分式方程的解是正整數(shù)，得到a>?5【詳解】解：{解不等式①得，x≥6，解不等式②得，x>∵不等式組的解集為：x≥6∴∴a<7解分式方程y+2ay?1y+2a∴y+2a?(3y?8)=2(y?1)整理得y=∵y?1≠0,則a+52∴a≠?3,∵分式方程的解是正整數(shù)，∴∴a>?5，且a+5是2的倍數(shù)，∴?5<a<7，且a+5是2的倍數(shù)，∴整數(shù)a的值為-1,1,3,5,∴?1+1+3+5=8故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查解含參數(shù)的一元一次不等式、解分式方程等知識，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．6．（2021·重慶·中考真題）關(guān)于x的分式方程ax?3x?2+1=3x?12?x的解為正數(shù)，且使關(guān)于y的一元一次不等式組3y?22A．?5 B．?4 C．?3 D．?2【答案】B【分析】先將分式方程化為整式方程，得到它的解為x=6a+4,由它的解為正數(shù)，同時(shí)結(jié)合該分式方程有解即分母不為0，得到a+4>0且a+4≠3，再由該一元一次不等式組有解，又可以得到a?2<0，綜合以上結(jié)論即可求出【詳解】解：ax?3x?2兩邊同時(shí)乘以（x?2)，ax?3+x?2=1?3x,a+4x=6由于該分式方程的解為正數(shù)，∴x=6a+4，其中∴a>?4，且a≠?1；∵關(guān)于y的元一次不等式組3y?22由①得：y≤0;由②得：y>a?2;∴a?2<0，∴a<2綜上可得：?4<a<2,且a≠?1;∴滿足條件的所有整數(shù)a為：?3，?2,0,1；∴它們的和為?4；故選B．【點(diǎn)睛】本題涉及到含字母參數(shù)的分式方程和含字母參數(shù)的一元一次不等式組等內(nèi)容，考查了解分式方程和解一元一次不等式組等相關(guān)知識．本題考查了不等式組的解集，分式方程的特殊解，增根，熟練掌握不等式組的解法，靈活求分式方程的解，確定特殊解，注意增根是解題的關(guān)鍵，要求學(xué)生能根據(jù)題干中的條件得到字母參數(shù)a的限制不等式，求出a的取值范圍進(jìn)而求解，本題對學(xué)生的分析能力有一定要求，屬于較難的計(jì)算問題1.若關(guān)于x的一元一次不等式組x2≥x?13x+a<1有解，且關(guān)于y的分式方程1【答案】?1【分析】先解不等式組，確定a的取值范圍a<3，再把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，解得y=a+32，由分式方程有正數(shù)解，確定出【詳解】解：x2解不等式①得：x≥?2解不等式②得：x<1?a，∵關(guān)于x的一元一次不等式組x2∴1?a>?2，解得：a<3，分式方程1y?2?a?y解得：y=a+3∵y是正數(shù)，且y≠2，∴a>?3且a≠1，∴滿足條件的整數(shù)a的和為?2?1+0+2=?1，故答案為：?1．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．2．如果關(guān)于y的方程a?1?yy?2=3有非負(fù)整數(shù)解，且關(guān)于x的不等式組x?a2≥32【答案】?14【分析】本題考查了不等式組的特殊解，分式方程的解法等知識，熟練使用運(yùn)算法則運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．利用運(yùn)算的法則進(jìn)行運(yùn)算，找出a的取值范圍后，再整理出a的值相加即可．【詳解】解：∵a?1?y∴解得：y=a+5又∵y為非負(fù)整數(shù)，且y?2≠0，∴a+52≥0且∴a≥?5且a≠?1，∵x?a2∴整理得：x≥a+3x≥2∵不等式組的解集為x≥2，∴a+3≤2，∴a≤?1，∴?5≤a≤?1，且a≠?1，∴a的值可為：?5，?4，?3，?2，∴?5?4?3?2=?14，故答案為：?14．3．若關(guān)于x的分式方程2x?3+2=1?ax3?x有整數(shù)解，且關(guān)于y的不等式組y2【答案】?15【分析】本題考查了分式方程的解，一元一次不等式組的解集等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程和不等式組的方法．本題中先對分式方程去分母，解方程，用a的代數(shù)式表示方程的解，然后開始討論，注意要檢驗(yàn)，然后再解一元一次不等式組，求出a的取值范圍，繼而確定整數(shù)a有哪些．【詳解】解：原分式方程變形得2x?3∴2x?4=ax?1，即x=3∵x為整數(shù)，x?3≠0∴a＝1(舍去)、3、5、?1；解y2?1≥y?23得y≥1，解依題意有a+32≥1，即故符合條件的所有整數(shù)a的值之積為3×5×(?1)=?15．故答案為：?15．5．若關(guān)于x的不等式組x?a2>0x?43+4<x的解集為x>4，且關(guān)于x的分式方程1?ax【答案】4【分析】本題考查解一元一次不等式組，解分式方程．根據(jù)題意先將一元一次不等式組解開，利用x>4求出a≤4，在解分式方程得出x≠2，x=4【詳解】解：∵x?a2>0x?4∵x的不等式組x?a2>0x?4∴a≤4，∵1?ax2?x等式兩邊同時(shí)乘以(2?x)得：1?ax?3=2?x，整理得：x=4∵關(guān)于x的分式方程1?ax2?x∴2?x≠0，即x≠2，又∵a≤4，∴當(dāng)a=3時(shí)，x=4當(dāng)a=2時(shí)，x=4當(dāng)a=0時(shí)，x=4當(dāng)a=?1時(shí)，x=4當(dāng)a=?3時(shí)，x=4∴符合條件的所有整數(shù)a有：?3,0,2,3，故答案為：4．5．若關(guān)于x的一元一次不等式組x?42>4x?a5x≥3x?1有且只有2個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程ay?3【答案】8【分析】此題考查了含有字母參數(shù)的不等式組與分式方程綜合問題的解決能力，關(guān)鍵是能對以上問題準(zhǔn)確求解，并根據(jù)題意確定字母參數(shù)的取值．先解不等式組并求得符合題意的a的取值范圍，再解分式方程并求得符合題意的a的取值范圍，然后確定a的所有取值，最后計(jì)算出此題結(jié)果．【詳解】x?4解得：?3∵不等式組有且只有2個(gè)整數(shù)解，∴0<2a?4解得2<a≤5.5解分式方程ay?3?1∵y的值解為正數(shù)，∵2a?5>0，且2a?5≠3，∵a>2.5且a≠4，∴滿足條件的整數(shù)a的值有3和5，∴3+5=8故答案為：8押題方向三：閱讀材料3年成都真題考點(diǎn)命題趨勢2023年重慶A卷第18題數(shù)字問題(一元一次方程的應(yīng)用)；二元一次方程的解；從近年重慶中考來看，閱讀材料以填空題形式考查，難度很大，前幾年考查的是解答題；預(yù)計(jì)2024年重慶卷還將繼續(xù)考查，但改為填空題后分值和難度已經(jīng)有所下降，且因?yàn)槭请p空題，第一空有2分的送分，第一空一定不要丟分。2023年重慶B卷第18題有理數(shù)四則混合運(yùn)算；整式加減的應(yīng)用；2023年重慶A卷第23題含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算；整式的混合運(yùn)算；2023年重慶B卷第23題新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算；用代數(shù)式表示式；用一元一次不等式解決實(shí)際問題；2023年重慶A卷第24題新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算；因式分解的應(yīng)用；2023年重慶B卷第24題新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算；二元一次方程的解；1．（2023·重慶·中考真題）如果一個(gè)四位自然數(shù)abcd的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，滿足ab?bc=cd，那么稱這個(gè)四位數(shù)為“遞減數(shù)”．例如：四位數(shù)4129，∵41?12=29，∴4129是“遞減數(shù)”；又如：四位數(shù)5324，∵53?32=21≠24，∴5324不是“遞減數(shù)”．若一個(gè)“遞減數(shù)”為a312，則這個(gè)數(shù)為；若一個(gè)“遞減數(shù)”的前三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)abc【答案】43128165【分析】根據(jù)遞減數(shù)的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵a312∴10a+3?31=12，∴a=4，∴這個(gè)數(shù)為4312；故答案為：4312∵一個(gè)“遞減數(shù)”的前三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)abc與后三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)bcd的和能被9整除，∴10a+b?10b?c=10c+d，∵abc+∴abc+∵110a+101b=99a+b+11a+2b，能被∴11a+2b能被9整除，∵各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，∴a=1b=8∵最大的遞減數(shù)，∴a=8,b=1，∴10×8?9×1?c=10c+d，即：11c+d=71，∴c最大取6，此時(shí)d=5，∴這個(gè)最大的遞減數(shù)為8165．故答案為：8165．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程和二元一次方程的應(yīng)用．理解并掌握遞減數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．2．（2023·重慶·中考真題）對于一個(gè)四位自然數(shù)M，若它的千位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字多6，百位數(shù)字比十位數(shù)字多2，則稱M為“天真數(shù)”．如：四位數(shù)7311，∵7?1=6，3?1=2，∴7311是“天真數(shù)”；四位數(shù)8421，∵8?1≠6，∴8421不是“天真數(shù)”，則最小的“天真數(shù)”為；一個(gè)“天真數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，記PM=3a+b+c+d，QM=a?5，若【答案】62009313【分析】根據(jù)題中“天真數(shù)”可求得最小的“天真數(shù)”；先根據(jù)題中新定義得到c+d=a+b?8，進(jìn)而PMQM=4a+b?8a?5，若【詳解】解：根據(jù)題意，只需千位數(shù)字和百位數(shù)字盡可能的小，所以最小的“天真數(shù)”為6200；根據(jù)題意，a?d=6，b?c=2，6≤a≤9，2≤b≤9，則c+d=a+b∴PM∴PM若M最大，只需千位數(shù)字a取最大，即a=9，∴PM∵PM∴b=3，∴滿足條件的M的最大值為9313，故答案為：6200，9313．【點(diǎn)睛】本題是一道新定義題，涉及有理數(shù)的運(yùn)算、整式的加減、數(shù)的整除等知識，理解新定義是解答的關(guān)鍵．3．（2022·重慶·中考真題）若一個(gè)四位數(shù)M的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和恰好是M去掉個(gè)位與十位數(shù)字后得到的兩位數(shù)，則這個(gè)四位數(shù)M為“勾股和數(shù)”．例如：M=2543，∵32又如：M=4325，∵52+2(1)判斷2022，5055是否是“勾股和數(shù)”，并說明理由；(2)一個(gè)“勾股和數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，記GM=c+d9，PM=10【答案】(1)2022不是“勾股和數(shù)”，5055是“勾股和數(shù)”；理由見解析(2)8109或8190或4536或4563．【分析】（1）根據(jù)“勾股和數(shù)”的定義進(jìn)行驗(yàn)證即可；（2）由“勾股和數(shù)”的定義可得10a+b=c2+d2，根據(jù)GM，PM均是整數(shù)可得c+d=9，c【詳解】（1）解：2022不是“勾股和數(shù)”，5055是“勾股和數(shù)”；理由：∵22+2∴1022不是“勾股和數(shù)”；∵52∴5055是“勾股和數(shù)”；（2）∵M(jìn)為“勾股和數(shù)”，∴10a+b=c∴0<c∵GM∴c+d=9，∵PM∴c2∴①c=0，d=9或c=9，d=0，此時(shí)M=8109或8190；②c=3，d=6或c=6，d=3，此時(shí)M=4536或4563，綜上，M的值為8109或8190或4536或4563．【點(diǎn)睛】本題以新定義為背景考查了整式混合運(yùn)算的應(yīng)用以及學(xué)生應(yīng)用知識的能力，解題關(guān)鍵是要理解新定義，能根據(jù)條件找出合適的“勾股和數(shù)”．4．（2022·重慶·中考真題）對于一個(gè)各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的三位自然數(shù)N，若N能被它的各數(shù)位上的數(shù)字之和m整除，則稱N是m的“和倍數(shù)”．例如：∵247÷(2+4+7)=247÷13=19，∴247是13的“和倍數(shù)”．又如：∵214÷(2+1+4)=214÷7=30??4，∴214不是“和倍數(shù)”．(1)判斷357，441是否是“和倍數(shù)”？說明理由；(2)三位數(shù)A是12的“和倍數(shù)”，a，b，c分別是數(shù)A其中一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，且a>b>c．在a，b，c中任選兩個(gè)組成兩位數(shù)，其中最大的兩位數(shù)記為F(A)，最小的兩位數(shù)記為G(A)，若F(A)+G(A)16為整數(shù)，求出滿足條件的所有數(shù)A【答案】(1)357不是15“和倍數(shù)”，441是9的“和倍數(shù)”；理由見解析(2)數(shù)A可能為732或372或516或156【分析】（1）根據(jù)題目中給出的“和倍數(shù)”定義進(jìn)行判斷即可；（2）先根據(jù)三位數(shù)A是12的“和倍數(shù)”得出a+b+c=12，根據(jù)a>b>c，F(xiàn)A是最大的兩位數(shù)，GA是最小的兩位數(shù)，得出FA+GA=10a+2b+10c，F(xiàn)(A)+G(A)16=k（k為整數(shù)），結(jié)合a+b+c=12得出【詳解】（1）解：∵357÷3+5+7∴357不是15“和倍數(shù)”；∵441÷4+4+1∴441是9的“和倍數(shù)”．（2）∵三位數(shù)A是12的“和倍數(shù)”，∴a+b+c=12，∵a>b>c，∴在a，b，c中任選兩個(gè)組成兩位數(shù)，其中最大的兩位數(shù)FA=10a+b，最小的兩位數(shù)∴FA∵F(A)+G(A)16設(shè)F(A)+G(A)16=k（則10a+2b+10c16整理得：5a+5c+b=8k，根據(jù)a+b+c=12得：a+c=12?b，∵a>b>c，∴12?b＞b，解得∵“和倍數(shù)”是各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的三位自然數(shù)，∴a>b>c＞∴b＞∴1＜把a(bǔ)+c=12?b代入5a+5c+b=8k得：512?b整理得：b=15?2k，∵1＜b＜∴b=3或b=5，當(dāng)b=3時(shí)，a+c=12?3=9，∵a>b>c＞∴a＞3，∴a=7，b=3，c=2，或a=8，b=3，c=1，要使三位數(shù)A是12的“和倍數(shù)”，數(shù)A必須是一個(gè)偶數(shù)，當(dāng)a=7，b=3，c=2時(shí)，組成的三位數(shù)為732或372，∵732÷12=61，∴732是12的“和倍數(shù)”，∵372÷12=31，∴372是12的“和倍數(shù)”；當(dāng)a=8，b=3，c=1時(shí)，組成的三位數(shù)為318或138，∵318÷12=26??????6，∴318不是12的“和倍數(shù)”，∵138÷12=11??????6，∴138不是12的“和倍數(shù)”；當(dāng)b=5時(shí)，a+c=12?5=7，∵a>b>c＞∴5＜∴a=6，b=5，c=1，組成的三位數(shù)為516或156，∵516÷12=43，∴516是12的“和倍數(shù)”，∵156÷12=13，∴156是12的“和倍數(shù)”；綜上分析可知，數(shù)A可能為732或372或516或156．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義類問題，數(shù)的整除性，列代數(shù)式，利用數(shù)位上的數(shù)字特征和數(shù)據(jù)的整除性，是解題的關(guān)鍵，分類討論是解答本題的重要方法，本題有一定的難度．5．（2021·重慶·中考真題）如果一個(gè)自然數(shù)M的個(gè)位數(shù)字不為0，且能分解成A×B，其中A與B都是兩位數(shù)，A與B的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為10，則稱數(shù)M為“合和數(shù)”，并把數(shù)M分解成M=A×B的過程，稱為“合分解”．例如∵609=21×29，21和29的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為10，∴609是“合和數(shù)”．又如∵234=18×13，18和13的十位數(shù)相同，但個(gè)位數(shù)字之和不等于10，∴234不是“合和數(shù)”．（1）判斷168，621是否是“合和數(shù)”？并說明理由；（2）把一個(gè)四位“合和數(shù)”M進(jìn)行“合分解”，即M=A×B．A的各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和與B的各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和的和記為P(M)；A的各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和與B的各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和的差的絕對值記為Q(M)．令G(M)=P(M)Q(M)，當(dāng)G(M)能被4整除時(shí)，求出所有滿足條件的【答案】（1）168不是“合和數(shù)”，621是“合和數(shù)，理由見解析；（2）M有1224，1221，5624，5616．【分析】（1）首先根據(jù)題目內(nèi)容，理解“合和數(shù)”的定義：如果一個(gè)自然數(shù)M的個(gè)位數(shù)字不為0，且能分解成A×B，其中A與B都是兩位數(shù)，A與B的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為10，則稱數(shù)M為“合和數(shù)”，再判斷168，621是否是“合和數(shù)”；（2）首先根據(jù)題目內(nèi)容，理解“合分解”的定義．引進(jìn)未知數(shù)來表示A個(gè)位及十位上的數(shù)，同時(shí)也可以用來表示B．然后整理出：G(M)=P(M)Q(M)，根據(jù)能被4整除時(shí)，通過分類討論，求出所有滿足條件的【詳解】解：（1）168不是“合和數(shù)”，621是“合和數(shù)”．∵168=12×14，2+4≠10，∴168不是“合和數(shù)”，∵621=23×27，十位數(shù)字相同，且個(gè)位數(shù)字3+7=10，∴621是“合和數(shù)”．（2）設(shè)A的十位數(shù)字為m，個(gè)位數(shù)字為n（m，n為自然數(shù)，且3≤m≤9，1≤n≤9），則A=10m+n,B=10m+10?n．∴P(M)=m+n+m+10?n=2m+10,Q(M)=|(m+n)?(m+10?n)|=|2n?10|．∴G(M)=P(M)Q(M)=∵3≤m≤9，∴8≤m+5≤14，∵k是整數(shù)，∴m+5=8或m+5=12，①當(dāng)m+5=8時(shí)，{m+5=8|n?5|=1或∴M=36×34=1224或M=37×33=②當(dāng)m+5=12時(shí)，{m+5=12|n?5|=1或∴M=76×74=5623或M=78×72=5616．綜上，滿足條件的M有1224，1221，5624，5616．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義問題，解題的關(guān)鍵是：首先要理解題中給出的新定義和會(huì)操作題目中所涉及的過程，結(jié)合所學(xué)知識去解決問題，充分考察同學(xué)們自主學(xué)習(xí)和運(yùn)用新知識的能力．6．（2021·重慶·中考真題）對于任意一個(gè)四位數(shù)m，若千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和是百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和的2倍，則稱這個(gè)四位數(shù)m為“共生數(shù)”例如：m=3507，因?yàn)?+7=2×(5+0)，所以3507是“共生數(shù)”：m=4135，因?yàn)?+5≠2×(1+3)，所以4135不是“共生數(shù)”；（1）判斷5313，6437是否為“共生數(shù)”？并說明理由；（2）對于“共生數(shù)”n，當(dāng)十位上的數(shù)字是千位上的數(shù)字的2倍，百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和能被9整除時(shí)，記F(n)=n3．求滿足F(n)各數(shù)位上的數(shù)字之和是偶數(shù)的所有【答案】（1）5313是“共生數(shù)”，6437不是“共生數(shù)”．（2）n=2148或n=3069.【分析】（1）根據(jù)“共生數(shù)”的定義逐一判斷兩個(gè)數(shù)即可得到答案；（2）設(shè)“共生數(shù)”n的千位上的數(shù)字為a,則十位上的數(shù)字為2a,設(shè)百位上的數(shù)字為b,個(gè)位上的數(shù)字為c,可得：1≤a＜5,0≤b≤9,0≤c≤9,且a,b,c為整數(shù)，再由“共生數(shù)”的定義可得：c=3a+2b,而由題意可得：b+c=9或b+c=18,再結(jié)合方程的正整數(shù)解分類討論可得答案．【詳解】解：（1）∵5+∴5313是“共生數(shù)”，∵6+∴6437不是“共生數(shù)”．（2）設(shè)“共生數(shù)”n的千位上的數(shù)字為a,則十位上的數(shù)字為2a,設(shè)百位上的數(shù)字為b,個(gè)位上的數(shù)字為c,∴1≤a＜5,0≤b≤9,0≤c≤9,且a,b,c為整數(shù)，所以：n=1000a+100b+20a+c=1020a+100b+c,由“共生數(shù)”的定義可得：a+c=2(2a+b),∴c=3a+2b,∴n=1023a+102b,∴F(n)=n∵百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和能被9整除，∴b+c=0或b+c=9或b+c=18,當(dāng)b+c=0,則b=c=0,則a=0,不合題意，舍去，當(dāng)b+c=9時(shí)，則3a+3b=9,∴a+b=3,當(dāng)a=1時(shí)，b=2,c=7,此時(shí)：n=1227,F(n)=12273=409當(dāng)a=2時(shí)，b=1,c=8,此時(shí)：n=2148,F(n)=21483=716,當(dāng)a=3時(shí)，b=0,c=9,此時(shí)：n=3069,F(n)=30693=1023,當(dāng)b+c=18時(shí)，則b=c=9,而3a+3b=18,則a=?3不合題意，舍去，綜上：滿足F(n)各數(shù)位上的數(shù)字之和是偶數(shù)的n=2148或n=3069,【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義情境下的實(shí)數(shù)的運(yùn)算，二元一次方程的正整數(shù)解，分類討論的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，準(zhǔn)確理解題意列出準(zhǔn)確的代數(shù)式與方程是解題的關(guān)鍵．此類題主要考查了新定義類問題，數(shù)的整除性，列代數(shù)式，利用數(shù)位上的數(shù)字特征和數(shù)據(jù)的整除性，是解題的關(guān)鍵，分類討論是解答本題的重要方法，本題有一定的難度。1．如果一個(gè)四位數(shù)M滿足各個(gè)數(shù)位數(shù)字都不為0，且千位數(shù)字與百位數(shù)字之和為9，將M的千位數(shù)字與百位數(shù)字組成的兩位數(shù)記為x，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)記為y，令F(M)=x+2y9，若F（M）為整數(shù)，則稱數(shù)M是“長久數(shù)”．例如：M=2754，∴2+7=9，x=27，y=54，F(xiàn)(M)=27+2×549=15為整數(shù)，∴M=2754是“長久數(shù)”；又如：M=6339，∴6+3=9，x=63，y=39，F(xiàn)(M)=63+2×399=473不為整數(shù)，∴M=6339不是“長久數(shù)”．若p為最大的“長久數(shù)”，則F(p)=；把一個(gè)“長久數(shù)”M的千位數(shù)字記為a，十位數(shù)字記為b，個(gè)位數(shù)字記為c，令【答案】311836【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，新定義．（1）根據(jù)“長久數(shù)”的定義計(jì)算即可；（2）根據(jù)M是“長久數(shù)”，可知M的百位數(shù)字為9?a，根據(jù)F(M)是正整數(shù)，可得b+c=9，根據(jù)G(M)為整數(shù)，可知182b+3a為整數(shù)，可得2b+3a可取18或9或6，即可確定滿足條件的a、b、c，進(jìn)一步即可確定M【詳解】解：（1）∵p為最大的“長久數(shù)”，千位數(shù)字與百位數(shù)字之和為9，∴x=81，∴F(p)=81+2y∴2y是9的倍數(shù)，且y為最大的2位數(shù)，∴y=99，∴F(p)=9+2×99故答案為：31；（2）∵M(jìn)是“長久數(shù)”，∴M的百位數(shù)字為9?a，∴x=10a+9?a=9a+9，y=10b+c，F(xiàn)(M)=9a+9+2(10b+c)∴b+c是9的倍數(shù)，∵b和c是不超過9的正整數(shù)，∴b+c=9，∴c=9?b，∴GM當(dāng)G(M)為整數(shù)時(shí)，182b+3a∵a，b均是不超過8的正整數(shù)，∴2b+3a可取18或9或6，滿足條件的a，b的取值有：a=2，b=6，此時(shí)c=3，M=2763；a=4，b=3，此時(shí)c=6，M=4536；a=1，b=3，此時(shí)c=6，M=1836；綜上所述，滿足條件的M的值有：2763，4536，1836．故答案為：1836．2．如果一個(gè)三位自然數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0，且百位數(shù)字等于十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和，則稱這個(gè)數(shù)為“百合數(shù)”．如：853，∵8=5+3，∴853是“百合數(shù)”．又如：432，∵4≠3+2，∴432不是“百合數(shù)”．已知M是一個(gè)“百合數(shù)”，在M的末位數(shù)字后添加數(shù)字1得到一個(gè)四位數(shù)A，在M的首位數(shù)字前添加M的十位數(shù)字得到一個(gè)四位數(shù)B，且A?B能被11整除．則“百合數(shù)”M的最小值是；“百合數(shù)”M所有的值的和為．【答案】4312963【分析】本題考查數(shù)的整除和分類討論的思想，關(guān)鍵是理解題意，讀懂題意．設(shè)百合數(shù)M為a+bab，A=a+bab1，B=aa+bab，A?B=82×11b+7b+a?11a+1,解得a=3,b=1，【詳解】解：設(shè)百合數(shù)M為a+bab，A=a+bab1A?B=1000a+1000b+100a+10b+1?1000a?100a?100b?10a?b=909b?10a+1=82×11b+7b+a?11a+1，∵A?B能被11整除，∴7b+a+1能被11整除，解得a=3,b=1，M=431；a=7,b=2，M=972；故“百合數(shù)”M的最小值是431；“百合數(shù)”M所有的值的和為=431+972+844+716=2963．故答案為：431，2963．3．如果一個(gè)三位自然數(shù)的百位數(shù)字與1的和等于十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和，則稱這個(gè)數(shù)為“差一數(shù)”．例如：726，∵7+1=2+6，726是“差一數(shù)”．又如：632，∵6+1≠3+2，∴632不是“差一數(shù)”，則最小的“差一數(shù)”是：若一個(gè)“差一數(shù)”P為abc，且P可以被5整除，又GP=2a+2b+142b+c，且GP【答案】102560【分析】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，①根據(jù)“差一數(shù)”的定義即可求出最小的“差一數(shù)”，②由題意得出c=0，再根據(jù)P可以被5整除，GP=2a+2b+142b+c，且【詳解】解：①設(shè)abc為最小的“差一數(shù)”，則a=1，1+1=0+c，∴c=2，∴最小的“差一數(shù)”是102；②∵“差一數(shù)”P為abc，P可以被5整除，∴c=0或c=5，在GP=2a+2b+142b+c，又∵2b+c≠1，GP∴c=0，根據(jù)“差一數(shù)”的定義可知，a+1=b+0，∴b=a+1，當(dāng)a=8時(shí)，b=9，“差一數(shù)”為890，GP當(dāng)a=7時(shí)，b=8，“差一數(shù)”為780，GP當(dāng)a=6時(shí)，b=7，“差一數(shù)”為670，GP當(dāng)a=5時(shí)，b=6，“差一數(shù)”為560，GP∴“差一數(shù)”P的最大值為560．4．一個(gè)四位正整數(shù)abcd若滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0，且它的前兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)ab與它的后兩位數(shù)組成的兩位數(shù)cd的乘積能被35整除，則稱這個(gè)四位正整數(shù)為“三五數(shù)”．例如：四位數(shù)1225，∵12×25=300，300不能被35整除．∴1225不是“三五數(shù)”；又如：四位數(shù)1425，∵14×25=350，350能被35整除．∴1425是“三五數(shù)”．若m是最小的“三五數(shù)”，則m=；若四位正整數(shù)abcd是“三五數(shù)”，且滿足a+b=c+d，則滿足條件的最大的“三五數(shù)”與最小的“三五數(shù)”之和為．【答案】113510697【分析】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，設(shè)m=efg?，根據(jù)35=5×7得到當(dāng)ef、g?中都不等于35時(shí)，那么ef能被7整除的時(shí)候，g?一定能被5整除或ef能被5整除的時(shí)候，g?一定能被7整除，兩位數(shù)中能