人教版高中數(shù)學(xué)必修二《第六章 平面向量及其應(yīng)用》單元導(dǎo)學(xué)案及答案

人教版高中數(shù)學(xué)必修二《第六章平面向量及其應(yīng)用》單元導(dǎo)學(xué)案《6.1平面向量的概念》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能結(jié)合物理中的力、位移、速度等具體背景認(rèn)識向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別.2.會用有向線段作向量的幾何表示，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別，會用字母表示向量.3.理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會辨識圖形中這些相關(guān)的概念．【自主學(xué)習(xí)】知識點1向量既有大小，又有方向的量叫做向量．知識點2向量的幾何表示以A為起點、B為終點的有向線段記作eq\o(AB,\s\up6(→)).知識點3向量的有關(guān)概念(1)零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作0.(2)單位向量：長度等于1個單位的向量，叫做單位向量．(3)相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共線向量．①記法：向量a平行于向量b，記作a∥b.②規(guī)定：零向量與任一向量平行．【合作探究】探究一向量的概念【例1】判斷下列命題是否正確，并說明理由．(1)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；(2)若|a|＝|b|，則a與b的長度相等且方向相同或相反；(3)由于0方向不確定，故0不能與任意向量平行；(4)向量a與向量b平行，則向量a與b方向相同或相反；(5)起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．[分析]解答本題可從向量的定義、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判斷真假．[解](1)不正確．因為向量由兩個因素來確定，即大小和方向，所以兩個向量不能比較大?。?2)不正確．由|a|＝|b|只能判斷兩向量長度相等，不能確定它們方向的關(guān)系．(3)不正確．依據(jù)規(guī)定：0與任意向量平行．(4)不正確．因為向量a與向量b若有一個是零向量，則其方向不定．(5)正確．對于一個向量只要不改變其大小與方向，是可以任意移動的．歸納總結(jié)：1判斷一個量是否為向量，應(yīng)從兩個方面入手：①是否有大小，②是否有方向.2注意兩個特殊向量：零向量和單位向量.3注意平行向量與共線向量的含義.【練習(xí)1-1】下列物理量中不是向量的有()①質(zhì)量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功；⑧電流強(qiáng)度．A．5個B．4個C．3個D．2個解析：(1)看一個量是否為向量，就要看它是否具備向量的兩個要素：大小和方向，特別是方向的要求，對各量從物理本身的意義作出判斷，②③④既有大小也有方向，是向量，①⑤⑥⑦⑧只有大小沒有方向，不是向量．【練習(xí)1-2】在下列命題中，真命題為()A．兩個有共同起點的單位向量，其終點必相同B．向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(BA,\s\up6(→))的長度相等C．向量就是有向線段D．零向量是沒有方向的解析：(2)由于單位向量的方向不一定相同，故其終點不一定相同，故A錯誤；任何向量都有方向，零向量的方向是任意的，并非沒有方向，故D錯誤；有向線段是向量的形象表示，但并非說向量就是有向線段，故C錯誤，故選B.探究二向量的幾何表示【例2】一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100km到達(dá)B點，然后又改變方向向西偏北50°走了200km到達(dá)C點，最后又改變方向，向東行駛了100km到達(dá)D點．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)求|eq\o(AD,\s\up6(→))|.解(1)向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))如圖所示．(2)由題意，易知eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))方向相反，故eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，∴在四邊形ABCD中，AB綊CD.∴四邊形ABCD為平行四邊形．∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝200km.歸納總結(jié)：1用向量表示的幾何問題，要研究其圖形的幾何特性，然后作出解答.2作向量時，關(guān)鍵是找出向量的起點和終點，如果已知起點，先確定向量的方向，然后根據(jù)向量的長度找出終點.【練習(xí)2】在如圖的方格紙上，已知向量a，每個小正方形的邊長為1.(1)試以B為終點畫一個向量b，使b＝a；(2)在圖中畫一個以A為起點的向量c，使|c|＝eq\r(5)，并說出向量c的終點的軌跡是什么？解(1)根據(jù)相等向量的定義，所作向量與向量a平行，且長度相等(作圖略)．(2)由平面幾何知識可知所有這樣的向量c的終點的軌跡是以A為圓心，半徑為eq\r(5)的圓(作圖略)．探究三相等向量和共線向量【例3】如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E、F、D分別是AC、AB、BC的中點．(1)寫出與eq\o(EF,\s\up6(→))共線的向量；(2)寫出與eq\o(EF,\s\up6(→))的模大小相等的向量；(3)寫出與eq\o(EF,\s\up6(→))相等的向量．解(1)因為E、F分別是AC、AB的中點，所以EF綊eq\f(1,2)BC.又因為D是BC的中點，所以與eq\o(EF,\s\up6(→))共線的向量有：eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→)).(2)與eq\o(EF,\s\up6(→))模相等的向量有：eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→)).(3)與eq\o(EF,\s\up6(→))相等的向量有：eq\o(DB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→)).歸納總結(jié)：1.共線向量和相等向量有何關(guān)系？共線向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共線向量.2.如何利用向量相等或共線證明線段相等、平行問題？①證明線段相等，只要證明相應(yīng)的向量長度模相等.②證明線段平行，先證明相應(yīng)的向量共線，再說明線段不共線.【練習(xí)3】如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中所示向量與eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→))相等的向量．解eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))；eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(EO,\s\up6(→))；eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(FO,\s\up6(→)).《6.2.1平面向量的加法運(yùn)算》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意義及其幾何意義.2.掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運(yùn)用這兩個法則作兩個向量的加法運(yùn)算.3.了解向量加法的交換律和結(jié)合律，并能依據(jù)幾何意義作圖解釋向量加法運(yùn)算律的合理性．【自主學(xué)習(xí)】知識點1向量的加法法則(1)三角形法則如圖所示，已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a與b的和(或和向量)，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).上述求兩個向量和的作圖法則，叫做向量加法的三角形法則．對于零向量與任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a.(2)平行四邊形法則如圖所示，已知兩個不共線向量a，b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則O、A、B三點不共線，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形，則以O(shè)為起點的對角線上的向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，這個法則叫做兩個向量加法的平行四邊形法則．知識點2向量加法的運(yùn)算律(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．【合作探究】探究一向量的加法法則【例1】如圖，已知向量a、b，求作向量a＋b.解在平面內(nèi)任取一點O(如下圖)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，以O(shè)A、OB為鄰邊做?OACB，連接OC，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b.2歸納總結(jié)：已知向量a與向量b，要作出和向量a＋b，關(guān)鍵是準(zhǔn)確規(guī)范地依據(jù)平行四邊形法則作圖．【練習(xí)1】(1)如圖①所示，求作向量和a＋b.(2)如圖②所示，求作向量和a＋b＋c.[解](1)首先作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，然后作向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b.如圖③所示．(2)方法一(三角形法則)：如圖④所示，首先在平面內(nèi)任取一點O，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，再作向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則得向量eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，然后作向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，則向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即為所求．方法二(平行四邊形法則)：如圖⑤所示，首先在平面內(nèi)任取一點O，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OADB，連接OD，則eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，再以O(shè)D，OC為鄰邊作?ODEC，連接OE，則eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c即為所求．探究二向量的加法運(yùn)算【例2-1】如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC和BD的交點．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝________；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝________；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝________；(4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝________.答案(1)eq\o(AC,\s\up6(→))(2)eq\o(AO,\s\up6(→))(3)eq\o(AD,\s\up6(→))(4)0【例2-2】化簡：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)).解(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝0.(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝0.歸納總結(jié)：在向量的加法運(yùn)算中，通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序，可以省去畫圖步驟，加快解題速度.【練習(xí)2-1】(1)化簡：①eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)).(2)如圖，已知O為正六邊形ABCDEF的中心，求下列向量：①eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))；②eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；③eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)).[分析]根據(jù)加法的交換律使各向量首尾相接，再運(yùn)用向量的結(jié)合律，調(diào)整向量順序相加．[解](1)①eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))；②eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝0.(2)①由題圖知，OAFE為平行四邊形，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))；②由題圖知，OABC為平行四邊形，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))；③由題圖知，AEDB為平行四邊形，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).【練習(xí)2-1】化簡：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)).(2)(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→)))＋(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))．(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＋eq\o(DC,\s\up6(→)).解(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).(2)(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→)))＋(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→)))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→)).(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0.探究三向量加法的應(yīng)用【例3】用向量方法證明對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．[證明]如圖，根據(jù)向量加法的三角形法則有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)).又∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).∴AB∥DC且AB＝DC，即AB與DC平行且相等．∴四邊形ABCD是平行四邊形．歸納總結(jié)：要證四邊形是平行四邊形，只需證一組對邊平行且相等.根據(jù)向量相等的意義，只需證其一組對邊對應(yīng)的向量相等即可.此問題是純文字?jǐn)⑹龅膯栴}，首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為符號語言描述.【練習(xí)3】在平行四邊形ABCD的對角線BD的延長線及反向延長線上，分別取點F，E，使BE＝DF(如圖)，用向量的方法證明四邊形AECF也是平行四邊形．證明：eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→))，即AE，F(xiàn)C平行且相等．故四邊形AECF是平行四邊形．探究四向量加法的實際應(yīng)用【例4】長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進(jìn)行運(yùn)輸．如圖所示，一艘船從長江南岸A點出發(fā)，以5eq\r(3)km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東5km/h.(1)試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；(2)求船實際航行的速度的大小與方向(用與江水速度方向間的夾角表示)．[解](1)如圖所示，eq\o(AD,\s\up6(→))表示船速，eq\o(AB,\s\up6(→))表示江水速度．易知AD⊥AB，以AD，AB為鄰邊作矩形ABCD，則eq\o(AC,\s\up6(→))表示船實際航行速度．(2)在Rt△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝5eq\r(3)，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(\o(\s\up11(),\s\do4(|\o(AB,\s\up6(→))|2＋|\o(BC,\s\up6(→))|2)))＝eq\r(52＋5\r(3)2)＝eq\r(100)＝10.因為tan∠CAB＝eq\f(|\o(BC,\s\up11(→))|,\o(\s\up5(),\s\do4(|\o(AB,\s\up6(→))|)))＝eq\r(3)，所以∠CAB＝60°.因此，船實際航行的速度大小為10km/h，方向與江水速度方向間的夾角為60°.歸納總結(jié)：向量應(yīng)用題要首先畫出圖形.解決的步驟是：1將應(yīng)用問題中的量抽象成向量；2化歸為向量問題，進(jìn)行向量運(yùn)算；3將向量問題還原為實際問題.【練習(xí)4】某人在靜水中游泳，速度為4eq\r(3)千米/小時，他在水流速度為4千米/小時的河中游泳．他必須朝哪個方向游，才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)？實際前進(jìn)的速度大小為多少？解：如圖，設(shè)此人的實際速度為eq\o(OD,\s\up6(→))，水流速度為eq\o(OA,\s\up6(→))，游速為eq\o(OB,\s\up6(→))，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))，在Rt△AOD中，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4eq\r(3)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4，則|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝4eq\r(2)，cos∠DAO＝eq\f(\r(3),3).故此人沿向量eq\o(OB,\s\up6(→))的方向游(即逆著水流且與河岸所成夾角的余弦值為eq\f(\r(3),3))，實際前進(jìn)的速度大小為4eq\r(2)千米/小時．《6.2.2向量的減法運(yùn)算》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.知道相反向量的定義2.記住向量減法法則及其幾何意義3.能夠用向量減法法則及意義求兩向量的差．【自主學(xué)習(xí)】知識點1相反向量(1)我們規(guī)定，與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.(2)－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0.知識點2向量的減法及其幾何意義1.向量減法的定義求兩個向量差的運(yùn)算叫做向量的減法．我們定義，a－b＝a＋(－b)，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量．2．向量減法的幾何意義(1)三角形法則如圖，已知a、b，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，即a－b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量，這是向量減法的幾何意義．(2)平行四邊形法則如圖①，設(shè)向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝－b，由向量減法的定義，知eq\o(AE,\s\up6(→))＝a＋(－b)＝a－b.又b＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝a－b.如圖②，理解向量加、減法的平行四邊形法則：在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b.【合作探究】探究一向量減法的幾何意義【例1-1】在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA的中點，則eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))等于()A．eq\o(FD,\s\up6(→)) B．eq\o(FC,\s\up6(→))C．eq\o(FE,\s\up6(→)) D．eq\o(BE,\s\up6(→))答案：D[解析]由題意可知eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))．【例1-2】如圖，已知向量a，b，c，求作a－b－c．[解析]如圖，以A為起點分別作向量eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(AC,\s\up6(→))，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝B．連接CB，得向量eq\o(CB,\s\up6(→))，再以點C為起點作向量eq\o(CD,\s\up6(→))，使eq\o(CD,\s\up6(→))＝c．連接DB，得向量eq\o(DB,\s\up6(→)).則向量eq\o(DB,\s\up6(→))即為所求作的向量a－b－c．歸納總結(jié)：1.作兩向量的差的步驟eq\x(移)—eq\x(平移向量使之共起點)↓eq\x(連)—eq\x(連接兩向量的終點，方向指向被減向量.)2．求兩個向量的減法的注意點(1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可．(2)向量減法的三角形法則對共線向量也適用．【練習(xí)1】如圖，設(shè)O為四邊形ABCD的對角線AC與BD的交點，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(OD,\s\up6(→))＝c，則eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b＋c.解析：由于＝－eq\o(DO,\s\up6(→))，而eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(DO,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))＝－c，所以eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b＋c.探究二向量的加減法運(yùn)算【例2】化簡eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))得()A．eq\o(AB,\s\up6(→)) B．eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．0答案：D[解析](1)解法一：eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0．解法二：eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0．歸納總結(jié)：1首尾相接且為和；2起點相同且為差.,做題時要注意觀察是否有這兩種形式.同時要注意逆向應(yīng)用，統(tǒng)一向量起點方法的應(yīng)用.【練習(xí)2】化簡：(1)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(MO,\s\up6(→)))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)).[分析]解答本題可先去括號，再利用相反向量及加法交換律、結(jié)合律化簡．[解](1)解法一：原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→)).解法二：原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(MO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MO,\s\up6(→)))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋0＝eq\o(AB,\s\up6(→)).(2)解法一：原式＝eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→)).解法二：原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))－(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→)).探究三向量加減運(yùn)算幾何意義的應(yīng)用【例3-1】已知非零向量a，b滿足|a|＝eq\r(7)＋1，|b|＝eq\r(7)－1，且|a－b|＝4，則|a＋b|的值為．答案：4[解析]如圖，令eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|a－b|．以O(shè)A與OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|a＋b|.由于(eq\r(7)＋1)2＋(eq\r(7)－1)2＝42.故|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|2，所以△OAB是∠AOB為90°的直角三角形，從而OA⊥OB，所以平行四邊形OACB是矩形．根據(jù)矩形的對角線相等有|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝4，即|a＋b|＝4．【例3-2】如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a,eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，試用向量a，b，c表示向量eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))．[解析]因為四邊形ACDE是平行四邊形，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，故eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b－a＋c．歸納總結(jié)：【練習(xí)3-1】已知O為四邊形ABCD所在平面外的一點，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，則四邊形ABCD的形狀為___．答案：平行四邊形[解析](1)∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))．∴|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|，且DA∥CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形．【練習(xí)3-2】如圖所示，解答下列各題：①用a、d、e表示eq\o(DB,\s\up6(→))；②用b、c表示eq\o(DB,\s\up6(→))；③用a、b、e表示eq\o(EC,\s\up6(→))；④用c、d表示eq\o(EC,\s\up6(→))．[解析]①eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝d＋e＋a＝a＋d＋e．②eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝－b－c．③eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b＋e．④eq\o(EC,\s\up6(→))＝－eq\o(CE,\s\up6(→))＝－(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＝－c－d．《6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解向量數(shù)乘的概念，并理解這種運(yùn)算的幾何意義.2.理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會運(yùn)用向量數(shù)乘運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算3.理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)及其判定方法，并能熟練地運(yùn)用這些知識處理有關(guān)共線向量問題【自主學(xué)習(xí)】知識點1向量數(shù)乘運(yùn)算實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，其長度與方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)λa(a≠0)的方向eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(當(dāng)λ>0時，與a方向相同，,當(dāng)λ<0時，與a方向相反；))特別地，當(dāng)λ＝0或a＝0時，0a＝0或λ0＝0.知識點2向量數(shù)乘的運(yùn)算律(1)λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特別地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb.知識點3共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.知識點4向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對于任意向量a、b，以及任意實數(shù)λ、μ1、μ2，恒有：λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.【合作探究】探究一向量的數(shù)乘運(yùn)算【例1】計算：(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．解(1)原式＝(－3×4)a＝－12a；(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.歸納總結(jié)：向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項式的運(yùn)算，主要是“合并同類項”、“提取公因式”，但這里的“同類項”、“公因式”指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù)．【練習(xí)1】跟蹤訓(xùn)練1計算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；(2)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．解(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.(2)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.探究二用已知向量表示未知向量【例2】如圖所示，已知?ABCD的邊BC，CD的中點分別為K，L，且eq\o(AK,\s\up15(→))＝e1，eq\o(AL,\s\up15(→))＝e2，試用e1，e2表示eq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→)).[分析]利用向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行化簡．[解]設(shè)eq\o(BC,\s\up6(→))＝x，則eq\o(BK,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)x，eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－eq\f(1,2)x，eq\o(DL,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)e1－eq\f(1,4)x.由eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DL,\s\up6(→))＝eq\o(AL,\s\up6(→))，得x＋eq\f(1,2)e1－eq\f(1,4)x＝e2，解方程得x＝eq\f(4,3)e2－eq\f(2,3)e1，即eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)e2－eq\f(2,3)e1.由eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－eq\f(1,2)x，得eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)x－e1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)e2－\f(2,3)e1))－e1＝－eq\f(4,3)e1＋eq\f(2,3)e2.歸納總結(jié)：由已知向量來表示另外一些向量是向量解題的基礎(chǔ)，除了要利用向量的加、減、數(shù)乘等線性運(yùn)算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理、性質(zhì)，如三角形的中位線定理，相似三角形的對應(yīng)邊成比例等把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量進(jìn)行求解.【練習(xí)2】如圖，設(shè)△ABC的重心為M，O為平面上任一點，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，試用a、b、c表示向量eq\o(OM,\s\up6(→)).解：連接AM并延長交BC于D點．∵M(jìn)是△ABC的重心，∴D是BC的中點，且AM＝eq\f(2,3)AD.∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(BC,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)(b－a)＋eq\f(1,3)(c－b)＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a＋\f(1,3)b＋\f(1,3)c))＝eq\f(1,3)(a＋b＋c)．探究三向量共線定理的應(yīng)用【例3-1】已知e1，e2是不共線的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，則a與b是否共線？解若a與b共線，則存在λ∈R，使a＝λb，即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)，所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0，因為e1與e2不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－6λ＝0，,4＋8λ＝0，))所以λ不存在，所以a與b不共線．【例3-2】已知兩個非零向量e1和e2不共線，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋3e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝6e1＋23e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝4e1－8e2，求證：A、B、D三點共線．證明∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝6e1＋23e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝4e1－8e2，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2)＝10e1＋15e2.又∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋3e2，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BD,\s\up6(→))共線，且有公共點B.∴A、B、D三點共線．歸納總結(jié)：(1)本題充分利用了向量共線定理，即b與a(a≠0)共線?b＝λa，因此用它既可以證明點共線或線共線問題，也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值．(2)向量共線的判斷(證明)是把兩向量用共同的已知向量來表示，進(jìn)而互相表示，從而判斷共線．【練習(xí)3-1】已知非零向量e1，e2不共線．(1)如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(e1－e2)，求證：eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定實數(shù)k的值．解(1)∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq\o(AB,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線．(2)∵ke1＋e2與e1＋ke2共線，∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1與e2不共線，只能有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))∴k＝±1.【練習(xí)3-2】已知O，A，B是不共線的三點，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點共線；(2)若A，P，B三點共線，求證：m＋n＝1.證明(1)若m＋n＝1，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋m(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝m(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，即eq\o(BP,\s\up6(→))＝meq\o(BA,\s\up6(→))，∴eq\o(BP,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))共線．又∵eq\o(BP,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))有公共點B，則A，P，B三點共線．(2)若A，P，B三點共線，則存在實數(shù)λ，使eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))．又eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→)).故有meq\o(OA,\s\up6(→))＋(n－1)eq\o(OB,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))－λeq\o(OB,\s\up6(→))，即(m－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(n＋λ－1)eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.∵O，A，B不共線，∴eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－λ＝0，,n＋λ－1＝0，))∴m＋n＝1.《6.2.4向量的數(shù)量積》導(dǎo)學(xué)案第1課時向量的數(shù)量積的概念【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解兩個向量夾角的定義，兩向量垂直的定義；2.知道向量的投影向量；3.記住數(shù)量積的幾個重要性質(zhì)．【自主學(xué)習(xí)】知識點1向量的夾角(1)已知兩個非零向量a，b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a，b〉，并規(guī)定它的范圍是0≤〈a，b〉≤π.在這個規(guī)定下，兩個向量的夾角被唯一確定了，并且有〈a，b〉＝〈b，a〉．(2)當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，我們說向量a和向量b互相垂直，記作a⊥b.知識點2向量數(shù)量積的定義(1)定義：已知兩個非零向量a與b，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a與b的夾角．2-1-c-n-j-y(2)規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.知識點3投影向量如圖(1)，設(shè)a，b是兩個非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，我們考慮如下的變換：過eq\o(AB,\s\up6(→))的起點A和終點B，分別作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量；如圖(2)，我們可以在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量．知識點4數(shù)量積的幾個性質(zhì)設(shè)a、b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)當(dāng)a與b同向時，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)|a·b|≤|a||b|.【合作探究】探究一向量的夾角問題【例1】在△ABC中，AB＝eq\r(3)，BC＝1，AC＝2，D是AC的中點．求：(1)eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))的夾角大??；(2)eq\o(DC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))的夾角大小．[分析]由勾股定理可知題中三角形為直角三角形，然后結(jié)合直角三角形相關(guān)知識和向量夾角知識解答本題．[解](1)如圖所示，在△ABC中，AB＝eq\r(3)，BC＝1，AC＝2，∴AB2＋BC2＝(eq\r(3))2＋12＝22＝AC2，∴△ABC為直角三角形．∴tanA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠A＝30°.∵D為AC的中點，∴∠ABD＝∠A＝30°，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).在△ABD中，∠BDA＝180°－∠A－∠ABD＝180°－30°－30°＝120°.∴eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))的夾角為120°.(2)∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(DC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))的夾角也為120°.歸納總結(jié)：求兩個向量的夾角關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個向量起點重合，作兩個向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出.【練習(xí)1】已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，設(shè)a＋b與a的夾角為α，a－b與a的夾角是β.求α＋β.解：如圖，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，且∠AOB＝60°，以O(shè)A、OB為鄰邊作?OACB，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.因為|a|＝|b|＝2，所以△OAB為正三角形，所以∠OAB＝60°＝∠ABC，即a－b與a的夾角β＝60°.因為|a|＝|b|，所以平行四邊形OACB為菱形，所以O(shè)C⊥AB.所以∠COA＝90°－60°＝30°，即a＋b與a的夾角α＝30°，∴α＋β＝90°.探究二向量數(shù)量積的運(yùn)算【例2】已知|a|＝4，|b|＝5，當(dāng)(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a與b的夾角為30°時，分別求a與b的數(shù)量積．解(1)a∥b，若a與b同向，則θ＝0°，a·b＝|a|·|b|·cos0°＝4×5＝20；若a與b反向，則θ＝180°，∴a·b＝|a|·|b|cos180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)當(dāng)a⊥b時，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos90°＝0.(3)當(dāng)a與b的夾角為30°時，a·b＝|a|·|b|cos30°＝4×5×eq\f(\r(3),2)＝10eq\r(3).歸納總結(jié)：已知|a|，|b|求a·b時，需先確定兩向量的夾角θ，再利用數(shù)量積的定義求解.本題中注意a∥b時，要分θ＝0°和θ＝180°兩種情況討論.【練習(xí)2】已知|a|＝4，|b|＝3，當(dāng)(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a與b的夾角為60°時，分別求a與b的數(shù)量積．解(1)當(dāng)a∥b時，若a與b同向，則a與b的夾角θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cosθ＝4×3×cos0°＝12.若a與b反向，則a與b的夾角為θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝4×3×(－1)＝－12.(2)當(dāng)a⊥b時，向量a與b的夾角為90°，∴a·b＝|a||b|cos90°＝4×3×0＝0.(3)當(dāng)a與b的夾角為60°時，∴a·b＝|a||b|cos60°＝4×3×eq\f(1,2)＝6.探究三向量的投影【例3】已知a·b＝－9，a在b方向上的投影為－3，b在a方向上的投影為－eq\f(3,2)，求a與b的夾角θ.解∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a|cosθ＝－3，,|b|cosθ＝－\f(3,2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a·b,|b|)＝－3，,\f(a·b,|a|)＝－\f(3,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－9,|b|)＝－3，,\f(－9,|a|)＝－\f(3,2)，))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a|＝6，,|b|＝3.))∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－9,6×3)＝－eq\f(1,2).∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.歸納總結(jié)：【練習(xí)3】已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夾角為120°，計算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影．解(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2＝2×12＋1×1×cos120°－12＝eq\f(1,2).|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(1＋2×1×1×cos120°＋1)＝1.∴eq\f(2a－b·a＋b,|a＋b|)＝eq\f(1,2).探究四平面向量數(shù)量積的性質(zhì)【例4】已知|a|＝|b|＝5，向量a與b的夾角為eq\f(π,3)，求|a＋b|，|a－b|.解a·b＝|a||b|cosθ＝5×5×eq\f(1,2)＝eq\f(25,2).|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(|a|2＋2a·b＋|b|2)＝eq\r(25＋2×\f(25,2)＋25)＝5eq\r(3).|a－b|＝eq\r(a－b2)＝eq\r(|a|2－2a·b＋|b|2)＝eq\r(25－2×\f(25,2)＋25)＝5.歸納總結(jié)：此類求解向量的模問題一般轉(zhuǎn)化為求模平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，要靈活應(yīng)用a2＝|a|2，勿忘記開方．【練習(xí)4】已知單位向量e1，e2的夾角為60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夾角．解∵e1，e2為單位向量且夾角為60°，∴e1·e2＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2).∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝－2－e1·e2＋1＝－2－eq\f(1,2)＋1＝－eq\f(3,2)，|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(e1＋e22)＝eq\r(1＋2×\f(1,2)＋1)＝eq\r(3)，|b|＝eq\r(b2)＝eq\r(e2－2e12)＝eq\r(1＋4－4×\f(1,2))＝eq\r(3)，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(3,2)×eq\f(1,\r(3)×\r(3))＝－eq\f(1,2).又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.∴a與b的夾角為120°.《6.2.4平面向量的數(shù)量積》導(dǎo)學(xué)案2課時向量數(shù)量積的運(yùn)算律【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解數(shù)量積的運(yùn)算律2.會用向量數(shù)量積的公式解決相關(guān)問題．【自主學(xué)習(xí)】知識點1向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量．(1)a·e＝e·a＝|a|cos〈a，b〉；(2)a⊥b?a·b＝0且a·b＝0?a⊥b；(3)a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a2)；(4)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)；(5)|a·b|≤|a||b|.知識點2向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a(交換律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．【合作探究】探究一向量的數(shù)量積的運(yùn)算律【例1】已知|a|＝2，|b|＝3，a與b的夾角為120°，試求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(a－b)；(3)(2a－b)·(a＋3b)．[分析]根據(jù)數(shù)量積、模、夾角的定義以及數(shù)量積的運(yùn)算，逐一進(jìn)行計算即可．[解](1)a·b＝|a|·|b|cos120°＝2×3×(－eq\f(1,2))＝－3.(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－a·b＋a·b－b2＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×4－5×3－3×9＝－34.歸納總結(jié)：求向量的數(shù)量積時，需明確兩個關(guān)鍵點：相關(guān)向量的模和夾角.若相關(guān)向量是兩個或兩個以上向量的線性運(yùn)算，則需先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及多項式乘法的相關(guān)公式進(jìn)行化簡.【練習(xí)1】已知向量a與b的夾角為eq\f(3π,4)，且|a|＝eq\r(2)，|b|＝2，則a·(2a＋b)等于.答案：2解析：a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝4－2＝2.探究二向量的模【例2】已知向量a，b滿足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，則|a－3b|＝________.[答案]eq\r(10)[分析]利用模的公式和數(shù)量積的運(yùn)算律進(jìn)行求解．[解析]因為a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，所以|a－3b|＝eq\r(a－3b2)＝eq\r(a2－6a·b＋9b2)＝eq\r(12＋9×12)＝eq\r(10).歸納總結(jié)：1要求幾個向量線性運(yùn)算后的模，可先求其平方，利用數(shù)量積的計算易解.2已知兩個向量線性運(yùn)算后的模求某個向量的模，可把條件平方后化為所求目標(biāo)的方程求解.【練習(xí)2】已知單位向量e1，e2的夾角為α，且cosα＝eq\f(1,3)，若向量a＝3e1－2e2，則|a|＝.答案：3解析：因為a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3.探究三向量的夾角【例3】已知非零向量a，b滿足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,2)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)[答案]C[分析]利用向量垂直的判定和數(shù)量積公式進(jìn)行求解．[解析]設(shè)a，b夾角為θ，由題意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b＝－2a2，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－2a2,4|a|2)＝－eq\f(1,2)，所以θ＝eq\f(2π,3).歸納總結(jié)：求兩向量a，b的夾角，通常借助于公式計算【練習(xí)3】設(shè)兩個向量e1、e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夾角為60°，若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍．答案：(－7，－eq\f(\r(14),2))∪(－eq\f(\r(14),2)，－eq\f(1,2))解：由向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角θ為鈍角，得cosθ＝eq\f(2te1＋7e2·e1＋te2,|2te1＋7e2||e1＋te2|)<0，∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，化簡得2t2＋15t＋7<0，解得－7<t<－eq\f(1,2).當(dāng)夾角為π時，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此時夾角不是鈍角．設(shè)2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2t＝λ，,7＝λt，,λ<0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\r(14),t＝－\f(\r(14),2))).∴所求實數(shù)t的取值范圍是(－7，－eq\f(\r(14),2))∪(－eq\f(\r(14),2)，－eq\f(1,2))．探究四向量垂直的判定【例4】已知|a|＝5，|b|＝4，且a與b的夾角為60°，則當(dāng)k為何值時，向量ka－b與a＋2b垂直？答案：k＝eq\f(14,15)[分析]利用向量垂直的性質(zhì)，由(ka－b)·(a＋2b)＝0可求出．[解]∵(ka－b)⊥(a＋2b)，∴(ka－b)·(a＋2b)＝0，ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，k×52＋(2k－1)×5×4×cos60°－2×42＝0，∴k＝eq\f(14,15)，即k為eq\f(14,15)時，向量ka－b與向量a＋2b垂直．歸納總結(jié)：解決向量垂直問題常用向量數(shù)量積的性質(zhì)a⊥b?,a·b＝0.這是一個重要性質(zhì)，對于解平面幾何圖形中有關(guān)垂直問題十分有效，應(yīng)熟練掌握.【練習(xí)4】P是△ABC所在平面上一點，若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))，則P是△ABC的()A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心答案：D解析：由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))得eq\o(PB,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，∴PB⊥CA.同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P為△ABC的垂心．探究五向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用【例5】在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，且a·b＝b·c＝c·a，試判斷△ABC的形狀．答案：等邊三角形[分析]易知a＋b＋c＝0，分別將a、b、c移至等號右邊，得到三個等式，分別平方后選取兩個等式相減，即可得到a、b、c中兩個向量的長度之間的關(guān)系．[解]在△ABC中，易知eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，即a＋b＋c＝0，因此a＋c＝－b，a＋b＝－c，從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b2＝－c2，,a＋c2＝－b2，))兩式相減可得b2＋2a·b－c2－2a·c＝c2－b2，則2b2＋2(a·b－a·c)＝2c2，因為a·b＝c·a＝a·c，所以2b2＝2c2，即|b|＝|c|.同理可得|a|＝|b|，故|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|，即△ABC是等邊三角形．歸納總結(jié)：依據(jù)向量數(shù)量積的有關(guān)知識判斷平面圖形的形狀，關(guān)鍵是由已知條件建立數(shù)量積、向量的長度、向量的夾角等之間關(guān)系，移項、兩邊平方是常用手段，這樣可以出現(xiàn)數(shù)量積及向量的長度等信息，為說明邊相等、邊垂直指明方向.【練習(xí)4】若O是△ABC所在平面內(nèi)一