2024年3月廣東省深圳市高三一模考試數(shù)學(xué)試卷及答案

2023?2024學(xué)年第二學(xué)期高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(省外9)

數(shù)學(xué)

(滿(mǎn)分：150分考試時(shí)間：120分鐘)

2024.3

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

7T

1.若角a的終邊過(guò)點(diǎn)(4,3),則s加(a+1)=()

44「33

A.gB.一§C.§D.一5

2.已知i為虛數(shù)單位，若,則z?z=()

A.也B.2C.~2iD.2i

3.已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，且對(duì)任意為，入2,

均有1為%2)=/(冗1V(X2)成立，則下列函數(shù)符合條件的是()

A.y=ln|x|B.y=x3C.y=2兇D.y=\x\

4.已知a,b是夾角為120。的兩個(gè)單位向量,若向量。+肪在向量a上的投影向量為2a,

貝!1丸=()

AT「_穌D”

A./trj./9.3.3

5.由0,2,4組成可重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，按從小到大的順序排成的數(shù)列記為｛斯｝,即

=0,“2=2,4=4,…，若斯=2024,貝！J〃=()

A.34B.33C.32D.30

6.已知某圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為n，丫2,且r2=2%，若半徑為2的球與圓臺(tái)的上、

下底面及側(cè)面均相切，則該圓臺(tái)的體積為()

28K40?！?6TI112K

A.B.C.D.§

［?！?2,n=2k—1,

1=(%￡N*),

7.已知數(shù)列｛斯｝滿(mǎn)足。政=1，an+2=\7若為數(shù)列

〔一?！?n—2k

｛斯｝的前〃項(xiàng)和，則&0=()

A.624B.625C.626D.650

8.已知雙曲線(xiàn)E-.點(diǎn)一￡=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi，F(xiàn)2,過(guò)點(diǎn)后的直線(xiàn)

與雙曲線(xiàn)E的右支交于A(yíng),B兩點(diǎn)，若且雙曲線(xiàn)E的離心率為6,則cos/BAR

=()

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.“體育強(qiáng)則中國(guó)強(qiáng)，國(guó)運(yùn)興則體育興”.為備戰(zhàn)2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)，已知運(yùn)動(dòng)員甲特

訓(xùn)的成績(jī)分別為：9,12,8,16,16,18,20,16,12,13,則這組數(shù)據(jù)的()

A.眾數(shù)為12B,平均數(shù)為14

1

C.中位數(shù)為14.5D.第85百分位數(shù)為16

10.設(shè)a>l,b>0,且lna=2—b,則下列關(guān)系式可能成立的是（）

A.a=bB,b~a=eC.“=20245D.ab>e

11.如圖，八面體。的每一個(gè)面都是邊長(zhǎng)為4的正三角形，且頂點(diǎn)8,C,D,E在同一

個(gè)平面內(nèi).若點(diǎn)M在四邊形BCDE內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，N為AE的中點(diǎn)，則（）

TT

A.當(dāng)M為OE的中點(diǎn)時(shí)，異面直線(xiàn)與CP所成的角為］

B.當(dāng)〃平面ACD時(shí)，點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為2班

C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M到BC的距離可能為小

D.存在一個(gè)體積為華的圓柱體可整體放入。內(nèi)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

jr27r

12.若函數(shù)?x）=sin（cox+（p\co>Q,［研<］）的最小正周期為兀，其圖象關(guān)于點(diǎn)Cy,0）中

心對(duì)稱(chēng)，則9=.

13.設(shè)點(diǎn)4-2,0）,8（一；,0）,C（0,1）,若動(dòng)點(diǎn)尸滿(mǎn)足必=2尸8,且亦=癡+MC,

則%+2〃的最大值為.

14.已知函數(shù)八x）=a（x—尤i）（x—尤2）（龍一X3）（a>0）,設(shè)曲線(xiàn)y=/（x）在點(diǎn)（為，式x#處切線(xiàn)的斜

率為ki（i=1,2,3）,若xi,及，迎均不相等，且左2=—2,則H+4質(zhì)的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（本小題滿(mǎn)分13分）

設(shè)5“為數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，已知怎=4,S4=20,且［也為等差數(shù)列.

（1）求證：數(shù)列｛為｝為等差數(shù)列；

（2）若數(shù)列｛仇｝滿(mǎn)足岳=6,且智=—,設(shè)T”為數(shù)列｛仇｝的前n項(xiàng)和，集合M=

｛T"|〃￡N*｝,求M用列舉法表示）.

2

16.(本小題滿(mǎn)分15分)

如圖，在四棱錐臣BCD中，四邊形ABCZ)是菱形，平面ABCOJ_平面外。，點(diǎn)M在DP

上，且0M=2MP,AD=AP,ZPAD=12Q°.

(1)求證：8。_L平面ACM；

(2)若乙M>C=60。，求平面ACM與平面ABP夾角的余弦值.

17.(本小題滿(mǎn)分15分)

在某數(shù)字通信中，信號(hào)的傳輸包含發(fā)送與接收兩個(gè)環(huán)節(jié).每次信號(hào)只發(fā)送。和1中的某

個(gè)數(shù)字，由于隨機(jī)因素干擾，接收到的信號(hào)數(shù)字有可能出現(xiàn)錯(cuò)誤.已知發(fā)送信號(hào)。時(shí)，接收

為0和1的概率分別為a(0<a<l),1—a；發(fā)送信號(hào)1時(shí),接收為1和0的概率分別為儀0邙<1),

1假設(shè)每次信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.

(1)當(dāng)連續(xù)三次發(fā)送信號(hào)均為0時(shí)，設(shè)其相應(yīng)三次接收到的信號(hào)數(shù)字均相同的概率為式㈤,

求/(a)的最小值；

(2)當(dāng)連續(xù)四次發(fā)送信號(hào)均為1時(shí)，設(shè)其相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為XI，X2,X3,

X4,記其中連續(xù)出現(xiàn)相同數(shù)字的次數(shù)的最大值為隨機(jī)變量X(xi，X2,冷，X4中任意相鄰的數(shù)字

均不相同時(shí)，令x=i),若￡=］2，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望.

18.(本小題滿(mǎn)分17分)

已知函數(shù)fix)=a(x~l)ex+1-2xIn金R).

(1)當(dāng)Q=0時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間七一2,1］上的最小值;

(2)試討論函數(shù)式工)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(3)當(dāng)函數(shù)4工)無(wú)極值點(diǎn)時(shí)，求證：asin=.

3

19.(本小題滿(mǎn)分17分)

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與定點(diǎn)A(m,0)的距離和尸到定直線(xiàn)x=?的距離的比為常數(shù)低，其中相＞0,

n＞0,且mW”，記點(diǎn)尸的軌跡為曲線(xiàn)C.

(1)求C的方程，并說(shuō)明軌跡的形狀；

(2)設(shè)點(diǎn)8(—7%,0),若曲線(xiàn)C上兩動(dòng)點(diǎn)M,N均在x軸上方，AM//BN,且AN與

相交于點(diǎn)Q.

①當(dāng)m=2巾,〃=4時(shí)，求證：七+白的值及△A3Q的周長(zhǎng)均為定值；

r\.lVlDLN

②當(dāng)機(jī)〉"時(shí)，記△ABQ的面積為S,其內(nèi)切圓半徑為r,試探究是否存在常數(shù)九使得

S=＞恒成立？若存在，求〃用相，〃表示)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4

2023?2024學(xué)年第二學(xué)期高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（廣東深圳）

數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

1.A2.B3.D4.A5.B6.C7.C8.D9.BC10.AC11.ACD

2/+4

14.18

15.（1）證明：設(shè)等差數(shù)列榭的公差為d,則j=y+3d,即N+3d=5①，（1

因?yàn)镾2=ai+a2=Si+4,所以由y=y+d,得S+24=4②.（2分）

由①②解得Si=2,<7=1,所以｝="+1,即Sn=n（n+1）,（3分）

==

當(dāng)時(shí)，anSn—Sn-in（n-\-1）—（n—1）幾=2幾，

當(dāng)〃=1時(shí)，ai=Si=2,上式也成立，所以斯=2〃（〃￡N*）,（5分）

因?yàn)楫?dāng)時(shí),斯一斯T=2,所以數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列.（6分）

（2）解：由（1）可知經(jīng)

（7分）

OnCln+22〃+4〃+2

X6=：

n（〃十1）

因?yàn)閐=6滿(mǎn)足上式，所以b”=—z,,.（"GN*）.（9分）

n（幾十1）

T〃=12［（l—義）+（1）+...+（5一卷）］=12義（1—卷）=12—苗，（11分）

12

因?yàn)楫?dāng)GN*時(shí)，”=1,2,3,5,11,所以M=｛6,8,9,10,11）.（13分）

n-r1

16.（1）證明：不妨設(shè)AO=AP=3,VZPAD=120°,DM=2MP,

：.DP=3小，DM=2小,PM=y13,（1分）

由余弦定理，得AM=yjAP?+MP2—2AP-MPcos30。=y［3,

在△ADM中，AD1+AM2=DM2,：.MALAD,（2分）

"/平面ABCDJ_平面必。，平面ABCOCI平面B4O=AD,MAu平面B4。，

MA_L平面ABCD.

；BDu平面ABC。，MA1BD,（4分）

"/四邊形ABCD是菱形，.'AC，2D（5分）

又；ACHMA=A,且ACu平面ACM,AMu平面ACM,：.8O_L平面ACM.（6分）

（2）解：在平面ABCD內(nèi),過(guò)點(diǎn)B作AD的垂線(xiàn)，垂足為N,

"：平面ABCDJ_平面出。，平面ABCOCI平面

二BALL平面ADP,（7分）

又,:四邊形ABCD是菱形，ZADC=60°,；.ZBDA=30°,

：.AACD,ZVIBC均為等邊三角形.（8分）

5

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD,AM及過(guò)點(diǎn)A平行于A(yíng)?的直線(xiàn)分別為無(wú)，y,z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系（如圖），

r133*\/333,\/3八

則4（0,0,0）,3（一萬(wàn)，0，~2）'。⑶0，0），P（~/，，0）,（9分）

由（l）BD_L平面ACM,

f93s

：.BD=（^,0,一士）為平面ACM的一個(gè)法向量，（10分）

設(shè)平面ABP的法向量為帆=（x,y,z）,

「f_3,3^3

ABm^O,2x+2"~Q'

則《即〈仁⑴分）

An=0,[-|x+^y=0,

令》=小，可得桃=（、「，1）1）.（12分）

Icos（BD,m）|=后*小=乎，（14分）

A/5

???平面ACM與平面ABP的夾角的余弦值為.（15分）

17.解：(1)由題可知7(a)=a3+(]—dy=3ar—3a+l=3(a—])2+^,(2分)

因?yàn)?<a<l,所以當(dāng)a=：時(shí)，八㈤的最小值為1.（4分）

（2）由題設(shè)知，X的可能取值為1,2,3,4.（5分）

①當(dāng)X=1時(shí)，相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為0101或1010.因此，

212112128

P（X=l）=qX-X-X-+-X-X-X-,（6分）

DJ3JJJJJ01

②當(dāng)X=2時(shí)，相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為0010,或0100,或1101,或1011,

或1001,或0110,或1100,或0011.因此,

21212112364

尸（X=2）=q）2X-x-X2+q）2X-x-X2+q）2X（-）2乂4=的=g,（8分）

③當(dāng)x=3時(shí)，相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為ino,或oin,或oooi,或looo.

因此，

121220

3

尸（X=3）=q）x-X2+Qx（-）3義2=五，（10分）

④當(dāng)X=4時(shí)，相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為0000,或1111.因此，

1217

尸（X=4）=q）4+（g）4=玩.（12分）

所以X的分布列為

6

X1234

842017

p

8198181

(13分)

因此，X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1X^+2*《+3x|y+4X$=答.(15分)

18.(1)解：當(dāng)。=0時(shí)，力＞)=—2xlnx—N,

則/(x)=12(14nx+?1)-2x=-2(lnx+x+l),(1分)

令g(x)=/(尤)，則g，(x)=—2(：+1),

因?yàn)橛萫[e?I],所以g，(x)<0,則g(x)在[e?I]上單調(diào)遞減，(2分)

又因?yàn)榱?12)=2(1—-2)>0,y(l)=-4<0,

所以mxod(e-2,1)使得了(須)=0,兀C)在(e-2,x0)上單調(diào)遞增，在Qo，1)上單調(diào)遞減.

因此，1X)在[屋2,1]上的最小值是式-2)與式I)兩者中的最小者.(3分)

因?yàn)榛餰-2)=4e-2—e~4=?一2(4—6-2)>0,/1)=—1,

所以函數(shù)在上一2,i]上的最小值為一i.(4分)

(2)解：/(x)=a[l-et+1+(x-l)ev+1]-2(l-lnx+x-1)—2x=axe/i-2(lnx+x+l),

,,”，左力/口2(lnx+x+1)2(lnx+x+1),八

由7(x)=6解倚〃=^+1=elnx+x+l，(6分)

易知函數(shù)y=lnx+x+l在(0,+8)上單調(diào)遞增，且值域?yàn)镽,

,2t

令lnx+x+l=/,由/(x)=6解得,

設(shè)為⑺=譽(yù)，貝1J/7'⑺=2"，

因?yàn)楫?dāng)代1時(shí)，/7")>0,當(dāng)>1時(shí)，h'(t)<0,所以函數(shù)人⑺

在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

22

根據(jù)/7(1)=3,L—8時(shí)，—8,/」甲8/7?)=/」叩8]=0,

得力⑺的大致圖象如圖所示.(7分)

因此有：

2

(i)當(dāng)時(shí)，方程/()=。無(wú)解，即/(X)無(wú)零點(diǎn)，人《)沒(méi)有極值點(diǎn)；(8分)

2

(ii)當(dāng)時(shí)，7W=2elnx+j-2(lnx+x+1),

7

利用e，>x+l,得/（x）>2（lnx+x+l）—2（lnx+x+l）=0,此時(shí)大尤）沒(méi)有極值點(diǎn)；（9分）

2

（iii）當(dāng)0<a<1時(shí)，方程⑺=。有兩個(gè)解，即/（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，式尤）有兩個(gè)極值點(diǎn)；

（iv）當(dāng)a<0時(shí)，方程h{t}=a有一個(gè)解，即了（無(wú)）有一個(gè)零點(diǎn)，段）有一個(gè)極值點(diǎn).

22

綜上，當(dāng)時(shí)，於）有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)0<a<-時(shí)，小）有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)a^~時(shí)，加）

沒(méi)有極值點(diǎn).（11分）

（3）證明：先證明當(dāng)xG（0,今）時(shí)，晉士-

設(shè)心尸拶（xe（o,I））,則如）=3『^,

t己pOr）=xcosx—sinx（x￡（0,a）），則"（x）=l,cosx+?（—sinx）-cosx=1%sinx<0,p（x）

在（0,彳）上單調(diào)遞減，（13分）

兀兀兀2、/2

當(dāng)了￡（0,-）時(shí)，p（x）<p（O）=O,nr（x）<0,則〃（%）在（0,1）上單調(diào)遞減，）=~'

即當(dāng)x￡（0,）時(shí)，不等式畫(huà)詈成立.（14分）

21eJi

由（2）知，當(dāng)函數(shù)火工）無(wú)極值點(diǎn)時(shí)，a^~,則?！次錨4<1，（15分）

在不等式堊">紅但中，取-，則有2asin也，

JC7cZa2a兀

即不等式asin；>也成立.（17分）

19.（1）解：設(shè)點(diǎn)尸（x,y）,由題意可知"一S―4=：，（2分）

即（元一機(jī)）2+丁2=（1x—ri）2,

經(jīng)化簡(jiǎn)，得C的方程為,+孩J=1,（3分）

當(dāng)機(jī)<〃時(shí)，曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；

當(dāng)相”時(shí)，曲線(xiàn)。是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn).（4分）

（2）設(shè)點(diǎn)M>1，州），N（X2,丁2），M（X3，丁3），其中yi>0，>2>0且％3=一％2，”=一丁2,

①證明：由⑴可知C的方程為髭+?=1,A（2^2,0）,5（-2^2,0）,

因?yàn)锳M//BN,所以消爐=點(diǎn)仍=—y2

—X2-2^/2

因此，M,A,歐三點(diǎn)共線(xiàn)，且BN=7（&+2吸）2+貨='（一萬(wàn)2-2巾）2+（一竺）2

=AM',（5分）

（證法1）設(shè)直線(xiàn)跖VT的方程為x=ty+2,y[2.,聯(lián)立C的方程,得儼+2）^+4也共一8=0,

8

則？+》=一^^，yi，3=一胃］，（6分）

由（1）可知|xi—1=4一坐xi，BN=AM，=4一冷心，

（4—^xi）+（4—^X3）

1J__AM+BN_82、"十B2卻

所以贏(yíng)+BN=AMBN=J2亞

（4一半ri）（4一號(hào)X3）

（2一坐.1）+（2—當(dāng)”3）

（2-坐”1）（2-當(dāng)口3）

4-烏（%+刃）4-冬（一^^）

=1=AF）tio=1（定值）.（8

4—四（yi+券）+處第4—g（-3337）+%?（-3VZ）

~r?乙乙i?乙

（證法2）設(shè)/加=。，則有地.北==4,解得4加=代嬴,

AMr2、歷4

同理由即…=+,解得,

小、I1,1_1,12+也cose2—V2cos01i/七、°八、

所以說(shuō)+麗=屈+而=4+4=1（定值X8分）

由橢圓定義BQ+QA/+AM=8,^QM=S~BQ~AM,

...............AMQMBQ-AM

?AM//BN,..麗=詼=碩'

(8-AM)-BN

解得BQ=AM+BN-

(8—BN)-AM八

同理可得AQ=AM+BN，(10分)

cr.,,,(8—BN)-AM,(8—AM)BN8(AM+BN)~2AM-BN

所以AQ+BQ=AM+BN+AM+BN=7^+^

=8-—?j—-8-2=6.

AM+BN

因?yàn)锳B=46,所以△ABQ的周長(zhǎng)為6+4正（定值）.（12分）

②解：當(dāng)癡＞"時(shí)，曲線(xiàn)C的方程為4—T—7=1，軌跡為雙曲線(xiàn),

幾mz—nz

根據(jù)①的證明，同理可得M,A,AT三點(diǎn)共線(xiàn)，且BN=AM,

（解法1）設(shè)直線(xiàn)的方程為x=sy+m,聯(lián)立C的方程，

得［（m2—層）0—〃2打2+2sm（m2—n2）y+（m2—n2）2=0,

.2sm（源一層）（加一〃2）2

?,?%+”=_（加2_/）或一淬，為為=（_2_.）$2—層（*）,（13刀）

因?yàn)椋▁\~~x\~n,BN=AM,=-x3—n,

nm'nn

9

斫以」_,J_=J_1_AM+AM'

所以AM+BN~AM+AM'-AM-AM'

*2222

,sm.m一n、.,sm,m一n

（薩—〃）+（薩一”）(齊1+][)+(63+丁]

,sm.加一〃2,sm.帆2—〃2

(-ri-n)(表-〃)，

n(—n/V1+----n-----)(—ny3+-----n----)