2024屆浙江省余姚市第四中學高一數學第二學期期末調研試題含解析

2024屆浙江省余姚市第四中學高一數學第二學期期末調研試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．的值等于()A． B．－ C． D．－2．已知數列的前項和為，且滿足，，則（）A． B． C． D．3．已知直線m，n，平面α，β，給出下列命題：①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，則α⊥β②若m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥β③若m∥α，n∥β，且α∥β，且m∥n④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m⊥n其中正確的命題是（）A．②③ B．①③ C．①④ D．③④4．運行如圖程序，若輸入的是，則輸出的結果是（）A．3 B．9 C．0 D．5．設，則（）A．3 B．2 C．1 D．06．若點（m，n）在反比例函數y＝的圖象上，其中m＜0，則m+3n的最大值等于（）A．2 B．2 C．﹣2 D．﹣27．若等差數列和的公差均為，則下列數列中不為等差數列的是（）A．（為常數） B．C． D．8．某協(xié)會有200名會員，現要從中抽取40名會員作樣本，采用系統(tǒng)抽樣法等間距抽取樣本，將全體會員隨機按1~200編號，并按編號順序平均分為40組（1－5號，6－10號，…，196－200號）.若第5組抽出的號碼為22，則第1組至第3組抽出的號碼依次是（）A．3，8，13 B．2，7，12 C．3，9，15 D．2，6，129．在平行四邊形ABCD中，，，E是CD的中點，則（）A．2 B．-3 C．4 D．610．設向量,若,則實數的值為()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，角、、所對應邊分別為、、，，的平分線交于點，且，則的最小值為______12．已知向量（1，2），（x，4），且∥，則_____．13．若直線與曲線相交于A，B兩點，O為坐標原點，當的面積取最大值時，實數m的取值____．14．在銳角中，角、、所對的邊為、、，若的面積為，且，，則的弧度為__________．15．已知，，，則的最小值為__________.16．直線的傾斜角為______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量（），向量，，且.（Ⅰ）求向量；（Ⅱ）若，，求.18．已知數列為單調遞增數列，，其前項和為，且滿足.（1）求數列的通項公式；（2）若數列，其前項和為，若成立，求的最小值.19．如圖，在四棱錐中，平面，，，，點Q在棱AB上.（1）證明：平面.（2）若三棱錐的體積為，求點B到平面PDQ的距離.20．已知，，分別為內角，，的對邊，且.（1）求角；（2）若，，求邊上的高.21．在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．求A；已知，的面積為的周長．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

利用誘導公式把化簡成.【詳解】【點睛】本題考查誘導公式的應用，即把任意角的三角函數轉化成銳角三角函數，考查基本運算求解能力.2、B【解析】

由可知，數列隔項成等比數列，從而得到結果.【詳解】由可知：當n≥2時，，兩式作商可得：∴奇數項構成以1為首項，2為公比的等比數列，偶數項構成以2為首項，2為公比的等比數列，∴故選：B【點睛】本題考查數列的遞推關系，考查隔項成等比，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題.3、C【解析】

根據線線、線面和面面有關定理，對選項逐一分析，由此得出正確選項.【詳解】對于①，兩個平面的垂線垂直，那么這兩個平面垂直.所以①正確.對于②，與可能相交，此時并且與兩個平面的交線平行.所以②錯誤.對于③，直線可能為異面直線，所以③錯誤.對于④，兩個平面垂直，那么這兩個平面的垂線垂直.所以④正確.綜上所述，正確命題的序號為①④.故選：C【點睛】本小題主要考查空間線線、線面和面面有關命題真假性的判斷，屬于基礎題.4、B【解析】分析：首先根據框圖中的條件，判斷-2與1的大小，從而確定出代入哪個解析式，從而求得最后的結果，得到輸出的值.詳解：首先判斷成立，代入中，得到，從而輸出的結果為9，故選B.點睛：該題考查的是有關程序框圖的問題，在解題的過程中，需要注意的是要明確自變量的范圍，對應的函數解析式應該代入哪個，從而求得最后的結果，屬于簡單題目.5、B【解析】

先求內層函數，將所求值代入分段函數再次求解即可【詳解】，則故選：B【點睛】本題考查分段函數具體函數值的求法，屬于基礎題6、C【解析】

根據題意可得出，再根據可得，將添上兩個負號運用基本不等式，即可求解．【詳解】由題意，可得，因為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，故選：C．【點睛】本題主要考查了基本不等式的應用，其中解答中熟記基本不等式的使用條件，合理運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．7、D【解析】

利用等差數列的定義對選項逐一進行判斷，可得出正確的選項.【詳解】數列和是公差均為的等差數列，則，，.對于A選項，，數列（為常數）是等差數列；對于B選項，，數列是等差數列；對于C選項，，所以，數列是等差數列；對于D選項，，不是常數，所以，數列不是等差數列.故選：D.【點睛】本題考查等差數列的定義和通項公式，注意等差數列定義的應用，考查推理能力，屬于中等題.8、B【解析】

根據系統(tǒng)抽樣原理求出抽樣間距，再根據第5組抽出的號碼求出第1組抽出的號碼，即可得出第2組、第3組抽取的號碼．【詳解】根據系統(tǒng)抽樣原理知，抽樣間距為200÷40=5，

當第5組抽出的號碼為22時，即22=4×5+2，

所以第1組至第3組抽出的號碼依次是2，7，1．

故選：B．【點睛】本題考查了系統(tǒng)抽樣方法的應用問題，是基礎題．9、A【解析】

由平面向量的線性運算可得，再結合向量的數量積運算即可得解.【詳解】解：由，，所以,,，則,故選：A.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算，重點考查了向量的數量積運算，屬中檔題.10、B【解析】

首先求出的坐標，再根據平面向量共線定理解答.【詳解】解：,因為,所以,解得.故選：【點睛】本題考查平面向量共線定理的應用，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、18【解析】

根據三角形面積公式找到的關系，結合基本不等式即可求得最小值.【詳解】根據題意，，因為的平分線交于點，且，所以而所以，化簡得則當且僅當，即，時取等號，即最小值為.故答案為：【點睛】本題考查三角形面積公式和基本不等式，考查計算能力，屬于中等題型12、．【解析】

根據求得，從而可得，再求得的坐標，利用向量模的公式，即可求解.【詳解】由題意，向量，則，解得，所以，則，所以.【點睛】本題主要考查了向量平行關系的應用，以及向量的減法和向量的模的計算，其中解答中熟記向量的平行關系，以及向量的坐標運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.13、【解析】

點O到的距離，將的面積用表示出來，再利用均值不等式得到答案.【詳解】曲線表示圓心在原點，半徑為1的圓的上半圓，若直線與曲線相交于A，B兩點，則直線的斜率，則點O到的距離，又，當且僅當，即時，取得最大值．所以，解得舍去)．故答案為．【點睛】本題考查了點到直線的距離，三角形面積，均值不等式，意在考查學生的計算能力.14、【解析】

利用三角形的面積公式求出的值，結合角為銳角，可得出角的弧度數.【詳解】由三角形的面積公式可知，的面積為，得，為銳角，因此，的弧度數為，故答案為.【點睛】本題考查三角形面積公式的應用，考查運算求解能力，屬于基礎題.15、25【解析】

變形后，利用基本不等式可得.【詳解】當且僅當，即，時取等號.故答案為：25【點睛】本題考查了利用基本不等式求最值，屬于基礎題.16、【解析】

先求得直線的斜率，進而求得直線的傾斜角.【詳解】由于直線的斜率為，故傾斜角為.【點睛】本小題主要考查由直線一般式方程求斜率，考查斜率和傾斜角的對應關系，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】

（Ⅰ）∵,，∵，∴，即，①又，②由①②聯立方程解得，，．∴；（Ⅱ）∵，即，，∴，，又∵，，∴.18、（1）；（2）10.【解析】

（1）先根據和項與通項關系得項之間遞推關系，再根據等差數列定義及其通項公式得數列的通項公式；（2）先根據裂項相消法求，再解不等式得，即得的最小值.【詳解】（1）由知：，兩式相減得:，即，又數列為單調遞增數列，，∴，∴，又當時，，即，解得或(舍），符合，∴是以1為首項，以2為公差的等差數列，∴.（2），∴，又∵，即，解得，又，所以的最小值為10.點睛：裂項相消法是指將數列的通項分成兩個式子的代數差的形式，然后通過累加抵消中間若干項的方法，裂項相消法適用于形如(其中是各項均不為零的等差數列，c為常數)的數列.裂項相消法求和，常見的有相鄰兩項的裂項求和(如本例)，還有一類隔一項的裂項求和，如或.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）線面垂直只需證明PD和平面內兩條相交直線垂直即可，易得，另外中已知三邊長通過勾股定理易得,所以平面．（2）點B到平面PDQ的距離通過求得三棱錐的體積和面積即可，而,帶入數據求解即可．【詳解】（1）證明：在中，，，所以.所以是直角三角形，且，即.因為平面PAD，平面PAD，所以.因為，所以平面ABCD.（2）解：設.因為.，所以的面積為.因為平面ABCD，所以三棱錐的體積為，解得.因為，所以，所以的面積為.則三棱錐的體積為.在中，，，，則.設點B到平面PDQ的距離為h，則，解得，即點B到平面PDQ的距離為.【點睛】此題考察立體幾何的證明，線面垂直只需證明線與平面內的兩條相交直線分別垂直即可，第二問考察了三棱錐等體積法，通過變化頂點和底面進行轉化，屬于中檔題目．20、(1)；(2)【解析】

（1）利用正弦定理化簡已知條件，利用三角形內角和定理以及兩角和的正弦公式化簡，由此求得，進而求得的大小.（2）利用正弦定理求得，進而求得的大小，由此求得的值，根據求得邊上的高.【詳解】解：（1）∵∴∴∴∴即：，∴（2）由正弦定理：，∴∵∴∴∴設邊上的高為，則有【點睛】本小題主要考查利用正弦定理進行邊角互化，考查利用正弦定理解三角形，考查三角恒等變換，考查特殊角的三角函數值，屬于中檔題.21、（1）；（2）【解析】

（1）在中，由正弦定理及題設條件，