2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-分離法

【二輪復(fù)習(xí)一分一法】

分離法

_______?_______

i_______________?

解決不等式恒成立或有解問題解決函數(shù)零點(diǎn)、方程根的問題

P1-3P3-6

考向一解決不等式恒成立或有解問題

【方法儲(chǔ)備】

1.利用分離參數(shù)法來確定不等式ffx,a)>0,xeD恒成立或有解問題中參數(shù)a的取值范圍，有如下三個(gè)步驟：

第一步：參數(shù)與變量分離，化為fi，；a)2fz(x)或fi(a)Wf2(x)；

第―一步:求1xj1nax或f2fximin'X6D;

第三步:解flfa]>f2(x)max(f2x)min)或f/a)<f2[x]min(f2(x)max).

2.分離參數(shù)法可以避免對(duì)參數(shù)范圍的討論，簡(jiǎn)化解題過程，但需注意兩點(diǎn)：

①函數(shù)是否可以分離參數(shù)，

②如果變性后得到的函數(shù)形式太復(fù)雜，則不宜采用參變分離法。

3.常見單變量不等式問題的最值轉(zhuǎn)化：

(1)VxeD,則f(x]>a恒成立今f；x)mm>a;

(2)3xeD,則gx)>a恒成立=f("x)max>a;

(3)Vx6D,則f(x〕<a恒成立=f(x)111ax<a;

(4)mx^D,則f：x><a恒成立_>fxmin<a;

(5)yx,D則f(x「宜成令八x-g|X-fX),即可轉(zhuǎn)化為VxeD,貝!j/i9x>0恒成立，貝!J/iOxm?>a.

特別說明：VxeD,fix)>g恒成立不可以轉(zhuǎn)化為：f(x)min>g(x|max.

理由：f(x)和gx()自變量都是x,自變量一樣是一個(gè)函數(shù)的問題，不能分為兩個(gè)函數(shù)理解.

4.常見雙變量不等式問題的最值轉(zhuǎn)化：

(1)VXi6D1,3X2￡D2,ffxj>g0x20ffxJmin>g0x2min；

(2)VXieDi,Sx2eD2,f|Xi)<gX(2)=>fOximax<gX(2]max；

(3)VX】、x2eD,f(xj>gx(2)=fOximin>gOX2max；

(4)SXj、x26D,flxi)>gO苫=fOxlmax>gX(2)min；

(5)Vx】GDi，3X2eD2,f【xj=gx2]=f(x)的值域是gx()的值域的子集.

(6)3XiGD1；3X26D2,fixj=gO芬nfix]的值域與gx的值域的交集不是空集.

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【二輪復(fù)習(xí)一分離法】

【典例精講】

例1.(2023?江西省?月考試卷)已知對(duì)一切xe[2,3],ye[3,6],不等式mx2-xy+y2>0恒成立，則實(shí)數(shù)m的

取值范圍是()

A.m<6B.—6<m<0C,m>0D.0<m<6

解：「xe[2,3],ye[3,6],則;e

???；e[1,3],

又??,mx2—xy+y2>0,且x€[2,3],x2>0,

2

可得)

令1=!€[1,3],則原題意等價(jià)于對(duì)一切tC13],mNt—t2恒成立，

???y=t—t?的開口向下，對(duì)稱軸t=

21

則當(dāng)t=1時(shí)，y=t-t?取到最大值ymax=1-l2=0,

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m>0.

故選：C.

【拓展提升】

練1-1(2023?福建省?單元測(cè)試)設(shè)實(shí)數(shù)m>0,若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x,不等式e">x》口恒成立，則m的最小值為

m

()

A.-B.白C-D.J

解：因?yàn)閷?shí)數(shù)m>0,

當(dāng)0<x4l時(shí)，不等式emx》Q恒成立；

m

當(dāng)X>1時(shí)，不等式e->’」，

in

即memx>Inx,mxemx>xlnx=elnx-lnx;

設(shè)g(x)=xex(x>0),則g'(x)=ex(x+1)；

當(dāng)x>0時(shí)，gz(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

故不等式mxemx>elnx-lnx等價(jià)于g(mx)>g(lnx),

即mx>lnx=>m>—(x>1)；

*

設(shè)f(x)=典(X>1),則f(x)=1T尸,

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【二輪復(fù)習(xí)一分離法】

當(dāng)1<x<e時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>e時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

故f(x)<f(e)=1,

所以m>p

綜上所述，m的最小值為

故選人.

n

練1-2(2022?江蘇省模擬)已知數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn，且an>0,2sn=a2+an,若不等式2sn+9>(-l)kan.

對(duì)任意的nGN*恒成立，貝ijk的取值范圍是.

2

解：因?yàn)?sn=a?+an,故2sn+i=an+i+an+i，

2

兩式相減得：2an+i=an+j—an+an+i—an,

即ian+i+anXan+i—sn—11=0,又因?yàn)閍n>0,所以an+i—sn=1,又a[=1f

故數(shù)列｛aj是1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以an=n;

由不等式2Sn+92(-l)nkan.對(duì)任意的neN*恒成立，

故M+n+92一lykn,對(duì)任意的neN*恒成立，即一l1kWn++1,

n

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，得—k<n+]+1對(duì)任意的n6N*恒成立，

n

>2nx"=6,當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)，等號(hào)成立故-k<7,解得k>-7;

又因?yàn)閚+里一二'

n

當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，得kWn++1,對(duì)任意的neN*恒成立，

M

令f(n)=n+-,當(dāng)n=4時(shí)，n+?取最小值4+=玲，故kW+1==，

nn4dA4

綜上k的取值范圍是「7,￡2].

考向二解決函數(shù)零點(diǎn)'方程根的問題

【方法儲(chǔ)備】

利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)、方程根的問題的方法：

(1)直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)做出圖像，然后

將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖像的交點(diǎn)問題

(3)分離參數(shù)法：由f(x)=0分離變量得出a=g(x),將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線y=a與函數(shù)y=g(x)的圖像的交點(diǎn)

問題.

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【二輪復(fù)習(xí)一分離法】

【典例精講】

例2.(2022?河北省模擬)已知函數(shù)f(x)=3+2axlnx(a6R)圖象上存在點(diǎn)M,函數(shù)g(x)=2-4aeln(2-x)(e

為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))圖象上存在點(diǎn)N,且M,N關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,A]B.[2,+8)

C.(80)U[，+8)D(00___mU(0+oo)

解：因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=2-4aeln(2一x)與函數(shù)y=4aelnx的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱，

由題意可知：方程3+2axlnx=4aelnx有解，

顯然aW0,所以問題轉(zhuǎn)化為(x—2e)lnx有解，

2a

設(shè)九(x)=(x2e)lnx,則九(x)=Inx+1_，為增函數(shù)且h(e)=0,

所以九(x)在(0,e)上單調(diào)遞減，在(e,+8)上單調(diào)遞增，且XT+8時(shí)，h(x)—+8,

所以__L>h(e)=e,

2a

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-80)u[上，+oo),

，■?

故選：C.

【拓展提升】

練2-1(2023-江蘇省?模擬題)若函數(shù)1?6)=111-*2+2111*在[j]上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

■一

()

A.(1e2-2]B[4+1e2-2]C(14+1]D(1+co.,

解：函數(shù)f(x)定義域?yàn)?,+8,

令f(x)=0可得m=x?—21nx,

令g(x)=x2-21nx,xe[*e],

則g'(x)=2x—E=~

XW

???當(dāng)!<x<1時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)1<x<e時(shí)，g'(x)>0,

???g(x)在[=，1]上單調(diào)遞減，在(1,e]上單調(diào)遞增，

???當(dāng)x=1時(shí)，g(x)取得極小值，也是最小值，g(l)=1,

又g(3)=?￡+4,g(e)=e2-2,

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【二輪復(fù)習(xí)一分離法】

???g(=)<g(e)，

???m=g(x)有兩解，

1<m<++4.

e4

故選：.

練2-2(2022?廣東省月考)已知f(x)=Inx+x2+ax(aGR)

(1)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)g(x)=2x2,若曲線y=f(x)和y=g(x)在上有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)上求a的取值范圍.

解：(1)函數(shù)f(x)=Inx+x2+ax(aGR)的定義域?yàn)?(0,+oo),

f'(x)=!+2x+a=2r3?:,令f'(x)=0,即2x2+ax+1=0,則4=a2-8

IX

①當(dāng)一22WaW22時(shí)，即A=a?-8W0,

此時(shí)f'(x)>0恒成立，則函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)a<-22時(shí)，即△=a?-8>0

2

2X+ax+1=0的兩個(gè)根為X1=-a-4a2-8,X2=4a2",且勺>0,X2>0

當(dāng)XG(0,-a-4a2-8)時(shí)，？(X)>0,f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)XC「a-4a2-8,-a+4a2-8)時(shí)，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(-a+a2-8,+8)時(shí),f'(x)>o,f(x)單調(diào)遞增；

③當(dāng)a>22時(shí)，即A=a?-8>0

228

2X+ax+1=0的兩個(gè)根為Xi=-a-4a2-8,X2=^+^-,且4<0,X2<0

此時(shí)f'(x)>0恒成立，則函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

綜上：當(dāng)a<—2