專(zhuān)題14 代數(shù)式規(guī)律類(lèi)：圖形變化類(lèi)（解析版）

專(zhuān)題14代數(shù)式規(guī)律類(lèi)：圖形變化類(lèi)1．探索規(guī)律，觀察圖中由※組成的圖案和算式，解答問(wèn)題：（1）請(qǐng)猜想100；（2）請(qǐng)猜想．【解答】解：（1）由，，，，，共有10個(gè)數(shù)，．故答案為：100；（2）由（1）得，．故答案為：．2．如圖所示，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙片分割成7個(gè)部分，部分①是邊長(zhǎng)為1的正方形紙片面積的一半，部分②是部分①面積的一半，部分⑧是部分②面積的一半，依此類(lèi)推（1）根據(jù)圖形填寫(xiě)下表；①②③面積（2）陰影部分的面積是多少？（3）猜想：①；②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)用兩種方法計(jì)算：的值（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）．【解答】解：（1）觀察圖形可知：部分①的面積為：，部分②的面積為，部分③的面積為，故答案為：，，；（2）陰影部分的面積是；（3）①由（1）知：，故答案為：；②當(dāng)時(shí)，方法一：由①知：的值為：；方法二：原式．3．用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放：（1）第5個(gè)圖形有多少顆黑色棋子？（2）第幾個(gè)圖形有2019顆黑色棋子？說(shuō)明理由．【解答】解：（1）觀察圖形發(fā)現(xiàn)：第一個(gè)圖形有個(gè)棋子，第二個(gè)圖形有個(gè)棋子，第三個(gè)圖形有個(gè)棋子，第個(gè)圖形有個(gè)棋子；所以第5個(gè)圖形有個(gè)棋子；（2）當(dāng)時(shí)，解得：，所以第672個(gè)圖形有2019顆黑色棋子．4．《莊子天下》：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭．”意思是說(shuō)：一尺長(zhǎng)的木棍，每天截掉一半，永遠(yuǎn)也截不完．我國(guó)智慧的古代入在兩千多年前就有了數(shù)學(xué)極限思想，今天我們運(yùn)用此數(shù)學(xué)思想研究下列問(wèn)題．【規(guī)律探索】（1）如圖1所示的是邊長(zhǎng)為1的正方形，將它剪掉一半，則；如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，將陰影部分再裁剪掉一半，則；同種操作，如圖3，；如圖4，；若同種地操作次，則；【規(guī)律歸納】（2）直接寫(xiě)出的化簡(jiǎn)結(jié)果：；【規(guī)律應(yīng)用】（3）直接寫(xiě)出算式的值：．【解答】解：（1）因?yàn)楣蚀鸢笧?、、、、；?）因?yàn)樗怨蚀鸢笧?；?）．故答案為．5．用火柴棒按如圖的方式搭圖形：（1）圖①有4根火柴棒；圖②有根火柴棒；圖③有根火柴棒．（2）按上面的方法繼續(xù)下去，第100個(gè)圖形中有多少根火柴棒？【解答】解：（1）觀察圖形可知：圖①有4根火柴棒；圖②有7根火柴棒；圖③有10根火柴棒．（2）觀察圖形發(fā)現(xiàn)：第一個(gè)圖形需要4根火柴，多一個(gè)正方形，多用3根火柴，則第個(gè)圖形中，需要火柴．當(dāng)時(shí)，．6．某數(shù)學(xué)興趣小組再用黑色圍棋進(jìn)行擺放圖案的游戲中，小雨同學(xué)現(xiàn)已擺放了如下的圖案，請(qǐng)根據(jù)圖中的信息完成下列的問(wèn)題．（1）填寫(xiě)下表：圖形編號(hào)①②③圖中棋子的總數(shù)36第50個(gè)圖形中棋子為顆圍棋；（2）小雨同學(xué)如果繼續(xù)擺放下去，那么第個(gè)圖案就要用顆圍棋；（3）如果小雨同學(xué)手上剛好有90顆圍棋子，那么他按照這種規(guī)律從第①個(gè)圖案擺放下去，是否可以擺放成完整的圖案后剛好90顆圍棋子一顆不剩？如果可以，那么剛好擺放完成幾個(gè)完整的圖案？如果不行，那么最多可以擺放多少個(gè)完整圖案，還剩余幾顆圍棋子？（只答結(jié)果，不說(shuō)明理由）【解答】解：根據(jù)圖形的規(guī)律可知：第①個(gè)圖案中用了顆圍棋；第②個(gè)圖案中用了顆圍棋；第③個(gè)圖案中用了顆圍棋；；第個(gè)圖案中用了顆圍棋．故答案為：（1）在第②個(gè)圖案中用了6顆圍棋，在第③個(gè)圖案中用了10顆圍棋，在第50個(gè)圖案中，用了1326顆圍棋，（2）小雨同學(xué)如果繼續(xù)擺放下去，那么第個(gè)圖案就要用顆圍棋．（3）不可以，剛好擺放完成6個(gè)完整圖案，還剩下7個(gè)棋子．7．下面是用形狀和大小都相同的黑色棋子擺成的圖形，觀察規(guī)律完成下列問(wèn)題：（1）填寫(xiě)下表：圖形序號(hào)（個(gè)1234棋子的顆數(shù)4710（2）照這樣方式下去，寫(xiě)出擺第個(gè)圖形的棋子數(shù)為．（3）你知道第153個(gè)圖形需要幾顆棋子嗎？【解答】解：第一個(gè)圖需棋子；第二個(gè)圖需棋子；第三個(gè)圖需棋子；第個(gè)圖需棋子枚．（1）填表如下：圖形序號(hào)（個(gè)1234棋子的顆數(shù)471013（2）照這樣方式下去，寫(xiě)出擺第個(gè)圖形的棋子數(shù)為．（3）當(dāng)時(shí)，；8．觀察下面的點(diǎn)陣圖和相應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律：（1）在④和⑤后面的橫線(xiàn)上分別寫(xiě)出相應(yīng)的等式；（2）通過(guò)猜想寫(xiě)出與第個(gè)點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)的等式．【解答】解：（1）④：；⑤；（2）的整數(shù)）．9．下列圖形按一定規(guī)律排列，觀察并回答：（1）依照此規(guī)律，第四個(gè)圖形共有13個(gè)，第六個(gè)圖形共有個(gè)；（2）第個(gè)圖形中有個(gè)；（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論，第幾個(gè)圖形中有2014個(gè)？【解答】解：（1）觀察發(fā)現(xiàn)，第1個(gè)圖形五角星的個(gè)數(shù)是，，第2個(gè)圖形五角星的個(gè)數(shù)是，，第3個(gè)圖形五角星的個(gè)數(shù)是，，第4個(gè)圖形五角星的個(gè)數(shù)是，，第6個(gè)圖形五角星的個(gè)數(shù)是，，（2）第個(gè)圖形五角星的個(gè)數(shù)是，，（3）解得．第671個(gè)圖形中有2014個(gè)★．故答案為：13；19；．10．一張方桌周?chē)勺?人，試探索把桌子按下圖排放時(shí)周?chē)勺藬?shù)的變化規(guī)律．（1）當(dāng)排3張方桌時(shí)，周?chē)勺?6人；（2）當(dāng)排張方桌時(shí)，周?chē)勺?；?）現(xiàn)有52人坐這種排列的桌子，每人只坐一個(gè)座位，至少要排張桌子．【解答】解：（1）根據(jù)分析得：有3桌時(shí)可坐的人數(shù)為：（人；（2）根據(jù)分析得：有桌時(shí)可坐的人數(shù)為：（人；（3）由以上數(shù)據(jù)可得規(guī)律：，解得：，現(xiàn)有52人坐這種排列的桌子，每人只坐一個(gè)座位，至少要排12張桌子．故答案為：16，，12．11．探索規(guī)律：用棋子按下面的方式擺出正方形．（1）按圖示規(guī)律填寫(xiě)下表：圖形編號(hào)（1）（2）（3）（4）棋子個(gè)數(shù)4（2）按照這種方式擺下去，擺第10個(gè)正方形需要多少個(gè)子？（3）按照這種方式擺下去，1000個(gè)棋子能擺多少個(gè)正方形？【解答】解：（1）圖（1）棋子個(gè)數(shù)為4；圖（2）棋子個(gè)數(shù)為；圖（3）棋子個(gè)數(shù)為；圖（4）棋子個(gè)數(shù)為；圖（5）棋子個(gè)數(shù)為；圖（6）棋子個(gè)數(shù)為；第個(gè)正方形需要棋子數(shù)為；（2）當(dāng)時(shí)，；故第10個(gè)正方形需要40個(gè)棋子；（3）當(dāng)時(shí)，，故1000個(gè)棋子能擺250個(gè)正方形．12．為慶?！傲弧眱和?jié)，某幼兒園舉行用火柴棒按圖所示的規(guī)律擺“金魚(yú)”的比賽．（1）小明只搭了4條金魚(yú)，則他用了26根火柴棒；（2）小穎把老師分給她的50根火柴棒全部用完，則她搭了多少條金魚(yú)？【解答】解：（1）①中火柴棒有根，②中有根，③中有根，按照上面的規(guī)律，擺個(gè)“金魚(yú)”需用火柴棒的根數(shù)為根，當(dāng)時(shí)，需要金魚(yú)根；（2）根據(jù)題意得到：解得：，所以小穎共搭了8條金魚(yú)．13．如圖所示，小王玩游戲：一張紙片，第一次將其撕成四小片，手中共有4張紙片，以后每次都將其中一片撕成更小的四片．如此進(jìn)行下去，當(dāng)小王撕到第次時(shí)，手張共有張紙片．根上述情況：（1）當(dāng)小王撕到第2次時(shí)，手中共有幾張紙片？第3次呢？（2）用含的代數(shù)式表示；（3）當(dāng)小王撕到第幾次時(shí)，他手中共有70張小紙片？【解答】解：（1）從圖中可以看出，當(dāng)小王撕了1次時(shí)，手中有4張紙；當(dāng)小王撕了2次時(shí)，手中有7張紙；可以發(fā)現(xiàn)：小王撕了幾次后，他手中紙的張數(shù)等于3與幾的乘積加1．所以，當(dāng)小王撕了3次時(shí)，手中有張紙．答：當(dāng)小王撕了3次時(shí)，手中有10張紙；（2）由題目中的“每次都將其中片撕成更小的四片”，可知：小王每撕一次，比上一次多增加3張小紙片．；（3）當(dāng)時(shí)，有，．即小王撕紙23次．14．用火柴棒按圖中的方式搭圖形．（1）按圖示規(guī)律填空：圖形標(biāo)號(hào)①②③④三角形個(gè)數(shù)1234火柴棒根數(shù)357（2）按照這種方式搭下去，搭出10個(gè)這樣的三角形需要根火柴棒，搭出個(gè)這樣的三角形需要根火柴棒．【解答】解：搭一個(gè)三角形需3根火柴，搭2個(gè)三角形中間少用1根，需要5根火柴棒，搭3個(gè)三角形中間少用2根，需要7根火柴棒，搭4個(gè)三角形中間少用3根，需要9根火柴棒，搭5個(gè)三角形中間少用5根，需要13根火柴棒；搭個(gè)三角形中間少用根，需要根火柴棒；（1）填表如下：圖形標(biāo)號(hào)①②③④三角形個(gè)數(shù)1234火柴棒根數(shù)3579（2）按照這種方式搭下去，搭出10個(gè)這樣的三角形需要根火柴棒，搭出個(gè)這樣的三角形需要根火柴棒．故答案為：7，9；21，．15．如圖，用白蘿卜等材料做一個(gè)正方體，并把正方體表面涂上顏色．（1）如圖①，正方體有8個(gè)頂點(diǎn)；有條棱；有個(gè)面；（2）如圖②，把正方體的棱三等分，然后沿等分線(xiàn)把正方體切開(kāi)，得到27個(gè)小正方體．觀察其中三面被涂色的有個(gè)，兩面涂色的有個(gè)；一面涂色的有個(gè)；各面都沒(méi)有涂色的有個(gè)．（3）猜想：如果把正方體的棱四等分，然后沿等分線(xiàn)把正方體切開(kāi)，得到64個(gè)小正方體．觀察其中三面被涂成紅色有個(gè)；兩面被涂成紅色有個(gè)；一面被涂成紅色有有個(gè)；各面都沒(méi)有涂色的有個(gè)．【解答】解：（1）如圖①，正方體有8個(gè)頂點(diǎn)；有12條棱；有6個(gè)面；（2）如圖②，把正方體的棱三等分，然后沿等分線(xiàn)把正方體切開(kāi)，得到27個(gè)小正方體．觀察其中三面被涂色的有8個(gè)，兩面涂色的有12個(gè)；一面涂色的有6個(gè)；各面都沒(méi)有涂色的有1個(gè)．（3）猜想：如果把正方體的棱四等分，然后沿等分線(xiàn)把正方體切開(kāi)，得到64個(gè)小正方體．觀察其中三面被涂成紅色有8個(gè)；兩面被涂成紅色有24個(gè)；一面被涂成紅色有有24個(gè)；各面都沒(méi)有涂色的有8個(gè)．故答案為：（1）8，12，6；（2）8，12，6，1；（3）8，24，24，8．16．如圖是一個(gè)形如正六邊形的點(diǎn)陣，它的中心是一個(gè)點(diǎn)，算第一層，第二層每邊有兩個(gè)點(diǎn)，第三層每邊有三個(gè)點(diǎn)，，依此類(lèi)推．（1）填寫(xiě)下表：層數(shù)1234該層對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)161218所有層的總點(diǎn)數(shù)17（2）寫(xiě)出第層所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)；（3）寫(xiě)出層的正六邊形點(diǎn)陣的總點(diǎn)數(shù)；（4）如果點(diǎn)陣中所有層的總點(diǎn)數(shù)為331，請(qǐng)求出它共有幾層？【解答】解：（1）如表：（2）第一層上的點(diǎn)數(shù)為1；第二層上的點(diǎn)數(shù)為；第三層上的點(diǎn)數(shù)為；第四層上的點(diǎn)數(shù)為；；第層上的點(diǎn)數(shù)為．（3）第二層開(kāi)始，每增加一層就增加六個(gè)點(diǎn)，即層六邊形點(diǎn)陣的總點(diǎn)數(shù)為，，，，．第層六邊形的點(diǎn)陣的總點(diǎn)數(shù)為：．（4）令解得：（舍去）或答：共有11層．17．觀察圖回答問(wèn)題：圖中的圓被線(xiàn)段隔開(kāi)分成了四層，則第一層有1個(gè)圓，第二層有3個(gè)圓，第三層有5個(gè)圓，（1）如繼續(xù)畫(huà)下去，第五層有9個(gè)圓，第層應(yīng)畫(huà)個(gè)圓；（2）某一層上有99個(gè)圓，則這是在第層；（3）前三層共有個(gè)圓；前十層共有個(gè)圓；（4）請(qǐng)推算，這種圖前層共有多少個(gè)圓？【解答】解：根據(jù)題意得：（1）第三層有5個(gè)圓，第四層有7個(gè)圓；層應(yīng)該9個(gè)圓，每一層都比其前一層多2個(gè)圓，第層有個(gè)圓；（2）解得：，故50層有99個(gè)圓；（3）前三層共有9個(gè)圓；前十層共有100個(gè)圓；（4）；；；則層的圓的個(gè)數(shù)和是；故答案為：（1）9，；（2）50；（3）9，100．18．火柴棒按圖中所示的方法搭圖形．（1）填寫(xiě)下表三角形個(gè)數(shù)12345火柴棒根數(shù)（2）搭個(gè)這樣的三角形需要多少根火柴棒？【解答】解：（1）3、5、7、9、11；（2）由圖形得到：第一個(gè)圖形要火柴根；第二個(gè)圖形要火柴根；第三個(gè)圖形要火柴根；故第個(gè)圖形要火柴根．19．用牙簽按下圖方式搭圖．（1）根據(jù)上面的圖形，填寫(xiě)下表：圖形編號(hào)①②③④⑤牙簽根數(shù)39183045（2）第個(gè)圖形有多少根牙簽？【解答】解：（1）觀察圖形得：圖①牙簽根數(shù)：，圖②牙簽根數(shù)：，圖③牙簽根數(shù)：，所以，圖④牙簽根數(shù)：，圖⑤牙簽根數(shù)：，故答案為：3，9，18，30，45．（