備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)41、圓的方程

圓的方程李金曼同學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納1、圓的定義點(diǎn)的集合(軌跡)叫圓。2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為（a，b），半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。方程中有三個(gè)參量a、b、r，因此三個(gè)獨(dú)立條件可以確定一個(gè)圓3、圓的一般方程二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（*）配方得：。把方程叫做圓的一般方程其中，半徑是，圓心坐標(biāo)是。（1）圓的一般方程體現(xiàn)了圓方程的代數(shù)特點(diǎn)：x2、y2項(xiàng)系數(shù)且不為。沒(méi)有項(xiàng)。（2）當(dāng)D2+E2－4F=0時(shí)，方程（*）表示點(diǎn)；當(dāng)D2+E2－4F＜0時(shí)，方程（*）不表示任何圖形（3）根據(jù)條件列出關(guān)于D、E、F的三元一次方程組，可確定圓的一般方程4、圓的參數(shù)方程①圓心在O（0，0），半徑為r的圓的參數(shù)方程是：②圓心在點(diǎn)，半徑為的圓的參數(shù)方程是：在①中消去得，在②中消去得，把這兩個(gè)方程相對(duì)于它們各自的參數(shù)方程又叫做普通方程6、經(jīng)過(guò)兩個(gè)圓交點(diǎn)的圓系方程：經(jīng)過(guò)，的交點(diǎn)的圓系方程是：。若，可得兩圓公共弦所在的直線方程7、經(jīng)過(guò)直線與圓交點(diǎn)的圓系方程：經(jīng)過(guò)直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程是：。8、二元二次方程表示圓的充要條件是：。9、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓外。（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓外。（3）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)。一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程例1、圓心在原點(diǎn)的圓的方程為。過(guò)原點(diǎn)的圓的方程為。圓心在軸上的圓的方程為。圓心在軸上的圓的方程為。圓心在軸上，且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程為。圓心在軸上，且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程為。與軸相切的圓的方程為。與軸相切的圓的方程為。與兩坐標(biāo)軸都相切的圓的方程為。例2、圓關(guān)于直線對(duì)稱，則下面不等式成立的是A、B、C、D、二、求圓的方程例3、已知圓的半徑為2，圓心在軸的正半軸上，且與直線相切，則圓的方程是。例4、一圓與y軸相切，圓心在直線x－3y=0上，且直線y=x截圓所得弦長(zhǎng)為2，求此圓的方程。例5、求以為頂點(diǎn)的三角形外接圓的方程。三、與圓有關(guān)和最值問(wèn)題例6、設(shè)為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值是。例7、若，則的最大值是。例8、求過(guò)直線和圓的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程。例9、設(shè)圓滿足：（1）截軸所得弦長(zhǎng)為2；（2）被軸分成兩段弧，其弧長(zhǎng)的比為，在滿足（1）（2）的所有圓中，求圓心到直線的距離最小的圓的方程。四、其它問(wèn)題例5、已知軸右側(cè)一動(dòng)圓與一定圓外切，也與y軸相切，（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡；（2）過(guò)點(diǎn)作直線與軌跡交于兩點(diǎn)，求一點(diǎn)，使得是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形。例6、已知圓的圓心在直線上,并且通過(guò)兩圓和的交點(diǎn),(1)求圓的方程;(2)求兩圓C1和C2相交弦的方程。例8、求圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓方程。例10、已知圓,，若是圓上的動(dòng)點(diǎn)，且，求中點(diǎn)的軌跡方程。練習(xí)．A－1<t<B－1<t<C－<t<1D1<t<2解：由D2+E2－4F>0，得7t2－6t－1<0，即－<t<1答案：C2．點(diǎn)P（5a+1，12a）在圓（x－1）2+y2=1的內(nèi)部，則a的取值范圍是A｜a｜＜1Ba＜C｜a｜＜D｜a｜＜解：點(diǎn)P在圓（x－1）2+y2=1內(nèi)部（5a+1－1）2+（12a）2＜1｜a｜＜答案：D3．已知圓的方程為（x－a）2+（y－b）2=r2（r>0），下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A、當(dāng)a2+b2=r2時(shí)，圓必過(guò)原點(diǎn)B、當(dāng)a=r時(shí)，圓與y軸相切C、當(dāng)b=r時(shí)，圓與x軸相切D、當(dāng)b<r時(shí)，圓與x軸相交解：已知圓的圓心坐標(biāo)為（a，b），半徑為r，當(dāng)b<r時(shí)，圓心到x軸的距離為|b|，只有當(dāng)|b|<r時(shí)，才有圓與x軸相交，而b<r不能保證|b|<r，故D是錯(cuò)誤的故選D答案：D4．圓的圓心和半徑分別是（）A(2,-1),B(2,-1),5C(-2,1),D(-2,1),5答案:A 5．點(diǎn)（1，1）在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是（）A,B,C或D答案:A6．已知直線與圓相切,則三條邊長(zhǎng)分別為的三角形（）A是銳角三角形B是直角三角形C是鈍角三角形D不存在答案:B7．與y2的系數(shù)相同,且不等于零,并且沒(méi)有xy這樣的項(xiàng)是二元二次方程表示圓的（）A必要條件B充分條件C充分且必要條件D既不充分也不必要條件答案:A8．方程表示一個(gè)圓，則m的取值范圍是（）ABCD答案:C9．已知圓心為點(diǎn)（2，-3），一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)恰好落在兩個(gè)坐標(biāo)軸上，則這個(gè)圓的方程是（）A．BCD答案:D10．圓的圓心在x軸上，半徑r=2，且D>E，則D=（）ABC1D2答案:D11．M（3，0）是圓內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)最長(zhǎng)的弦所在的直線方程是（）ABCD答案:B12．過(guò)點(diǎn)和，圓心在軸上的圓的方程是______答案:（x-2）2+y2=1013．方程表示的曲線是___________答案：兩個(gè)半圓14．已知圓C的圓心在直線上，與直線相切，且截直線所得弦長(zhǎng)為6，則圓C的方程：_____（答案：）15．過(guò)點(diǎn)和且和直線相切的圓方程為_(kāi)________答案:（x-3）2+（y-6）2=80或（x+7）2+（y-6）2=8016．圓上到直線的距離等于1的點(diǎn)有_____個(gè)答案:217．已知是圓的弦，且，則的中點(diǎn)的軌跡方程是____________答案:x2+y2=1618．圓關(guān)于點(diǎn)（1，1）的對(duì)稱圓方程是______答案:（x-4）2+（y+4）2=40-3q19．圓關(guān)于y軸對(duì)稱的圓的方程是_____答案:．，則的坐標(biāo)為_(kāi)___解：由向量平移公式即得=（－1，2）答案：（－1，2）21．已知為圓內(nèi)一定點(diǎn)，過(guò)作兩條互相垂直的任意弦交圓于點(diǎn)，則中點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)___________解：Rt△OMC中，|MP|=|BC|（直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半）故所求軌跡方程為x2+y2－x－2y－2=0答案：x2+y2－x－2y－2=022．已知直線與軸和軸分別交于，求以線段為直徑的圓的方程答案:（x+1）2+（y-2）2=523直線與曲線有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解：直