28.1 銳角三角函數(shù)

第頁一、選擇題1.（2018·綿陽，10，3分）一艘在南北航線上的測量船，于A點(diǎn)處測得海島B在點(diǎn)A的南偏東30°的方向，繼續(xù)向南航行30海里到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，測得海島B在C點(diǎn)的北偏東15°方向，那么海島B離此航線的最近距離是（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）（參考數(shù)據(jù)：3≈1A．4.64海里 B．5.49海里 C．6.12海里 D．6.21海里答案：B，解析：根據(jù)題意，作出如下的方位圖，∠BAC＝30°，∠BCA＝15°，AC＝30海里．過點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為E，作BC的垂直平分線交AC于D點(diǎn)．所以DB＝DC，∠BDE＝30°．設(shè)BE＝x，則AE＝DE＝3x，CD＝BD＝2x，根據(jù)AC＝30可得：23x＋2x＝30，解得：x＝1532．（2018·金華市，8，3分）如圖，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得∠ABC=α,∠ADC=β,則竹竿AB與AD的長度之比為（▲）A.B.C.D.BBADCEFαβ答案．B，解析：根據(jù)直角三角形中邊與角的關(guān)系即可推出答案.在Rt△ABC中，AB=；在在Rt△ADC中，AD=,所以==.3．（2018·棗莊市，11，3）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，AE⊥BD，垂足為F，則tan∠BDE的值為 （）A． B． C． D．答案：A，解析：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△ADF∽△EBF，∴．∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AD=BC，∴．設(shè)EF=x，則AF=2x，在Rt△ABE中，可得．∵，∴．在Rt△DEF中，．故選A．4．（2018·重慶B卷，9，4）如圖，AB是一垂直于水平面的建筑物．某同學(xué)從建筑物底端B出發(fā)，先沿水平方向向右行走20米到達(dá)點(diǎn)C，再經(jīng)過一段坡度（或坡比）為i＝1﹕0.75、坡長為10米的斜坡CD到達(dá)點(diǎn)D，然后再沿水平方向向右行走40米到達(dá)點(diǎn)E（A，B，C，D，E均在同一平面內(nèi)）．在E處測得建筑物頂端A的仰角為24°，則建筑物AB的高度約為（參考數(shù)據(jù)：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）（）A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米9題圖9題圖【答案】A．【解析】過點(diǎn)C作CN⊥DE于點(diǎn)N，延長AB交ED的延長線于點(diǎn)M，則BM⊥DE于點(diǎn)M，則MN＝BC＝20米．∵斜坡CD的坡比i＝1﹕0.75，∴令CN＝x，則DN＝0.75x．在Rt△CDN中，由勾股定理，得x2＋(0.75x)2＝102，解得x＝8，從而CN＝8米，DN＝6米．∵DE＝40米，∴ME＝MN＋ND＋DE＝66米，AM＝(AB＋8)米．在Rt△AME中，tanE＝，即，從而0.45＝，解得AB＝21.7，故選A．【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形坡度5．（2018?無錫市，9，3）如圖，已知點(diǎn)E是矩形ABCD的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，正方形EFGH的頂點(diǎn)G、H都在邊AD上，若AB=3，BC=4，則tan∠AFE的值 （）A.等于 B.等于 C.等于 D.隨點(diǎn)E位置的變化而變化第9題圖A，解析：∵EF∥AD，∴∠AFE=∠FAG，∵EH⊥AD，CD⊥AD，∴∠AHE=∠ADC=90°，又∠HAE=∠DAC，∴△AEH∽△ACD，∴，∴=，設(shè)EH=3x,AH=4x，∴HG=GF=3x，∴tan∠AFE=tan∠FAG=，故選A.6.（2018·山東淄博，6，4分）一輛小車沿著如圖所示的斜坡向上行了100米，其鉛直高度上升了15米.在用科學(xué)計(jì)算器求坡角α的度數(shù)時(shí)，具體按鍵順序是（

答案：A解析：由題意，sinα=，所以選A.7．（2018·婁底市，11，3分）如圖（3），由四個(gè)全等的直角三角形圍成的大正方形的面積是169，小正方形的面積是49，則sinα﹣cosα= A．EQ\f(5,13) B．﹣EQ\f(5,13) C．EQ\f(7,13)D．﹣EQ\f(7,13)圖(3)D，解析：標(biāo)注字母，求出大正方形和小正方形的邊長，再利用勾股定理列式求出AC，然后根據(jù)銳角的正弦等于對(duì)邊比斜邊列式即可．解：∵小正方形面積為49，大正方形面積為169，∴小正方形的邊長是7，大正方形的邊長是13，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即AC2+（7+AC）2=132，整理得，AC2+7AC﹣60=0，解得AC=5，AC=﹣12（舍去），在Rt△ABC中，AC=5，BC=12,AB=13,sinα﹣cosβ=EQ\f(5,13)﹣EQ\f(12,13)=﹣EQ\f(7,13)．8．（2018·山東濰坊，6，3分）如圖，木工師傅在板材邊角處作直角時(shí)，往往使用“三弧法”，其作法是：（1）作線段AB，分別以A，B為圓心，以AB長為半徑作弧，兩弧的交點(diǎn)為C；（2）以C為圓心，仍以AB長為半徑作弧交AC的延長線于點(diǎn)D；（3）連接BD，BC．下列說法不正確的是（）A．∠CBD＝30°B．S△BDC＝AB2C．點(diǎn)C是△ABD的外心D．sin2A＋cos2D＝1D，解析：由作法可知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)A，B，D在以點(diǎn)C為圓心的圓上，AD為直徑，∴∠ABD＝90°，又∠A＝60°，∴∠D＝30°，∴∠CBD＝∠D＝30°．在Rt△ABD中，BD＝AB·tan60°＝AB，∴S△ABD＝AB·BD＝AB·AB＝AB2，∴S△BDC＝S△ABD＝AB2．sin2A＋cos2D＝sin260°＋cos230°＝()2＋()2＝，故A、B、C正確，D錯(cuò)誤．9．（2018·山東濰坊，12，3分）如圖，菱形ABCD的邊長是4厘米，∠B=60°，動(dòng)點(diǎn)P以1厘米/秒的速度自A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)停止，動(dòng)點(diǎn)Q以2厘米/秒的速度自B點(diǎn)出發(fā)沿折線BCD運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)停止．若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)了t秒，記△BPQ的面積為S厘米2，下面圖象中能表示S與t之間的函數(shù)關(guān)系的是（）D，解析：當(dāng)0≤t≤2時(shí)，設(shè)邊BQ上的高為h，則h=sin60°·BP=(4－t)，此時(shí)S=BQ·h=×2t·(4－t)=－t2+2t，其圖象是開口向下的拋物線的一部分；當(dāng)2＜t≤4時(shí)，點(diǎn)Q在邊CD上，BP邊上的高即為菱形的高，為4·sin60°=2，此時(shí)S=(4－t)·2=－t+4，其圖象是一條線段，且S隨t的增大而減?。C上可知，只有選項(xiàng)D符合題意．10．（2018·天津市，2，3分）cos30°的值等于（）A.B.C.1D.答案．B，解析：cos30°=.11．（2018·黃岡市，2，3分）下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（）A．3a3·2a2＝6a6 B．（－2a）2＝－4a2C．tan45°＝ D．cos30°＝D，解析：3a3·2a2＝6a5；（－2a）2＝4a2；tan45°＝1；cos30°＝．故選D．12.（2018·廣東省，10，3分）如圖，點(diǎn)是菱形ABCD邊上的一動(dòng)點(diǎn)，它從點(diǎn)A出發(fā)沿路徑勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，設(shè)△的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致為（）答案.B解析：當(dāng)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過P作PE⊥CA，交CA的延長線于E因?yàn)镻的運(yùn)動(dòng)速度相同，所以設(shè)P的運(yùn)動(dòng)速度為v，則AP＝vx，在Rt△AEP中PE＝∵AC、、v都是定值∴y是x成正比例函數(shù)ABABCDP當(dāng)P在BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)因?yàn)樗倪呅蜛BCE是菱形，所以BD與AC間的距離處處相等∴△ACP的面積不變由此排除A故答案選B13．（2018·宜昌市，14，3）如圖，要測量小河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)P、A的距離，可以在小河邊取PA的垂線PB上一點(diǎn)C，測得PC＝100米，∠PCA＝35°，則小河寬PA等于（）A．100sin35° B．100sin55° C．100tan35° D．100tan55°答案：C解析：在Rt△PCA中，∠APC＝90°，tan∠PCA＝，得到PA＝PC·tan∠PCA＝100tan35°．二、填空題1.（2018濱州，15，5分）在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，則sinB＝__________．15．，解析：根據(jù)tanA＝可設(shè)b＝1，則a＝2，c＝，所以sinB＝＝.2.（2018·濟(jì)寧，14，3分）如圖，在一筆直的海岸線上有相距2km的A、B兩個(gè)觀測站，B站在A站的正東方向上，從A站測得船C在北偏東60°的方向上，從B站測得船C在北偏東30°的方向上，則船C到海岸線的距離是________km．（第（第14題圖）答案：km．解析：如答圖所示．過點(diǎn)C作CH⊥，垂足為點(diǎn)H．由題意得∠ACH＝60°，∠CBH＝60°，∠BCH＝30°．設(shè)CH＝．在Rt△ACH中，AH＝CH·tan∠ACH＝·tan60°＝．在Rt△BCH中，BH＝CH·tan∠BCH＝·tan30°＝．因?yàn)锳H－BH＝AB，所以＝2，解得＝，即船C到海岸線的距離是km．（第（第14題圖）3．（2018·德州，16，4）如圖，在4×4的正方形方格中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則∠BAC的正弦值是．答案．，解析：由勾股定理可得，AB2＝32＋42＝25，BC2＝12＋22＝5，AC2＝22＋42＝20，∴AB2＝BC2＋AC2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠ACB＝＝＝4．（2018·山東泰安，15，3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，將矩形ABCD沿BE折疊，點(diǎn)A落在A′處，若EA′的延長線恰好過點(diǎn)C，則sin∠ABE的值為．AAEDBCA′答案．解析：由折疊知∠BA′E=∠A=90°，AE=A′E，A′B=AB=6，故在Rt△A′BC中，由勾股定理，得A′C===8，設(shè)AE=A′E=x，則CE=x+8，DE=10－x，在Rt△CDE中，由勾股定理，得(x+8)2=62+(10－x)2，解得x=2．(或由Rt△CDE∽R(shí)t△BCA′求得DE長，進(jìn)而得AE的長．)在Rt△ABE中，BE==2．所以sin∠ABE===．5．（2018眉山市，17，3分）如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這答案2，解析：如圖所示，連接AE、BE，易證CD∥BE，∴∠AOD＝∠ABE，顯然△ABE是直角三角形，∴tan∠AOD＝tan∠ABE＝．6．（2018?棗莊市，14，4）如圖，某商店?duì)I業(yè)大廳自動(dòng)扶梯AB的傾斜角為31°，AB的長為12米，求大廳兩層之間的高度為米．第14題圖【參考數(shù)據(jù)：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】答案：6.2，解析：B作地平面的垂線段BC，垂足為C．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∴BC=AB?sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米）．即大廳兩層之間的高度約為6.2米．7．（2018·揚(yáng)州市，17，3分）如圖，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），把矩形OABC沿OB折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．第17第17題圖第17題答圖．（，），解析：設(shè)BD與OA相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥OA于點(diǎn)F．由折疊可知∠CBO＝∠DBO，由矩形OABC可知OA∥CB，∴∠BOA＝∠CBO，∴∠DBO＝∠BOA，∴OE＝BE；在Rt△ABE中，BE＋AE＝OE＋AE＝OA＝8，由勾股定理可解出BE＝5＝OE，AE＝3；由題意易知∠ABE＝∠DOE，在Rt△ODF中，OF＝OD×cos∠DOE＝4×cos∠ABE＝4×＝，DF＝OD×sin∠DOE＝4×sin∠ABE＝4×＝；∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）．8．（2018?無錫市，17，2）已知△ABC中，AB=10，AC=，∠B=30°，則△ABC的面積等于．答案：或，解析：當(dāng)∠C為銳角時(shí)，如圖①，過A作AD⊥CB，垂足為D，∵∠B=30°，∴AD=AB=5，BD=5，∵∠ADC=90°，∴CD=，∴BC=BD+CD=，S△ABC=AD×BC=×5×=；當(dāng)∠C為鈍角時(shí)，如圖②，過A作AD⊥CB，垂足為D，∵∠B=30°，∴AD=AB=5，BD=5，∵∠ADC=90°，∴CD=，∴BC=BD-CD=，S△ABC=AD×BC=×5×=，綜上，△ABC的面積等于或．①②第17題答圖9.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,CB=2,點(diǎn)E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，將△CBE沿CE折疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處，下列結(jié)論正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）①當(dāng)E為線段AB中點(diǎn)時(shí)，AF∥CE;②當(dāng)E為線段AB中點(diǎn)時(shí)，AF=eq\f(9,5);③當(dāng)A、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，AE=eq\f(13–2eq\r(\s\do1(),13),3);④當(dāng)A、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，△CEF≌△AEF，答案：①②③，解析：如圖，連接BF，交CE于G點(diǎn)，易知BG=FG，∵BE=AE，∴EG是△ABF的中位線，∴AF∥CE，故①正確；由①知，AF=2EG，在Rt△CBE中，CB=2，BE=，∴EC=，在Rt△BEG、Rt△CBE中，cos∠BEG=，cos∠BEC=，∴，∴EG=，AF=2EG=，故②正確；由折疊知，EF=BE，BC=BF=2,∠B=∠CFE=90°，設(shè)AE=x，當(dāng)A、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，BE=3-x，∴EF=BE=3-x，在Rt△ABC中，AC=，∴AF=，在Rt△AEF中，，即，解得：x=eq\f(13–2eq\r(\s\do1(),13),3)，故③正確；∵AF≠CF，AE≠CE，∴△CEF與△AEF不全等，故④錯(cuò)誤.10．(2018·株洲市，17，3分)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=90°，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，2)，將該三角形沿x軸向右平移得到Rt△O′A′B′，此時(shí)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(2，2)，則線段OA在平移過程中掃過部分的圖形面積為____________．4，解析：在Rt△OAB中，OA=OB·cos45°=2×=2，過A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，則AC==OA·sin45°=2×=，由題意可知，線段OA在平移過程中掃過部分的圖形為平行四邊形OAA′O′，AA′=2，其面積為AA′×AC=2×=4．11．（2018·山東濰坊，18，3分）如圖，一艘漁船正以60海里/小時(shí)的速度向正東方向航行，在A處測得島礁P在東北方向上，繼續(xù)航行1.5小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)測得島礁P在北偏東30°方向，同時(shí)測得島礁P正東方向上的避風(fēng)港M在北偏東60°方向．為了在臺(tái)風(fēng)到來之前用最短時(shí)間到達(dá)M處，漁船立刻加速以75海里/小時(shí)的速度繼續(xù)航行小時(shí)即可到達(dá)．(結(jié)果保留根號(hào))AABPM避風(fēng)港東北，解析：作PC⊥AB于點(diǎn)C，MD⊥AB于點(diǎn)D．由題意，得∠PAB=45°，∠PBC=60°，∠PBM=60°－30°=30°，∴∠MBD=30°．AB=1.5×60=90(海里)．設(shè)AC=PC=MD=x海里，則BC=(x－90)海里．在Rt△BPC中，tan60°=Rt△DAH，則，解得x=45(+1)，∴BM=2MD=90(+1)海里．90(+1)÷75=(小時(shí))．CCDABPM避風(fēng)港東北12.（2018·廣州市，12，3）如圖6，旗桿高AB＝8m，某一時(shí)刻，旗桿影子長AB＝16m，則tanC＝.圖6圖6答案：，解析：由銳角三角函數(shù)正切的定義可知，在直角三角形中，銳角C的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠C的正切，所以tanC＝＝．三、解答題1.．(2018·自貢，22，8分)如圖，在△ABC中，BC＝12，tanA＝，∠B＝30°，求AC和AB的長．思路分析：由已知條件可看出，這個(gè)三角形是確定的三角形，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則得到兩個(gè)直角三角形：△ADC和△BDC，它們都是特殊的直角三角形，可用勾股定理、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)來求解．解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，在Rt△BCD中，∵∠B＝30゜，BC＝12，∴CD＝BC＝6，BD＝BC＝6，在Rt△ACD中，∵tanA＝，∴AD＝8，∴，∴AB＝AD＋BD＝8＋6.2．（2018·德州，21，10）如圖，兩座建筑物的水平距離BC為60m，從C點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角α為53°，從A點(diǎn)測得D點(diǎn)的俯角β為37°．求兩座建筑物的高度（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．思路分析：在Rt△ABC中，已知∠ACB＝53°，BC＝60，用正切函數(shù)可以求出物高AB；過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，在Rt△AED中，已知∠ADE＝∠β＝37°，DE＝BC＝60，用正切函數(shù)可以求出AE的長，進(jìn)而求出物高CD．解答過程：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝α＝53°，BC＝60，∴AB＝BC·tanα＝60×tan53°≈60×＝80；過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，由平行線性質(zhì)，得∠ADE＝∠β＝37°，易得，四邊形BCDE是矩形，∴DE＝BC＝60，∴AE＝BC·tanβ＝60×tan37°≈60×＝45，∴CD＝BE＝AB－AE≈80－45＝35(m)．答：兩座建筑物AB與CD的高度分別是80m，35m．3．(2018安徽，19，10分)為了測量豎直旗桿AB的高度，某綜合實(shí)踐小組在地面D處豎直放置標(biāo)桿CD，并在地面上水平放置一個(gè)平面鏡E，使得B，E，D在同一水平線上，如圖所示．該小組在標(biāo)桿的F處通過平面鏡E恰好觀測到旗桿頂A(此時(shí)∠AEB＝∠FED)，在F處測得旗桿頂點(diǎn)A的仰角為39．3°，平面鏡E的俯角為45°，F(xiàn)D＝1.8米，問旗桿AB的高度約有多少米？(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02)思路分析：設(shè)AB＝x，根據(jù)題意可得DF＝DE＝1．8，BE＝AB＝x，過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，在Rt△AFG中根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系建立方程求解．也可以先證△AEF是直角三角形，用勾股定理求得EF，用含x的式子表示AE，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系求解．解答過程：方法一：根據(jù)題意∠DEF＝∠DFE＝45°，∵∠AEB＝∠FED，∴∠AEB＝∠EAB＝45°，設(shè)AB＝x，∴AB＝BE＝x，過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，在Rt△AFG中，AG＝x－1．8，F(xiàn)G＝x＋1．8，∵tan39．3°＝，∴0．82＝，解得x≈18(米)．方法二：根據(jù)題意∠DEF＝∠DFE＝45°，∵∠AEB＝∠FED，∴∠AEB＝∠EAB＝45°，∴∠FEA＝90°，設(shè)AB＝x，在Rt△AFE中，EF＝1.8，AE＝x，∵tan84.3°＝，∴10.02＝，解得x≈18(米)．4.．（2018眉山市，22，8分）知識(shí)改變世界，科技改變生活。導(dǎo)航裝備的不斷更新極大方便了人們的出行．如圖，某校組織學(xué)生乘車到黑龍灘（用C表示）開展社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，車到達(dá)A地后，發(fā)現(xiàn)C地恰好在A地的正北方向，且距離A地13千米，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏東60°方向行駛至B地，再沿北偏西37°方向行駛一段距離才能到達(dá)C地，求B、C兩地的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈)思路分析：本題考查銳角三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是通過作高將原三角形分割成兩個(gè)直角三角形，設(shè)線段的長，運(yùn)用三角函數(shù)表示出其余各邊的長，最后列方程解決問題．解答過程：過B作BD⊥AC，垂足為D，設(shè)AD＝x，在Rt△ABD中，tan∠A＝，即：∴BD＝，在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，即：，∴CD＝，＋x＝13，解方程得：x＝．∴BD＝12－，在Rt△BCD中，cos∠CBD＝，即：，∴BC＝．答：B、C兩地的距離為（）千米．5.．（2018·達(dá)州市，20，6分）在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們到附近的濕地公園測量園內(nèi)雕塑的高度.用測角儀在A處測得雕塑頂端點(diǎn)C的仰角為30°，再往雕塑方向前進(jìn)4米至B處，測得仰角為45°.問：該雕塑有多高？（測角儀高度忽略不計(jì)，結(jié)果不取近似值.）第20題圖思路分析：認(rèn)真審題，找出題中的等量關(guān)系，應(yīng)用銳角三角函數(shù)構(gòu)建關(guān)于x方程，解方程可得答案.解答過程：解：如圖，設(shè)雕塑的高CD為x米．在Rt△ACD中，AD＝，在Rt△BCD中，BD＝＝x，根據(jù)題意，得AD－BD＝4，即－x＝4．解得x＝2＋2．答：雕塑的高CD為（2＋2）米．6.(2018·瀘州，22，8分)如圖8，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距離AB為90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，從E(A，E，B在同一水平線上)點(diǎn)測得D點(diǎn)的仰角為30°，測得C點(diǎn)的仰角為60°，求這兩座建筑物頂端C、D間的距離(計(jì)算結(jié)果用根號(hào)表示，不取近似值)．圖8思路分析：已知乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，可設(shè)AD＝xm，則BC＝6xm．在Rt△ADE和Rt△BCE中利用銳角三角函數(shù)求得AE和BE，根據(jù)“AE＋BE＝AB”列方程可求出x的值；進(jìn)而求得DE和EC，易知∠DEC＝90°，故可根據(jù)勾股定理求得DC，問題得解．解答過程：設(shè)AD＝xm，則BC＝6xm．在Rt△ADE中，∵∠AED＝30°，∴AE＝，DE＝2AD＝2x；在Rt△BCE中，∵∠BEC＝60°，∴BE＝，EC＝2BE＝4x；∵AE＋BE＝AB，∴90，解得x＝10．∴DE＝20，EC＝120．在Rt△DEC中，∠DEC＝180°－30°－60°＝90°，DE＝2x＝20，EC＝4x＝120，根據(jù)勾股定理，得CD＝．答：這兩座建筑物頂端C、D間的距離為m．7.．（2018·舟山市，22，10）如圖1，滑動(dòng)調(diào)節(jié)式遮陽傘的立柱AC垂直于地面AB，P為立柱上的滑動(dòng)調(diào)節(jié)點(diǎn)，傘體的截面示意圖為△PDE，F(xiàn)為PD中點(diǎn)，AC＝2.8m，PD＝2m，CF＝1m，∠DPE＝20°．當(dāng)點(diǎn)P位于初始位置P0時(shí)，點(diǎn)D與C重合（圖2）．根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)太陽光線與PE垂直時(shí)，遮陽效果最佳．（1）上午10:00時(shí)，太陽光線與地面的夾角為60°（圖3），為使遮陽效果最佳，點(diǎn)P需從P0上調(diào)多少距離？（結(jié)果精確到0.1m）（2）中午12:00時(shí)，太陽光線與地面垂直（圖4），為使遮陽效果最佳，點(diǎn)P在（1）的基礎(chǔ)上還需上調(diào)多少距離？（結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）圖1圖2圖3圖4思路分析：（1）已知CP0，只要求出圖3中的CP長即可，故只需解△CPF；（2）解出圖4中的CP的長，過點(diǎn)F作FG⊥CP；解：（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P位于初始位置P0時(shí)，CP0＝2m．如圖3，10:00時(shí)，太陽光線與地面的夾角為65°，點(diǎn)P上調(diào)至P1處，∠1＝90°，∠CAB＝90°，∴∠AP1E＝115°，∴∠CP1E＝65°，∵∠DP1E＝20°，∠CP1F＝45°，∵CF＝P1F＝1m，∴∠C＝∠CP1F＝45°∴△CP1F為等腰直角三角形，∴CP1＝m，∴P0P1＝CP0－CP1＝2－≈0.6m即點(diǎn)需P從P0上調(diào)0.6m．（2）如圖4，中午12:00時(shí)，太陽光線與PE，地面都垂直，點(diǎn)P上調(diào)至P2處，∴P2E∥AB∵∠CAB＝90°，∴∠CP2E＝90°∵∠DP2E＝20°∴∠CP2F＝∠CP2E－∠DP2E＝70°∵CF＝P2F＝1m，得△CP2F為等腰三角形，∴∠C＝∠CP2F＝70°過點(diǎn)F作FG⊥CP2于點(diǎn)G∴GP2＝P2F·cos70°＝1×0.34＝0.34m∴CP2＝2GP2＝0.68m∴P1P2＝CP1－CP2＝－0.68≈0.7m即點(diǎn)P在（1）的基礎(chǔ)上還需上調(diào)0.7m．22題圖222題圖322題圖48．(2018·廣安，23，8分)據(jù)調(diào)查：超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一．小明用所學(xué)知識(shí)對(duì)一條筆直公路上車輛進(jìn)行測速，如圖10所示，觀測點(diǎn)C到公路的距離CD＝200m，檢測路段的起點(diǎn)A位于點(diǎn)C的南偏東60°方向上，終點(diǎn)B位于點(diǎn)C的南偏東45°方向上．一輛轎車由東向西勻速行駛，測得此車由A處行駛到B處時(shí)的時(shí)間為10s，問此車是否超過了該路段10m/s的限制速度？(觀測點(diǎn)C離地面的距離忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73)北北東BDCA圖10思路分析：解直角三角形求出AB的長，從而求出實(shí)際車速，與限速比較即可知該車是否超速．解：依題意可知，CD＝200，∠DCB＝45°，∠DCA＝60°．∴BD＝CD＝200．在Rt△ACD中，AD＝CD·tan∠DCA＝200．∴AB＝200－200＝200×(－1)≈146．∴實(shí)際車速＝146÷10＝14.6．∵14.6＞10，∴此車超過了該路段10m/s的限制速度．9．(2018·臨沂市，22，7分)如圖，有一個(gè)三角形的鋼架ABC，∠A＝30°，∠C＝45°，AC＝2(＋1)m.請(qǐng)計(jì)算說明，工人師傅搬運(yùn)此鋼架能否通過一個(gè)直徑為2.1m的圓形門?第22題圖思路分析：過B作BD⊥AC于點(diǎn)D，將△ABC轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形，利用解直角三角形的知識(shí)求出BD.然后把求得的BD的長與直徑2.1m比較大小即可作出判斷.解答過程：過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D.在Rt△ABD中，∠ABD＝90°－∠A＝60°，則AD＝tan∠ABD×BD＝BD；在Rt△BCD中，∠C＝45°，∴CD＝BD.∴AC＝AD＋CD＝BD＋BD＝(＋1)BD＝2(＋1)，解得：BD＝2(m)＜2.1m.故工人師傅搬運(yùn)此鋼架能通過這個(gè)直徑為2.1m的圓形門.10．(2018·常德，22，7分)圖8是一商場的推拉門，已知門的寬度AD＝2米，且兩扇(門的大小相同(即AB＝CD)將左邊的門ABB1A繞門軸AA1向里面轉(zhuǎn)37°，將右邊的門CDD1C1繞門軸DD1向外面旋轉(zhuǎn)45°，其示意圖如圖9，求此時(shí)B與C之間的距離(結(jié)果保一位小數(shù))．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0．6，cos37°≈0．8，≈1．4)思路分析：作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，CG⊥BE交BE延長線于G，構(gòu)造矩形，直角三角形，利用三角函數(shù)、勾股定理求解．解答過程：作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，CG⊥BE交BE延長線于G，因?yàn)锳D＝2米，所以AB＝CD＝＝2，因?yàn)閟inA＝，所以BE＝sin37°×1≈0．6，cosA＝，所以AE＝cos37°×1≈0．8，cosD＝，所以DF＝cos45°×1＝×1≈0．7，所以BG＝BE＋EG＝BE＋CF＝1．3，GC＝GE＝AD－AE－DF＝2－0．8－0．7＝0．5．由勾股定理得BC＝＝＝1．3m．答：B與C之間的距離約是1．3m．11.（2018·成都，18，8分）由我國完全自主設(shè)計(jì)、自主建造的首艘國產(chǎn)航母于2018年5月成功完成第一次海上實(shí)驗(yàn)任務(wù).如圖，航母由西向東航行，到達(dá)A處時(shí)，測得小島C位于它的北偏東70°方向，且與航母相距80海里，再航行一段時(shí)間后到達(dá)B處，測得小島C位于它的北偏東37°方向.如果航母繼續(xù)航行至小島C的正南方向的D處，求還需航行的距離BD的長.(參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)思路分析：先由在Rt△ADC中，根據(jù)cos∠ACD=，求得CD的長，再由在Rt△BDC中，根據(jù)tan∠BCD=，求得BD的長.解：由題意可知：∠ACD=70°，∠BCD=37°，AC=80.在Rt△ADC中，cos∠ACD=，∴CD=ACcos∠ACD=80×cos70°=80×0.34=27.2(海里).在Rt△BDC中，tan∠BCD=，∴BD=CDtan∠BCD=27.2×tan37°=27.2×0.75=20.4（海里）.答：還需航行的距離BD的長為20.4海里.12．（2018·揚(yáng)州市，27，12分）問題呈現(xiàn)如圖1，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點(diǎn)D、N和E、C，DN和EC相交于點(diǎn)P，求tan∠CPN的值．方法歸納求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出（或構(gòu)造出）一個(gè)直角三角形．觀察發(fā)現(xiàn)問題中∠CPN不在直角三角形中，我們常常利用網(wǎng)格畫平行線等方法解決此類問題，比如連接格點(diǎn)M、N，可得MN∥EC，則∠DNM＝∠CPN，連接DM，那么∠CPN就變換到Rt△DMN中．問題解決（1）直接寫出圖1中tan∠CPN的值為；（2）如圖2，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，AN與CM相交于點(diǎn)P，求cos∠CPN的值；思維拓展（3）如圖3，AB⊥BC，AB＝4BC，點(diǎn)M在AB上，且AM＝BC，延長CB到N，使BN＝2BC，連接AN交CM的延長線于點(diǎn)P，用上述方法構(gòu)造網(wǎng)格求∠CPN的度數(shù)．圖1圖2圖1圖2圖3思路分析：（1）由題意可知∠CPN＝∠MND，故tan∠CPN＝tan∠MND＝＝2；（2）根據(jù)“方法歸納”，作AN或MC的平行線，通過等角轉(zhuǎn)換，在一個(gè)直角三角形中求cos∠CPN的值；（3）根據(jù)以上的解題經(jīng)驗(yàn)，以BC的長為1個(gè)單位長度，構(gòu)造出一個(gè)網(wǎng)格圖，作CM或AN的平行線，可求出∠CPN的度數(shù)．解答過程：（1）2；（2）連接格點(diǎn)A、B，可得AB∥MC，連接BN，∴∠CPN＝∠BAN，在Rt△ABN中，AB＝BN＝，AN＝，∴cos∠CPN＝cos∠BAN＝＝＝；（3）設(shè)BC的長為單位1，構(gòu)造如圖所示的網(wǎng)格圖，連接格點(diǎn)AD，可得AD∥CM，連接DN∴∠CPN＝∠DAN在Rt△ADN中，AD＝DN＝，AN＝，∴cos∠CPN＝cos∠DAN＝＝＝∴銳角∠DAN＝∠CPN＝45°．第27題答圖1-1第27題答圖1-1第27題答圖1-2第27題答圖213．（2018浙江臺(tái)州，19，8）圖1是一輛吊車的實(shí)物圖，圖2是其工作示意圖，AC是可以伸縮的起重臂，其轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)A離地面的高度AH為3.4m.當(dāng)起重臂AC長度為9m.張角HAC為時(shí)，求操作平臺(tái)C離地面的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位；參考數(shù)據(jù)：，，）（第19題）思路分析：首先分析圖形：根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形△ACF，再利用邊AC求得CF，再根據(jù)CE=EF+CF計(jì)算即可求出答案．解答過程：解：如圖，作CE⊥BD，AF⊥CE，垂足分別為E、F，由題意得，CF==9×0.47=4.23，EF=AH=9，∴CE=CF+EF=9+4.23=13.2313.2（m）.答：平臺(tái)C離地面的高度為13.2m.14．(宜賓市2018)(本小題8分)(注意：在試題卷上作答無效)某游樂場一轉(zhuǎn)角滑梯如圖所示，滑梯立柱AB、CD均垂直于地面，點(diǎn)E在線段BD上，在C點(diǎn)測得點(diǎn)A的仰角為30°,點(diǎn)E的俯角也為30°，測得B、E間距離為10米，立柱AB高30米.求立柱CD的高（結(jié)果保留根號(hào)）.思路分析：(1)在Rt△CED中，根據(jù)tan∠CED=求出DC的值；(2)①通過作“CF⊥AB”構(gòu)造Rt△AFC；②在Rt△AFC中，根據(jù)tan∠ACF=求出AF；③由此列出方程求得DE，進(jìn)而可得CD的高度．解：如圖，作CF⊥AF，垂足為F，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴四邊形CDBF是矩形，∴CF=BD，CD=BF，∠ECF=∠CED=30°，設(shè)DE=，∴BD=BE+DE=10+，∴CF=10+.在Rt△CDE中，tan∠CED=，∴CD=xtan30°；在Rt△ACF中，tan∠ACF=，∴AF=(10+x)tan30°；∵AB=30，∴AF+BF=AF+CD=30，即xtan30°+(10+x)tan30°=30，解得：=，∴CD=xtan30°=.15．（2018江蘇宿遷，25，10分）（本小題滿分10分）如圖，為了測量山坡上一棵樹PQ的高度，小明在點(diǎn)A處利用測角儀測得樹頂P的仰角為45°，然后他沿著正對(duì)樹PQ的方向前進(jìn)10m達(dá)到點(diǎn)B處，此時(shí)測得樹頂P和樹底Q的仰角分別是60°和30°，設(shè)PQ垂直于AB，且垂足為C．（1）求∠BPQ的度數(shù)；（2）求樹PQ的高度（結(jié)果精確到0.1m，）．思路分析：（1）延長PQ交直線AB于點(diǎn)C，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得即可；（2）設(shè)QB=x米，在直角△APC和直角△BPC中，根據(jù)三角函數(shù)利用x表示出AC和BC，根據(jù)AB=AC－BC即可列出方程求得x的值，再在直角△BQC中利用三角函數(shù)求得QC的長，則PQ的長度即可求解．．解：延長PQ交AB于點(diǎn)C，如右圖所示，（1）∵從B點(diǎn)，測得桿頂端點(diǎn)P和桿底端點(diǎn)Q的仰角分別是60°和30°，∴∠BPQ=90°－60°=30°，即∠BPQ的度數(shù)是30°；（2）設(shè)BQ=x，∵∠BPQ=30°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，∴∠PBQ=30°，∴PQ=BQ=x，∵∠QCB=90°，∠QBC=30°，∴BC=，QC=x，∴PC=PQ+QC=x＋x=x，∵∠PAC=45°，∠PCA=90°，∴PC=AC，∴AC=x，∵AB=10，BC=，∴10＋x=x，解得，x=≈15.8，即該電線桿PQ的高度是15.8米．16.隨著中國經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展以及科技水平的飛速提高，中國高鐵正迅速崛起.高鐵大大縮短了時(shí)空距離，改變了人們的出行方式.如圖，，兩地被大山阻隔，由地到地需要繞行地，若打通穿山隧道，建成，兩地的直達(dá)高鐵，可以縮短從地到地的路程.已知：，，公里，求隧道打通后與打通前相比，從地到地的路程將約縮短多少公里？（參考數(shù)據(jù)：，）【思路分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，根據(jù)AC=640km，∠CAB=30°，求出CD、AD，根據(jù)∠CBA=45°，求出BD、BC，最后根據(jù)AB=AD+BD列式計(jì)算即可．【解題過程】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D．DDBAC在Rt△ADC中，∵∠CAB=30°，∴CD=AC=320，AD=，和Rt△BCD中，∵∠CBD=45°，∴BD=CD=320，BC=,∴AC+BC=，∴AB=AD+BD=，∴1088-864=224（公里）．答：隧道打通后與打通前相比，從A地到B地的路程將約縮短224公里．17．（2018·連云港，25，10分）如圖1，水壩的橫截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，壩頂DC＝3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）為1∶0.5，壩底AB＝14m．（1）求壩高；（2）如圖2，為了提高壩堤的防洪能力，防汛指揮部決定在背水坡將壩頂和壩底同時(shí)拓寬加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的長．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈EQ\F(3,5)，cos37°≈EQ\F(4,5)，tan37°≈EQ\F(3,4)）圖1圖1圖2思路分析：（1）過點(diǎn)D、C分別作梯形ABCD的高DM、CN，設(shè)高為x，分別解Rt△ADM和Rt△BCN，用含x的代數(shù)式表示AM、BN，再列出關(guān)于x的方程即可；（2）過點(diǎn)F作FH⊥AB于H，利用Rt△EFH∽R(shí)t△FBH列方程．解答過程：解：（1）過點(diǎn)D作DM⊥AB，垂足為M，過點(diǎn)C作CN⊥AB，垂足為N．因背水坡AD的坡度i為1:0.5，所以tan∠DAB＝2，設(shè)AM＝x，則DM＝2x．又四邊形DMNC是矩形，所以DM＝NC＝2x．在Rt△BNC中，tan∠ABC＝tan37°＝EQ\F(CN,BN)＝EQ\F(2x,BN)＝EQ\F(3,4)，所以BN＝EQ\F(8,3)x，由x＋3＋EQ\F(8,3)x＝14，得x＝3，所以DM＝6．即壩高為6m．（2）過點(diǎn)F作FH⊥AB，垂足為H．設(shè)DF＝y(tǒng)，則AE＝2y．EH＝3＋2y－y＝3＋y，BH＝14＋2y－（3＋y）＝11＋y．由FH⊥BE，EF⊥BF，得△EFH∽△FBH．所以EQ\F(HF,HB)＝EQ\F(EH,FH)，即EQ\F(6,11＋y)＝EQ\F(3＋y,6)．62＝(3＋y)(3－y)，解得y＝－7＋2EQ\R(,13)或y＝－7＋2EQ\R(,13)（舍）．所以DF＝2EQ\R(,13)－7．答：DF的長為（2EQ\R(,13)－7）米．18．(2018·株洲市，22，8分)下圖為某區(qū)域部分交通線路圖，其中直線l1∥l2∥l3．直線l與l1，l2，l3都垂直，垂足分別是點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C(高速線右側(cè)邊緣)，l2上的點(diǎn)M位于點(diǎn)A的北偏東30°的方向上，且BM=千米，l3上的點(diǎn)N位于點(diǎn)M的北偏東α的方向上，且cosα=，MN=2千米，點(diǎn)A和點(diǎn)N是城際鐵路線L上兩個(gè)相鄰的站點(diǎn)．(1)求l2和l3之間的距離；(2)若城際火車的平均時(shí)速為150千米/小時(shí)，求市民小強(qiáng)乘坐城際火車從A站點(diǎn)到N站點(diǎn)需要多少小時(shí)？(結(jié)果用分?jǐn)?shù)形式表示)思路分析：(1)過點(diǎn)N作ND⊥l2于點(diǎn)D，在Rt△MND中，根據(jù)cosα=求ND的長；(2)解答過程：(1)過點(diǎn)N作ND⊥l2于點(diǎn)D，則∠MND=α，在Rt△MND中，cosα=，∴ND=MN·cosα=2×=2(千米)；(2)在Rt△MND中，根據(jù)勾股定理求MD的長，由NC=BD=BM+MD可得NC的長，在Rt△ABM中，根據(jù)tan∠BAM=求AB的長，從而可得AC的長，在Rt△ACN中，根據(jù)勾股定理求ND的長，再除以速度即可得時(shí)間．(2)在Rt△MND中，MD===4，顯然，四邊形BCND是矩形，∴BC=ND=2，NC=BD=BM+MD=+4=5；在Rt△ABM中，tan∠BAM=，∴AB===3，∴AC=AB+BC=3+2=5，在Rt△ACN中，AN===10，∴市民小強(qiáng)乘坐城際火車從A站點(diǎn)到N站點(diǎn)需要的時(shí)間為=(小時(shí))．19．(2018·株洲市，23，8分)如圖，Rt△ABM和Rt△ADN的斜邊分別為正方形ABCD的邊AB和AD，其中AM=AN．(1)求證：Rt△ABM≌Rt△ADN；(2)線段MN與線段AD相交于點(diǎn)T，若AT=AD，求tan∠ABM的值．思路分析：(1)利用HL證明；(2)根據(jù)Rt△ABM≌Rt△AND得BM=DN，∠BAM=∠DAN，再證明△AMT∽△DNT，可得tan∠ABM=．解答過程：(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，又∠BMA=∠DNA=90°，AM=AN，∴Rt△ABM≌Rt△AND(HL)；(2)∵Rt△ABM≌Rt△AND，∴BM=DN，∠BAM=∠DAN．∵∠BAD=90°，∴∠MAN=90°，又AM=AN，∴∠AMT=∠ANM=45°，又∠DNA=90°，∴∠DNT=45°，∴∠AMN=∠DNT，又∠ATM=∠DTN，∴△AMT∽△DNT，∴，∵AT=AD，∴，∴．∵BM=DN，∴．在Rt△ABM中，tan∠ABM=．20．（2018·婁底市，22，8分）如圖（9），長沙九龍倉國際金融中心主樓BC高達(dá)452m，是目前湖南省第一高樓，和它處于同一水平面上的第二高樓DE高340m，為了測量高樓BC上發(fā)射塔AB的高度，在樓DE底端D點(diǎn)測得A的仰角為α，sinα=EQ\f(24,25)，在頂端E點(diǎn)測得A的仰角為45?，求發(fā)射塔AB的高度.圖（9）思路分析：解直角三角形的問題，過E作EH⊥AC于H，設(shè)AC=24x，根據(jù)正弦函數(shù)的定義求出AD=25x，根據(jù)勾股定理求出CD=7x，根據(jù)題意列出方程求出x，結(jié)合圖形計(jì)算即可．解答過程：作EH⊥AC于H，則四邊形EDCH為矩形，∴EH=CD，CH=DE=340設(shè)AC=24x，在Rt△ADC中，sinα=EQ\f(24,25)，∴AD=25x，由勾股定理得，CD=EQ\R(,AD2-AC2)=7x，∴EH=7x，在Rt△AEH中，∠AEH=45°，∴AH=EH=7x，由題意得，24x=7x+340，解得，x=20，則AC=24x=480，∴AB=AC﹣BC=480﹣452=28，答：發(fā)射塔AB的高度為28m．21．（2018·山東濰坊，20，8分）如圖，點(diǎn)M是正方形ABCD邊CD上一點(diǎn)，連接AM，作DE⊥AM于點(diǎn)E，BF⊥AM于點(diǎn)F，連接BE．（1）求證：AE=BF；（2）已知AF=2，四邊形ABED的面積為24，求∠EBF的正弦值．思路分析：（1）利用正方形的性質(zhì)，通過證明Rt△DEA≌Rt△AFB，得AE=BF；（2）AE=BF=x，利用S△ABE+S△ADE=24，求得x的值，再進(jìn)一步在Rt△EFB中計(jì)算BE的長，從而可求∠EBF的正弦值．解答過程：解：（1）證明：∵∠BAF+∠DAE=90°，∠ADE+∠DAE=90°，∴∠BAF=∠ADE．在Rt△DEA和Rt△AFB中，∠ADE=∠BAF，∠DEA=∠AFB，DA=AB，∴Rt△DEA≌Rt△AFB，∴AE=BF．（2）解：設(shè)AE=x，則BF=x，∵四邊形ABED的面積為24，DE=AF=2，∴x2+×2x=24，解得x1=6，x2=－8(舍)，∴EF=AE－AF=6－2=4，在Rt△EFB中，BE==2，∴sin∠EBF===．22．（2018·紹興，21，10分）如圖1，窗框和窗扇用“滑塊鉸鏈”連接.圖3是圖2中“滑塊鉸鏈”的平面示意圖，滑軌MN安裝在窗框上，托懸臂DE安裝在窗扇上，交點(diǎn)A處有滑塊，滑塊可以左右滑動(dòng)，支點(diǎn)B，C，D始終在一直線上，延長DE交MN于點(diǎn)F.已知AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=（1）窗扇完全打開，張角∠CAB=85°，求此時(shí)窗扇與窗框的夾角∠DFB的度數(shù).（2）窗扇部分打開，張角∠CAB=60°，求此時(shí)點(diǎn)A，B之間的距離（精確到0.1cm（參考數(shù)據(jù)：≈0.732，≈2.449）思路分析：（1）要求∠DFB，需探究這個(gè)角與已知角∠CAB的關(guān)系，容易證明四邊形ACDE是平行四邊形，從而得到CA∥DE，確定∠DFB=∠CAB；（2）通過研究我們發(fā)現(xiàn)在△ABC中，已經(jīng)知道了一角、兩邊，因此解題的關(guān)鍵在于合理構(gòu)造直角三角形解決問題.解答過程：解：（1）∵AC=DE，AE=CD，∴四邊形ACDE是平行四邊形，∴CA∥DE，∵∠CAB=85°，∴∠DFB=∠CAB=85°，即此時(shí)窗扇與窗框的夾角∠DFB的度數(shù)為85°.（2）如圖，過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，則∠CGA=∠CGB=90°.∵CD=10，BD=40，∴BC=30.∵∠CAB=60°，AC=20，∴sin60°==，∴CG=10，∴AG==10，BG==10，∴AB=AG+BG=10+10≈10+10×2.449≈34.5.即此時(shí)點(diǎn)A，B之間的距離約為34.23．(2018·衡陽市，22題，8分)一名徒步愛好者來衡陽旅行，他從賓館C出發(fā)，沿北偏東30°的方向行走2000米到達(dá)石鼓書院A處，參觀后又從A處沿正南方向行走一段距離，到達(dá)位于賓館南偏東45°方向的雁峰公園B處，如圖所示．(1)求這名徒步愛好者從石鼓書院走到雁峰公園的途中與賓館之間的最短距離；(2)若這名徒步愛好者以100米/分的速度從雁峰公園返回賓館，那么他在15分鐘內(nèi)能否到達(dá)賓館？(第20題圖)思路分析：本題考查了解直角三角形知識(shí)．(1)過C點(diǎn)作CD⊥AB于D點(diǎn)，則CD就是從石鼓書院走到雁峰公園的途中與賓館之間的最短距離，由方位角意義、平行線的性質(zhì)及含30°角直角三角形的性質(zhì)，可求得結(jié)論；(2)在Rt△BCD中，由方位角的意義、平行線的性質(zhì)及勾股定理，可求得BC的長，然后通過列方程可計(jì)算出在15分鐘之內(nèi)是否能返回到賓館．解答過程：解：(1)如圖，過點(diǎn)C作南北方向線l，作CD⊥AB于D點(diǎn)，根據(jù)垂線段最短可知線段CD是從石鼓書院走到雁峰公園的途中與賓館之間的最短距離．由題意，∠1＝30°，AB∥l，∴∠A＝∠1＝30°，在Rt△ACD中，AC＝2000米，∴CD＝AC＝1000米．∴這名徒步愛好者從石鼓書院走到雁峰公園的途中與賓館之間的最短距離為1000米．(2)由(1)可知CD＝1000米．由題意，∠2＝45°，∴∠B＝∠2＝45°．在Rt△BCD中，BC＝CD＝1000．設(shè)這名徒步愛好者從雁峰公園到達(dá)賓館用了x分鐘，根據(jù)題意，得100x＝1000．解得x＝10．因?yàn)?0<15，所以這名徒步愛好者能在15分鐘內(nèi)到達(dá)賓館．24．（2018·聊城市，22，8分）隨著我市農(nóng)產(chǎn)品整體品牌形象“聊·勝一籌!”的推出,現(xiàn)代農(nóng)業(yè)得到了更快發(fā)展．某農(nóng)場為擴(kuò)大生產(chǎn)建設(shè)了一批新型鋼管裝配式大棚，如圖1.線段AB，BD分別表示大棚的墻高和跨度，AC表示保溫板的長．已知墻高AB為2米,墻面與保溫板所成的角∠BAC＝150°，在點(diǎn)D處測得A點(diǎn)、C點(diǎn)的仰角分別為９°，15.6°，如圖2.求保溫板AC的長是多少米?(精確到0.1米)(參考數(shù)據(jù):≈0.86，sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16，sin15.6°≈0.27，cos15.6°≈0.96，tan,15.6°≈0.28．)思路分析：作CE⊥BD于E，作AG⊥CE于G，設(shè)AC為x，則CE=CG+GE=+2，在Rt△CED中，利用三角函數(shù)求得CE=（﹣）×tan15.6°，解關(guān)于x的方程求解.解答過程：設(shè)AC為x，在△ABD中，∵tan9°==，∴BD=.作CE⊥BD，垂足為E，作AG⊥CE，垂足為G，在△AGC中，∠CAG=60°，∵sin∠CAG=，cos∠CAG=，∴CG=AC·sin∠CAG=x×sin60°=，AG=AC·cos∠CAG=x×cos60°=.∴ED=BD﹣BE=BD﹣AG=﹣，在△CED中，tan∠CDE=tan15.6°=，∴CE=ED×tan15.6°=（﹣）×tan15.6°，又CE=CG+GE=+2，∴（﹣）×tan15.6°=+2，即（）×0.28=0.86x+2，解方程，得x=1.5（米），答：保溫板AC的長約是1.5米.25．（2018·長沙市，22，8分）為加快城鄉(xiāng)對(duì)接，建設(shè)全域美麗鄉(xiāng)村，某地區(qū)對(duì)A，B兩地間的公路進(jìn)行改建.如圖，A，B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地需途經(jīng)C地沿折線ACB行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車可直接沿直線AB行駛，已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°.（結(jié)果精確到0.1千米，參考數(shù)據(jù)：）（1）開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走多少千米？（2）開通隧道后，汽車從A地到B地大約可以少走多少千米？思路分析：（1）過點(diǎn)C作AB的垂線CD，垂足為D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，進(jìn)而解答即可；（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，進(jìn)而求出汽車從A地到B地比原來少走多少路程．解答過程：解：（1）過點(diǎn)C作AB的垂線CD，垂足為D，∵AB⊥CD，sin30°=，BC=80千米，∴CD=BC?sin30°=80×=40千米，AC===千米，AC+BC=80+≈40×1.41+80=136.4千米，答：開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走136.4千米；（2）∵cos30°=QUOTEBDBC，BC=80千米，∴BD=BC?cos30°=80×=千米，∵tan45°=QUOTECDAD，CD=40（千米），∴AD=QUOTECDtan45°=401=40=40∴AB=AD+BD=40+≈40+40×1.73=109.2（千米），∴汽車從A地到B地比原來少走多少路程為：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．答：汽車從A地到B地比原來少走的路程為27.2千米．26．（2018·泰州市，23，10分）日照間距系數(shù)反映了房屋日照情況.如圖①，當(dāng)前后房屋都朝向正南時(shí)，日照間距系數(shù)=L：（H-H1），其中L為樓間水平距離，H為南側(cè)樓房高度，H1為北側(cè)樓房底層窗臺(tái)至地面高度.[來源:Zxxk.Com]如圖②，山坡EF朝北，EF長為，坡度為i=1：0.75，山坡頂部平地EM上有一高為22.5m的樓房AB，底部A到E點(diǎn)的距離為.（1）求山坡EF的水平寬度FH；（2）欲在AB樓正北側(cè)山腳的平地FN上建一樓房CD，已知該樓底層窗臺(tái)P處至地面C處的高度為0.9m，要使該樓的日照間距系數(shù)不低于1.25，底部C距F處思路分析：（1）本小題解題關(guān)鍵是利用好斜坡EF的坡度，從而在Rt△EFH中解決問題；（2）注意到本小題與題干圖形的不同，因此需延長BA、FH交于一點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為與圖①相同的問題.然后可以設(shè)CF長為未知數(shù)，根據(jù)“日照間距系數(shù)不低于1.25”解答過程：解：（1）∵iEF=1：0.75==，設(shè)EH=3x，F(xiàn)H=4x，則EF==5x=15，∴x=5，∴FH=3x=9，即山坡EF的水平寬度FH為9m.（2）延長BA、FH交于點(diǎn)G，則AG=EH=12，GH=AE=4，∴BG=BA+AG=22.5+12=34.5.設(shè)CF=y，則CG=CF+FH+GH=y+9+4=y+13，由題知CG：（BG-CP）≥1.25，∴≥1.25，解得y≥29，∴底部C距F處至少29m遠(yuǎn)27．（2018·天津市，22，10分）如圖，甲、乙兩座建筑物的水平距離BC為78m，從甲的頂部A處測得乙的頂部D處的俯角為48°，測得底部C處的俯角為58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC（結(jié)果取整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：tan48°≈1.11，tan58°≈1.60.思路分析：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，則四邊形BCDE為矩形.在Rt△ABC中由tan∠ACB=可求得AB的長度；在Rt△AED中由tan∠ADE=可求得AE的長度，最根據(jù)EB=AB-AE求得EB的長度，問題得解.解答過程：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E.則∠AED=∠BED=90°.由題意可知，BC=78，∠ADE=48°，∠ACB=58°，∠ABC=90°，∠DCB=90°. 可得四邊形BCDE為矩形.∴ED=BC=78，DC=EB.在Rt△ABC中，tan∠ACB=，∴AB=BC·tan58°≈78×1.60≈125.在Rt△AED中，tan∠ADE=，∴AE=ED·