2024高考數(shù)學(xué)模擬試卷與答案 (三)

數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.集合A={0J2},集合B={-2,0,1},則405=（）

A.{0,1}B.{-2,0}C.{-2,1,0}D.{0,1,2}

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)锳={0,1,2},B={-2,0,1},

所以AC3={0,1}.

故選：A

2.若復(fù)數(shù)z滿足（3—4i）z=l,則目=（）

111

A,1B.—C.—D.—

5725

【答案】B

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及模長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

3+4i3+4i34.

【詳解】由（34i）z=loz==

3-41-（3+4i）-（3-4i）-25_2525）

所因上扃J+3《

故選：B.

3.已知非零向量￡、B滿足W=2同，且則￡與B的夾角為（）

71兀2兀5兀

A.-B.-C.—D.—

第1頁(yè)/共21頁(yè)

【答案】A

【解析】

【分析】分析可得q=0,利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得出cos(ZB)的值，結(jié)合平面向量夾

角的取值范圍可得出Z與B的夾角.

【詳解】因?yàn)榉橇阆蛄俊?、B滿足W=2同，且力"辦

則3僅悶=/一力=@一郎B|cos〈詞第、2時(shí)飛(詞=0,

所以，cos(a3)=；,又因?yàn)?4卜,后)〈兀，故卜,3=1.

7T

因此，〃與Z?的夾角為

故選：A.

「匕八兀1八/

4.已知tan0H—=—tan0—,則cos29=(

I4J22

14

A.——B.C.D.

2255

【答案】C

【解析】

【分析】利用兩角和的正切公式可得出關(guān)于tan。的方程，解出tan。的值，再利用二倍角的余弦公式以及

弦化切可求得cos2。的值.

tan"八+tan—71

tan6+1

【詳解】因?yàn)閠an6+：4=一tan6——,

1八兀I一tan。22

I-tan6tan一

4

整理可得tan?6-6tan6+9=0，解得tan。=3,

,八八cos2sin20I-tan20l-9_4

所CCI以>，cos26=-----------=.....—

cos"0+sin0l+tarrdT+9'

故選：C.

5.已知函數(shù)/(x)=sin2x和直線/：y=2x+a,那么“直線/與曲線_y=/(x)相切”是“a=0”的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

第2頁(yè)/共21頁(yè)

【解析】

【分析】根據(jù)直線/與曲線y=/(x)相切，求出a=-2E#eZ,利用充分條件與必要條件的定義即可判

斷出結(jié)論.

【詳解】設(shè)函數(shù)/(x)=sin2x和直線/:y=2x+a的切點(diǎn)坐標(biāo)為(％,%),

f'(%)=2cos2%=2,,

則＜'),可得1=一2癡,左wZ,

[sin2x0=2x0+a

所以〃=0時(shí)，直線/與曲線y=/(x)相切；

直線/與曲線y=/(x)相切不能推出1=0.

因此"4=0”是"直線/與曲線＞=/(%)相切”的必要不充分條件.

故選：B.

6.已知a,6為正實(shí)數(shù)，且a+26=l,則幺山+”山的最小值為()

ab

A.1+2V2B.2+2V2C.3+2亞D.4+2收

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.

【詳解】正實(shí)數(shù)滿足a+2少=1,則±±1+"1±1=(。+2?+(工+！)=1+(。+2加(工+工)

ababab

=4+—+-＞4+2,—--=4+272,當(dāng)且僅當(dāng)竺=幺，即a=?=血一1時(shí)取等號(hào)，

ab\abab

所以當(dāng)。=及—1/=1—交時(shí)，仁生+絲二生取得最小值4+20.

lab

故選：D

7.已知三棱錐S—ABC如圖所示，AS、AB.AC兩兩垂直，且AS=AB=AC=2也，點(diǎn)E、/分

別是棱AS、3S的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱SC靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)，則空間幾何體ERG-ABC的體積為

()

第3頁(yè)/共21頁(yè)

A.B.2V2C.I血D.

663

【答案】C

【解析】

【分析】過(guò)點(diǎn)G作GH〃AC,交SA于點(diǎn)”，證明出GHL平面S4B,計(jì)算出三棱錐C—S4B、G-SEF

的體積,可得出VEFG-ABC=Vc-SAB—%-SEF,即可得解.

【詳解】過(guò)點(diǎn)G作G"〃AC,交SA于點(diǎn)X,

因?yàn)锳CLA5,AC1SA,ABc^AS=A,AB.ASu平面SAB,

所以，AC，平面SAB,

因?yàn)镚H〃AC,則GH,平面SAB,且也='=2,則GH=°AC=±2,

ACSC442

111//—\2

因?yàn)镋、歹分別為SA、3s的中點(diǎn)，則54￡尸=154^5=^><5><（2夜）=1,

所儀”_1c心訂_113血一血

所以，VG-SEF=^SASEF-GH=~xlx—^=~,

v_1v11J_8>/2

^C-SAB一耳S^SAB.AC_1義5X（212J-3，

第4頁(yè)/共21頁(yè)

8V2V2_13V2

因此,VFpCABC—C4D~^cSFF

tLrkj—L^—D/\DCJ—ocrT~6

故選：C.

8.已知數(shù)列｛a*｝為有窮整數(shù)數(shù)列，具有性質(zhì)p：若對(duì)任意的〃e｛1,2,3,4｝,&｝中存在《，aM,

aHHan

4+2，…，i+j(z>1,jN。，i,jeN*),使得4+G+i+@+2------i+j=<則稱｛%』為4-連續(xù)可

表數(shù)列.下面數(shù)列為4-連續(xù)可表數(shù)列的是()

A.1,1,1B.1,1,2C.1,3,1D,2,3,6

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)新定義進(jìn)行驗(yàn)證即可得.

【詳解】選項(xiàng)A中，。]+%+。3=3，和不可能為4,A不是4-連續(xù)可表數(shù)列;

選項(xiàng)B中，q=l,q+。2=2,%+。3=3,%+。2+。3=4,B是4-連續(xù)可表數(shù)列；

選項(xiàng)C中，沒有連續(xù)項(xiàng)的和為2,C不是4-連續(xù)可表數(shù)列；

選項(xiàng)D中，沒有連續(xù)項(xiàng)的和為1,D不是4-連續(xù)可表數(shù)列.

故選：B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.關(guān)于平面向量，有下列四個(gè)命題，其中說(shuō)法正確的是()

A.°1=(k,8),若a〃b,貝必=6

B.若a.c=B.c且CH。，則a=B

C.若點(diǎn)G是口ABC的重心，則：+岳+歷=0

D.若向量Z=(—1,1),3=(2,3),則向量B在向量Z上的投影向量為三

【答案】CD

【解析】

【分析】利用共線向量的坐標(biāo)表示可判斷A選項(xiàng)；利用向量垂直的表示可判斷B選項(xiàng)；利用三角形重心的

向量性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；利用投影向量的定義可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，已知二(|,%],b=(k,8),若舒/M則左2=8X^|=36,解得左=±6,A錯(cuò)；

第5頁(yè)/共21頁(yè)

對(duì)于B選項(xiàng)，若鼠，=3.工且工H6,則a-c—6-c=c-(a-6)=0,

所以,￡=B或c'(a汨,B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，若點(diǎn)G是口ABC的重心，則由+無(wú)+反;=6，C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，若向量a=(—1,1),b=(2,3),

i-I/——\(2i-I(2,bcia?b-1-

則向量B在向量￡上的投影向量為忖c°s(a,沖口=忖?心國(guó)?口=『［a=］a,口對(duì).

故選：CD.

01

10.已知函數(shù)/(%)=cos%+sinxcos%-］的圖象為C,以下說(shuō)法中正確的是()

A.函數(shù)“X)的最大值為誓1

TT

B.圖象C相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為一

2

C.圖象c關(guān)于［―W，o］中心對(duì)稱

D.要得到函數(shù)y=^sinx的圖象，只需將函數(shù)/'(x)的圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，再向右平移:個(gè)

單位

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用二倍角公式及兩角和的正弦公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.

21

【詳解】因?yàn)?(x)=cosx+sinxcosx--

cos2x+l1.1V2fV2V2V2.f兀)

=------------+—sm2x——=————sin2x+——cos2x=——sin2x+—,

2222(22J24j

所以函數(shù)“X)的最大值為多，故A錯(cuò)誤；

函數(shù)/(x)的最小正周期7=呼=兀，所以圖象C相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為:，故B正確；

因?yàn)?=^^sin2x^――^+—=0,所以圖象C關(guān)于［―可,。］中心對(duì)稱，故C正確；

第6頁(yè)/共21頁(yè)

將“司=1^?2X+：)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變得到y(tǒng)=￥sin|x+￡|,

再將y=^lsinfx+-^向右平移三個(gè)單位得到y(tǒng)=Y2sinx，故D正確；

*214)42

故選：BCD

11.若函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?。，若?duì)于任意西￡，都存在唯7的當(dāng)e。，使得〃%)+〃％)=1，

則稱/(x)為“/型函數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)〃x)=ln%是"/型函數(shù)”

B.函數(shù)/(x)=sinx是“/型函數(shù)”

C,若函數(shù)/(%)是“/型函數(shù)”，則函數(shù)1-“X)也是“/型函數(shù)”

兀兀1

D.已知meR,若/(x)=H?+sin%,xe-5-是'7型函數(shù)"，則機(jī)=—

222

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)所給函數(shù)的定義求解C,根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算求解A,根據(jù)三角函數(shù)的周期性以及單調(diào)性求解BD.

e

【詳解】對(duì)于A,由/(%)+/(%2)=1可得出西+lnx2=l^>lnx1x2=e,所以％=一，故A

x\

正確，

對(duì)于B,取％=-|,貝!]由/(占)+/(%2)=1以及/(x)=sinx可得sin%=0=%2=攵兀，左eZ,故這與存

在唯一的％6。矛盾，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,由于函數(shù)/(x)是“/型函數(shù)”，則對(duì)于任意西€。，都存在唯一的％W。，使得

/(%,)+/(%2)=1,故1一/(占)+1-/(%2)=1，因此對(duì)于對(duì)于任意苞e。，都存在唯丁的使

得1-〃菁)+1-"々)=1，故1-〃龍)是“/型函數(shù)”,C正確，

對(duì)于D,對(duì)于任意玉?。，都存在唯一的々e。，使得加+sin%+根+sin%2=1，所以

兀?！?

sinx2=1-2m-sin,由于——e[-1,1],所以

第7頁(yè)/共21頁(yè)

「1兀兀、、

sinx2=1-2m-sinx1G[-2m,2-2m,],由于y=sinx在xe單調(diào)遞增，

所以-2加之一1且2-2加,故機(jī)=',D正確，

2

故選：ACD

12.已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-aSG，中，尸為線段4。上一動(dòng)點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）

A.存在點(diǎn)P,使得。1尸〃4片

B.三棱錐P-BG。的外接球半徑最小值為丑

3

c.當(dāng)P為4c的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)P與平面3G。平行的平面截正方體所得的截面面積為逆

4

4

D.存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)尸到直線用￡的距離為二

【答案】BCD

【解析】

【分析】建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)向量共線求解A,根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)，結(jié)合外接球半徑的求解即可判定B,

根據(jù)面面平行的性質(zhì)，結(jié)合六邊形的面積求解即可判定C,建立空間坐標(biāo)系，利用點(diǎn)線距離的向量求法，由

二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解D.

【詳解】由于5Cj后,；口3。6為等邊三角形，且其外接圓的半徑為

1V2V6

r=—x--------=，

2sin6003

由于A4，平面A6CQ,5￡>u平面所以

又4。，8。,4。八441=44。,44]u平面A41G。，所以5。1平面A41G。，

AGu平面A41clC,故3。LAC一同理可證3GLAC1，

因此3。cBQ=B,BD,BC[u平面BDC,,故AC1，平面BDQ,

因此三棱錐尸-3G。為正三棱錐，設(shè)外接球半徑為R，球心到平面3DG的距離為〃，

則R=1產(chǎn)+*,故當(dāng)/z=0時(shí)，R=「=彳為最小值，故B正確，

取AB，G2，AD的中點(diǎn)為M,Q,N,連接NM,MQ,NQ,當(dāng)尸是4。的中點(diǎn)，也是QM的中點(diǎn)，

第8頁(yè)/共21頁(yè)

則該截面為與平面BC］。平行的平面截正方體所得的截面，進(jìn)而可得該截面為正六邊形，邊長(zhǎng)為

['也X交xsin6。。373…

NM=41AM="，所以截面面積為6x---,c正確,

2224

27

對(duì)于D,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則。(0,0,0),C(0,1,0),4(1,0,1)

QB]=DA=(1,0,0),設(shè)4P=aAiC=,(0<ii<1),

B]P=AP—44=(—a,a,—a)—(0,1,0)=(—a,ci—1,—a),

所以點(diǎn)P到直線4G的距離為

d=]'RP*2=力片―2a+l—/=52/—2a+l=工]+-，

[I\CM)M2；2

￡A由于上

由于OWaWl,所以d=,2a—541,故D正確，

1422

由于B[P=(—a,a—1,—a),.t.P(l—a,a,l—a),G(0,1,1)廁C1P=(1—a,a—1,—a),

A(L0,0)，4(LU),福=(0,1,1),

若葩=(0,1,1)與于=(1—a,a—1,—a)共線，貝Hi—a=0,a=l,此時(shí)彳=(0,0,—1),此時(shí)

函=(0,1,1)與彳=(0,0,-1)不共線，故CXP,AB,不平行

故A錯(cuò)誤，

故選：BCD

第9頁(yè)/共21頁(yè)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.關(guān)于x的不等式a/+(a+9x+2〉0的解集為(―3,1),則。+人=.

41

【答案】——##-1—

【解析】

【分析】分析可知，-3、1是關(guān)于x的方程以2+(a+")x+2=0的兩根，利用韋達(dá)定理可得出6的值.

【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式?之+g+?x+2〉0的解集為(―3,1),則°<0,

且—3、1是關(guān)于尤的方程。必+(。+5)x+2=0的兩根，

a+h224

由韋達(dá)定理可得-3+1=-----，-3x1=—,解得。=——,所以，a+b=2a=——.

aa33

4

故答案為：一

3

14.已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，S"=2"-l,Wijlog2a10=.

【答案】9

【解析】

【分析】根據(jù)《。=-59求出《。,再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S“=2"-l,

所以q°=$一S9=/一1一(29-1)=29,

9

所以log2al0=log22=9.

故答案為：9

第10頁(yè)/共21頁(yè)

\2X-I,x<l

15.已知函數(shù)〃x)=1'，關(guān)于x的方程尸(力-。"(xb。有六個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a

(x-2)',x>1

的取值范圍是.

【答案】(0,1)

【解析】

【分析】方程變形為/(x)=0或/(x)=a,其中/。)=0可解得兩個(gè)根，因此/(x)=。應(yīng)有4個(gè)根，作出函

數(shù)y=Ax)的圖象與直線y="，由圖象得它們有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)的參數(shù)范圍.

【詳解】f2(x)-(tf(x)=0,則A解=?；蜓╲)=a,

|2x-l|=0=>x=0,(x—2)2=0nx=2,即/(x)=0有兩個(gè)根，

因此f(x)=a應(yīng)有4個(gè)根，

作出函數(shù)丫=/(x)的圖象與直線y=a,

由圖象可知，當(dāng)。<。<1時(shí)滿足題意，

故答案為：(0,1).

16.如圖，已知函數(shù)〃x)=4sin(s：+e)(其中A>0,o>0,附<、)的圖象與x軸交于點(diǎn)A,B,

與y軸交于點(diǎn)C,BC=2BD，/。山=巴，|。川=2,恒必=2包.則函數(shù)〃力在［1,6］上的值域?yàn)?/p>

33

第n頁(yè)/共21頁(yè)

816

【答案】3'T

【解析】

【分析】由題意可得：V3|Asin^|=2+-,sin(20+0)=O,可得A,B,C,。的坐標(biāo)，根據(jù)

|40=手，可得方程(1—￡)2+A"；—=g,進(jìn)而解出①，(P,A,即可求出再由三角

函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】由題意可得：|08|=百|(zhì)0。|,...6|Asind=2+X,sin(2(y+°)=0,

A(2,0),B\2+-,0,CQAsine),:.D\1+—,sin^,

\CD)\2co2)

,"耍藝Y，

把|Asind=—^(2H)代入上式可得：(女)？-2x'—24=0,。>0.

V3G)CDG)

解得二=6,色，

兀71

sin(—+o)=0,|°區(qū)不，解得cp

V3Asin=2+6,A>0,解得A=—

所以函數(shù)/(x)=￡sin(2x—=),

第12頁(yè)/共21頁(yè)

兀2兀

xe[l,6]時(shí),

65T

/(x)=ysin(^-x-|-)e816

3'T

816

故答案為:

3'T

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知S,為數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和，且4=1,nSn+i二(〃+l)S〃+〃2+〃，neN*?

(1)證明：數(shù)列1工4為等差數(shù)列，并求｛s“｝的通項(xiàng)公式；

,1，,

(2)若b“=@&，設(shè)數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和為(，求卻

2

【答案】(1)證明見解析，Sn=n

n

⑵T,=

2n+l

【解析】

【分析】(1)利用等差數(shù)列的定義可證得數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求得數(shù)列

的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得出數(shù)列｛Sj的通項(xiàng)公式;

n

(2)利用S“與4的關(guān)系可求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法可求得7；.

【小問(wèn)1詳解】

解：對(duì)任意的〃cN*，〃S“+i=("+l)S”+〃2+〃，

固￡±L_"S“+「(”+i)s〃_

則7—7a——77\-1，

n+1n磯〃+磯〃+1)

所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且其首項(xiàng)為｝=1,公差為1,

所以，^L=i+n-l=n,故S“=R

n

【小問(wèn)2詳解】

第13頁(yè)/共21頁(yè)

解：當(dāng)時(shí)，=S〃—S“_|=〃2-5一1）2=2〃—1,

1=1也滿足/=2〃-1,故對(duì)任意的“eN*，an=2n-l.

,1

所以，b=--------1-ifi___L_]

n（2n-l）（2n+l）2（2〃-12n+l）

。屋4+1

1n

2n+l2〃+l

18.在DABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、b、J且bcosA+ocosB=-2ccosA.

(1)求角A的值；

(2)已知點(diǎn)。為3C的中點(diǎn)，且AD=2,求。的最大值.

2兀

【答案】(1)A=y

(2)4G

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求出cosA的值，結(jié)合角A的取值范圍可求得角A的

值;

(2)利用平面向量的線性運(yùn)算可得出2而=而+恁，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合余弦定

理、基本不等式可得出關(guān)于a的不等式，由此可解得。的最大值.

【小問(wèn)1詳解】

解：因?yàn)锳、Ce(0,7T),則sinC>0,

由正弦定理可得-2cosAsinC=sinBcosA+sinAcosB=sin（A+B）=sinC,

12兀

所以，cosA=——,故人=谷.

23

【小問(wèn)2詳解】

,（1?---------*'---------?1---------?1/11■'*---------?\1/---------?'1"\

解：因?yàn)镈為的中點(diǎn)，則AD=A8+8D=A8+5BC=AB+1（AC-AB）=5（AB+ACj,

所以，2瓶=麗+北，

所以，4AD2=AC2+AB2+2AC-AB=b2+c2+2bccos—=b2+c2-be=16,

3

22兀

由余弦定理可得〃2=/+c_2Z?CCOS——=/?2+。2+bc,

3

第14頁(yè)/共21頁(yè)

所以，/+.2=a+16,2Z?c=a2—16>

2

由基本不等式可得〃+C2N2A，即《土32。2—16,解得0<aW4百，

2

b=c

當(dāng)且僅當(dāng)「22,”時(shí)，即當(dāng)6=c=4時(shí)，等號(hào)成立，

b-+c-be=16

故。的最大值為4百.

19.若二次函數(shù)"X)滿足f(x+l)+/(X)=-X2-5X-1

(1)求/(X)的解析式；

⑵若函數(shù)g(x)=xlnx+/(x),解關(guān)于尤的不等式：g(x2+x)>g(2),

【答案】(1)/(X)=-1X2-2X

(2)[-2,-l)o(0,l]

【解析】

【分析】⑴f(x)=ax2+bx+c(a^0),根據(jù)〃x+l)+=-V—5x—g可得出關(guān)于a、b、c的

方程組，解出這三個(gè)未知數(shù)的值，即可得出函數(shù)/(x)的解析式；

(2)求出函數(shù)g(x)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(x)的單調(diào)性，由8(必+%”且(2)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)

元的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)x的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

解：/(x)=ax2+Z?x+c(6i0),

則/(x+l)+/(x)=a(x+l)2+b(^x+l)+c+ax2+bx+c

—2Q%2+(2〃+2b)%+〃+/?+2c-—%?-5x--,

第15頁(yè)/共21頁(yè)

1

a=——

2a=—12]

所以，＜2〃+2b=—5解得b=~2,故y(x)=__X2-2x.

c=02

a+b+2c=——

I2

【小問(wèn)2詳解】

解：函數(shù)g(x)=xlnx+=xlnx—〈J?—2%的定義域?yàn)?0,+oo),

且g'(x)=lnx+l—%—2=Inx—x—l,

令人(x)=lnx-x-l,其中x>0,貝g，(x)=——1=-----,

xx

由〃(尤)>0可得0<x<l,由"(x)<0可得x>l,

所以，函數(shù)可力的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8),

故對(duì)任意的x>0,g,(x)=/z(x)</i(l)=0,

所以，函數(shù)g(x)在(0,+8)上為減函數(shù)，

由8卜2+力28(2)可得0</+》42,解得—2Wx<—1或0<xWl,

因此，不等式g(x2+x)>g(2)的解集為[—2,-1)u(O,l].

20.如圖(1)所示，在口中，ZABC=60°，過(guò)點(diǎn)A作ADIBC,垂足D在線段上，且

AD=25CD=45,沿AD將口CD4折起(如圖(2)),點(diǎn)E、/分別為棱AC、的中點(diǎn).

圖(1)圖(2)

(1)證明：ADLEF；

(2)若二面角C-D4-3所成角的正切值為2,求二面角C-DE-E所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

第16頁(yè)/共21頁(yè)

13

（2）

19

【解析】

【分析】(1)證明出平面BCD,可得出AOIBC,利用中位線的性質(zhì)可得出跖〃BC,即證得結(jié)

論成立；

(2)分析可知，二面角C-D4-3的平面角為NBDC,以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB、所在直線分別

為無(wú)、V軸，平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)。且垂直于5。的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得

二面角C—DE—E所成角的余弦值.

【小問(wèn)1詳解】

證明：翻折前，AD1BC,則ADJ,CD,AD±BD,

翻折后，則有A。LCD,AD1BD,

因?yàn)锽r>ccr>=r>,BD、CZ)U平面BCD,所以，A。，平面BCD,

因?yàn)锽Cu平面BCD,所以，ADIBC,

在四棱錐A—BCD中，因?yàn)辄c(diǎn)E、歹分別為棱AC、AB的中點(diǎn)，則EF//BC,

因此，AD1EF.

【小問(wèn)2詳解】

解：因?yàn)锳DLCD,ADJ.BD,則二面角C—D4—3的平面角為NBDC,即tanZBDC=2,

因?yàn)锳DJ_平面BCD,以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB、ZM所在直線分別為了、》軸，

平面BCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)。且垂直于BD的直線為z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)镹ABD=60°>ADBD,AD=2^/3，則BD=--------=--j=^=2,

tan60°V3

又因?yàn)镃D=6，則A（0,2G,0）、8（2,0,0）、C（l,0,2）,。（0,0,0）、

設(shè)平面。尸的法向量為五=(4％,zj,DC=(1,0,2),DF=(l,V3,0),

第17頁(yè)/共21頁(yè)

m-DC=x.+2z.=0「—/i~\

則《一,二，取為=26，可得加=2j3,—2,—J3

m-DF=x1+y/3yl=0

定=;,。,-1,

設(shè)平面DER的法向量為〃=（%2，%/2），

n-DF=々+6%=0

則—?1，取/=2A/3，可得〃=（22,\/3）

7

n?EF=—x2-z2=0'

所以，cos/m,nm-n12+4-313

ml-Ini『19'

13

由圖可知，二面角C-DR-E的平面角為銳角，故二面角C-DR-E的余弦值為一.

19

21.已知數(shù)列｛4｝是公比大于。的等比數(shù)列，4=4,%=64.數(shù)列也“｝滿足:bn=a2n+—

an

〃eN*）.

（1）求數(shù)列｛勿｝的通項(xiàng)公式;

（2）證明：歸—。2"｝是等比數(shù)歹U；

k二l（2左一1）（2左+1）

（3）證明：z<2V2（^eN*）.

nb；—b2k

°1

【答案】（1）%=4"+不

（2）見解析（3）見解析

【解析】

【分析】（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算可得｛凡｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出數(shù)列也,｝的通項(xiàng)公式;

（2）運(yùn)算可得1-與“=2?4”,結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證;

（2〃一1）（2〃+1）4n29（2左一1）（2左+1）1k=l卜

（3）放縮得〈可，進(jìn)而可得§<7252IZf，結(jié)合錯(cuò)位相減法即

b：憂—b2k

可得證.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的公比為4,則%=4?/=4d=64,

則q=4,所以=4",

第18頁(yè)/共21頁(yè)

2

又2=a2n+—=4"+—

乂""an4",

【小問(wèn)2詳解】

2

所以瓦—==2",

所以片一%/O,且次狂=胃，=4,

與-瓦"2-4

所以