四川省涼山州2023-2024學年高二年級下冊數(shù)學第二周考試試卷

涼山州民族中學高二數(shù)學第二周考試試卷

一、單選題

1.已知集合M={-2,-1,0,1,2},^={X|X2-X-6>0},則MCN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

2.在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點的坐標是（一1,G）,貝”的共軟復數(shù)彳=（）

A.1+V3zB.1-V3i

C.-1+V3iD.-1-V3i

3.在中，(Q+c)(sinZ—sinC)=6(sinZ—sinB),則/C=()

7171—2兀5兀

A.-B.—C.—D.——

6336

4.已知向量a=（3,1）花=（2,2）,貝IJCOS〈Q+瓦。一力=（）

A.—B.叵C.好D,正

171755

22

5.雙曲線上-匕=1的漸近線方程是（）

49

3.2.9,4

A.y=±-xB.y=±—xC.y=±—xD.y=：上一x

2349

6.圓G:x?++2x+2y—2=0和圓C2:x2+y2—4x—2y+1=0的公切線的條數(shù)為(

A.1B.2C.3D.4

7.記S”為等差數(shù)列{%}的前〃項和.若出+6=10，&網(wǎng)=45,則$5=()

A.25B.22C.20D.15

8.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+⑹上單調(diào)遞增的是()

A.f(x)=-lnxB.=]

2

c./?=--D./(X)=3MI

X

二、多選題

9.下列統(tǒng)計量中，能度量樣本國,9,…,x”的離散程度的是（）

A.樣本占,9,…,x”的標準差B.樣本看,馬,％的中位數(shù)

C.樣本X”X,的極差D.樣本看,馬,…,x”的平均數(shù)

10.下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是定義域上的減函數(shù)的是（）

A./(x)=-3x5B.f(x)=2x

1j_

C./(X)=-D.=

11.某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復正常，排

氣4分鐘后測得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度為64Ppm,繼續(xù)排氣4分鐘后又測得濃度為32Ppm.由檢驗知該地下車庫一

氧化碳濃度V(單位：PPm)與排氣時間，(單位：分鐘)之間滿足函數(shù)關系y=(a,R為常數(shù)，e是自然對數(shù)

的底數(shù)).若空氣中一氧化碳濃度不高于05ppm,人就可以安全進入車庫了，則下列說法正確的是()

A.a=128

B.7?=—In2

4

C.排氣12分鐘后濃度為16Ppm

D.排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫

12.已知正方體48co，則()

A.直線與。4所成的角為90°B.直線與C4所成的角為90°

C.直線BG與平面班QD所成的角為45°D.直線8C1與平面N8CD所成的角為45°

三、填空題

13.擲一枚骰子，記事件出擲出的點數(shù)為偶數(shù)；事件①擲出的點數(shù)大于2.下面說法正確的是.

(1)P⑷〉P(B)(2)P(AB)>P(AB)(3)P(AB)>P(AB)

14.若ee(0,5；tane=：,貝Usind-cosg=.

,8

15.已知直線/：x-陽+1=0與。+/=4交于兩點，寫出滿足““ec面積為丁的m的一個值____.

16.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2,高為3的正四棱錐，所得棱臺

的體積為.

四、解答題

17.記“BC的內(nèi)角4尻。所對邊分別為,已知6(3<：05(7-1)=0(1-3(：058).

⑴證明：b+c=3a；

(2)求cosN的最小值.

18.已知曲線y=/(力=亡求:

(1)曲線C上橫坐標為1的點處的切線方程；

(2)(1)中的切線與曲線。是否還有其他的公共點？

19.如圖，在三棱錐/一BCD中，N8工平面BCD,平面/3C工平面NBD,AC=AD,AB=BD.

(2)求二面角/-CO-3的余弦值.

20.如圖，點/、3分別是橢圓1+《=1長軸的左、右端點，點尸是橢圓的右焦點，點P在橢圓上,且位于x軸上

3620

方,PA1.PF.

⑵設M是橢圓長軸N5上的一點〃到直線/P的距離等于I,求橢圓上的點到點M的距離d的最小值.

21.某景點某天接待了1000名游客，其中老年500人，中青年400人，少年100人，景點為了提升服務質(zhì)量，采

用分層抽樣從當天游客中抽取100人，以評分方式進行滿意度回訪.將統(tǒng)計結(jié)果按照

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5組，制成如下頻率分布直方圖:

(1)求抽取的樣本老年、中青年、少年的人數(shù);

(2)求頻率分布直方圖中。的值；

(3)估計當天游客滿意度分值的75%分位數(shù).

22.記，為數(shù)列｛與｝的前〃項和.已知一+〃=2%+1.

n

⑴證明：｛與｝是等差數(shù)列；

(2)若。4，%，%成等比數(shù)列，求，的最小值.

參考答案：

1.C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根據(jù)交集的運算解出.

方法二：將集合”中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出.

【詳解】方法一；因為"=卜卜27-620}=(-8,-2卜[3,+8),而”={-2,-1,0,1,2},

所以McN={-2}.

故選：C.

方法二：因為“={-2,-1,0,1,2},將-2,-1,0,1,2代入不等式一一工-620,只有-2使不等式

成立，所以McN={-2}.

故選：C.

2.D

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義先求出復數(shù)z,然后利用共軌復數(shù)的定義計算.

【詳解】z在復平面對應的點是(_1,石)，根據(jù)復數(shù)的幾何意義，z=-l+Gi,

由共輾復數(shù)的定義可知，z=-l-V3i.

故選：D

3.B

【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.

【詳解】0(6/+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),

所以由正弦定理得(〃+c)(?！猚)=6("6),^a2-c2=ab-b2,

IT

又0<C(兀，所以c=§.

故選：B.

4.B

【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標表示分別求得K+屏〉-陽口+州―，從而利

用平面向量余弦的運算公式即可得解.

【詳解】因為2=(3,1)[=(2,2),所以￡+3=(5,3))-5=(L-1),

貝中+q=75?73?=后,|力卜071=拒，(5+Z；j.(a-Z；j=5xl+3x(-l)=2,

/___\a+b\\a-b\2V17

所以cos(a+b,4_Z?>公=-j=~~『=--.

'/卜+型-4V34XV217

故選：B.

5.A

【分析】直接利用雙曲線方程求解漸近線方程即可.

【詳解】雙曲線目-片=1的漸近線方程是：片±葭

492

故選：A

6.B

【分析】根據(jù)圓的一般式判斷圓心與半徑，利用幾何法判斷兩圓位置關系，進而確定公切線

的數(shù)量.

2222

【詳解】?.?兩個圓G：x+y+2x+2y-2=0JjC2:x+y-4x-2y+l=0,

.,?圓￡圓心為半徑為2,圓。2圓心為(2,1),半徑為2,

兩圓圓心距為^(-1-2)2+(-1-1)2=V13,

???2-2<V13<2+2=4,

兩圓相交，有2條公切線.

故選：B.

7.C

【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列｛%｝的公差和首項，再根據(jù)前"項和公式即可

解出；

方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列｛。,｝的公差，再根據(jù)前〃項和公式的性質(zhì)即可解

出.

【詳解】方法一：設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,首項為外,依題意可得，

。2+4=6+d+%+5d=10,艮f]%+3d=5,

又a4a8=(q+3d)(4+7d)=45,解得：d=1,%=2,

5x4

所以&=5%+w-xd=5x2+10=20.

故選：C.

方法二：a2+a6=2a4=10,a4a8=45,所以為=5,a8=9,

從而4="二幺=1,于是%=%V=5-1=4,

8—4

所以85=5%=20.

故選：C.

8.C

【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC,舉反例排除D即

可.

【詳解】對于A,因為＞=lnx在（0,+司上單調(diào)遞增，＞=-X在（0,+e）上單調(diào)遞減，

所以/（x）=7nx在（0,+e）上單調(diào)遞減，故A錯誤；

對于B,因為＞=2,在（0,+。）上單調(diào)遞增，y=:在（0,+e）上單調(diào)遞減，

所以〃x）=g在（0,+紇）上單調(diào)遞減，故B錯誤；

對于C,因為”:在（0,+司上單調(diào)遞減，＞=-x在（0,+司上單調(diào)遞減，

所以〃x）=-:在（0,+司上單調(diào)遞增，故C正確；

對于D,因為/[￡|=3*4=3；=6，/（l）=3H=3°=l,/（2）=3Hi=3,

顯然〃x）=3卜一"在（0,+司上不單調(diào)，D錯誤.

故選：C.

9.AC

【分析】考查所給的選項哪些是考查數(shù)據(jù)的離散程度，哪些是考查數(shù)據(jù)的集中趨勢即可確定

正確選項.

【詳解】由標準差的定義可知，標準差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；

由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢;

故選：AC.

10.AD

【分析】由解析式直接判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可得解.

【詳解】對于A,/(x)=-3d是奇函數(shù)，在其定義域上單調(diào)遞減，故A正確;

對于B,/(》)=2,是在其定義域上單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)，故B錯誤；

對于C,=⑴=1,故〃x)=，在其定義域上不單調(diào)遞減，故C錯誤；

1

對于D,/("=-2必是奇函數(shù)，在其定義域上單調(diào)遞減，故D錯誤.

故選：AD.

11.ACD

【分析】由題意列式，求出。=1287=-'in2,即可判斷A,B；可得函數(shù)解析式，將x=12

4

代入，即可判斷C；結(jié)合解析式列出不等關系，求出人可以安全進入車庫的排氣時間，判斷

D.

a-e4R=64

【詳解】設/。)=。1,代入(4,64),(8,32),得

氏二32

解得。=128,尺=一，山2,A正確，B錯誤.

4

.(1Y7￡

此時/(/)=128(e")=27-24=23所以"12)=24=16(ppm),C正確.

當了⑺W0.5時，即27-；40.5=27,得所以經(jīng)32,

所以排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫，D正確.

故選:ACD.

12.ABD

【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對所給選項進行判斷即可.

【詳解】如圖，連接與C、BC、,因為。/"/BO,所以直線8G與旦。所成的角即為直線5G

與所成的角,

因為四邊形34GC為正方形，則故直線8G與￡招所成的角為90。，A正確;

連接4C,因為4月，平面BC]U平面A8[C]C,則/百，8G，

因為ACLBG，481nBe=用，所以Bq,平面44C,

又4Cu平面4BC，所以8GLC4,故B正確；

連接45,設4Gn片2=。，連接60,

因為BB、1平面44G2，C0u平面44G2,則c。±B&,

因為CQ_L42,BlDlr>BlB=Bl,所以G。，平面BBQQ,

所以ZQBO為直線BC、與平面BBRD所成的角，

設正方體棱長為1,則CQ=t，BC1=4i,sinZQSO=1^=1,

所以，直線5G與平面所成的角為30。，故C錯誤；

因為GCL平面/8CD,所以/C/C為直線8G與平面/8CD所成的角，易得NC0C=45°,

故D正確.

故選：ABD

13.(3)

【分析】根據(jù)對應事件求概率，即可比較.

【詳解】擲一枚骰子共6種情況，偶數(shù)點有2,4,6,大于2的點有3,4,5,6,

17

則尸(/)=：,P(s)=|,P(A)<P(B),故(1)錯誤；

N方表示既為偶數(shù)又是小于等于2的點，只有2,所以尸(/5)=k，

孤表示既為奇數(shù)又是大于2的點，有3,5,所以尸(血)=；,P(ABj<P(AB),故(2)錯誤;

表示既為偶數(shù)又是大于2的點，有4,6,所以P（/8）=；,

詼表示既是奇數(shù)又是小于等于2的點，有1,所以P（血）=：,P（AB）>P（AB）,故（3）

正確.

故答案為：（3）

14.--

5

【分析】根據(jù)同角三角關系求sin。，進而可得結(jié)果.

【詳解】因為ee則Sin0>0,cos（9>0,

又因為tanO=^^=L,則cos8=2sin6,

cosff2

.1.cos20+sin20=4sin20+sin20=5sin23=1解得sin8=^^或sin6=-^^（舍去），

55

所以sin夕一cos6=sin6-2sin6=-sin6=-.

5

故答案為：-正.

15.2（2,-2,］中任意一個皆可以）

22

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關系，求出弦長以同，以及點C到直線的距離，結(jié)合面積

公式即可解出.

【詳解】設點C到直線N3的距離為d,由弦長公式得=2"-相,

所以黑,=gx/x2,4-/=g,解得：d=華或〃=乎，

11+11224x/522\l~51

由1=+^=下『，所以—^=竽或一^=竽，解得：冽=±2或冽=土:.

vl+mVl+myjl+m5yjl+m52

故答案為：2（2,-2』,-5中任意一個皆可以）.

22

16.28

【分析】方法一：割補法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法

二：根據(jù)臺體的體積公式直接運算求解.

21

【詳解】方法一：由于彳=而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

42

所以正四棱錐的體積為:x（4x4）x6=32,

截去的正四棱錐的體積為:x（2x2）x3=4,

所以棱臺的體積為32-4=28.

方法二：棱臺的體積為gx3x（16+4+&京）=28.

故答案為：28.

17.（1）證明見解析

【分析】（1）將已知條件利用兩角和差公式與正弦定理即可計算出結(jié)果；

（2）利用第一問的結(jié)果代入cosZ的余弦定理表達式，再利用基本不等式即可得到結(jié)果.

【詳解】（1）E^6（3cosC—l）=c（l—3cosB）,

由正弦定理得：sin5（3cosC-1）=sinC（l-3cos5）,

整理得：sinC-3cosBsinC=3siriScosC-sinB,

sinB+sinC=3（cos5sinC+sin5cosC）=3sin（5+C）......①

因為/=兀一（5+C）=>sin/=sin（兀一（5+C））=sin（B+C）.......②

②代入①有：sing+sinC=3siib4,

再由正弦定理得6+c=3a.

（2）由余弦定理得：

,b2+c2-a29b2+9c2-(b+cY8(b2+c2]-2bc8x2Z>c-26c7

~2bc~186c-186c-186c-9

7

當且僅當Z>=c時，等號成立，所以cosN的最小值為看.

18.(1)3x-y-2=0；(2)切線與曲線C的公共點除了切點外，還有另外的公共點(-2,-8).

【分析】(1)由導數(shù)的定義得出了'=3/,再由導數(shù)的幾何意義求出切線方程；

f3x—y-2=0

(2)由3求出該切線與曲線。的其他公共點.

【詳解】(1)將X=1代入曲線。的方程，得〉=1

.?.切點為玖1,1)

,..Ay(x+AX)3-X3

?/y=lim——=lim-----------------

―一°Ax-oAx

_hm3-^2AX+3x(Ar)2+(Ar)3

—1°Ax

=lim[3/+3xAx+(Ax)2]=3x2

Mi=3

???過尸點的切線方程為y-l=3(xT),

即3x-y-2=0；

f3x—y—2,=0

(2)由3,可得(X-1)2(X+2)=0

〔尸x

解得XI=1,X2=-2

從而求得公共點為(1,1)和(2,8).

說明切線與曲線C的公共點除了切點外，還有另外的公共點(-2,-8).

19.(1)證明見解析

(2庠

【分析】(1)利用線面垂直及面面垂直的性質(zhì)證明即可；

(2)方法一、利用幾何法，取CD中點并連接NW、BM,結(jié)合條件證線線垂直，利

用二面角定義解三角形即可，方法二、構(gòu)造合適的空間坐標直角系，利用空間向量計算二面

角即可.

【詳解】(1)依題意，工面3c且AD,8Cu面8cD,

所以AB/BC,ABYBD,

因為面48c工面3CD,面48Cc面4RD=48,BDu面BCD,且.BDJ.AB,

所以8。1面/3C,

因為8Cu面N8C,

所以8CLBD.

(2)方法1、取C。中點M,并連接/M、BM.

因為/C=N。，所以NM_LCD,

由勾股定理可知BC=yjAC2-AB2=y)AD2-AB2=BD=AB.

因為8c=8。，所以8M_LC￡＞；

則根據(jù)二面角定義可知AAMB是二面角A-CD-B的一個平面角，

且由圖可知為銳角.

又因為481面BCD,同理(1)可知,

設43=。，可得BM=^a,貝！

22

g、i.BMV3

所以cos/AMB=---=——，

AM3

即二面角N-CD-B的余弦值為也.

3

方法2、

由(1)可知，AB、BC、8。三者兩兩相互垂直，

故以點3為坐標原點，分別以瑟、而、詼的方向為無、V、z軸的正方向，建立空間直

角坐標系.

-?.\D

由勾股定理可知BC=>JAC2-AB2=yjAD--AB-=BD=AB.

不妨設/B=a,則/(0,0,吟8(0,0,0)〈(d0,0),。(040),

所以就=(a,O,-a),赤=(O,aQ),

易得平面BCD的一個法向量可以是)=(0,0,1),

設平面/CD的一個法向量為%=(x，%z),

所以

n2-AD=ay-az=0

故可得平面/CD的一個法向量可以是a=(W)

設二面角N-CD-3的一個平面角為a,且由圖可知a為銳角.

即二面角/-8的余弦值為心.

3

⑵后

【分析】(1)設出尸點坐標,代入橢圓方程，根據(jù)加1PF列出方程聯(lián)立即可求出P點坐標；

(2)設出M點坐標，根據(jù)M到直線/P的距離等于I列出方程，求出M點坐標，設出橢圓上

點的坐標，根據(jù)兩點間距離公式列出式子，將“點坐標滿足的橢圓方程代入消人可得到關于

x的二次函數(shù)，配方即可求得距離平方的最小值，進而求得距離的最小值.

【詳解】(1)解油題知

3620

:.a=6,b=2^5,c=4,

.?.4(—6,0),8(6,0),尸(4,0),

22

???尸在橢圓上，不妨設尸(x/),q+導1,

■.-PA1PF,.-.AP-FP=O,

：.(x+6,y)-(x-4,y)=0,

即x2+2x-24+y2^0,

3620

兩式聯(lián)立可得:

3573

x=~,y=-----

22

故點P的坐標為

\

(2)是橢圓長軸上的一點,

不妨設Af(見0),冽e[-6,6],

???/(-6,0),門，孚

:.1Ap:x-+6=0,

???M到直線AP的距離等于I地I,

|m+6|,

二.一/=6—777

VI+3

即|加+6|=12-2加,因為冽G[-6,6]

所以加+6=12-2m

解得m=2

設0(x,y)為橢圓任一點，

則滿足：+1=1,即下=180;5X；

貝1d=QM=J(尤-2『+/

I5?

=JX2-4X+4+20~—

故當X=g時d有最小值為后.

21.(1)50；40；10

(2)a=0.020

⑶82.5.

【分析】(1)由題意可先確定抽樣比為5:4:1,分別計算可求得結(jié)果；

(2)由頻率分布直方圖中所有小正方形面積為1，即可解得。=0.020；

(3)由百分位數(shù)的定義計算即可得游客滿意度分值的75%分位數(shù)為82.5.

【詳解】(1)老年、中青年、少年的人數(shù)比例為500:400:100=5:4:1,

故抽取100人，樣本中老年人數(shù)為100義二:；=50人,

5+4+1

4

中青年人數(shù)為100x1=40人,

少年人數(shù)為100x—J=10人；

(2)易知組距為10,由頻率分布