老教材數(shù)學(xué)人教a版必修5學(xué)案1.2.1解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例-距離問(wèn)題

1.2應(yīng)用舉例第1課時(shí)解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例——距離問(wèn)題必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)1.基線(1)定義和選取原則.定義在測(cè)量上,根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的線段選取原則在測(cè)量過(guò)程中,要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長(zhǎng)度,使測(cè)量具有較高的精確度,一般來(lái)說(shuō),基線越長(zhǎng),測(cè)量的精確度越高.(2)本質(zhì):解三角形必須知道三角形的一條邊長(zhǎng),這恰是基線的意義所在.(3)作用:基線的選擇決定了測(cè)量方案的設(shè)計(jì).2.方位角和方向角(1)方位角:從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角.如圖(1)目標(biāo)A的方位角為135°.(2)方向角:從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角.如圖(2),北偏東30°,南偏東45°.方位角與方向角有什么共同點(diǎn)?提示:方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的,均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系.1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”).(1)基線選擇不同,同一個(gè)量的測(cè)量結(jié)果可能不同. ()(2)東偏北45°的方向就是東北方向. ()(3)兩點(diǎn)間可視但不可到達(dá)問(wèn)題的測(cè)量方案實(shí)質(zhì)是構(gòu)造已知兩角及一邊的三角形并求解. ()(4)如圖所示,為了測(cè)量隧道AB的長(zhǎng)度,可測(cè)量數(shù)據(jù)a,b,γ進(jìn)行計(jì)算. ()提示:(1)√.(2)√.由方向角的定義可知.(3)√.可由正弦定理解三角形求解.(4)√.由余弦定理可求出AB.2.某次測(cè)量中,A在B的北偏東55°,則B在A的 ()A.北偏西35° B.北偏東55°C.南偏西35° D.南偏西55°【解析】選D.根據(jù)題意和方向角的概念畫出草圖,如圖所示α=55°,則β=α=55°.所以B在A的南偏西55°.3.(教材二次開發(fā):習(xí)題改編)如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的北偏東20°,燈塔B在觀察站C的南偏東40°,則燈塔A與燈塔B的距離為 ()A.akm B.QUOTEakmC.QUOTEakm D.2akm【解析】選B.由題意得∠ACB=120°,AB2=a2+a2-2a2cos120°=3a2,所以AB=QUOTEa.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一用正弦定理或余弦定理求距離(數(shù)學(xué)建模)角度1用正弦定理求距離

【典例】如圖所示,在一岸邊選定兩點(diǎn)A,B,望對(duì)岸標(biāo)記物C,測(cè)得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,則BC為m.

【思路導(dǎo)引】在△ABC中,知兩角和一邊,可以用正弦定理解三角形,求BC的長(zhǎng).【解析】由題意知,∠ACB=180°-30°-75°=75°,由正弦定理得,BC=QUOTE·sin∠CAB=QUOTE·sin30°=QUOTE×QUOTE=60(QUOTE-QUOTE).答案:60(QUOTE-QUOTE)角度2用余弦定理求距離

【典例】如圖,甲船以每小時(shí)30QUOTE海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行,當(dāng)甲船位于A1處時(shí),乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1處,此時(shí)兩船相距20海里.當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí),乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處,此時(shí)兩船相距10QUOTE海里,問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少海里?【思路導(dǎo)引】連接A1B2,先解△A1A2B2,再解△A1B2B1【解析】如圖連接A1B2,A2B2=10QUOTE,A1A2=QUOTE×30QUOTE=10QUOTE,△A1A2B2是等邊三角形,∠B1A1B2=105°-60°=45在△A1B2B1中,由余弦定理得B1QUOTE=A1QUOTE+A1QUOTE-2A1B1·A1B2cos45°=202+(10QUOTE)2-2×20×10QUOTE×QUOTE=200,B1B2=10QUOTE.因此乙船的速度的大小為QUOTE×60=30QUOTE(海里/時(shí)).答:乙船每小時(shí)航行30QUOTE海里.1.用正弦定理求距離問(wèn)題的策略(1)找基線.根據(jù)題意找出哪些線段的長(zhǎng)度可以求出,這樣的線段在哪些三角形中.(2)測(cè)基線長(zhǎng)及視角.注意根據(jù)平面幾何知識(shí)推出有關(guān)角的大小.(3)用正弦定理求解兩點(diǎn)間的距離.特別提醒:求距離問(wèn)題要注意的兩點(diǎn):(1)基線的選取要準(zhǔn)確恰當(dāng).(2)選定或創(chuàng)建的三角形要確定.2.用余弦定理求距離問(wèn)題的策略(1)總體思路.實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量涉及兩個(gè)(或兩個(gè)以上)三角形,這時(shí)需作出這些三角形,先解夠條件的三角形,然后逐步求出其他三角形中的解.(2)方程思想的應(yīng)用.設(shè)出未知量,從幾個(gè)三角形中用余弦定理列出方程(組),解方程(組)得出所要求的解.1.如圖,貨輪在海上以40km/h的速度沿著方位角(從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角)為140°的方向航行,為了確定貨輪的位置,貨輪在B點(diǎn)觀測(cè)燈塔A的方位角為110°,航行QUOTEh到達(dá)C點(diǎn),觀測(cè)燈塔A的方位角是65°,則貨輪到達(dá)C點(diǎn)時(shí),與燈塔A的距離是 ()A.10kmB.10QUOTEkmC.15kmD.15QUOTEkm【解析】選B.在△ABC中,BC=40×QUOTE=20(km),∠ABC=140°-110°=30°,∠ACB=(180°-140°)+65°=105°,所以A=180°-(30°+105°)=45°.由正弦定理,得AC=QUOTE=QUOTE=10QUOTE(km).2.某觀察站C與兩燈塔A,B的距離分別為300m和500m,測(cè)得燈塔A在觀察站C的北偏東30°方向上,燈塔B在觀察站C正西方向,則兩燈塔A,B間的距離為 ()A.500m B.600m C.700m D.800m【解析】選C.根據(jù)題意畫出圖形如圖.在△ABC中,BC=500,AC=300,∠ACB=120°,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120°=3002+5002-2×300×500×QUOTE=490000,所以AB=700m.【補(bǔ)償訓(xùn)練】一貨輪在海上由西向東航行,在A處望見(jiàn)燈塔C在貨輪的東北方向,半小時(shí)后在B處望見(jiàn)燈塔C在貨輪的北偏東30°方向.若貨輪的速度為30nmile/h,當(dāng)貨輪航行到D處望見(jiàn)燈塔C在貨輪的西北方向時(shí),求A,D兩處的距離.【解析】如圖所示,在△ABC中,∠CAB=45°,∠ABC=90°+30°=120°,所以∠ACB=180°-45°-120°=15°,AB=30×0.5=15(nmile),則由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,又因?yàn)閟in15°=QUOTE,sin120°=QUOTE,所以AC=QUOTE=QUOTE×15(nmile).在△ACD中,因?yàn)椤螦=∠D=45°,所以△ACD是等腰直角三角形,所以AD=QUOTEAC=15(3+QUOTE)(nmile).答:A,D兩處的距離為15(3+QUOTE)nmile.類型二綜合應(yīng)用正弦定理和余弦定理求距離(數(shù)學(xué)建模)【典例】(2020·唐山高二檢測(cè))如圖,為了測(cè)量河對(duì)岸A,B兩點(diǎn)的距離,觀察者找到一個(gè)點(diǎn)C,從C點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A,B;找到一個(gè)點(diǎn)D,從D點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A,C;找到一個(gè)點(diǎn)E,從E點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)B,C.并測(cè)量得到以下數(shù)據(jù),∠DCA=105°,∠ADC=30°,∠BCE=90°,∠ACB=∠CEB=60°,DC=200QUOTE米,CE=100QUOTE米.求A,B兩點(diǎn)的距離.【解析】由題意可知,在△ACD中,∠DAC=45°,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以AC=QUOTE=200米,在Rt△BCE中,BC=100QUOTE×QUOTE=300米,在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos60°=2002+3002-2×200×300×QUOTE=70000,所以AB=100QUOTE米.正弦定理與余弦定理交匯求距離的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)畫示意圖,弄清題目條件.根據(jù)題意畫圖研究問(wèn)題中所涉及的三角形,它的哪些元素是已知的,哪些元素是未知的.(2)選準(zhǔn)入手點(diǎn).找出已知邊長(zhǎng)的三角形,結(jié)合已知條件選準(zhǔn)“可解三角形”,并判斷是選用正弦定理,還是選用余弦定理求解.某人在M汽車站的北偏西20°的方向上的A處,觀察到點(diǎn)C處有一輛汽車沿公路向M站行駛.公路的走向是M站的北偏東40°.開始時(shí),汽車到A的距離為31千米,汽車前進(jìn)20千米后,到A的距離縮短了10千米.則汽車到達(dá)M汽車站還需行駛千米.

【解析】由題設(shè),畫出示意圖,設(shè)汽車前進(jìn)20千米后到達(dá)B處.在△ABC中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理,得cosC=QUOTE=QUOTE,則sin2C=1-cos2C=QUOTE,sinC=QUOTE,所以sin∠MAC=sin(120°-C)=sin120°cosC-cos120°sinC=QUOTE.在△MAC中,由正弦定理,得MC=QUOTE=QUOTE×QUOTE=35.從而有MB=MC-BC=15.故汽車到達(dá)M汽車站還需行駛15千米.答案:15【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.如圖,A,B是海面上位于東西方向相距5(3+QUOTE)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn),現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°,B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào),位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20QUOTE海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救,其航行速度為30海里每小時(shí),該救援船到達(dá)D點(diǎn)至少需要小時(shí).

【解析】由題意知AB=5(3+QUOTE),∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=45°,所以∠ADB=105°,所以sin105°=sin45°cos60°+sin60°cos45°=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.在△ABD中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以BD=QUOTE=QUOTE=5(3+QUOTE)×QUOTE=QUOTE=10QUOTE.又∠DBC=180°-60°-60°=60°,BC=20QUOTE,在△DBC中,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2×BD×BCcos60°=300+1200-2×10QUOTE×20QUOTE×QUOTE=900.所以CD=30(海里),則至少需要的時(shí)間t=QUOTE=1(小時(shí)).答案:12.一條河自西向東流淌,某人在河南岸A處看到河北岸兩個(gè)目標(biāo)C,D分別在東偏北45°和東偏北60°方向,此人向東走300米到達(dá)B處之后,再看C,D,則分別在西偏北75°和西偏北30°方向,求目標(biāo)C,D之間的距離.【解析】由題意得,在△ABD中,因?yàn)椤螪AB=60°,∠DBA=30°,所以∠ADB=90°,在Rt△ABD中,因?yàn)锳B=300,所有BD=300·sin60°=150QUOTE.在△ABC中,因?yàn)椤螩AB=45°,∠ABC=75°,所以∠ACB=60°.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以BC=QUOTE×QUOTE=100QUOTE.在△BCD中,因?yàn)锽C=100QUOTE,BD=150QUOTE,∠CBD=45°,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD=37500,所以CD=50QUOTE.答:目標(biāo)C,D之間的距離為50QUOTE米.類型三函數(shù)與方程思想在距離問(wèn)題中的應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模)【典例】已知海島B在海島A北偏東45°,且與A相距20海里,物體甲從海島B以2海里/小時(shí)的速度沿直線向海島A移動(dòng),同時(shí)物體乙從海島A以4海里/小時(shí)的速度沿直線向北偏西15°方向移動(dòng).(1)求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間,物體甲在物體乙的正東方向;(2)求甲從海島B到達(dá)海島A的過(guò)程中,甲乙兩物體的最短距離.【思路導(dǎo)引】(1)畫出物體甲在物體乙的正東方向時(shí)的示意圖,由正弦定理可解得;(2)由余弦定理及配方法可求得最小值.【解析】(1)設(shè)經(jīng)過(guò)t(0<t<10)小時(shí),物體甲移動(dòng)到E的位置,物體乙移動(dòng)到F的位置,如圖所示:物體甲與海島A的距離為AE=(20-2t)海里,物體乙與海島A距離為AF=4t海里,當(dāng)甲在乙正東方時(shí),∠AFE=75°,∠AEF=45°,在△AEF中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,則t=20-10QUOTE.答:經(jīng)過(guò)(20-10QUOTE)小時(shí),物體甲在物體乙的正東方向.(2)由(1)題設(shè),AE=20-2t,AF=4t,由余弦定理得EF2=AE2+AF2-2AE·AFcos∠EAF=(20-2t)2+(4t)2-2×(20-2t)×4t×QUOTE=28QUOTE+QUOTE,由0<t<10,得當(dāng)t=QUOTE時(shí)EFmin=QUOTE海里.答:甲乙兩物體之間的距離最短為QUOTE海里.函數(shù)與方程思想在距離問(wèn)題中的應(yīng)用(1)函數(shù)思想的應(yīng)用.將三角形中邊角之間的關(guān)系問(wèn)題借助正弦定理和余弦定理建立函數(shù)關(guān)系,結(jié)合有關(guān)函數(shù)的圖象和性質(zhì),加以分析、轉(zhuǎn)化、解決有關(guān)求取值范圍、最大(小)值問(wèn)題.(2)方程思想的應(yīng)用.正弦定理和余弦定理涉及三個(gè)邊和三個(gè)角共六個(gè)量,只要知道其中三個(gè)獨(dú)立的量(必須有邊)就能求出其余三個(gè)量.因此,解三角形的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中,直接求相關(guān)量較難時(shí),通常將問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系運(yùn)用這兩個(gè)定理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、方程組)加以解決.一次機(jī)器人足球比賽中,甲隊(duì)1號(hào)機(jī)器人由A點(diǎn)開始做勻速直線運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)B時(shí),發(fā)現(xiàn)足球在點(diǎn)D處正以2倍于自己的速度向點(diǎn)A做勻速直線滾動(dòng),如圖所示,已知AB=4QUOTEdm,AD=17dm,∠BAD=45°,若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間,則該機(jī)器人最快可在何處截住足球?【解析】設(shè)機(jī)器人最快可在點(diǎn)C處截住足球,點(diǎn)C在線段AD上,連接BC,如圖所示,設(shè)BC=xdm,由題意知CD=2xdm,AC=AD-CD=(17-2x)dm.在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA,即x2=(4QUOTE)2+(17-2x)2-8QUOTE(17-2x)cos45°,解得x1=5,x2=QUOTE.所以AC=17-2x=7或AC=-QUOTE(舍去).所以該機(jī)器人最快可在線段AD上離A點(diǎn)7dm的點(diǎn)C處截住足球.【補(bǔ)償訓(xùn)練】甲船在A處,乙船在A的南偏東45°方向,距A有9海里的B處,并以20海里/時(shí)的速度沿南偏西15°方向行駛,若甲船以28海里/時(shí)的速度行駛,用多少小時(shí)能最快追上乙船?【解析】如圖所示,設(shè)用t小時(shí)甲船能追上乙船,且在C處相遇.在△ABC中,AC=28t,BC=20t,AB=9,∠ABC=180°-45°-15°=120°.由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC,即(28t)2=92+(20t)2-2×9×20t×QUOTE,128t2-60t-27=0,所以t=QUOTE或t=-QUOTE(舍去).答:甲船用QUOTE小時(shí)能最快追上乙船.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.為了測(cè)量B,C之間的距離,在河岸A,C處測(cè)量,如圖:測(cè)得下面四組數(shù)據(jù),較合理的是 ()A.c與α B.c與bC.b,c與β D.b,α與γ【解析】選D.因?yàn)锳,C在河岸的同一側(cè),所以可以測(cè)量AC的長(zhǎng)度和∠BAC,∠BCA的大小,并用正弦定理求BC.2.學(xué)校體育館的人字形屋架為等腰三角形,如圖所示,測(cè)得AC的長(zhǎng)度為4米,A=30°,則其跨度AB的長(zhǎng)為 ()A.12米 B.8米 C.3QUOTE米 D.4QUOTE米【解析】選D.△ABC為等腰三角形,A=30°,AC=4,所以B=30°,C=120°,BC=4,所以由余弦