貴州省黔東南州2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題(含答案)

黔東南州2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測(cè)高二年級(jí)數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷

上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)第四章。

1.已知等比數(shù)列的前兩項(xiàng)分別為1,-2,則該數(shù)列的第4項(xiàng)為（）

A.4B.-4C.8D.-8

22

2.橢圓土+乙=1的焦距為（）

1814

A.2^/14B.4C.6A/2D.2

3.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量根=（1,L-1）是平面ABC的一個(gè)法向量，且8=（0,3,4）.則直線(xiàn)。與

平面ABC所成角的正弦值是（）

cD

A.-3-----D.

15<-K-f

4.若數(shù)列｛氏｝滿(mǎn)足4=2%—?jiǎng)t%=()

A.1B.log23C.A/5D.log25

5.已知橢圓十二^=1（加＞1）的焦點(diǎn)為耳,工,2為。上一點(diǎn)，且點(diǎn)P不在直線(xiàn)片工上，則

m+3m—1

“加＞6”是的周長(zhǎng)大于12”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

6.如圖，在三棱錐P—ABC中，點(diǎn)。滿(mǎn)足P月=4PD,CD=xAB+yAC+zAP,貝!J%—y+z=（）

B

1

7.已知4（口,2）,3（〃,3）,0是拋物線(xiàn)加：必=4'上的三個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)、,0（4,3）,點(diǎn)C到x軸的距離為d,

則|”|+忸-+|CD|+d的最小值為（）

A.10B.11C.6+2岔D.7+275

22

8.已知雙曲線(xiàn)'-言^=l（〃eN*）的離心率為%,當(dāng)機(jī)<1000時(shí)，在數(shù)列｛4｝中，滿(mǎn)足金為有理數(shù)的

m的最大值為（）

A.959B.960C.961D.963

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若直線(xiàn)4:y=5%+2,：y=—0?2%+L4：丁=5%一1，則（）

A.4〃，2B.4J_I?C.乙_1_4D.（〃4

10.已知｛區(qū)瓦。｝是空間的一個(gè)單位正交基底，則（）

A.|^+Z?|=V2|c|B.｛。一反〃+c,a+c｝構(gòu)成空間的一個(gè)基底

C.（a+Z?）?（a+c）=1D.｛a—〃/+o,々一c｝構(gòu)成空間的一個(gè)基底

11.已知公比為4的正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)積為北,%=1，則（）

A.=qB.當(dāng)0<q<l時(shí)，Tj>1

C.Tl3=lD.當(dāng)且7；取得最小值時(shí)，〃只能等于6

22

12.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，R是橢圓。：5+==1（?！等恕?）的右焦點(diǎn)，丫=日與橢圓。交于A,B兩點(diǎn)，

ab

M,N分別為的中點(diǎn)，若OMLON,則橢圓C的離心率可能為（）

3V21

A.—B.-----C.—D.------

4226

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

22

13.雙曲線(xiàn)匕—土=1的虛軸長(zhǎng)為.

89

2

14.拋物線(xiàn)V=—Ux的準(zhǔn)線(xiàn)方程為.

15.某階梯大教室的座位數(shù)從第二排開(kāi)始，每排的座位比前一排多3個(gè)，已知第一排有5個(gè)座位，且該階梯大

教室共有258個(gè)座位，則該階梯大教室最后一排的座位數(shù)為.

16.已知,加：/+丁2+2*-分+1=0,直線(xiàn)/:尤―y—1=O,P為/上的動(dòng)點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P作M的切線(xiàn)

切點(diǎn)分別為A,8,當(dāng)|尸加卜|44最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線(xiàn)A5的一般式方程為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）

已知圓C的圓心在直線(xiàn)尤―2y=0上，且圓。與y軸相切于點(diǎn)（0,2）.

（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線(xiàn)/:x—y=0與圖C相交于兩點(diǎn)，求|4國(guó).

18.（12分）

在數(shù)列｛4｝中，an+1=4+1且％%,4成等比數(shù)列.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)a=」一，求數(shù)列2｝的前〃項(xiàng)和

a,I*'

19.（12分）

已知點(diǎn)〃（-4,0）,N（4,0）,動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足歸閭—|尸2=4,記點(diǎn)尸的軌跡為曲線(xiàn)C.

（1）求。的方程；

（2）若A,6是。上不同的兩點(diǎn)，且直線(xiàn)A3的斜率為5,線(xiàn)段A3的中點(diǎn)為。，證明：點(diǎn)。在直線(xiàn)3x—5y=0

上.

20.（12分）

如圖，在直四棱柱4用￡，—A3CD中，AB=BC,AD=CD.

（1）證明：AC±BXDX.

⑵若ABLBC,BB]=gAB=g,四邊形ABC。的面積為正，求平面ABCD與平面片CD1夾角的余

弦值.

3

21.(12分)

已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S”嗎=1，且4+Sn為定值.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列2na"的前n項(xiàng)和Tn.

22.（12分）

已知點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C：V=4x上，點(diǎn)P在第一象限，過(guò)點(diǎn)尸且與C相切的直線(xiàn)/與y軸交于點(diǎn)N,與x軸交

于點(diǎn)”.

(1)證明：N是的中點(diǎn).

(2)過(guò)點(diǎn)P作/的垂線(xiàn)交C于另一點(diǎn)°,且|尸6=4歸閭，求/的斜率.

黔東南州2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測(cè)高二年級(jí)數(shù)學(xué)參考答案

1.D依題意可得該等比數(shù)列的公比為2,所以該數(shù)列的第4項(xiàng)為1x(-2);-8.

2.B因?yàn)?=18—14=4,所以c=2,2c=4.

3.C直線(xiàn)。與平面ABC所成角的正弦值等于cosdCD)|==4^二電

'/Im||CD昂515

4.D因?yàn)?=2"”"—〃2,6=i,所以2%—1=1,則%=L同理可得2%=5,則%=log25.

5.B因?yàn)?2=加+3—(加―1)=4,所以2c=4.又歸娟+|。閶=2a=2jm+3，所以居的周長(zhǎng)為

2ylm+3+4.若>6,則2ylm+3+4>2義3+4=10.若2dm+3+4〉12,則m>13>6.所以"加〉6”

是“△尸月月的周長(zhǎng)大于12”的必要不充分條件.

4

13-13?

6.CCD=AD-AC=-AB+-AP-AC=-AB-AC+-AP

4444f

13

所以九=—,y=-l,z=—,故x-y+z=2.

44

7.C因?yàn)椤钡臏?zhǔn)線(xiàn)方程為y=—l,所以同=2+1=3,忸同=3+l=4,d+l=|C耳，所以

\AF\+\BF\+\CD\+d=6+\CD\+\CF\>6+\DF\=6+^(4-0)2+(3-1)2=6+2,當(dāng)且僅當(dāng)C,D,F三

點(diǎn)共線(xiàn)且C在線(xiàn)段OR上時(shí)，等號(hào)成立，所以|4日+忸同+|CD|+2的最小值為6+2逐.

22I2

8.A雙曲線(xiàn)-----?—=ifneN］的離心率e=aH=J1+—=yJn+2.

〃療+〃''Vn

因?yàn)?仔=961,322=1024,所以當(dāng)〃z=3F—2=959時(shí)，(為有理數(shù).又加<1000,所以滿(mǎn)足條件的加的

最大值為959.

9.BD因?yàn)?x(-O.2)=—1,5=5,2w—l,所以4,/2，〃/。.

10.ACD因?yàn)椋鸻,b,c｝是空間的一個(gè)單位正交基底，所以a*,c均為單位向量且兩兩垂直，所以

卜+,=0卜］=后，A正確.(a+61(a+c)=a=1,C正確.

因?yàn)閍—〃+〃+c=a+c,所以｛a—〃4+c,a+c｝不能構(gòu)成空間的一■個(gè)基底，B錯(cuò)誤.

因?yàn)椴淮嬖趯?shí)數(shù)x,y,使得x(a-Z?)+y僅+c)=a-c,所以｛a-db+c,a-c｝構(gòu)成空間的一個(gè)基底，D正

確.

11.ABC=〃1%3夕==4，A正確.7j3=a「=l，C正確.

當(dāng)0<4<1時(shí)，因?yàn)?=1,所以4>1(，=1,2,,6),可得B正確.

當(dāng)4>1時(shí)，因?yàn)?=1,所以4<1?=1,2,?,6),則7；的最小值為"或q，D錯(cuò)誤.

12.AD設(shè)片為橢圓C的左焦點(diǎn)，所以AFJIOM,BFJION,則QMLON,

由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，得四邊形4耳8尸為矩形，則/E44=90，且A,3兩點(diǎn)不在y軸上，則離心率e=工〉正,

a2

橢圓C的離心率的取值范圍為［乎,1］故選AD.

13.6因?yàn)椤?9,所以6=3,所以該雙曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)為6.

14.x=?因?yàn)?p=n,所以"=T，所以?huà)佄锞€(xiàn)V=-11X的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=?.

5

15.38該階梯大教室的座位數(shù)按照從小到大的順序依次成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為5,公差為3,設(shè)該階梯大教

n(n-l)/、/、

室共有“排，則5〃+△——^x3=258,整理得(3〃+43)(〃—12)=0,因?yàn)榫牛?,所以〃=12.所以該階

梯大教室最后一排的座位數(shù)為5+(12—1)x3=38.

16.(l,0);%-y+l=0M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+lF+(y—2)2=4,

其圓心為M(—1,2),半徑為2.因?yàn)椴穦=2s加=盧川?|=2|刑=2MpM「-4,

所以當(dāng)|加|最小時(shí)，歸川口人到最小，此時(shí)與直線(xiàn)/垂直，所以直線(xiàn)的方程為y—2=—(x+1),

x-y-1=0,1一］

即x+y—1=0.聯(lián)立1,解得<_所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0),

x+y-l=0,0

\PM\=^/(-1-1)2+(2-0)2=2A/2.在RtZkB4M中，|”==2,同理忸尸|=2.以尸

為圓心，|AP|為半徑作圓尸(圖略)，則線(xiàn)段A3為；“與(。的公共弦，，。的方程為(x—l>+y2=4,

即爐+丁―2x—3=0,兩圓方程相減得x—y+l=0,即直線(xiàn)A5的一般式方程為x—y+l=0.

17.解：(1)設(shè)圓C的方程為(x—a『+(y—與2=產(chǎn)，貝g=26

因?yàn)閳AC與y軸相切于點(diǎn)(0,2),所以b=2/=a,

所以a=r=4,故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—4J+(y—2)2=16.

4-2

圓心。到標(biāo)準(zhǔn)直線(xiàn)/的距離為=42,則|知=2&6-2=2巧.

(2)F

18.解：(1)由4+1=4+1,可知｛4｝是以1為公差的等差數(shù)列.

因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以。得6=代.所以%(%+5)=(曰+2『,解得％=4,所以

an=4+〃-l=〃+3.

〃anan+l(〃+3)(幾+4)n+3〃+4

nlo11111111n

4556〃+3zi+44〃+44^+16

19.⑴解：因?yàn)闅w閘一|ZW|=4<||叫，

所以根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可知點(diǎn)P的軌跡為以M,N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線(xiàn)的右支,

6

由2Q=4,C=4,得o=2,"==12,

22

所以C的方程為工—L=l（x〉O）.

412V'

（2）證明：設(shè)4,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（七,%）,（%，%），

（22

江-五=1,

則‘2￡

迤—&=1,

L412

兩式相減并整理得,3（x；-x2）（x,++）_（乂_%）（%+%）=0，

設(shè)0（%,%），依題意可得P1+%=，

/+%=2%，

所以6%（%1f）-2%（乂-%）=。，

即6%-2%=0,所以6%—2%x5=0,

苞-x2

即3%—5%=0,所以點(diǎn)。在直線(xiàn)3x—5y=0上.

2222

【注】第（1）問(wèn)中C的方程也可以寫(xiě)為工—匕=1（x22）,若C的方程寫(xiě)為土—乙=1,扣1分.

412v7412

20.（1）證明：連接3。,AC,設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)E,因?yàn)?3=50,4。=CD,=6。，

所以△ABD名△CBD,所以/ABD=NCBD,又AB=BC,BE=BE,

所以△ABE/所以NAEB=NCEB,又ZAEB+NCEB=兀,

7T

所以NAEB=NCEB=X,即ACLBZ）.

2

因?yàn)?A_L平面ABCD,BDu平面ABC。，所以AA_L8D,

因?yàn)锳CLBRAAAC=A,所以J_平面4AC,因?yàn)閊Cu平面4AC，

所以AjCLBD,因?yàn)锽D//BQ],所以4C，用

7

Bi

（2）解：以3為原點(diǎn)，5。,癡,331所在直線(xiàn)分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

由題可知==夜，四邊形A6CD的面積為工?AC?3D=J5,解得BD=2.

2

所以4（0,0,夜）,C（1,0,0）,2（忘，夜,后）,=卜1,0,虎）,BR=（V2,V2,o）

易知"=（0,0,1）為平面ABCD的一個(gè)法向量,

設(shè)m=（九,y,z）為平面片CD1的一個(gè)法向量,

m?CB]=0,、募￡。取得…'貝小嚴(yán)―卬'

1貝I

m.BQ1=0,

m，n&=半，故平面ABCD與平面片CR夾角的余弦值為手

所以COS(以二\||

\/\m\\n\

21.解：（1）因?yàn)閝=l,且a“+S”為定值，所以%+S”=弓+5=2囚=2,

當(dāng)〃之2時(shí),a〃_i+Sx=2,所以(Q〃+Sj—(Q〃T+SM)=0,

即2a“—4_]=0,即％=；%_],所以｛4｝是首項(xiàng)為1,公比為g的等比數(shù)列，故為

〃re12幾J12n

（2）由（1）知，一M6Z57，則（=不+笆++夕，所以3<=夕+亨+，+尹，所以

2乙乙乙乙乙乙乙乙

1

1〃2

0，y=l-葉故q=2_9

---------------=—

K+導(dǎo)導(dǎo)