選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程高考復(fù)習(xí)講義

選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程高考復(fù)習(xí)講義本部分是人教A版教材選修模塊內(nèi)容，主要對(duì)極坐標(biāo)的概念、點(diǎn)的極坐標(biāo)及簡單曲線的極坐標(biāo)方程進(jìn)行考查。對(duì)于參數(shù)方程，主要考查直線、圓與圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用。參數(shù)方程是解析幾何、平面向量、三角函數(shù)、圓錐曲線與方程等知識(shí)的綜合應(yīng)用和進(jìn)一步深化，是研究曲線的工具，特別值得關(guān)注。最重要的是它是新課標(biāo)全國卷三個(gè)選考模塊中難度系數(shù)最高的，明顯比另兩個(gè)模塊簡單。第一節(jié)坐標(biāo)系基本知識(shí)點(diǎn)：1．平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λ·x，λ＞0，,y′＝μ·y，μ＞0))的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換．2．極坐標(biāo)系與極坐標(biāo)(1)極坐標(biāo)系：如圖所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)，自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個(gè)長度單位，一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系．(2)極坐標(biāo)：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為θ.有序數(shù)對(duì)(ρ，θ)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記為M(ρ，θ)不做特殊說明時(shí)，我們認(rèn)為ρ≥0，θ可取任意實(shí)數(shù)．3．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M是坐標(biāo)系平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如下表：點(diǎn)M直角坐標(biāo)(x，y)極坐標(biāo)(ρ，θ)互化公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\a\vs4\al(ρcosθ),y＝\a\vs4\al(ρsinθ)))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2,tanθ＝\f(y,x)x≠0))4.常見曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓ρ＝r(0≤θ＜2π)圓心為(r,0)，半徑為r的圓ρ＝2rcos_θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)≤θ≤\f(π,2)))圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r，\f(π,2)))，半徑為r的圓ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π)過極點(diǎn)，傾斜角為α的直線(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)過點(diǎn)(a,0)，與極軸垂直的直線ρcos_θ＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＜θ＜\f(π,2)))過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,2)))，與極軸平行的直線ρsin_θ＝a(0＜θ＜π)必考知識(shí)點(diǎn)：1．在將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)求極角θ時(shí)，易忽視判斷點(diǎn)所在的象限(即角θ的終邊的位置)．2．在極坐標(biāo)系下，點(diǎn)的極坐標(biāo)不惟一性易忽視．注意極坐標(biāo)(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一點(diǎn)的坐標(biāo)．[試一試]：1.點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，－eq\r(3))，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)為________．2.極坐標(biāo)方程ρ＝sinθ＋2cosθ能表示的曲線的直角坐標(biāo)方程為________．1.確定極坐標(biāo)方程的四要素:極點(diǎn)、極軸、長度單位、角度單位及其正方向，四者缺一不可．2.直角坐標(biāo)(x，y)化為極坐標(biāo)(ρ，θ)的步驟:(1)運(yùn)用ρ＝eq\r(x2＋y2)，tanθ＝eq\f(y,x)(x≠0)(2)在[0,2π)內(nèi)由tanθ＝eq\f(y,x)(x≠0)求θ時(shí)，由直角坐標(biāo)的符號(hào)特征判斷點(diǎn)所在的象限．[練一練]：1．在極坐標(biāo)系中，圓心在(eq\r(2)，π)且過極點(diǎn)的圓的方程為________．2．已知直線的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)，則極點(diǎn)到該直線的距離是________．考點(diǎn)一：平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換1.設(shè)平面上的伸縮變換的坐標(biāo)表達(dá)式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝3y，))則在這一坐標(biāo)變換下正弦曲線y＝sinx的方程變?yōu)開__．2．函數(shù)y＝sin(2x＋eq\f(π,4))經(jīng)伸縮變換eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝\f(1,2)y))后的解析式為________．3．雙曲線C：x2－eq\f(y2,64)＝1經(jīng)過φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,2y′＝y(tǒng)))變換后所得曲線C′的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________．[類題通法]：平面圖形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮變換來表示．在伸縮變換eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λ·x，λ>0,y′＝μ·y，μ>0))下，直線仍然變成直線，拋物線仍然變成拋物線，雙曲線仍然變成雙曲線，圓可以變成橢圓，橢圓也可以變成圓．考點(diǎn)二：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化[典例]1：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為3ρ2＝12ρcosθ－10(ρ>0)．(1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程；(2)曲線C2的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1，設(shè)P，Q分別為曲線C1與曲線C2上的任意一點(diǎn)，求|PQ|的最小值．[類題通法]：直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，關(guān)鍵掌握好互化公式，研究極坐標(biāo)系下圖形的性質(zhì)可轉(zhuǎn)化直角坐標(biāo)系的情境進(jìn)行．[針對(duì)訓(xùn)練]：在極坐標(biāo)系中，直線ρcosθ－ρsinθ＋1＝0與圓ρ＝2sinθ的位置關(guān)系是________．考點(diǎn)三：極坐標(biāo)方程及應(yīng)用[典例]2已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))，在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，直線l的方程為ρsin(θ＋eq\f(π,4))＝2eq\r(2).(1)求曲線C在極坐標(biāo)系中的方程；(2)求直線l被曲線C截得的弦長．變式：在本例(1)的條件下，求曲線C與曲線C1：ρcosθ＝3(ρ≥0,0≤θ<eq\f(π,2))交點(diǎn)的極坐標(biāo).[類題通法]：求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟(1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P(ρ，θ)是曲線上任意一點(diǎn)；(2)由曲線上的點(diǎn)所適合的條件，列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑ρ和極角θ之間的關(guān)系式；(3)將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡，得出曲線的極坐標(biāo)方程．[針對(duì)訓(xùn)練]：(2013·荊州模擬)在極坐標(biāo)系中，過圓ρ＝6cosθ的圓心，且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程為________．參數(shù)方程必考知識(shí)點(diǎn)：1．參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式．一般地，可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程．(2)如果知道變數(shù)x，y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g(t)，那么，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt))就是曲線的參數(shù)方程．2．常見曲線的參數(shù)方程和普通方程點(diǎn)的軌跡普通方程參數(shù)方程直線y－y0＝tanα(x－x0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))圓x2＋y2＝r2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rcosθ,y＝rsinθ))(θ為參數(shù))橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ,y＝bsinφ))(φ為參數(shù))易錯(cuò)點(diǎn)：1.不明確直線的參數(shù)方程中的幾何意義導(dǎo)致錯(cuò)誤，對(duì)于直線參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα.))(t為參數(shù))注意：t是參數(shù)，α則是直線的傾斜角．2．參數(shù)方程與普通方程互化時(shí)，易忽視互化前后的等價(jià)性．[練一練]：1．若直線的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t，,y＝2－3t))(t為參數(shù))，則直線的斜率為________．A.eq\f(2,3)B．－eq\f(2,3)C.eq\f(3,2)D．－eq\f(3,2)2．參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3t2＋2,y＝t2－1))(0≤t≤5)的曲線為__________(填“線段”、“雙曲線”、“圓弧”或“射線”)．1．化參數(shù)方程為普通方程的方法消去參數(shù)方程中的參數(shù)，就可把參數(shù)方程化為普通方程，消去參數(shù)的常用方法有：①代入消元法；②加減消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．2．利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解問題的方法經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))．若A，B為直線l上兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，線段AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t0，則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：(1)t0＝eq\f(t1＋t2,2)；(2)|PM|＝|t0|＝eq\f(t1＋t2,2)；(3)|AB|＝|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.[練一練]：1．已知P1，P2是直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝－2＋\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))上的兩點(diǎn)，它們所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則線段P1P2的中點(diǎn)到點(diǎn)P(1，－2)的距離是________．2．已知直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2－\f(1,2)t，,y＝－1＋\f(1,2)t))(t為參數(shù))與圓x2＋y2＝4相交于B，C兩點(diǎn)，則|BC|的值為________．考點(diǎn)一：參數(shù)方程與普通方程的互化1.曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2\r(3)cosθ,y＝3\r(2)sinθ))(θ為參數(shù))中兩焦點(diǎn)間的距離是________．2．(2014·西安質(zhì)檢)若直線3x＋4y＋m＝0與圓eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosθ，,y＝－2＋sinθ))(θ為參數(shù))相切，則實(shí)數(shù)m的值是________．3．(2014·武漢調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－t，,y＝\r(3)t))(t為參數(shù)，t∈R)與曲線C1：ρ＝4sinθ異于點(diǎn)O的交點(diǎn)為A，與曲線C2：ρ＝2sinθ異于點(diǎn)O的交點(diǎn)為B，則|AB|＝________.[類題通法]:參數(shù)方程是以參變量為中介來表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的方程，是曲線在同一坐標(biāo)系下的另一種表示形式，參數(shù)方程化為普通方程關(guān)鍵在于消參，消參時(shí)要注意參變量的范圍．考點(diǎn)二：參數(shù)方程的應(yīng)用[典例]1：已知直線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù))，曲線C2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))．(1)當(dāng)α＝eq\f(π,3)時(shí)，求C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)O作C1的垂線，垂足為A，P為OA的中點(diǎn)，當(dāng)α變化時(shí)，求點(diǎn)P軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線．變式：在本例(1)條件下，若直線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα,y＝tsinα，))(t為參數(shù))，與直線C2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝s，,y＝1－as))(s為參數(shù))垂直，求a.[類題通法]：1．解決直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用問題時(shí)一般是先化為普通方程再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系來解決問題．2．對(duì)于形如eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋at，,y＝y(tǒng)0＋bt))(t為參數(shù))當(dāng)a2＋b2≠1時(shí)，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題．[針對(duì)訓(xùn)練]：(2013·新課標(biāo)卷Ⅱ)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P，Q在曲線C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cost，,y＝2sint))(t為參數(shù))上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t＝α與t＝2α為(0＜α＜2π)，M為PQ的中點(diǎn)．(1)求M的軌跡的參數(shù)方程；(2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為α的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn)．考點(diǎn)三：極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用[典例]2：在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝a，且點(diǎn)A在直線l上．(1)求a的值及直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosα，,y＝sinα))(α為參數(shù))，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系．[類題通法]：涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解．當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身特點(diǎn)，確定選擇何種方程．[針對(duì)訓(xùn)練]：(2013·石家莊質(zhì)檢)已知P為半圓C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù)，0≤θ≤π)上的點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在射線OP上，線段OM與半圓C的弧eq\x\to(AP)的長度均為eq\f(π,3).(1)以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求點(diǎn)M的極坐標(biāo)；(2)求直線AM的參數(shù)方程．選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程專題訓(xùn)練1．在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓ρ＝4sinθ和直線ρsinθ＝a相交于A，B兩點(diǎn)．若△AOB是等邊三角形，則a的值為________．2.以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位．已知直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝t－3))(t為參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cosθ，則直線l被圓C截得的弦長為()A.eq\r(14)B．2eq\r(14)C.eq\r(2)D．2eq\r(2)3．曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋cosθ，,y＝2＋sinθ))(θ為參數(shù))的對(duì)稱中心()A.在直線y＝2x上B.在直線y＝－2x上C.在直線y＝x－1上D.在直線y＝x＋1上4.(Ⅱ)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a－2t，,y＝－4t))(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4cosθ，,y＝4sinθ))(θ為參數(shù))．(1)求直線l和圓C的普通方程；(2)若直線l與圓C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．5.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中，曲線C1和C2的方程分別為ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線C1和C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為________．6.(選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)已知曲線C1的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)，,y＝\f(\r(3t),3)))(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ＝2，則C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為________．7．在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為eq\f(π,4)的直線l與曲線C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosα，,y＝1＋sinα))(α為參數(shù))交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則直線l的極坐標(biāo)方程是________．8.(2)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段y＝1－x(0≤x≤1)的極坐標(biāo)方程為()A.ρ＝eq\f(1,cosθ＋sinθ)，0≤θ≤eq\f(π,2)B.ρ＝eq\f(1,cosθ＋sinθ)，0≤θ≤eq\f(π,4)C.ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤eq\f(π,2)D.ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤eq\f(π,4)9.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程將圓x2＋y2＝1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C.(1)寫出C的參數(shù)方程；(2)設(shè)直線l：2x＋y－2＝0與C的交點(diǎn)為P1，P2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程．10.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，直線l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t為參數(shù))．(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值．11.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)求C的參數(shù)方程；(2)設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線l：y＝eq\r(3)x＋2垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo)．12.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))到直線ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝1的距離是________．13.(1)在極坐標(biāo)系Ox中，設(shè)集合A＝{(ρ，θ)|0≤θ≤eq\f(π,4)，0≤ρ≤cosθ}，求集合A所表示區(qū)域的面積；(2)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4＋tcos\f(π,4)，,y＝tsin\f(π,4)))(t為參數(shù))，曲線C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))，其中a＞0.若曲線C上所有點(diǎn)均在直線l的右下方，求a的取值范圍．14．[2014·重慶卷]已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝3＋t))(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ－4cosθ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，則直線l與曲線C的公共點(diǎn)的極徑ρ＝________．第一節(jié)坐標(biāo)系參考答案1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,3)))2.x2＋y2－2x－y＝0練習(xí)1：解析：如圖，O為極點(diǎn)，OB為直徑，A(ρ，θ)，則∠ABO＝θ－90°，OB＝2eq\r(2)＝eq\f(ρ,sinθ－90°)，化簡得ρ＝－2eq\r(2)cosθ.2.eq\f(\r(2),2)考點(diǎn)一：1.y′＝3sin2x′2.y′＝eq\f(1,2)sin(x′＋eq\f(π,4))3.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1為曲線C′的方程，焦點(diǎn)F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)為所求．考點(diǎn)二：例:1.(1)曲線C1的方程(x－2)2＋y2＝eq\f(2,3).|QC1|min＝eq\f(2\r(6),3)，所以|PQ|min＝eq\f(\r(6),3).練習(xí)：相交例2：[解](1)由已知得，曲線C的普通方程為(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，化為極坐標(biāo)方程是ρ＝4cosθ.(2)由題意知，直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－4＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x＝0，,x＋y＝4，))得直線l與曲線C的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，(4,0)，所以所求弦長為2eq\r(2).變式：由曲線C，C1極坐標(biāo)方程聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρcosθ＝3，ρ＝4cosθ，))∴cos2θ＝eq\f(3,4)，cosθ＝±eq\f(\r(3),2)，又ρ≥0，θ∈[0，eq\f(π,2))．∴cosθ＝eq\f(\r(3),2)，θ＝eq\f(π,6)，ρ＝2eq\r(3)，故交點(diǎn)極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(π,6))).訓(xùn)練：ρ＝6cosθ在直角坐標(biāo)系中表示圓心為(3,0)，半徑為3的圓．過圓心且垂直于x軸的直線方程為x＝3，其在極坐標(biāo)系下的方程為ρcosθ＝3.第二節(jié)參數(shù)方程與極坐標(biāo)參考答案練習(xí)1.D2.線段練習(xí)1：由t的幾何意義可知，線段P1P2的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為eq\f(t1＋t2,2)，P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t＝0，∴線段P1P2的中點(diǎn)到點(diǎn)P的距離為eq\f(|t1＋t2|,2).2.eq\r(14)考點(diǎn)一：1.2eq\r(6)2.0或103.eq\r(3)例1：(1)(1,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2))).(2)依題意，C1的普通方程為xsinα－ycosα－sinα＝0，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為(sin2α，－sinαcosα)，故當(dāng)α變化時(shí)，P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)sin2α，,y＝－\f(1,2)sinαcosα))(α為參數(shù))，∴點(diǎn)P軌跡的普通方程為(x－eq\f(1,4))2＋y2＝eq\f(1,16).故點(diǎn)P的軌跡是圓心為(eq\f(1,4)，0)，半徑為eq\f(1,4)的圓．變式：由(1)知C1的普通方程為y＝eq\r(3)(x－1)，C2的普通方程為y＝1－ax，由兩線垂直得－a×eq\r(3)＝－1，故a＝eq\f(\r(3),3).訓(xùn)練：(1)依題意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α),因此M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α)．M的軌跡的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosα＋cos2α，,y＝sinα＋sin2α))(α為參數(shù)，0＜α＜2π)．(2)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(2＋2cosα)(0＜α＜2π)．當(dāng)α＝π時(shí)，d＝0，故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn)．例2：(1)由點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))在直線ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝a上，可得a＝eq\r(2).所以直線l的方程可化為ρcosθ＋ρsinθ＝2，從而直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－2＝0.(2)由已知得圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1，所以圓C的圓心為(1,0)，半徑r＝1，因?yàn)閳A心C到直線l的距離d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)<1，所以直線l與圓C相交．訓(xùn)練：(1)由已知，點(diǎn)M的極角為eq\f(π,3)，且|OM|＝eq\f(π,3)，故點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(eq\f(π,3)，eq\f(π,3))．(2)由(1)可得點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(eq\f(π,6)，eq\f(\r(3)π,6))，A(1,0)，故直線AM的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(π,6)－1t，,y＝\f(\r(3)π,6)t))(t為參數(shù))2014年高考坐標(biāo)系與參數(shù)方程參考答案1．3[解析]將ρ＝4sinθ與ρsinθ＝a轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程分別為x2＋(y－2)2＝4與y＝a.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝a，,x2＋（y－2）2＝4，))得x2＝－a2＋4a，且0<a<4.∵△AOB為等邊三角形，∴a2＝3(－a2＋4a)，解得a＝3或a＝0(舍)．2．D[解析]直線l的普通方程為y＝x－4，圓C的直角坐標(biāo)方程是(x－2)2＋y2＝4，圓心(2，0)到直線l的距離d＝eq\f(|2－0－4|,\r(2))＝eq\r(2)，所以直線l被圓C截得的弦長為2eq\r(22－（\r(2)）2)＝2eq\r(2).3．B[解析]曲線方程消參化為(x＋1)2＋(y－2)2＝1，其對(duì)稱中心點(diǎn)為(－1，2)，驗(yàn)證知其在直線y＝－2x上．4.(Ⅱ)解：(1)直線l的普通方程為2x－y－2a＝0，圓C的普通方程為x2＋y2＝16.(2)因?yàn)橹本€l與圓C有公共點(diǎn)，故圓C的圓心到直線l的距離d＝≤4，解得－2eq\r(5)≤a≤2eq\r(5).5．(1，1)[解析]本題主要考查將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法．將曲線C1的方程ρsin2θ＝cosθ化為直角坐標(biāo)方程為y2＝x，將曲線C2的方程ρsinθ＝1化為直角坐標(biāo)方程為y＝1.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝x，,y＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))故曲線C1和C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1，1)．6.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，1))[解析]由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)，,y＝\f(\r(3t),3)，))消去t得y＝eq\f(\r(3),3)x(x≥0)，即曲線C1的普通方程是y＝eq\f(\r(3),3)x(x≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x2＋y2＝4，即曲線C2的直角坐標(biāo)方程是x2＋y2＝4.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)x（x≥0），,x2＋y2＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)，,y＝1.))故曲線C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，1)).7．ρcosθ－ρsinθ＝1[解析]依題意可設(shè)直線l：y＝x＋b，曲線C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosα，,y＝1＋sinα))的普通方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1.由|AB|＝2可知圓心(2，1)在直線l：y＝x＋b上，即l：y＝x－1，所以l的極坐標(biāo)方程是ρcosθ－ρsinθ－1＝0.8．(2)A[解析]依題意，方程y＝1－x的極坐標(biāo)方程為ρ(cosθ＋sinθ)＝1，整理得ρ＝eq\f(1,cosθ＋sinθ).因?yàn)?≤x≤1，所以0≤y≤1，結(jié)合圖形可知，0≤θ≤eq\f(π,2).9．解：(1)設(shè)(x1，y1)為圓上的點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)镃上點(diǎn)(x，y)，依題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x1，,y＝2y1，))由xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝1得x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))eq\s\up12(2)＝1，即曲線C的方程為x2＋eq\f(y2,4)＝1.故C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cost，,y＝2sint))(t為參數(shù))．(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(y2,4)＝1，,2x＋y－2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))不妨設(shè)P1(1，0)，P2(0，2)，則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，所求直線的斜率k＝eq\f(1,2)，于是所求直線方程為y－1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，化為極坐標(biāo)方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ＝eq\f(3,4sinθ－2cosθ).10．解：(1)曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數(shù))，直線l的普通方程為2x＋y－6＝0.(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cosθ，3sinθ)到l的距離d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ＋3sinθ－6|，則|PA|＝eq\f(d,sin30°)＝eq\f(2\r(5),5)|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tanα＝eq\f(4,3).當(dāng)sin(θ＋α)＝－1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為eq\f(22\r(5),5).當(dāng)sin(θ＋α)＝1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為eq\f(2\r(5),5).11．解：(1)C的普通方程為(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．可得C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cost，,y＝sint，))(t為參數(shù)，0≤t≤π)．(2)設(shè)D(1＋cost，sint)．由(1)知C是以G(1，0)為圓心，1為半徑的上半圓．因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線與l垂直，所以直線GD與l的斜率相同，tant＝eq\r(3)，t＝eq\f(π,3).故D的直角坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋cos\f(π,3)，sin\f(π,3)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2))).12．C．1[解析]C．點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))的極坐標(biāo)可化為x＝ρcosθ＝2coseq\f(π,6)＝eq\r(3)，y＝ρsinθ＝2sineq\f(π,6)＝1，即點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(eq\r(3)，1)．直線ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝ρsinθcoseq\f(π,6)－ρcosθsineq\f(π,6)＝1，即該直線在直角坐標(biāo)系中的方程為x－eq\r(3)y＋2＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式得所求距離為d＝eq\f(|\r(3)－\r(3)＋2|,\r(12＋（－\r(3)）2))＝1.13.解：(1)在ρ＝cosθ兩邊同乘ρ，得ρ2＝ρcosθ.化成直角坐標(biāo)方程，得x2＋y2＝x，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,4).所以集合A所表示的區(qū)域?yàn)椋河缮渚€y＝x(x≥0)，y＝0(x≥0)，圓eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,4)所圍成的區(qū)域，如圖所示的陰影部分，所求面積為eq\f(π,16)＋eq\f(1,8).(2)由題意知，