2024江蘇省四校聯(lián)考高三年級(jí)下冊(cè)開學(xué)考數(shù)學(xué)試題及答案

高中

2024屆高三年級(jí)第二學(xué)期期初測(cè)試

數(shù)學(xué)

本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分。共4頁(yè)，總分150分，考試時(shí)間120

分鐘。

第I卷(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合/={xeR|N—2x-3<0},集合8={xeR|log2(x+2)<l},貝！

A.(-3,2)B.(-2,3)C.(-2,0)D.(-1,0)

2.已知復(fù)數(shù)z滿足(1—i)z=3—i,則復(fù)數(shù)I』|=

A.2B.V5C.2收D.V10

3.在AA8C中，"A=B"是"cos/+sin/=cos2+sin3”的

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.我國(guó)周朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，在西方，最早提出并

證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們用演繹法證明了直角三角

形斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和.在3,4,5,6,8,10,12,13這8個(gè)數(shù)中任取3個(gè)

數(shù)，這3個(gè)數(shù)恰好可以組成勾股定理關(guān)系的概率為

TT

5.已知圓臺(tái)的上底面半徑為1,下底面半徑為2,母線與下底面所成的角為上，則該圓臺(tái)

3

的體積為

A.娛5G873

B.——71D.------71

333

6.若(2—x)i。的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為所有項(xiàng)系數(shù)和為2,一次項(xiàng)系數(shù)為C,則/+

B+C=

A.4095B.4097C.-4095D.-4097

7.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=l,則二+二^的最大值為

3x+yx+3y

9-2V2

8

高中1

高中

TT

8.若xi，X2是關(guān)于x的方程3sin2x—cos2x=a在［0,—］內(nèi)的兩根，則tan(xi+x2)的值為

-2一

11

A.-3B.3D.--D.-

33

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知向量。=(1,-2),b=(l,3),則下列結(jié)論正確的是

A”在。上的投影向量是(1,-2)B.\2a+b\=\b\

兀

C.a與方的夾角為一D.(a+Z>)l?

4

10.以下四個(gè)命題表述正確的是

A.直線(3+m)x+4y—3+3機(jī)=0(xER)T旦過定點(diǎn)(—2,3)

B.圓x2+y2=4上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線/：x—y+亞=0的距離都等于I

C.曲線G：12+/+2%=0與曲線G：N+j?-4%—8y+冽=0恰有三條公切線，則冽=

4

22

D.若雙曲線一一右=1(a>0,b>0)的一條漸近線被圓x2+y2-6x=0截得的弦長(zhǎng)為2

ab

o/7

節(jié),則雙曲線的離心率為土

5

11.設(shè)定義在(0,+⑹上的函數(shù)/(尤)的導(dǎo)函數(shù)為，⑺，若滿足獷6)+X+尤)=1,且/⑴

=0,則下列說法正確的是

A./(2)>/(3)B.若/(xi)=/(必)，且修不M，則xi+M=2e

C./W的最大值為工D.若鏟32乩則^0

e

第H卷(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.己知等比數(shù)列｛〃“｝的公比為2,前"項(xiàng)和為S,”且7,02,生成等差數(shù)列，則$6=

13.為了調(diào)查某蘋果園中蘋果的生長(zhǎng)情況，在蘋果園中隨機(jī)采摘了100個(gè)蘋果.經(jīng)整理分析

后發(fā)現(xiàn)，蘋果的重量x(單位：kg)近似服從正態(tài)分布N(0.4,接)，已知尸(x<0.1)=

0.1,P(x>0.5)=0.3.若從該蘋果園中隨機(jī)采摘1個(gè)蘋果，則該蘋果的重量在

(0.5,0.7］內(nèi)的概率為▲.

14.在正三棱錐/—58中，底面ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為/。的中點(diǎn)，ABLCE,則以4D

為直徑的球截該棱錐各面所得交線長(zhǎng)為▲.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

高中2

高中

在A45C中，角4,B,。所對(duì)的邊分別為“，b,c,cosA=-.

3

.2B+C.2/44/土

（z1）x求rtan--------+sin—的值；

22

（2）若。=2a,A43c的面積為收，求6的值.

16.（15分）

籃球是一項(xiàng)風(fēng)靡世界的運(yùn)動(dòng)，是深受大眾喜歡的一項(xiàng)運(yùn)動(dòng).

喜愛籃球運(yùn)動(dòng)不喜愛籃球運(yùn)動(dòng)合計(jì)

男性6040100

女性2080100

合計(jì)80120200

（1）為了解喜愛籃球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男性和女性各100名觀眾進(jìn)行調(diào)

查，得到如上2X2列聯(lián)表，判斷是否有99.9%把握認(rèn)為喜愛籃球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)；

（2）校籃球隊(duì)中的甲、乙、丙三名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳

球時(shí)，傳球者都等可能的將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每

次傳球都能被接到，記開始傳球的人為第1次觸球者，第八次觸球者是甲的概率記為巴，

即尸1=1.

①求2（直接寫出結(jié)果即可）；

②證明：數(shù)列｛尸.一；｝為等比數(shù)列，并比較第9次與第10次觸球者是甲的概率的大

小.

P0.1000.0500.0250.0100.001

%02.7063.8415.0246.63510.828

附：州=…比X?）（"d）

17.(15分)

x2

已知函數(shù)/(x)=xe~kxfkER.

高中3

高中

(1)當(dāng)人=0時(shí)，求函數(shù)/(x)在［—2,2］上的值域；

⑵若函數(shù)/(x)在(0,十⑹上僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

18.(17分)

已知矩形N8CD中，點(diǎn)E在邊CO上，且AD=DE=2CE=0現(xiàn)將A4DE沿/￡向上

翻折，使點(diǎn)。到點(diǎn)尸的位置，構(gòu)成如圖所示的四棱錐尸一N5CE.

AF

⑴若點(diǎn)P在線段NP上，且￡尸//平面P8C,求——的值；

FP

(2)若PB=叵,求銳二面角P-EC-A的余弦值.

2

19.(17分)

在平面直角坐標(biāo)系了帆中，若在曲線用的方程下(x,y)=0中，以(笈，如)Q為非零的

正實(shí)數(shù))代替(x,y)得到曲線瓦的方程產(chǎn)出，")=0,則稱曲線為、及關(guān)于原點(diǎn)“伸縮”，

變換(x,y)f(灰,如)稱為“伸縮變換”,4稱為伸縮比.

(1)已知曲線用的方程為土-匕=1,伸縮比力=上,求用關(guān)于原點(diǎn)“伸縮變換”后

432

所得曲線外的方程；

L丫2

(2)射線/的方程y=7ic(x20),如果橢圓?:亍+/=1經(jīng)“伸縮變換”后得到橢

V3

圓瓦，若射線/與橢圓均、為分別交于兩點(diǎn)4B,且|/川=工，求橢圓瓦的方程;

'3

(3)對(duì)拋物線e：N=22M作變換(x,y)-(3x,2曲，得拋物線4：N=2對(duì)外

32

作變換(x,y)f(蒞X，My),得拋物線與：x=2p3y；如此進(jìn)行下去，對(duì)拋物線E〃：x=2Pny

作變換(x,y)fQ1nx,4y)，得拋物線￡"+i：N=2p”+v，….右Pi=l，2”=2",求數(shù)列”"}

的通項(xiàng)公式

高中4

高中

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數(shù)學(xué)參考答案

l.D2.B3.A4.D5.C6.C7.C8.A

9.BD10.BCD11.CD

12「竺14.{&+殍“

13.0.2

4

15.（13分）

解：（1）因?yàn)閏osX=w

B+C..A$沁冷令*A

A0°S>.7

Um*--i!---------&—V

22一1*

SU）—

l-CO$djI._I

7I-cos4+317

（6分）

1-cos42I123,

23

（2）S：.A?C=-/><?sin,4=—AcX,/x=3.（8分）

223

又，=缶+/一&（：0&4即8=護(hù)+1-2><3'；,/>2+cJ=IO.

（10分）

所以3（扭b=；c或b=3c,從而〃=1或b=3.⑴分）

16.（15分）

;

,,,田”,，引映士必1HWia，200x（60xW）-20x40）IOO

解：（1）根據(jù)列聯(lián)々數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得了-―~…“?—-—>10.82SX,皿

100x100x80x1203

根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)?即有999%的把握認(rèn)為再愛解球后動(dòng)與性別有關(guān).（4分）

<2）由甩意得：第二次觸跳者為乙，丙中的?個(gè)，第：次觸球若傳給包括甲的二人中的人.

故傳給甲的概率為g,故月=；.

（6分）

第〃次觸理者是甲的概率記為《，則當(dāng)時(shí)，第”-1次觸球若是甲的低率為心,.

第n-1次觸球打不足甲的概咨為1-己_,.

則「=匕「0+（”七）；=；（1-七J，

（10分）

從而?W-LJX/J-1=1*O.

所以是以I為首項(xiàng)，公比為一;的等比數(shù)列,

（12分）

高中5

高中

故而9次觸球者是甲的假率大.(15分)

17.(15分)

解：(1)當(dāng)〃=0時(shí)，j(x).rc*(x€RJ,所以r(x)=(1+x)，e',(2分)

令r(a=o,則.t—1.

X(-2.-0-1(-1.2)

-0

/(x)取調(diào)遞H極小值電調(diào)遞增

(4分)

所以又/(-2)--4-/(2)-2c2,

CC

所以在［］上的位域?yàn)椋?/p>

22j2c1.(6分)

<2)函數(shù)/")=耗'=x(c'-h)在(0,+。。)上僅有兩個(gè)零點(diǎn),

令g")=e*-H,則問題等價(jià)FR(X)在(&+B)上僅有兩個(gè)零點(diǎn),

易求尺,因?yàn)閤w(0.r］,所以—>|.

①當(dāng)上e(Yo.l］時(shí),g'(*)>0在也田)上恒成立.所以g⑺在也2)上單詞遞增.

所以雙工)>*(0)=l.所以g(x)在(&9)上沒有零點(diǎn),不符合題意;(8分)

②當(dāng)“[!?+?)時(shí),令g'(x)=0,ffjx=In*.

所以在(0JM)上g'(*)<。,在(I昧x)上g'(*)>0,

所以g(H在(0.Int)上單調(diào)闿七在(In*.田)上單調(diào)賭增.

所以g")的蛾小tfr為g(ln*)k*ln*,<10分)

高中6

高中

因?yàn)?(x)在(0,2)上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以g(tn*卜％-hlntvo,所以4>e.

因?yàn)間<0)=1>O.g(lnt')=t!-*liut:=*{*-2hvt),

2x-2

令A(yù)(x)=x-2hw,A'(x)=1-二=----,

xx

所以在(&2)上"(x)vO,在(2,+?)上，A'(x)>0,

所以M*)在(Q2)上單調(diào)遞收，在(2,x)上機(jī)調(diào)遞增；

所以M*)22-2ln2lnc:-ln4>0,所以g(ln/)=*(*-2ln*)>0,(13分)

所以當(dāng)人>e時(shí),g(s)在@ln*)和(Ini.p)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),

即當(dāng)%>e時(shí),g")在(0.行)上僅有兩個(gè)事點(diǎn).

綜上，實(shí)畋上的取值也圍是（*+o）.（15

18.（17分）

解：（】）點(diǎn)廣為線段/尸上靠近點(diǎn)尸的三等分點(diǎn)，滿足舒,"平面PBC,證明如下：

CE1

又DE=2CE,-所以戶G-C￡=；48,因?yàn)镃EfMB.所以CE*FG,

AB33

所以四邊形/?'GCE為平行四邊形，有EFHCG,（5分）

又卬（Z平面P8c.CGu平面P8C,所以用7/平面P8C.

此時(shí)有四=2.（7分）

（2）AD-DE?2CE?Bd4DE為等嚏tl角三箱形.

”■孚，AE=2.ZCE4=135.ZJME=45.

取4E中點(diǎn)0.以。為坐標(biāo)限點(diǎn).以為x軸立立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.（9分）

設(shè)?（0"力￡（1.0.0）,噌,s|l-2,oj,

HOOP=（0.m,n）.尸8=|

高中7

高中

//=1

因?yàn)镺P=l.P8=半.所以

眇1學(xué)+儀卻

(12分)

則片a(u),PE=(i.o-i).￡c=[i.-poj,

m-PE=0-c=0

設(shè)平面FEC的法向M;為加=(a'c),則(?，]i

m?EC=-cr-1>=0

不妨取a=L則…c=l.m=(l,l,l).（14分）

設(shè)平面EC4的?個(gè)法向成為"=（Q?！?則8式風(fēng)力=鼎；=2=￥.

則說二面向P-EC-A的的余弦值為當(dāng)

(17分)

GJ.『

解：⑴由條件物—，.，“=I?所以￡1的方程為—J=1.(3分)