青海省百校2024屆高三年級(jí)下冊(cè)二?？荚?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷+答案

高三數(shù)學(xué)試卷（理科）

考生注意：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。

2.請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上

3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容。

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的

1.已知集合A={1,2,3},B={X\X2-2X-2<Q],則AB=()

A.{1}B.{1,2}D.0

2.復(fù)數(shù)z=2i（4—3i）的虛部為（

A.6B.-6C.8D.-8

?3a

3.已知a為銳角,sinor=—,則nIcos—二()

2

3A/10c亞275

A.——B.--------D.-----

1010,55

.若圓：2222,

4Af(x-^2)+y=m(m>0)與雙曲線C：%一y2=1的漸近線相切，則相=（）

A.lB.2C.J2D.2A/2

5.2017年至2022年某省年生產(chǎn)總量及其增長(zhǎng)速度如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.2017年至2022年該省年生產(chǎn)總量逐年增加

B.2017年至2022年該省年生產(chǎn)總量的極差為14842.3億元

C.2017年至2022年該省年生產(chǎn)總量的增長(zhǎng)速度逐年降低

D.2017年至2022年該省年生產(chǎn)總量的增長(zhǎng)速度的中位數(shù)為7.6%

6.已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=而2一〃一2,若｛%｝為遞增數(shù)列，則上的取值范圍為（）

D.Joo

A.(1,+oo)B.(0,+oo)

13

7.如圖，這是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖,在該正方體中，下列命題正確的是（

h.AB//HGB.CG.LBHC.CGLDHD.AC//DG

8.在等差數(shù)列｛4｝中，q=l,4+4=%，設(shè)勿=2%,記S”為數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和，若5?,=寶，則

m=()

A.5B.6C.7D.8

^77,%<0,

9.已知函數(shù)/(%)=〈才則不等式/（片―1）＞/（3）的解集為（

A.(-2,2)B.(0,+oo)C.(-co,0)D.(-oo,-2)(2,+co)

10.已知函數(shù)/(x)=sinlx--^-

的定義域?yàn)椋奂?川（相＜〃），值域?yàn)椋?,1］,則“-m的取值范圍是（）

兀兀2兀兀2兀兀

A.一,71B.9D.2,71

32T

11.如圖，已知在四棱錐P—A3CD中，底面四邊形ABCD為等腰梯形，BC//AD,PD=2AD^4BC=4,

底面積為述，QDLAD且=M，則四棱錐尸—A3CD外接球的表面積為（）

4

A.9TTB.12^71C.39TTD.20TI

12.已知定義在R上的函數(shù)/(X),其導(dǎo)數(shù)為尸(元)，且滿足/(x+y)=/(%)+/(y)+沖(％+y),

/(1)=-|,/,(1)=0,給出下列四個(gè)結(jié)論:

①/(X)為奇函數(shù)；②-(10)=99；③/(3)=3：④/(%)在(0,1)上單調(diào)遞減.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為()

A.①②B.①③C.②③④D.①②④

第II卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

x+y..2,

13.若x,y滿足約束條件＜x-%,2,則z=y—X的最大值為.

2,

14.青團(tuán)是江南人家在清明節(jié)吃的一道傳統(tǒng)點(diǎn)心，某企業(yè)設(shè)計(jì)了一款青團(tuán)禮盒，該禮盒剛好可以裝3個(gè)青團(tuán)，

如圖所示.若將豆沙餡、蓮蓉餡、芝麻餡的青團(tuán)各1個(gè)，隨機(jī)放入該禮盒中，則豆沙餡和蓮蓉餡的青團(tuán)相鄰

的概率為_(kāi)___________.

15.已知橢圓C：=+與=1的左、右焦點(diǎn)分別為《，工，上頂點(diǎn)為A,過(guò)弓作AK的垂線，

ab

與y軸交于點(diǎn)P，若歸耳|=節(jié)，則橢圓C的離心率為.

16.已知P是正六邊形ABCDEF邊上任意一點(diǎn)，且AB=2,PAPB=8,則|PA|+|PB|=.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第17~21題為必考題，每

個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：共60分.

17.(12分)

某企業(yè)近年來(lái)的廣告費(fèi)用無(wú)(百萬(wàn)元)與所獲得的利潤(rùn)y(千萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)如下表所示，已知y與龍之間具

有線性相關(guān)關(guān)系.

年份20182019202020212022

廣告費(fèi)用X/百萬(wàn)元1.51.61.71.81.9

禾！1潤(rùn)》千萬(wàn)元1.622.42.53

（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程：

（2）若該企業(yè)從2018年開(kāi)始，廣告費(fèi)用連續(xù)每一年都比上一年增加10萬(wàn)元，根據(jù)（1）中所得的線性回歸

方程，預(yù)測(cè)2025年該企業(yè)可獲得的利潤(rùn).

可（--9）

參考公式：$=上―-------------，a=y-bx.

￡（玉-寸

i=l

18.（12分）

在中，已知NS4C=120°,D為BC上一點(diǎn)、,CD=5,BD=4出，且NR4￡>=90°.

（1）求---的值；

AC

（2）求的面積.

19.（12分）

如圖，在三棱柱ABC—A與G中，所有棱長(zhǎng)均相等，CB]BG=O,乙433]=60。，CB±BBX.

（1）證明；49，，平面

（2）若二面角G一5的正弦值

20.（12分）

已知尸是拋物線C：鏟=2X（p>0）的焦點(diǎn)，過(guò)尸的直線/與C交于A,B兩點(diǎn)，且A,B到直線x=—3

的距離之和等于|AB|+4.

（1）求C的方程；

（2）若/的斜率大于0,A在第一象限，過(guò)B與1垂直的直線和過(guò)A與x軸垂直的直線交于點(diǎn)D,且

|AB|=|AD|,求/的方程。

21.（12分）

已知函數(shù)/'(%)="*,曲線y=/(x)在x=l處的切線的斜率為三工.

xee

(1)求a的值：

(2)證明：當(dāng)％>0時(shí)，/(x)<1.

(二)選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一

題計(jì)分.

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

x=cos2t\x=cos4/

在直角坐標(biāo)系中，曲線G的參數(shù)方程為。為參數(shù))，曲線。2的參數(shù)方程為1G

［y=sinf［y=sinf

為參數(shù)).

(1)寫出G及G的普通方程；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求G與G交點(diǎn)的極坐標(biāo).

23.［選修4-5；不等式選講］(10分)

已知a,b,c均為正實(shí)數(shù)，且工+工+'=1,證明：

ab+1c+2

(1)a+b+c..6；

(2)若b=2c,則。2+9/..18.

高三數(shù)學(xué)試卷參考答案（理科）

1.B當(dāng)尤=1時(shí)，滿足％之—2x—2<0；當(dāng)尤=2時(shí)，滿足X2—2x—2<0；當(dāng)％=3時(shí)，不滿足x2—2x—2<0.

所以AB={1,2}.

2.Cz=2i(4—3i)=6+8i,所以復(fù)數(shù)z的虛部為8.

因?yàn)閍為銳角，sin(7=-,所以cosa=3,cos—=cosa+^3M

3.B

552V210

4.A雙曲線C的漸近線方程為y=+x,不妨取y=龍,點(diǎn)（0,0）到直線y=龍的距離為=1.因?yàn)閳A

M與雙曲線C的漸近線相切，所以772=1.

5.C2017年至2022年該省年生產(chǎn)總量逐年增加，A正確.2017年至2022年該省年生產(chǎn)總量的極差為

48670.4—33828.1=14842.3億元，B正確.2021年該省年生產(chǎn)總量的增長(zhǎng)速度比2020年高，C錯(cuò)誤.2017

年至2022年該省年生產(chǎn)總量的增長(zhǎng)速度的中位數(shù)為7.6%,D正確.

左>0,]

6.D結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得13解得上

—<一,3

[2k2

7.A由平面展開(kāi)圖得到該正方體的直觀圖如圖所示，AB//HG.

8.B設(shè){4}的公差為d因?yàn)榍?g=a2+。3=。3，所以%-0>d=。2-6=-1,則%,=2-〃，bn=22f,

[2"163163

~2=4——?因?yàn)槭?一，所以4—工=一，解得加=6.

"112"-2m162m-216

1-----

2

J在（一。）上單調(diào)遞減'二+在［。,+劃上單調(diào)遞減'且;占，所以於）

9.A函數(shù)y=

在定義域R上單調(diào)遞減.因?yàn)?）>/（3）,所以1<3,解得—2<a<2.

71

10.D當(dāng)工￡|m,川時(shí)，X-烏￡—.由題意可得巴強(qiáng)人一工一加一工兀，解得〃一根￡—,71

66626\6

11.D取AD的中點(diǎn)為E因?yàn)锳D=2NC=2,面積為乂，所以梯形的高為、一，則百，連接

423

BF,所以八45斤為等邊三角形，點(diǎn)尸為梯形ABCD外接圓的圓心.連接皮)，在△BCD中，根據(jù)余弦定

理得cos—=-------------=——=——,所以3D=石.因?yàn)?PD=4,所以?！?gt;2+5￡)2=

32BCCD2

PBI2,所以？D_L8Z>因?yàn)?。DLAD,所以？DJ_平面AfiCD.過(guò)AD的中點(diǎn)尸作尸?！ㄊ＝挥邳c(diǎn)

O,則產(chǎn)平面ABC。，且O為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)O為RtaPAD外接圓圓心，所以0為四棱錐

P-ABCD外接球球心,所以外接球半徑為-PA=-y/PD2+AD2=下,故表面積S=4兀?(逐丫=20兀.

22

12.D令x=y=0,得/(0)=/(0)+/(0),所以/(0)=0.

令》=—x,得/(0)=/(九)+/(—%)=0,所以/(x)為奇函數(shù)，故①正確.

令日'得八x+l)=/(x)+Al)+x(x+l)=/(x)+x(x+l)-1'

222

所以/'(2)=./■⑴+1x2—§=/(3)=f(2)+2x3--=6,故③錯(cuò)誤.

因?yàn)閺V(x+l)=/'(x)+2x+l,所以/'(x)=/'(%—l)+2x—l,…，/(2)=/'(1)+3,

所以/'(x)=3+5++(2x-l)=x2-l,所以尸(10)=99,故②正確.

當(dāng)(0,1)時(shí)，f'x)<0,所以/(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，故④正確.

13.2由題意，作出可行域(圖略)，數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)(0,2)時(shí)，z取得最大值，最大值為2.

22

14.-豆沙餡和蓮蓉餡的青團(tuán)相鄰，則芝麻餡的青團(tuán)不能放在中間，其概率為一.

33

Ihec

15.-設(shè)耳(—c,0),則直線的斜率為-一，直線尸片的斜率為一，直線P"的方程為>=—(%+。).令

2cbb

2(2\/2、2

c，即尸0,—?設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)镮P4『=|。耳「+上0「，所以C

犬=0,得y=了|=C2+

b7

c1

解得e=—二—

a2

16.77+713以正六邊形A5cDEF的中心。為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB,DE令

別交y軸于點(diǎn)GH則交(2,0),尸(一2,0),4-1,-圾,5(1,-73),G(0,-我,E(-1,0DQ訴,

H(0,也).

設(shè)P(x,y),則PA=(—1-羽—百—y),PB=(l-x,-y/3-y),PAPB=V+/+26丁+2.根據(jù)正六

邊形的對(duì)稱性，不妨只研究點(diǎn)尸位于y軸的左半部分的情況，分以下四種情形:

①當(dāng)點(diǎn)P在石H上時(shí)，則xe[—1,0],y=6,則//?P3=f+""112],不滿足P4-PB=8.

②當(dāng)點(diǎn)P在AG上時(shí)，則xe[—l,0],y=-6則"，3=尤2—ie[—1,0]，不滿足上4-PB=8.

③當(dāng)點(diǎn)尸在跖上時(shí)，直線跖的方程為丁=百(％+2),則24-9=4%2+18X+26,尤e[—因?yàn)?/p>

PAPB=8,所以4三+18工+26=8,解得％=或%=—3(舍去)，y=—

2'2

@當(dāng)點(diǎn)尸在4F上時(shí),直線4尸的方程為丁=一百(％+2),則~4-28=4/+6尤+2=4x+|

不滿足？A-P3=8.

工在

所以當(dāng)上4?9=8時(shí)，P,PA=,PB=,|PA|-A/7,|P5|=A/13,

212乙’2乙)

\PA\+\PB\=/j+^L3.

力、1.5+1.6+1.7+1.8+1.9,一1.6+2+2.4+2.5+3「

17.解：⑴x=------------------------------=1.7,y=---------------------------=2.32分

55

5

X九；=1.52+1.62+1.72+1.82+1.92=14.55,..............................................................................4分

Z=1

=1.5xl.6+1.6x2+1.7x2.4+1.8x2.5+1.9x3=19.88,..................................................6分

i=l

5

瓦三―孫」9.88-5XL7”.3=3.3,................................................................................Y分

￡.5x214.55-5x1.72

Z=1

<5=y-Bx=2.3-3.3x1.7=-3.31...................................................................................................8分

故所求的線性回歸方程為j=3.3x-3.31..........................................................................................9分

（2）由題可知，到2025年時(shí)廣告費(fèi)用為2.2百萬(wàn)元，故可預(yù)測(cè)該公司所獲得的利潤(rùn)約為3.3x22-3.31

=3.95（千萬(wàn)元）..........................................................................12分

18.解：（1）在八48中，———=———,所以AC=2j7sin乙4。。=2近5皿44。3.3分

sinZADCsinZCAD

在AABD中，ZBAD=90°,sinZADB=—,所以AB=447sinNAOB..................................6分

BD

AB477sinZADB

----=-------------------...........................................................................................................8分

AC2有sinZADB

（2）在"BC中，由余弦定理可得BO?=AC2+/R2—2AC-ABcosNB4C,

解得AB=2AC=10,...................................................................................................................10分

則AD=，9—6=2百...............................................................11分

故AACD的面積為-ACADsinZCAD=也..........................................................................12分

22

19.(1)證明：設(shè)。為8及的中點(diǎn)，連接AD,OD,AB1.

在△ABB1中，因?yàn)?4￡=C￡=3C,CB±BB],所以四邊形33cle是正方形.

因?yàn)镃B]BG=O,所以AOB耳是等腰直角三角形，OD1BBV

因?yàn)锳D00=0,所以，平面AOD....................................................................................4分

因?yàn)锳Ou平面AOD,所以B3i_LAO.

在△AC3]中，AC=AB,,。為用C的中點(diǎn)，所以A。，31c.

因?yàn)?1clBB[=B],所以AO,平面331clC............................................6分

(2)解：設(shè)三棱柱ABC-451G的棱長(zhǎng)為夜，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，08的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系，則。(0,0,0),6(1,0,0),耳(0,1,0)，40,0,1),C(0,-l,0).BA=(-l,0,l),

g=(—1,1,0),5C=(-l,-l,0).......................................................7分

設(shè)平面ABB〕A的法向量為〃=（無(wú)

n?BA=-x+Z]=0,

貝叫11可取力=（1,1,1）.................................................8分

n-BBX=-xx+%=0,

設(shè)平面ABC的法向量為相=（%2，%*2），

則｛22可取加=

m-BC=-x2一%=0,

因?yàn)槠矫鍭BC//平面A4G，所以平面A4G的一個(gè)法向量為m=(1,-1,1)................io分

/、n-m1./一、2后

cos〈幾,m)=--------=—,sin〈及,m)=------,

\n\\m\33

故二面角G—4片一3的正弦值為￥.....................................................12分

20.解：⑴由題意得C的焦點(diǎn)為產(chǎn)，,0)準(zhǔn)線為直線x=—g...........................1分

則A,B到準(zhǔn)線x=_g的距離之和等于|AF|+忸耳=|AB|.................................2分

因?yàn)閨的<|明+4,所以—■!>—3,且2、、+3)=網(wǎng)+4—明，得p=2.

故C的方程為/=4x.4分

(2)設(shè)/：x=my+1(m>0),A(玉，%)(%〉0),B(x2,y2),

y=4羽得/_4根y_4=0,貝人

由<6分

x=my+\.、%%=-4，

7分

t-1

設(shè)￡)(%"),由左。尸.左AB=一1，得％°F=----=--=一根，即(=一相(七_(dá)1)=一帆2%,9分

入1—1^AB

所以|A￡)卜必+祖2y1=(加2+1)%.10分

3

由|AB|=4(m2+1)=|/10|=(加2+1)%，得乂=4，代入J-4加y-4=0,得16-16刃一4=0,即機(jī)=“

故》的方程為4x—3y—4=0.12分

21.(1)解：/⑴2

x2ex

(1-(2)e-(2e+e)(-a)e+2〃ee+2

廣⑴二，解得。=一.4分

e2e2e2e

Inx--1I1Injr

(2)證明：結(jié)合(1)可得一廠上<1,即證xe"+—>—.6分

冗e*ex

設(shè)函數(shù)g(x)=+’,g\x)=(%+l)ex.

e

當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)>o,g(x)在(。,+8)上單調(diào)遞增,

g(x)>g(0)=8分

e

Inx1-lnx

設(shè)函數(shù)%(%)=---，h'(x)=

xx

當(dāng)x￡(0,e)時(shí)，hf(x)>0,當(dāng)%￡(e,+oo)時(shí)，h\x)<0,

所以h(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減,

h(x)“h(e)=11分

e

所以