2024年1月“七省聯(lián)考”考前數(shù)學押題預測卷3解析版（新高考地區(qū)專用）

2024年1月“七省聯(lián)考”押題預測卷03

數(shù)學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、

準考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.設集合人=兇（31）（，-5）叫,5={X12X<8},則AB=（）

z「4J」3-」4八

A.（7,5]B.-.5C.-,4ID.-,4I

【答案】D

[解析]因為A={X|（3X—4）（X—5）W0}=I，5,B={x|2x<8}=（-^,4）,

所以4B=（4]

故選：D.

2.設xwR,貝U“sin%=l”是“cosx=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必

要條件

【答案】A

【解析】因為sin?%+COS?%=1可得：

當sinx=l時，cosx=0,充分性成立；

當cosx=0時，sinx=±l,必要性不成立；

所以當xwR,sinx=l是cosx=0的充分不必要條件.

故選：A.

3.已知非零向量°,〃滿足人=（G,1）,（a,b）=^,若（a-則向量。在向量。方向上的

投影向量為（）_

]]C

A.—bB.—bC.—bD.b

422

【答案】A

【解析】因為（〃一切_1_〃，所以（〃一葉￡=〃2一1.8=0,

.?.忖—gWW=0,又匕=（6,1）,所以W=J（G『+]2=2,??.忖=1或.|=。（舍去），

所以Q,Z?=a2=l,

a-b717

所以Q在〃方向上的投影向量為nnn2=1〃.

m4

故選：A

abab

4.形如,我們稱為"二階行列式”，規(guī)定運算，=ad-歷，若在復平面上的一個點/

caca

z1-i

對應復數(shù)為Z,其中復數(shù)Z滿足=i,則點/在復平面內(nèi)對應坐標為（）

1+211

A.(3,2)B.(2,3)C.(-2,3)D.(3,-2)

【答案】A

【解析】由題意可得：z—(l+2i)(l—i)=z—(3+i)=i,

則z=i+(3+i)=3+2i,

所以點/在復平面內(nèi)對應坐標為(3,2).

故選：A.

5.已知圓G：爐+/+4%+3=0,圓。2：/+/—8x+12=0,下列直線中不能與圓。，G同

時相切的是()

A.百》+3>=。B.\/3x-3y=0

C.x+J35y+8=0D.x—V35y—8=0

【答案】D

【解析】由題意知：G：(x+2y+y2=ic：(x—4『+y2=4,

所以圓G的圓心為（-2,0）,半徑為1；圓G的圓心為（4,0），半徑為2,

,2詞

對于A,圓G的圓心（-2,0）到直線的距離為4==1,與半徑相等，故滿足相切條件,

2+32

圓G的圓心（4,0）到直線的距離為4=2=2,與半徑相等，故也滿足相切條件,

+32

即直線6x+3y=0是兩圓的一條公切線;

,2國

對于B,圓。的圓心（-2,0）到直線的距離為4=了、==1,與半徑相等，故滿足相切條件,

J（百）+32

圓的圓心（4,0）到直線的距離為a=萬=r-=2,與半徑相等，故也滿足相切條件,

心）+才

即直線氐-3y=0是兩圓的一條公切線；

對于C,圓G的圓心（-2。到直線的距離為4=不法

-1

-,與半徑相等，故滿足相切條件,

圓。2的圓心（4,0）到直線的距離為4=「，與半徑相等，故也滿足相切條件，

即直線工+后丁+8=0是兩圓的一條公切線；

1~2~81

對于D,圓a的圓心（-2,0）到直線的距離為4

/+卜回3不滿足相切條件,

即直線x-后y-8=0不可能是兩圓的公切線;

故選：D.

6.若函數(shù)/（x）=2sin[（yx-]j（（y>0）在（0,兀）內(nèi)恰好存在4個％,使得/（毛）=1,則。的取

值范圍為（）

-19外（1991「79、（79~

L62J（62」[22）（22」

【答案】B

【解析】令f（x）=2sin|ox—3]=1,則a）x--=—+2kit,^cox--=—+2kn,keZ,

7I3j3636

JI、7兀

即①工=—+2kji,或GX=-----b2k7i,kwZ

26

兀7兀5兀19719兀

故cox可取一,T,-T,-6-,T

由于%￡（0,兀），貝|J￡（0,5）,

1OyrQ1OO

要使在（0,兀）內(nèi)恰好存在4個％,使得/=則解得

6262

故選：B

7.凈水機通過分級過濾的方式使自來水逐步達到純凈水的標準，其工作原理中有多次的PP棉濾

芯過濾，其中第一級過濾一般由孔徑為5微米的PP棉濾芯（聚丙烯熔噴濾芯）構成，其結構是

多層式，主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物等各種大顆粒雜質(zhì)，假設每一層PP棉濾芯可以過濾

掉三分之一的大顆粒雜質(zhì)，若過濾前水中大顆粒雜質(zhì)含量為80mg/L,現(xiàn)要滿足過濾后水中大顆粒

雜質(zhì)含量不超過2mg/L,則PP棉濾芯的層數(shù)最少為（參考數(shù)據(jù)：lg2土0.30,lg3/0.48）

）

A.9B.8C.7D.6

【答案】A

【解析】設經(jīng)過W層尸產(chǎn)棉濾芯過濾后的大顆粒雜質(zhì)含量為九貝i」y=80x(l-=80x(g)，

令80x(，<2,解得[2]<—,兩邊取常用對數(shù)得“1g=Wig4，即〃lg321g40

UJUJ403402

BPn(lg3-lg2)>l+21g2,因為1g2ao.30,lg3?0.48,

所以(0.48-0.30)“21.60,解得〃堞，因為”N*,所以〃的最小值為9.

故選：A

-

8.b=sin—,Q—05,則a,b,c的大小關系為().

A.b<a<cB.a<c<bC.b<c<aD.a<b<c

【答案】D

【解析】設NAO8=ae(0,5],作出單位圓，與x軸交于A點，則A(l,0),

過點A作AC垂直于無軸，交射線08于點C,連接AB,過點8作3D，尤軸于點。，

由三角函數(shù)定義可知AC=tan。，BD=sina,AB=a

設扇形Q4B的面積為M,則Son。>SMO,即gtana>；sina,故

tancr>a>sina,

因為gwlag)，所以tang>:>sin?,

又cos』>0,由tan，>工得sinL>』cos1,即占>°,

555555

令/(無)=e*—左一1,x<0,

則/'(x)=e*—1,當x<0時，/'(%)=1—1<0,

故/(x)在(-“⑼上單調(diào)遞減，

所以/1_g]>/(0)=0,所以e4>1,

故c>b,

綜上，a<b<c.

故選：D

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是（）

A.已知隨機變量J服從二項分布：J*8,：],設〃=24+1,則"的方差。（〃）=3

B.數(shù)據(jù)L3,5,7,9,11,13的第60百分位數(shù)為9

C.若樣本數(shù)據(jù)%,々，％的平均數(shù)為2,則3再+2,3々+2,…,3%+2的平均數(shù)為8

D.用簡單隨機抽樣的方法從51個個體中抽取2個個體，則每個個體被抽到的概率都是《

【答案】BC

【解析】對于A,易知。（0=8*3[1-￡]=1,而〃=24+1,

所以。（77）=22*。侑）=6,A錯誤；

對于B,共有7個數(shù)據(jù)，而7x60%=4.2,故第60百分位數(shù)為9,B正確；

對于C若樣本數(shù)據(jù)%,々，…,5的平均數(shù)為2,

則3再+2,3馬+2,…,3當+2的平均數(shù)為3x2+2=8,C正確;

對于D,由古典概型可知：從51個體中抽取2個個體，

2

每個個體被抽到的概率都是玄，D錯誤.

故選：BC

10.在正四棱臺ABC?！狝4CQ中，AB=3,44=2,例=正則（）

A.該正四棱臺的體積為"亞

6

B.直線AA與底面ABC。所成的角為60°

c.線段4c的長為10

D.以A1為球心，且表面積為6兀的球與底面ABCZ）相切

【答案】BD

【解析】連接AC,AC,過4作A"，AC,垂足為”.

因為"=3,44=2,所以AC=3&，AG=2夜，

所以AH=36；6=與,AHN.—AH=9,

所以該正四棱臺的體積V=^X（AB2+JAB?AB；+44?）="四，A錯誤.

AH1

直線AA與底面ABCD所成的角為NAAH，由COSNAA"1所以NAA"=60°,B正

確.

____________((r-\2一

4c=3V2--+—=匹,c錯誤

112JI2,

設以4為球心，且表面積為6兀的球的半徑為尺，則4兀n=6兀，解得氏=曰=4〃，

所以以A為球心，且表面積為6兀的球與底面ABCZ）相切，D正確.

4,尸件\

小區(qū).......

/\/

-----%

故選：BD.

2

11.已知雙曲線好一亍=1,直線]：丁=立+機（左#±2）與雙曲線有唯一的公共點瓶過點〃且

與/垂直的直線分別交X軸、y軸于A（%,0），3（0,%）兩點.當點〃變化時，點?（x°,九）之

變化.則下列結論中正確的是（）

k

12

A.k=m+4B.y0=—x0

c.P點坐標可以是（7,后）D.”一尸有最大值:

【答案】ACD

2_y^=]

【解析】對于A,聯(lián)立，4一消y可得（4—左2卜2—2物優(yōu)—蘇―4=0,

y=kx+m

直線與雙曲線只有一個公共點，且左。上2,則A=0,

4k2m2-4（4-）（-m2-4）=0,：,k2=rrr+4,即選項A正確;

kk2m2-k2-4（k4

對于B,由方程可得=---，貝I」=----+m=-------=—，，M---,,

mmmm1加mJ

4\（

則AB的直線方程為＞+—=-7x+—，令y=。，x=----，

mk\m）0m

令x=0,y,所以％=區(qū)（），即B錯誤；

0m

對于C,則易知。（一又,一~~|,若——=y/6,則加=--f=,

\mmJm

7

k2=—+4=—,取k=—----二一5x*-=7,即_?(7,指)，所以C正確;

66V6m5\/

飛

對于D,可得q—與=工—空=心二比二巴=±1±竺二￡

片y：25k②2525k225k225k2

‘左241]I4ii

=——+^TT+-^~2I.L+-=—>當且僅當左=±忘時，等號成立，即D正確；

12525k)5V25x25525

故選：ACD

12.已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域均為R,它們的導函數(shù)分別為了'(%),g'(x),且

〃x)+g(2—x)=5,g(x)—/(尤—4)=3,若g(x+2)是偶函數(shù)，則下列正確的是().

A.g<2)=0

B./(x)的最小正周期為4

C./(九+1)是奇函數(shù)

2024

D.g⑵=5,貝(左)=2024

k=l

【答案】ABD

【解析】A選項，g(x+2)為偶函數(shù),故g(-x+2)=g(x+2),

兩邊求導得，-g'(-x+2)=g\x+2),

令x=0得—g'(2)=g<2),解得g'(2)=0,A正確;

B選項，因為/(x)+g(2-x)=5,g(-x+2)=g(x+2),

所以f(x)+g(x+2)=5①,

因為g(%)—/(X—4)=3,所以g(x+2)—/(X—2)=3②，

則①②相減得，〃力+〃x-2)=2③，

X/(x-2)+/(x-4)=2@,

則③④相減得——4)=0,BP/(x)=/(x-4),

又/(x)N/(x-2),故八》)的最小正周期為4,B正確;

C選項，假如/(尤+1)為奇函數(shù)，則/(—尤+1)+/(%+1)=0,

當x=l時，可得/(0)+/(2)=0,

但2)=2,當后2可得1(2)+〃0)=2,

顯然不滿足要求，故/(九+1)不是奇函數(shù)，C錯誤；

D選項,因為〃x)+g(2-x)=5,所以〃0)+g(2)=5,

又g(2)=5,故"0)=0,

由B選項得+2)=2,故〃2)+〃0)=2,解得"2)=2,

且〃3)+/⑴=2,

由B選項知/(力的一個周期為4,故/(4)=/(0)=0,

所以〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=4,

2024

貝IJZ/W)=506[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]=506x4=2024,D正確.

k=\

故選:ABD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.二項式(x-2)(l+x)"的展開式中，所有項系數(shù)和為-256,則/的系數(shù)為(用數(shù)字作

答).

【答案】-48

【解析】令x=l可得二項式(x-2)(1+X)”的所有項系數(shù)和為—2"=—256,所以〃=8.

二項式(l+x)8的展開式的通項公式為(+1=C>x"r=Q,1,--,8,

所以(x-2)(1+x)"的展開式中，w的系數(shù)為C；-2Cj=-48.

故答案為：-48

14.隨機變量。有3個不同的取值，且其分布列如下：

J4sina4cosa2sin2<z

￡￡

pa

44

則EC)最小值為,

【答案】】

【解析】依題意知,+,+。=1，則”=’，貝I]E(4)=sina+cosa+sin2a,

442

設/=sintz+cosa=叵sin貝I］te［一行,0］,

故sin2a=(sina+cosa)2-1=t2-1,所以E?-t2+t-l-^t+1丫5

--------,

2)4

當0,0］時，E?取最小值一：，

故答案為：-：

4

已知數(shù)列｛｝滿足出+…+〃記數(shù)列｛

15.44+22"T%=2,an-tn］的前〃項和為，若

S“4百0對任意的“eN*恒成立，則實數(shù)/的取值范圍是—

…【答案…】島「12司1T

【解析】由4+2/+…+2"T4=n-2",

當〃=1時，％=2,

2

當九22時,由7+2a2-+----卜2"'4="?2"得q+2a2-+-----F2"an_i=("T)-2j

兩式相減并化簡得4,=H+1(K>2),

也符合上式，所以。〃=〃+1,

令2-tn=n+l-tn=(l-t^n+l,

d+i—包=。一t)5+i)+i—[(i—t)〃+i]=i—/為常數(shù),

所以數(shù)列｛么｝是等差數(shù)列，首項4=2-入

g、ic2-7+(1-/)〃+11-t23T

所以S“=---------------------x撲=----nH-------n,

〃222

3-t

對稱軸為23-￡,

n=--------=----------

1-t2-2t

由于用《510對任意的〃wN*恒成立，

上<0

21211

所以Q，解得7TWK；；；，

9.5<-—<10.51110

〔2-2t

所以/的取值范圍是號,巳.

上―,[121T

故答案為：77，一

16.已知正實數(shù)x,y滿足ye*=lnx-lny,則J+lny的最小值為—

x

【答案】e-l##-l+e

V1%

,AYYXin一

【解析】由ye'=lnx—Iny得yev'=ln一,即把，=2ln二=ln2?e>

設/⑺=fe',則〃x)=yIn-,r(/)=e(+l),

IyJ

當f>T時，/⑺>0,所以/⑺在(-L4W)上單調(diào)遞增.

因為X,y均為正實數(shù)，所以ye，=ln—>0,

y

(xyxx

由/(x)=/In—,可得x=ln—,即>

1—VV

由y'=一知，當O<X<1時，y>0,單調(diào)遞增，

ee

YX\J

當尤>1時，y<0,單調(diào)遞減，所以y==e0,—.

eAeA【ej

e%]]]]

則一+lny=—+lny,0<y?-.令g(〃)=—+ln〃,0<〃<一,

xyeue

則g'（M）=-4+L=q<0,所以g（M）在。一上單調(diào)遞減，

uuu\e_

所以g（"）mM=g（：]=e—l,所以;+lny?e—l,即J+lny的最小值為e—1.

故答案為：e-1

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在一ABC中，角4B,。的對邊分別為a,b,c,

（2/?、

sin2A+sin2B=[sinC-----3---sinAsinBJsinC.

（1）求C；

（2）若c=2而'，a=3h,點〃在邊4?上，且NACD=/BCD,求切的長.

2jr3

【答案】⑴y（2）-

【解析】（1）由已知借助正弦定理可得:

2A/3.空空absinC,

sin2A+sin2B=sinC--------sinAsinBsinC+/72=

373

即2abcosC=一^^~abstnC，即tanC=-y/3，

3

Ce(O,7r),故。=二27r；

3

(2)由余弦定理知/+9〃-52=26?36,:?b=2,

I7T17T127r

由SACB?+SACM=S%C知，_b.CD-Sm-+^b-CD-Sm-=-b-3b-Sm—,

33

即GD=—Z?=—.

42

18.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，且滿足S〃=-a.，%=1.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

2樂,〃為偶數(shù)

.為奇數(shù)，求數(shù)列也｝的前〃項和以.

（2）設數(shù)歹!）也｝滿足b,t=<4+2?an_22

冊an+2

4n+1-44〃

【答案】(1)一〃(2)-----------1--------

32〃+1

【解析】(1)因為4，

n

時,El=5%，

兩式相減得工二-7，

%”1

，2_G。3_3dn_n

一乙，——，L,一

q%2an_xn-1

相乘得￡=〃，所以。"=〃(〃22),

當”=1時符合上式，

所以a.=n-

2","為偶數(shù)

(2)bn=<9+——2,“為奇數(shù)'

nn+2

2211

當〃為奇數(shù)時包=1+—+1-------2=2

nn+2n〃+2

2n

24+2+2fl--+---+.+—,―1

T2n=2+2+

I3352〃-12n+l

4(1—4")4〃

1-42n+l

4"+i—44n

=----------1--------.

32?+l

19.如圖，直三棱柱ABC-44G中，一ABC為等腰直角三角形，CA=CB,E,6分別是棱

AA，CCi上的點，平面平面〃是AB的中點.

(1)證明：CM〃平面5EF；

(2)若AC=AE=2,求平面3EF與平面ABC所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析(2)逅

3

【解析】⑴過戶作陽交助于。，因為平面平面”44,

平面BEFI平面ABB]A=BE,

EDu平面則EDLBE,

.?.ED_L平面ABBA，

M為中點，且C4=CB,:.CM±AB,

又懼_L平面ABC,CMu平面ABC,

A^LCM,又AB,"u平面,

ABcA4]=A,CM_L平面ABAA,

:.CM//FD,CM.平面EDu平面BEF，

:.CM//平面BEF.

(2)CMIIDF,

可確定一平面CMDF,

CF11AAi,CF<z平面ABB】A,的u平面ABB,A}

.?.CF//平面ABBJA,CFu平面QWD尸，

平面CMD/7c平面ABB]A=MD,

:.CF//MD,

，四邊形CMDF為平行四邊形，

AF

：.CF=MD=—=1

2

以CA,CB,CC;為X,y,Z軸建系，

則3(0,2,0),石(2,0,2),下(0,0,1),

設根=(x,y,z)為平面BEF的法向量，

EF=(-2,0,-l),BF=(0,-2,1),

m-EF=0f2x+z=0

則〈，即Lc，令x=l,貝Uy=-l,z=-2,

m-BF=012y-z-0

■-m=(1,-1,-2)是平面BEF的一個法向量，

"=(0,0,1)為平面ABC的一個法向量，

2sgM|=|扁|/

平面BEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為逅.

3

y不

20.在一個抽獎游戲中，主持人從編號為1,2,3,4的四個外觀相同的空箱子中隨機選擇一個，放入

一件獎品，再將四個箱子關閉.主持人知道獎品在哪個箱子里.游戲規(guī)則是主持人請抽獎人在這四

個箱子中選擇一個，若獎品在此箱子里，則獎品由獲獎人獲得.現(xiàn)有抽獎人甲選擇了2號箱，在打

開2號箱之前，主持人先打開了另外三個箱子中的一個空箱子.按游戲規(guī)則，主持人將隨機打開甲

的選擇之外的一個空箱子.

（1）計算主持人打開4號箱的概率；

（2）當主持人打開4號箱后，現(xiàn)在給抽獎人甲一次重新選擇的機會，請問他是堅持選2號箱，還

是改選1號或3號箱？（以獲得獎品的概率最大為決策依據(jù)）

【答案】（1）：（2）甲應該改選1號或3號箱.

【解析】（1）設A，4,A,分別表示1,2,3,4號箱子里有獎品，

設片,坊,坊,區(qū)分別表示主持人打開1,2,3,4號箱子,

則。且A，4,4,4兩兩互斥.

由題意可知，事件A，4，4的概率都是:，P（B4|4）=|'2（即4）=g，「（即&）=；，

4)=0.

P(B4\

4\(\111

由全概率公式，得尸(B4)=Zp(a)p(sjA)=i3+￡+7=z.

z=i4\^ZJL)3

（2）在主持人打開4號箱的條件下，1號箱、2號箱、3號箱里有獎品的條件概率分別為

P(A§4)P(A)P(即A)=3

P⑷坊）=P(B&)-P(Bj-8

P（&54）_P（A）P肉4）=3

尸（闋氏）=

尸（用）"P（Bj"8

通過概率大小比較，甲應該改選1號或3號箱.

21.已知橢圓氏—+2L=1,橢圓上有四個動點4B,C,D,CD//AB,與a'相交于戶點.

164

（1）當48恰好分別為橢圓的上頂點和右頂點時，試探究：直線/〃與比的斜率之積是否為定

值？若為定值，請求出該定值；否則，請說明理由；

（2）若點〃的坐標為（8,6）,求直線的斜率.

【答案】（1）是定值，定值為5（2）

43

【解析】（1）由題意知，a=4,b=2,所以A（0,2）,B（4,0）,所以配=一；，

設直線"的方程為y=—gx+/（//2）,設。&，x）,C（x2,>2）,

（22

土+上=1

聯(lián)立直線切與橢圓的方程164,整理得好―2a+2產(chǎn)—8=0，

V=——九+/

r2

由A=4/一4（2/一8）〉o,解得一20</<20，月//2,

2

則%+%=21,x1x2=2t-8,

所以"華

11、2c

—X]/-Q%（z玉+%）+彳+%—2/

X]九2-4再

t2—4t2-4

———F%2-2t———F2/-%-2t

玉工2一4再七馬一4%

4

F~一占J,

2f2-8-4占4

故直線皿與理的斜率之積是定值，且定值為f_

⑵設4（w,%），B（x4,y4）,￡>（%,j）,記麗=幾說（470）,

X-8=AX-AX

得3

y-6=Ay3-Ay

2

又4