2024屆江蘇省南通市高三第二次適應(yīng)性調(diào)研數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2024屆江蘇省南通市高三第二次適應(yīng)性調(diào)研數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z2=—3+4i,則14=()

3

A.—B.5C.y/5D.2

2

2l

3.若(l+x)2+(l+%)3+.+°=a0+a{x+a2x++al0x°,則〃2等于()

A.49B.55C.120D.165

4.已知〃X)對于任意x,yeR,都有/(》+>)=〃H"3),且/(￡|=2,貝1]〃4)=()

A.4B.8C.64D.256

5.已知函數(shù)y=6sinGx+cosox(69>0)在區(qū)間-：與上單調(diào)遞增，則。的最大

值為()

A.1B.1C.乜D.9

42113

6.某同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測試中的成績是班級第三名(假設(shè)測試成績兩兩不同)，成績處于

第90百分位數(shù)，則該班級的人數(shù)可能為()

A.15B.25C.30D.35

7.已知曲線Cj：d+y2-4x+2y=0與曲線C2：/(X)=X2在第一象限交于點(diǎn)A,在A處

兩條曲線的切線傾斜角分別為a,夕，則()

C.(X+/3=—D.|tz—=—

8.在棱長為2的正方體ABC。-AAG。中，p，Q,R分別為棱5C,CD,cq的中

點(diǎn)，平面PQR截正方體ABC。-AAG"外接球所得的截面面積為()

5口8「35「2V15

AA.一兀B.—7iC.—兀D.-------7i

3333

二、多選題

至3

.已知向量〃在向量心方向上的投影向量為，向量方=（1,@,且.與6夾角7,

9V'2

則向量a可以為（)

A.(0,2)B.(2,0)

2

10.已知橢圓C:，+方=1（a>6>0）的左，右焦點(diǎn)分別為月，F(xiàn)2,上，下兩個

a

頂點(diǎn)分別為九B,4耳的延長線交C于A,且|A￡|=；|耳耳，貝u（

2)

橢圓C的離心率為走

A.

3

B.直線A片的斜率為百

C.△A耳鳥為等腰三角形

D.|俱:|叫=而:3抬

11.某農(nóng)科所針對耕種深度x（單位：cm）與水稻每公頃產(chǎn)量（單位:t）的關(guān)系進(jìn)行

6

￡3-9）2=24,數(shù)據(jù)在樣本（12,相），（14,〃）的殘差分別為句，無.

Z=1

（參考數(shù)據(jù)：兩個變量。之間的相關(guān)系數(shù)，為虺，參考公式

21

1=1

￡(%-丁)(％-刃

7=1

a-y-b'Xy）則)

f=l

A.m+n=17B.

-10

C.a=—D.I+邑=-]

7

三、填空題

〃

12.已知=丁—f,當(dāng)兒―>0時,“1+)-"1);

h

試卷第2頁，共4頁

13.已知二面角。一/一/為直二面角，A&a,BG/3,Ail,Bel,則AB與a,夕所

成的角分別為B，A3與/所成的角為.

14.已知拋物線C：V=4x,過點(diǎn)(4,0)的直線與拋物線交于A,3兩點(diǎn)，則線段A8中

點(diǎn)M的軌跡方程為.

四、解答題

15.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項和為S.，若S"一：%="2+i,,ieN*.

⑴求％,出，并證明：數(shù)列｛%+%+J是等差數(shù)列；

⑵求立.

2

16.已知函數(shù)/(x)=lnx-依，g(x)=—，a^O.

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若a>0且〃x)Wg(x)恒成立，求。的最小值.

17.某班組建了一支8人的籃球隊，其中甲、乙、丙、丁四位同學(xué)入選，該班體育老師

擔(dān)任教練.

(1)從甲、乙、丙、丁中任選兩人擔(dān)任隊長和副隊長，甲不擔(dān)任隊長，共有多少種選法？

(2)某次傳球基本功訓(xùn)練，體育老師與甲、乙、丙、丁進(jìn)行傳球訓(xùn)練，老師傳給每位學(xué)生

的概率都相等，每位學(xué)生傳球給同學(xué)的概率也相等，學(xué)生傳給老師的概率為，傳球從

老師開始，記為第一次傳球，前三次傳球中，甲同學(xué)恰好有一次接到球且第三次傳球后

球回到老師手中的概率是多少？

18.已知三棱柱ABC-4月￡中，底面ABC是邊長為2的正三角形，G為，ABC的重

心，NAA5=NAAC=60。.

⑴求證：B[B八BC；

(2)已知AA=2,?￡平面A3C,且平面A3C.

①求證：AGMC、P；

②求人尸與平面ABC所成角的正弦值.

19.已知雙曲線E的漸近線為y=±*尤，左頂點(diǎn)為人卜6,0).

(1)求雙曲線E的方程；

⑵直線=t交x軸于點(diǎn)。，過。點(diǎn)的直線交雙曲線E于8,C,直線AB,AC分別

交/于G,H,若0,A,G,H均在圓尸上，

①求。的橫坐標(biāo)；

②求圓尸面積的最小值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.A

【分析】利用降次公式求得所求表達(dá)式的值.

,￡,73

【詳解】依題意.2萬°S622-6.

sm——=----------=------=--------

12224

故選：A

【點(diǎn)睛】本小題主要考查降次公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.C

=_3

【分析】設(shè)z=o+歷(MeR),得至吐=/-加+2防，利用復(fù)數(shù)相等，得到，

IZ^Clu—4

即可求出a,b,再利用復(fù)數(shù)模的定義，即可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)2=々+萬(a,beR),則z?="一片+2。歷，又z,=-3+4i,

Q2_02=_3_____

所以17/，解得。=1,6=2,得到Z=l+2i,所以忖=「1+4=胃,

2ab=411

故選：C.

3.D

【分析】依題意可得出=G+c；+C+c；+c；+C+c；+c；+c；。，再根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)計

算可得.

【詳解】因為二項式(1+X)”展開式的通項為(OVrV"且reN),

3^(1+尤)+(l+x)+—++尤2+—■+尤1°,

所以g=C；+C；+C：+C；+C1+C；+C；+C；+C：o

=c；+c；+c；+c；+《+c；+c；+C+c：o

=c：+c：+c；+c；+C+c"C+c；o

=C：°+C；°=C：=l：x［：=i65

3x2x1

故選：D

4.D

答案第1頁，共15頁

【分析】由題意有〃2x)=/2(x),得“4)=求值即可.

【詳解】由/(x+y)="x)-/(y),當(dāng)好了時，有"2x)=r(x),

由/(￡|=2,則有〃4)=r(2)=r⑴=/[￡|=28=256.

故選：D

5.B

【分析】根據(jù)條件，利用輔助角公式得到y(tǒng)=2sin(G%+F),再利用y=sinx的圖象與性質(zhì),

6

71

得到y(tǒng)=2sin(s+》的單調(diào)增區(qū)間，再根據(jù)條件，可得到<3c0,即可求出結(jié)果.

6271

IT<_2E

CD4

【詳解】因為〉二百5111。￥+以)5。￥=25111(5+Z)，又力>0,

6

?717171_7r-rZD-------F2Ajl---F2kjl

由---F2A711COXH<F2^771,左￡Z,至U3//37r7，

262-------------<X<^---------,keZ

a>co

+2%兀—+2kjt

所以函數(shù)〉=7^^8+8$5的單調(diào)增區(qū)間為二------------(keZ),

①O)

2兀C7女43

-------F2kli-+2fai

兀2兀33則3①

依題有Ud),得到

4'TCDCD2兀

3w兀

、co4

故選：B.

6.B

【分析】由題意結(jié)合百分位數(shù)的算法，計算即可求解.

【詳解】設(shè)班級人數(shù)為x人，由題意，x-3+l-l<0.9x<x-3+l,解得20<%<30,

又XEN*,結(jié)合選項可得，該班級的人數(shù)可能為25.

故選：B

7.A

【分析】聯(lián)立曲線曲線C1與曲線C?方程求出切點(diǎn)4(1,1),再由圓的切線與圓心和切點(diǎn)連線

答案第2頁，共15頁

垂直，結(jié)合兩垂直直線斜率乘積等于-1可求出在A處圓G的切線斜率，從而得出tan&=J；

由導(dǎo)數(shù)知識里在某點(diǎn)處的切線方程求法可得出tan￡=2,進(jìn)而根據(jù)兩角和與差的正切公式進(jìn)

行檢驗判斷即可.

【詳解】

因為曲線。1：/+/-4%+2丫=。，即G：(x—2y+(y+l)2=5,

所以曲線C1是以(2,-1)為圓心，石為半徑的圓，

且|OCj=若，即曲線G過原點(diǎn)O,

聯(lián)立卜4x+2y°,得/+3%2一4%=0=>芯=0,々=ln,

,11-21i

所以在A處圓G的切線斜率為匕=一7：=一匚gj=5，所以tan<z=w,

由C:/(x)=x?=＞fr(x)=2x,

所以曲線C?在A處的切線斜率為網(wǎng)=/'(l)=2=tan/7,

又tana=工=1_cos0=tanf

2tan(3sin0cos力

所以a,夕￡(0,51所以a，5一夕

從而a

TT

即a+4=5,故A正確，C錯誤,

注意到，0＜。＜分＜3,且tan(|a—4)=tan(〃—0=——故B、D錯誤,

2l+2x-4

2

故選：A.

答案第3頁，共15頁

8.A

【分析】根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)確定外接球半徑R,設(shè)球心為0,求解。到截面PQR的距

離從而可得截面圓的面積.

【詳解】取正方體的中心為。，連接。己。。,。尺，

由于正方體的棱長為2,所以正方體的面對角線長為2忘，體對角線長為2班,

正方體外接球球心為點(diǎn)。，半徑R=Jx2g=g,

又易得OP=OQ=OR=gx2^=及,且PQ=PR=QR=gx2?=忘，

所以三棱錐。-PQR為正四面體，如圖所示，取底面正三角形尸QR的中心為

即點(diǎn)0到平面PQR的距離為加，又正三角形PQR的外接圓半徑為MQ,

由正弦定理可得2加0=/旃=；后=亍，即〃。="，所以

OM="Q2_MQ2（何/乎］=孚,

即正方體ABC。-ABC.外接球的球心。到截面PQR的距離為OM=正，

3

所以截面PQR被球。所截圓的半徑r=^JR2-OM2=

答案第4頁，共15頁

,,c5

則截面圓的面積為口=-71.

故選：A.

9.AD

【分析】向量〃在向量6方向上的投影向量為粵6,根據(jù)此公式可求耳=2,再逐項求出夾

b

角后可得正確的選項.

而W=2,a與6夾角不，故MW”2_A/3,故口=2,

4-V

對于A,飆叫="=當(dāng),因（。，可＜。,無],故（a,".,故A正確.

對于B,cos（a,6）=『jug,因?0,無|,故（a,9=g,故B錯誤.

對于C,cos（Z&=^^=l,因（a,6）e[0,無],故（a,?=0,故C錯誤.

對于D,cos的=雪=*,因（Z0e[O,句,故（詞故D錯誤.

故選：AD.

10.ACD

【分析】利用橢圓的定義結(jié)合余弦定理求解角的三角函數(shù)值，在同一個三角形中將離心率表

示為三角函數(shù)值，求出離心率即可判斷A,先求出傾斜角的正切值，再利用斜率的幾何意義

判斷B,利用橢圓的定義得到邊相等，證明△ABF?是等腰三角形判斷C,求解關(guān)鍵點(diǎn)的坐

標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式判斷D即可.

答案第5頁，共15頁

3

=2〃,/.|A7^|=—

92292

-Cl+ci—Cl

1

在8中,cosZAB[B=—----------------

2x—axa3

2

故有g(shù)=2cos2/6qO—1,解得cos/耳與O=半，貝Usin/耳片0=孝，

而在5。工中，sinAFBO=—=>:.e=—=>故A正確，

X{a3a3

對于B,而4A的傾斜角為/用耳。，而sinNBE<9=/,COSNB/O=￥，

sinNB]KO

貝ljk=tan/BiFQ==夜，故B錯誤.

cos/BE。

3

對于C,由已知得|Aa=|A工1=3%Z\A用工是等腰三角形，故c正確,

對于D,因為￡=立，則。=小，故…片―。2=缶,

a3

易知AB|的方程為y=y/2x+b=垃x+-Jic，設(shè)A(x,y),

3

y=A/2X+V2cx—c

x=02

聯(lián)立方程組尤2,2,解得L或＜

一+工j=V2c一也，

2=1

〔3c22c尸一三。

故A-|c,

——3C],又5(0,—A),即心-⑸

27

而

由兩點(diǎn)距離公式得|AB』=

2

而

而|倜=全=當(dāng)I幽丁而

故D正確.

同聞地,訴'

2

故選：ACD.

11.ABD

【分析】根據(jù)題設(shè)條件、最小二乘法求回歸方程及殘差求法，對各個選項逐一分析判斷，即

可求出結(jié)果.

【詳解】對于選項A,因為\>：=510,E（X-?）2=Ex2-6y2=24,所以了=81，得到

Z=1J=1Z=1

y=9,

答案第6頁，共15頁

6+8+m+H+ll+12

所以=9,得到根+〃=17,所以選項A正確,

6

「生一8+10+12+14+16+18

對于選項B,因為％=-------------------=13,

6

6_2

￡(尤,.-7)-=(8-13)2+(10-13f+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2+(18-13)2=70,

Z=1

B正確,

--411

對于選項C,因為a=y-6x=9-]><13=亍，所以選項C錯誤，

對于選項D,因為與=?。?亍，得到￡]二相—(]X12+7)，￡2=H-(yX14+—),

所以與+邑=根+幾-18=-1,所以選項D正確,

故選：ABD.

12.1

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可直接求解.

【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義知，尸⑴=+⑴,

由尸(x)=3f—2x,得八1)=1,

所以2+〃)-⑴田.

h

故答案為：1

兀

13.-/60°

3

【分析】如圖，設(shè)AB=2m,根據(jù)勾股定理求得BC=>",AC=6加,AD=BO=亞帆，DC=m,

建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解線線角即可.

【詳解】如圖，

答案第7頁，共15頁

a1/3，a/3=l,au(3,bua,a1l,b11,則Q,。,/兩兩垂直.

作垂足分別為。,。，連接5RAC,

貝UAT>_L“C_La,

所以/SAC為AB與。的所成角，/4B￡>為A3與夕的所成角，

7TJT

即NBAC=—,ZABD=-

64f

建立如圖空間直角坐標(biāo)系。-孫z,設(shè)AB=2m，

貝UBC=m,AC=A/3W,AD=BD=y/2m,得DC=^AC2-AD2=m，

A(V2m,0,0),3(0,m,m),所以AB=(-72m,m,m),取/=(0,1,0),

ABIm1-.兀

則儂9=何=衍=5,又?e(o,5］，

所以A8,/=1,即AB與/所成的角為三.

故答案為：y

14.y2=2(x-4)

【分析】設(shè)出直線A8的方程，聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)關(guān)系，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可

表示出線段A8中點(diǎn)/的坐標(biāo)，化簡，即可得答案.

【詳解】由題意知直線的斜率不為0,設(shè)48的方程為犬=⑺+4,

2

聯(lián)立拋物線方程丁=4.x,^y-4my-16=0,A=16〃，+64>0,

設(shè)A(x”%),B(X2,y2),則%+為=4m,%%=T6,

2

設(shè)線段AB中點(diǎn)M(x(),%),則%==2m,x0=2m+4,

即毛=?+4,故線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為x=1+4,即y?=2(x—4),

故答案為:y2=2(x-4)

15.(l)a,=4,a2=2,證明見解析；

答案第8頁，共15頁

(2)420.

【分析】（1）直接代入〃=1可得q=4,再代入〃=2,結(jié)合％的值求出外=2；再由

119

Sn~~an=?2+1仿寫出=（?-1）-+1,作差后得到=4〃-2,即可證明結(jié)

果.

（2）由（1）知數(shù)列｛4+]+%｝為等差數(shù)列，然后代入等差數(shù)列的前〃項和公式求解即可.

【詳解】（1）當(dāng)〃=1時，由條件得％-；％=2,所以4=4.

當(dāng)〃=2時，由條件得（4+%）-=5,所以。2=2.

119

因為S〃—1+1,所以S,7—5al=（幾―1）+1（〃22）,

兩式相減得：?！ㄒ?5?！ㄒ?二2〃一1,即+?！╛1=4〃—2,

所以（%+?！保?（?！?%）=[4（"+1）-2]_（4〃-2）=4,

從而數(shù)列｛。向+凡｝為等差數(shù)列.

（2）由（1）知%=4〃-2,

所以%+%+]=4（〃+1）-2=4〃+2,

所以數(shù)列｛?！?1+?！保秊榈炔顢?shù)列，首項為4+%=6,

所以S?。=3+/）+?+%）++（須+心）—[（%+?+…2。）],

所以S2。=（4x2—2）+（4x4—2）++（4x20-2）=WX78^=420.

16.（1）答案見解析

（2）4.

e

【分析】（1）求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對。＞0與。＜0分類討論即可得；

（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可得解.

【詳解】（1）;（無）=!一。=4（4W0）,

XX

當(dāng)。＜0時，由于x＞0,所以7]x）＞0恒成立，從而“X）在（0,+8）上遞增；

答案第9頁，共15頁

當(dāng)a>0時，0<x<—,f^x\>0；x>~,r(x)<。，

a''a

從而“X）在卜/J上遞增，在+1°°）遞減;

a

綜上，當(dāng)。<0時，"％）的單調(diào)遞增區(qū)間為R,沒有單調(diào)遞減區(qū)間;

1

當(dāng)a>0時，/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為,+s.

2

(2)令/2(x)=/(x)—g(x)=lnx—ax-瓦，要使/(x)<g(x)恒成立,

只要使//(x)W0恒成立，也只要使旗x)1mxWO.

〃，⑴三J3+I)L,

xaxax

由于a>0,x>0,所以dx+l>0恒成立，

2?

當(dāng)0<%<—時，/z'(x)>0,當(dāng)一vxv+oo時，/zr(x)<0,

aa

所以gLiEblnZ—W。,解得：a24,

kdJcie

所以”的最小值為彳2.

e

17.(1)9種

⑵

49

【分析】（1）法一，利用分步乘法計數(shù)原理集合組合數(shù)的計算，即可求得答案；法二，利用

間接法，即用不考慮隊長人選對甲的限制的所有選法，減去甲擔(dān)任隊長的選法,即可得答案；

（2）考慮第一次傳球，老師傳給了甲還是傳給乙、丙、丁中的任一位，繼而確定第二次以

及第三次傳球后球回到老師手中的情況，結(jié)合乘法公式以及互斥事件的概率求法，即可求得

答案.

【詳解】（1）法一，先選出隊長，由于甲不擔(dān)任隊長，方法數(shù)為C；；

再選出副隊長，方法數(shù)也是C；,故共有方法數(shù)為C；xC；=9（種）.

方法二先不考慮隊長人選對甲的限制，共有方法數(shù)為A；=4x3=12（種）；

若甲任隊長，方法數(shù)為C；,故甲不擔(dān)任隊長的選法種數(shù)為12-3=9（種）

答：從甲、乙、丙、丁中任選兩人分別擔(dān)任隊長和副隊長，甲不擔(dān)任隊長的選法共有9種.

答案第10頁，共15頁

（2）①若第一次傳球，老師傳給了甲，其概率為:；第二次傳球甲只能傳給乙、丙、丁中

的任一位同學(xué)，其概率為，

第三次傳球，乙、丙、丁中的一位傳球給老師，其概率為:，

故這種傳球方式，三次傳球后球回到老師手中的概率為：=

②若第一次傳球，老師傳給乙、丙、丁中的任一位，其概率為

4

第二次傳球，乙、丙、丁中的一位傳球給甲，其概率為1

第三次傳球，甲將球傳給老師，其概率為:，

這種傳球方式，三次傳球后球回到老師手中的概率為==

47798

333

所以，前三次傳球中滿足題意的概率為：

989849

3

答：前三次傳球中，甲同學(xué)恰好有一次接到球且第三次傳球后球回到老師手中的概率是

49

18.（1）證明見解析;

⑵①證明見解析；②巫.

3

【分析】（1）連AG交BC于。，由重心可得。為8C的中點(diǎn)，由已知借助三角形全等證得

AB=AC,再由線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.

（2）①由給定條件，證得三棱錐A-ABC為正四面體，進(jìn)而證得AGL平面ABC,再得用

線面垂直的性質(zhì)得結(jié)論；②以ABC的重心。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的

坐標(biāo)運(yùn)算求出AG,再由向量共線求出點(diǎn)P,進(jìn)而利用線面角的向量求法求解即得.

【詳解】（1）在三棱柱ABC-A瓦G中，連AG交BC于。，連AD,由G為48C的重心，

得。為的中點(diǎn)，

由=A{A=A{A,ZAiAB=ZAiACf/\\ABAC,則43=4。，

因此AD15C,\DLBC,又AZ）4。=￡>,A￡>,4。u平面4人。，

于是平面AAQ,而AAu平面AAQ,則又AAIIB】B,

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所以旦瓦

yB

（2）①由AA=AB=2,Z^AB=60°,得為正三角形；同理，△AAC也為正三角

形，

則AB=AC=BC=2,從而三棱錐A-ABC的所有棱長均為2,該四面體為正四面體，

由G為ABC的重心，得AGL平面A8C,又GPL平面ABC,顯然G不在直線AQ上，

所以AG//GP.

②設(shè)ASC的重心為0,則A0=2OD，在平面ABC內(nèi)，過。作OE//3C,連40,有A。，

平面ABC,

以。為原點(diǎn)，直線。及分別為兌取軸建立空間直角坐標(biāo)系，

40="一0'=卜手=半，

則4羋,0,0）,8（,1,0）,C（-^,-l,0）,4（0,0,乎），￡）（-#,0,0）

OCt=（Z4j+A[Cj=OA^+AC=（0,0,—^―）+（―\/3,—1,0）=—1,—-^―）,則G（—1,--^―■））

由AG=2GD,得AG=gAA+gAD=；（-孚,0,平）+|（-也,。,0）=（-孚,0,半），

由尸e平面A3C,則設(shè)尸（x,y,0）,而C/〃AG,則存在實(shí)數(shù)2,使GP=/L4G,

即（x+也,y+1,-孚）=〃-卓,0,半），解得幾=-3,y=-l,x=當(dāng),

即尸（歲,一1,0）,AP=（半，一1,一半）=#（5,-6,-20），令。=（5,-石,一2夜），

47=（-哈,0,半）=￥（-4,0,后），令〃=（-4,0,0）,設(shè)4尸與平面4BC所成的角為巴

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所以AJ與平面ABC所成角的正弦值其1.

3

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：用向量法求直線與平面所成的角，求出平面的法向量是關(guān)鍵，并注意

公式求出的是線面角的正弦.

19.⑴;-9=]

（2）①浮o]；②條

41O

【分析】（1）根據(jù)漸近線方程及頂點(diǎn)求出6得雙曲線方程；

（2）①設(shè)。億0）,由四點(diǎn)共圓可得鐮?左加=1，根據(jù)斜率公式轉(zhuǎn)化為民C點(diǎn)坐標(biāo)表示形式，

由直線與雙曲線聯(lián)立得出根與系數(shù)的關(guān)系，據(jù)此化簡即可求出r；②求出G點(diǎn)坐標(biāo)得出OG,

利用正弦定理求出外接圓的半徑，根據(jù)均值不等式求出半徑的最值，即可得出圓面積的最值

【詳解】（1）因為雙曲線的漸近線關(guān)于坐標(biāo)軸及原點(diǎn)對稱，又頂點(diǎn)在x軸上，

r22

可設(shè)雙曲線的方程為三-v2=1（。＞0,6＞0）,

ab

從而漸近線方程為：y=+-x,由題條件知：）=昱.

aa3

所以〃=6，b=l,

所以雙曲線的方程為：—-/=1.

3

（2）如圖，

①。。,0）,設(shè)直線3C的方程為：my=x-t,

將x=+/代入方程：X2—3^2—3=0,得2_3）丁+2機(jī)）+/—3=0,

當(dāng)根2_3且A=1292+機(jī)2一3）＞。時，

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產(chǎn)-3

設(shè)3（4必）,C（x2,y2）,貝1%+力=一^^，y^y2

加一3

設(shè)直線AG的傾斜角為a,不妨設(shè)0<a<WTT，貝|/AG〃=IT-—a,

22

由于。，A,G,H四點(diǎn)共圓知：ZHOD=ZAGHf

TT71sina

所以直線0H的傾斜角為5-a,kAG'koH=tan^-tana

~~cosa

直線AC的方程為：丫=不興萬［+6），

令i則y=M",必卜+有）

，從而“t.

x+v3%2+\/3

27

%,+V3）

所以k°H='又心

%%+A/3）

%，+百）

得:=1nk+⑹X%=1+若）（%2+若）,

玉+

又再%=根%+，代入上式得:

1+百）=t^my1+r+G）（/w%+/+退）,

2

nt2"/+@（7+為）+,+@,

丑+??二蘇?汜+4丹含+（/+⑹一2，

化簡得：4產(chǎn)+3而-3=0,解得：t=-A/3（舍）或f=3

4

故點(diǎn)。的坐標(biāo)為

②直線AG的方程為〉=12118卜+6）,