2024年中考數(shù)學(xué)最值和路徑練習(xí)-垂線段最短模型

垂線段最短模型

（一）基本模型

已知:點(diǎn)P是直線1外一點(diǎn),PH11.垂足為點(diǎn)H,點(diǎn)A,B,C在直線1上比較線段PH,PA,PB,PC的

ABHC結(jié)論：PH最短，即直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.

（二）結(jié)論推導(dǎo)

垂線段最短是基本事實(shí)，不需要證明.

（三）滿分策略

在垂線段最短模型中，確定動(dòng)點(diǎn)的直線軌跡是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線的方法有：①動(dòng)點(diǎn)到定

直線的距離不變；②動(dòng)點(diǎn)與定線段的一個(gè)端點(diǎn)連接后的夾角不變；③動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示；且可以化為

一次函數(shù)；④動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)從而帶動(dòng)另一個(gè)點(diǎn)位似變換（見(jiàn)模型25主從聯(lián)動(dòng)模型）

二、典型例題

例1如圖,NMON=45。,OP平分NMON,點(diǎn)A為射線OM上一點(diǎn),0A=4,點(diǎn)E,F分別為射線OPQM上的動(dòng)點(diǎn),連接AE,E

F,貝?。軦E+EF的最小值為_(kāi)__.N

考點(diǎn)分析：全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短.

思路點(diǎn)撥:在ON上截取OG=OF,連接EG,過(guò)點(diǎn)A作AH±ON于點(diǎn)H,將AE+EF的最小值轉(zhuǎn)化為垂線段AH的長(zhǎng).

例2如圖,在^ABC中,NBAC=9（T,NC=60。,AB=6,點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE_LAD,交AB于點(diǎn)E,則線段AE長(zhǎng)

度的最小值為_(kāi)___.

DC

考點(diǎn)分析：直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短.

思路點(diǎn)撥:取AE的中點(diǎn)F,連接DF,過(guò)點(diǎn)F作FG±BC于點(diǎn)G,由垂線段最短可知DFNFG,當(dāng)DF±BC時(shí)DF最小.AE最小.

例3如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，ADCE是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F,將4DCE

繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段AF長(zhǎng)度的最小值是.

AC

例3

考點(diǎn)分析：等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、垂線段最短、勾

股定理.

思路點(diǎn)撥:設(shè)BF與AC交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)C作CHLBF于點(diǎn)比證^ACE^ABCD.AAFGS/\BCG顯然.當(dāng)NDBC最大時(shí),AG

最小,BG最大,AF最小.當(dāng)CD_LBD時(shí)NDBC最大，此時(shí)△CDF^ACEF,可求出EF的長(zhǎng),從而得到AF的最小值.

三、提分必練

(-)基礎(chǔ)

1.如圖.等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,將△ADE沿DE折疊,使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，則CE的

最大值為_(kāi)__.

BFC

第1題

2如圖，在RtAABC中,ZBAC=90。,AB=3,BC=5,點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA,以PA,PC為鄰邊作平行四邊形PAQC,連

接PQ,則PQ的最小值為一.

第2題

3.如圖,在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),將^CDE沿CE翻折得△CME點(diǎn)M落在四邊形ABCE內(nèi)，點(diǎn)N為

線段CE上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)N作NP〃EM交MC于點(diǎn)P,則MN+NP的最小值為一.

第3題

4.如圖1,在RtAABC中,NACB=90。,AC=2,BC=4,點(diǎn)D,E分別是AC,BC的中點(diǎn)，連接DE,^ADEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)

過(guò)程中，直線AD與BE相交于點(diǎn)H,如圖2,則AH的最大值為_(kāi).

圖1圖2

第4題

5.如圖,在△ABC中,AB=AC,NBAC=120。,點(diǎn)D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到AE,

連接DE交AC于點(diǎn)F,求為勺最小值.

FC

第5題

（二）提升

1.如圖,正方形ABCD和RtAAEF,AB=5,AE=AF=4,連接BF,DE,將^AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)ZABF最大時(shí),△ADE的面積為

2.如圖.在RtAABC中,NACB=90。,AC=3,BC=4,點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)ZDAC=30°,點(diǎn)E為射線AD上一點(diǎn),以BE,BC為邊

作平行四邊形BCFE,連接BF,則BF最小值為一.

第2題

3.如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,將正方形ABCD折疊,使點(diǎn)B落在AD邊上點(diǎn)P處，點(diǎn)C落在Q處折痕為EF，則四邊形

EFQP的面積的最小值為一.

第3題

4.如圖，在△ABC中,NB=90o,AB=8,BC=10,點(diǎn)D是斜邊AC的中點(diǎn),點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△ADE沿DE翻折得到4

A'DE,A'E交BC邊于點(diǎn)F.則BF的最大值為一.

第4題

5.如圖，在RtAABC中,."=90。,乙4=30°,BC=2,,點(diǎn)D為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE_LBD交AB于點(diǎn)E.當(dāng)點(diǎn)D

從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，AE的最大值為_(kāi)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為一.

D.

第5題

6如圖.四邊形ABCD是正方形,△DEF是等腰直角三角形，AB=4,DE=DF=2,乙EDF=90°,△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),直線

AE與CF相交于點(diǎn)G.在△DEF旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，線段BG長(zhǎng)度的最小值為

第6題

7.如圖.在△ABC中,AB=AC,NA=90。,點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn),連接PC,點(diǎn)D,E分別是BC,PC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線，分

別交BC.AC于點(diǎn)F,G,連接DG交PC于點(diǎn)H.求潸勺最大值.

CE

第7題

8.如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，DE=AB=2g,連接DE,以DE為邊向上

作等邊△DEF,當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)F經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為一.

第8題

9.如圖.NAOB=60。,點(diǎn)P是射線OA上一點(diǎn),OP=4,點(diǎn)M,N分別線段OP和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)N在點(diǎn)M的右側(cè)）,且MN

=28,當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)N經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為—.

A

第9題

10.如圖,在正方形ABCD中,AB=4,點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF_LDE,交正方形的邊于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)

動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)F經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為一.

第10題

1L如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E,F分另U是邊AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè))，且EF=但以EF為底邊向右作等腰

△DEF,/EDF=12O。,當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為

第11題

12.如圖.NMAN=60。,點(diǎn)B,C分別在AM,AN上.AB=AC,點(diǎn)D在/MAN內(nèi)部、△4BC外部,連接AD,BD,CD.下列結(jié)論:

@BD+CD>AD;②SBDC<-CD;③若BD=m,CD=①則S