專題15 【五年中考+一年模擬】二次函數(shù)綜合題-備戰(zhàn)2023年浙江杭州中考數(shù)學真題模擬題分類匯編(解析版)_第1頁
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專題15二次函數(shù)綜合題1.(2022?杭州)設(shè)二次函數(shù),是常數(shù))的圖象與軸交于,兩點.(1)若,兩點的坐標分別為,,求函數(shù)的表達式及其圖象的對稱軸.(2)若函數(shù)的表達式可以寫成是常數(shù))的形式,求的最小值.(3)設(shè)一次函數(shù)是常數(shù)),若函數(shù)的表達式還可以寫成的形式,當函數(shù)的圖象經(jīng)過點,時,求的值.【答案】見解析【詳解】(1)二次函數(shù)過點、,,即.拋物線的對稱軸為直線.(2)把化成一般式得,.,..把的值看作是的二次函數(shù),則該二次函數(shù)開口向上,有最小值,當時,的最小值是.(3)由題意得,.函數(shù)的圖象經(jīng)過點,,.,或.即或.2.(2021?杭州)在直角坐標系中,設(shè)函數(shù),是常數(shù),.(1)若該函數(shù)的圖象經(jīng)過和兩點,求函數(shù)的表達式,并寫出函數(shù)圖象的頂點坐標;(2)寫出一組,的值,使函數(shù)的圖象與軸有兩個不同的交點,并說明理由.(3)已知,當,,是實數(shù),時,該函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值分別為,.若,求證:.【答案】見解析【詳解】(1)由題意,得,解得,所以,該函數(shù)表達式為.并且該函數(shù)圖象的頂點坐標為.(2)例如,,此時,,函數(shù)的圖象與軸有兩個不同的交點.(3)由題意,得,,所以,由條件,知.所以,得證.3.(2020?杭州)在平面直角坐標系中,設(shè)二次函數(shù),,是實數(shù),.(1)若函數(shù)的對稱軸為直線,且函數(shù)的圖象經(jīng)過點,求函數(shù)的表達式.(2)若函數(shù)的圖象經(jīng)過點,其中,求證:函數(shù)的圖象經(jīng)過點,.(3)設(shè)函數(shù)和函數(shù)的最小值分別為和,若,求,的值.【答案】見解析【詳解】(1)由題意,得到,解得,函數(shù)的圖象經(jīng)過,,解得或,函數(shù)或.(2)函數(shù)的圖象經(jīng)過點,其中,,,即,是方程的根,即函數(shù)的圖象經(jīng)過點,.(3)函數(shù)和函數(shù)有最小值分別為和,,,,,,,,,.4.(2019?杭州)設(shè)二次函數(shù),是實數(shù)).(1)甲求得當時,;當時,;乙求得當時,.若甲求得的結(jié)果都正確,你認為乙求得的結(jié)果正確嗎?說明理由.(2)寫出二次函數(shù)圖象的對稱軸,并求該函數(shù)的最小值(用含,的代數(shù)式表示).(3)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過和兩點,是實數(shù)),當時,求證:.【答案】見解析【詳解】(1)當時,;當時,;二次函數(shù)經(jīng)過點,,,,,當時,,乙說的不對;(2),當時,是函數(shù)的最小值;(3)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過和兩點,,,,,,,不能取到,.5.(2018?杭州)設(shè)二次函數(shù),是常數(shù),.(1)判斷該二次函數(shù)圖象與軸的交點的個數(shù),說明理由.(2)若該二次函數(shù)圖象經(jīng)過,,三個點中的其中兩個點,求該二次函數(shù)的表達式.(3)若,點,在該二次函數(shù)圖象上,求證:.【答案】見解析【詳解】(1)設(shè)△方程有兩個不相等實數(shù)根或兩個相等實根.二次函數(shù)圖象與軸的交點的個數(shù)有兩個或一個(2)當時,拋物線不經(jīng)過點把點,分別代入得解得拋物線解析式為(3)當時①②①②相加得:6.(2022?上城區(qū)一模)如圖1用一個平面截取圓錐,得到的圖形可能是圓、橢圓、雙曲線,而當平面與圓錐的母線平行,且不過圓錐頂點時,所截得的圖形為拋物線,即圖2中曲線為拋物線的一部分,交母線于點,交底面于點,,垂直于底面的直徑,垂足為點.已知底面的半徑為5,.(1)求弦的長.(2)若以所在直線為軸,所在直線為軸,建立直角坐標系如圖3,當時,求經(jīng)過點,,的拋物線的函數(shù)表達式.(3)若圖3的拋物線上有一點,求的值.【答案】見解析【詳解】(1)如圖2,連接,垂直于底面的直徑,垂足為點,,底面的半徑為5,,,;(2),,,,,設(shè)拋物線的解析式為:,則有:,解得;拋物線的解析式為:;(3)拋物線上有一點,,解得,的值為2或.7.(2022?拱墅區(qū)一模)在直角坐標系中,設(shè)函數(shù),是常數(shù),.(1)已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點和,求函數(shù)的表達式.(2)若函數(shù)圖象的頂點在函數(shù)的圖象上,求證:.(3)已知點,在函數(shù)的圖象上,且.當時,求自變量的取值范圍.【答案】見解析【詳解】(1)函數(shù)的圖象經(jīng)過點和,.,..(2).頂點坐標為,.拋物線的頂點在的圖象上,,...(3)點,在函數(shù)的圖象上,.,,.當時,或.,,拋物線開口向上.時,或.8.(2022?西湖區(qū)一模)已知二次函數(shù)為常數(shù),.(1)當時,求二次函數(shù)的對稱軸.(2)當時,求該二次函數(shù)的圖象與軸的交點個數(shù).(3)設(shè),,,是該函數(shù)圖象上的兩點,其中,當時,都有,求的取值范圍.【答案】見解析【詳解】(1)時,,二次函數(shù)的對稱軸為直線.(2)令,則△,當時,,拋物線與軸有沒有交點.(3),,,是該函數(shù)圖象上的兩點,,,,,,,,,,且.9.(2022?錢塘區(qū)一模)已知二次函數(shù)是常數(shù),.(1)當時,求函數(shù)的表達式,并寫出函數(shù)圖象的頂點坐標.(2)若此函數(shù)圖象對稱軸為直線時,求函數(shù)的最小值.(3)設(shè)此二次函數(shù)的頂點坐標為,當時,求證:.【答案】見解析【詳解】(1)解:當時,,即,函數(shù)的表達式為,函數(shù)圖象的頂點坐標為;(2)解:,當時,即,解得:,,此函數(shù)圖象與軸的交點坐標為,,,此函數(shù)圖象對稱軸為直線,,解得:,,,函數(shù)圖象開口向上,當時,函數(shù)有最小值,此時.函數(shù)的最小值為;(3)證明:,當時,即,解得:,,此函數(shù)圖象與軸的交點坐標為,,,此二次函數(shù)的頂點坐標為,,,,,.10.(2022?淳安縣一模)在平面直角坐標系中,設(shè)二次函數(shù)是實數(shù)).(1)當時,若點在該函數(shù)圖象上,求的值.(2)小明說二次函數(shù)圖象的頂點在直線上,你認為他的說法對嗎?為什么?(3)已知點,都在該二次函數(shù)圖象上,求證:.【答案】見解析【詳解】(1)當時,,在函數(shù)圖象上,;(2)小明說法正確;由題意得,頂點是,當時,,頂點在直線上.故小明說法正確;(3),都在二次函數(shù)的圖象上,對稱軸是直線,,,,.11.(2022?富陽區(qū)一模)在直角坐標系中,點和點在二次函數(shù)的圖象上.(1)若,,求二次函數(shù)的表達式及圖象的對稱軸.(2)若,試說明二次函數(shù)的圖象與軸必有交點.(3)若點,是二次函數(shù)圖象上的任意一點,且滿足,求的取值范圍.【答案】見解析【詳解】(1)把點和點代入中得,解得,二次函數(shù)的表達式為,二次函數(shù)圖象經(jīng)過和,二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線.(2)把點和點代入中,得,,即,,二次函數(shù)圖象與軸必有交點.(3)點,是二次函數(shù)圖象上的任意一點,且滿足,二次函數(shù)圖像開口向下,即,頂點坐標為,對稱軸為直線,即,,,.12.(2022?臨安區(qū)一模)設(shè)二次函數(shù)是常數(shù)).(1)當時,求該二次函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標;(2)試判斷二次函數(shù)圖象與軸的交點情況;(3)設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交于點,當時,求的最大值.【答案】見解析【詳解】(1)當時,二次函數(shù).該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線,頂點坐標為.(2)令,△,該一元二次方程無解,二次函數(shù)圖象與軸無交點;(3)令,,函數(shù)的對稱軸為直線,,當時,隨的增大而減小;當時,隨的增大而增大,當時,;當時,,當時,.的最大值為10.13.(2022?錢塘區(qū)二模)如圖,拋物線與軸交于點和點,與軸交于點,點坐標為,點坐標為,點是拋物線的頂點,過點作軸的垂線,垂足為,連接.(1)求拋物線的解析式及點的坐標;(2)點是拋物線上的動點,當時,求點的坐標;(3)若點是拋物線上的動點,過點作軸與拋物線交于點,點在軸上,點在坐標平面內(nèi),以線段為對角線作正方形,請寫出點的坐標.【答案】見解析【詳解】(1)把、兩點坐標代入拋物線解析式可得,解得,拋物線解析式為,,;(2)如圖1,過作軸于點,連接,設(shè),則,,,,,,,,,,,,,當點在軸上方時,有,解得或(舍去),此時點的坐標為;當點在軸下方時,有,解得或(舍去),此時點的坐標為;綜上可知點的坐標為或;(3)如圖2,設(shè)對角線、交于點,點、關(guān)于拋物線對稱軸對稱,且四邊形為正方形,點為拋物線對稱軸與軸的交點,點在拋物線的對稱軸上,設(shè),則坐標為,點在拋物線的圖象上,,解得或,滿足條件的點有兩個,其坐標分別為或.14.(2022?西湖區(qū)校級一模)在平面直角坐標系內(nèi),二次函數(shù)為常數(shù)).(1)若函數(shù)的圖象經(jīng)過點,求函數(shù)的表達式;(2)若的圖象與一次函數(shù)為常數(shù))的圖象有且僅有一個交點,求的值;(3)已知,在函數(shù)的圖象上,當時,求證:.【答案】見解析【詳解】(1)解:函數(shù)的圖象經(jīng)過點,,解得:或1,函數(shù)的表達式為或;(2)解:若的圖象與一次函數(shù)為常數(shù))的圖象有且僅有一個交點,方程有兩個相等的實數(shù)根,,△,解得:;(3)證明:,,拋物線的對稱軸為直線,拋物線開口方向向上,和時的函數(shù)值相同,由圖象可知當時的函數(shù)值小于當時的函數(shù)值,即:,,,.15.(2022?蕭山區(qū)校級一模)在平面直角坐標系中,設(shè)二次函數(shù)是實數(shù)).(1)當時,若點在該函數(shù)圖象上,求的值.(2)已知,,,從中選擇一個點作為該二次函數(shù)圖象的頂點,判斷此時是否在該二次函數(shù)的圖象上,(3)已知點,都在該二次函數(shù)圖象上,求證:.【答案】見解析【詳解】(1)時,,將代入得.(2),拋物線頂點坐標為,當為拋物線頂點時,,,不符合題意.當為拋物線頂點時,,,不符合題意,當,為拋物線頂點時,,,符合題意,此時,將代入得,在函數(shù)圖象上.(3),關(guān)于拋物線對稱軸對稱,,解得,,將代入得,.16.(2022?蕭山區(qū)一模)已知二次函數(shù).(1)若函數(shù)圖象的對稱軸為直線,且頂點在軸上,求的值;(2)若,,點為該二次函數(shù)圖象在第三象限內(nèi)的點,請分別求出,的取值范圍;(3)若點始終是函數(shù)圖象上的點,求證:.【答案】見解析【詳解】(1)解:函數(shù)圖象的對稱軸為直線,,.二次函數(shù)的頂點在軸上,,,,;(2)解:若,,則,,拋物線的頂點坐標為,,拋物線的的開口方向向上,令,則,解得:或1.拋物線與軸交于點和.點為該二次函數(shù)圖象在第三象限內(nèi)的點,,;(3)證明:點始終是函數(shù)圖象上的點,..,..,,有最小值,.17.(2022?濱江區(qū)一模)二次函數(shù),,是常數(shù),,當時,函數(shù)有最小值.(1)若該函數(shù)圖象的對稱軸為直線,并且經(jīng)過點,求該函數(shù)的表達式.(2)若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二次函數(shù)圖象的頂點.①求該二次函數(shù)圖象的頂點坐標.②若,,是該二次函數(shù)圖象上的兩點,求證:.【答案】見解析【詳解】(1)由題意可知,拋物線的頂點為,物線為,經(jīng)過點,,,拋物線為.(2)①令,整理得,解得,,一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二次函數(shù)圖象的頂點,且當時,函數(shù)有最小值,拋物線的頂點為,,代入得,,二次函數(shù)中,當時,,拋物線頂點為;②拋物線頂點為,對稱軸為直線,,,代入得,,,,,,.18.(2022?上城區(qū)二模)二次函數(shù)的自變量與函數(shù)值的對應(yīng)值如表:012(1)若,求此時函數(shù)解析式;(2)當時,對應(yīng)的函數(shù)值.①和在該二次函數(shù)的圖象上,試比較與大小;②求的范圍.【答案】見解析【詳解】(1)設(shè),將,,代入得,解得,這個二次函數(shù)的解析式為.(2)拋物線經(jīng)過,,拋物線對稱軸為直線,,當時,對應(yīng)的函數(shù)值.圖象開口向上,①到對稱軸的距離大于點的距離,;②拋物線開口向上,對稱軸為直線,,點到對稱軸的距離等于點的距離,,,,拋物線為,時,對應(yīng)的函數(shù)值,,,,時,,.19.(2022?余杭區(qū)一模)已知二次函數(shù)為常數(shù)).(1)若該函數(shù)圖象經(jīng)過點試求的值和圖象頂點坐標;(2)在(1)的情況下,當時,求的取值范圍;(3)當,隨的增大而增大,,,,是該函數(shù)圖象上的兩個點,對任意的,,,總滿足,試求的取值范圍.【答案】見解析【詳解】(1),頂點為,把點代入中得:,解得:,拋物線的頂點為,;(2)由(1)得二次函數(shù)解析式為,拋物線開口向上,對稱軸為直線,當時函數(shù)在時取最小值為,在時取最大值為,故的取值范圍;(3)由題意得,拋物線開口向上,當,隨的增大而增大,對稱軸,即,,,時,最小為,時,最大為,所以,解得,綜上所述.20.(2022?富陽區(qū)二模)設(shè)二次函數(shù),其中為實數(shù).(1)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點,求二次函數(shù)的表達式;(2)把二次函數(shù)的圖象向上平移個單位,使圖象與軸無交點,求的取值范圍;(3)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點,點,設(shè),求的最小值.【答案】見解析【詳解】(1)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點,,解得:,,二次函數(shù)的表達式為;(2)由二次函數(shù)的交點式得二次函數(shù)與軸交點橫坐標,,二次函數(shù)的對稱軸為直線,把代入解析式得頂點縱坐標為,將二次函數(shù)圖象向上平移個單位可得頂點縱坐標為,圖象與軸無交點,,;(3)二次函數(shù)的對稱軸為直線,不妨設(shè),,,,把,代入函數(shù)解析式,得,,的最小值為0.21.(2022?西湖區(qū)校級模擬)若二次函數(shù)的解析式為.(1)當分別取,0,1時對應(yīng)函數(shù)值為,,,請比較,,的大小關(guān)系.(2)記二次函數(shù)的最小值為,求證:;(3)若函數(shù)過點和點,求的取值范圍.【答案】見解析【詳解】(1)解:二次函數(shù)的解析式為,二次函數(shù)過和,開口向上,時,隨的增大而減小,分別取,0,1時對應(yīng)函數(shù)值為,,,;(2)證明:二次函數(shù)的解析式為,一般式為:,對稱軸為,函數(shù)開口向上,當時,取得最小值,,,;(3)解:設(shè)直線與二次函數(shù)的交點為,,,,函數(shù)過點和點,,聯(lián)立,可得:,,,,即,,令,,.22.(2022?富陽區(qū)一模)已知拋物線.(1)若拋物線過點,求拋物線的解析式;(2)若該拋物線上任意不同兩點,、,都滿足:當時,;當時,,試判斷點在不在此拋物線上;(3)拋物線上有兩點、,當時,恒成立,試求的取值范圍.【答案】見解析【詳解】(1)將代入得,解得,.(2),拋物線與軸交點坐標為,,,拋物線對稱軸為直線,時,,時,,拋物線對稱軸為值,即,解得,,將代入得,點在拋物線上.(3)拋物線對稱軸為直線,點關(guān)于對稱軸對稱的點,,當時,恒成立,拋物線開口向下,即,且,解得.23.(2022?西湖區(qū)校級二模)已知二次函數(shù)為常數(shù),且.(1)求該二次函數(shù)圖象與軸的交點坐標;(2)當時,的最大值與最小值的差為4.5,求該二次函數(shù)的表達式;(3)若,對于二次函數(shù)圖象上的兩點,,,,當,時.均滿足,請直接寫出的取值范圍.【答案】見解析【詳解】(1)取,得,解得或,該二次函數(shù)圖象與軸的交點為,;(2)的頂點坐標為,①當時,在中,最大值是當時的值,即,最小值是當時的值,即,,,該二次函數(shù)的解析式為,②當時,在中,最大值是當時的值,即,最小值是當時的值,即,,,該二次函數(shù)的表達式為;(3)由(2)知拋物線的對稱軸為,當時,,,由拋物線的對稱性知時,,又,,,.24.(2022?西湖區(qū)校級模擬)已知拋物線.,為常數(shù),且(1)已知點,,,若該拋物線只經(jīng)過其中的兩點,求拋物線的表達式;(2)點為(1)中拋物線上一點,且,求的取值范圍;(3)若拋物線與直線都經(jīng)過點,設(shè),求證:且.【答案】見解析【詳解】(1)拋物線過點,拋物線不經(jīng)過點.拋物線經(jīng)過、兩點,由題意得,,解得拋物線的表達式為.(2)點在拋物線上,,整理得,.,,,.解得.的取值范圍為.(3)拋物線與直線都經(jīng)過點,,,整理得.,,即.又,.且.25.(2022?下城區(qū)校級二模)在平面直角坐標系中,點和點在二次函數(shù)的圖象上.(1)若,,求二次函數(shù)的表達式及圖象的對稱軸.(2)若點,是二次函數(shù)圖象上的任意一點且滿足,當時,求證:.(3)若點,,在該二次函數(shù)的圖象上,試比較,的大?。敬鸢浮恳娊馕觥驹斀狻浚?)解:,,,,把、代入得,解得:,二次函數(shù)的表達式為:,其對稱軸為;(2)證明:點,是二次函數(shù)圖象上任意一點,且,可得為最低點,即開口向上,,對稱軸,則,根據(jù)拋物線的對稱性,可知,,,即,,,將代入,得,;(3)解:將點,,代入得:,解得:,,當時,,當時,,,.26.(2022?杭州模擬)在平面直角坐標系中,設(shè)二次函數(shù),其中.(1)若函數(shù)的圖象經(jīng)過點,求函數(shù)的表達式;(2)若一次函數(shù)的圖象與的圖象經(jīng)過軸上同一點,探究實數(shù),滿足的關(guān)系式;(3)已知點,和在函數(shù)的圖象上,若,求的取值范圍.【答案】見解析【詳解】(1)函數(shù)的圖象經(jīng)過點,得,解得,,當時,函數(shù)的表達式,化簡,得;當時,函數(shù)的表達式化簡,得,綜上所述:函數(shù)的表達式;(2)當時,解得,,的圖象與軸的交點是,,當經(jīng)過時,,即;當經(jīng)過時,,即;(3)的對稱軸為:,當在對稱軸的左側(cè)(含頂點)時,隨的增大而減小,與關(guān)于對稱軸對稱,由,得;當在對稱軸的右側(cè)時,隨的增大而增大,由,得,綜上所述:,所求的取值范圍.解法二:也可以求出函數(shù)值,,根據(jù),構(gòu)建不等式求解即可.27.(2022?江干區(qū)校級模擬)在平面直角坐標系中,點

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