《高等數(shù)學(xué)下冊(cè) 第2版》-蔣國(guó)強(qiáng) 習(xí)題及答案 第10章習(xí)題解答

PAGEPAGE31習(xí)題解答習(xí)題10.1寫(xiě)出下列級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)：（1）；（2）；（3）；（4）．解（1）（2）（3）（4）2．已知級(jí)數(shù)的前項(xiàng)部分和為，求，并求級(jí)數(shù)的和．解由，得，故得，，又，所以級(jí)數(shù)的和．3．用定義判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（3）．解（1）因?yàn)?，所以，從而，即?jí)數(shù)發(fā)散．（2）因?yàn)?，所以，從而，即?jí)數(shù)收斂且和為．（3）因?yàn)?，所以，從而，即?jí)數(shù)發(fā)散．4．判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）此級(jí)數(shù)為等比（幾何）級(jí)數(shù)，公比，且，故此級(jí)數(shù)收斂．（2）因?yàn)椴粷M足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，故此級(jí)數(shù)發(fā)散．（3）將此級(jí)數(shù)看成兩個(gè)等比（幾何）級(jí)數(shù)之和，他們的分別為公比，，且，；故這兩個(gè)級(jí)數(shù)均收斂，從而原級(jí)數(shù)收斂．（4）將此級(jí)數(shù)看成兩個(gè)級(jí)數(shù)之和：+，而級(jí)數(shù)發(fā)散，級(jí)數(shù)為等比（幾何）級(jí)數(shù)，公比是收斂的，故原級(jí)數(shù)發(fā)散．（5）將此級(jí)數(shù)看成兩個(gè)等比（幾何）級(jí)數(shù)之和：+，他們的分別為公比，，且，；故這兩個(gè)級(jí)數(shù)均收斂，從而原級(jí)數(shù)收斂．5．如果級(jí)數(shù)收斂，判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（3）；（4）．解（1）由級(jí)數(shù)的性質(zhì):在級(jí)數(shù)前面去掉（或加上、或改變）有限項(xiàng)，級(jí)數(shù)的斂散性不變．可知級(jí)數(shù)收斂．（2）因?yàn)?，不滿足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，故級(jí)數(shù)發(fā)散．（3））由級(jí)數(shù)的性質(zhì):設(shè)k為非零常數(shù)，則級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)有相同的斂散性，可知級(jí)數(shù)收斂．（4）因?yàn)?，不滿足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，故級(jí)數(shù)發(fā)散．習(xí)題10.21．用比較審斂法或其極限形式判別下列級(jí)數(shù)的收斂性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）因?yàn)?，而?jí)數(shù)收斂，由比較審斂法可知，級(jí)數(shù)收斂．（2）因?yàn)?，而?jí)數(shù)發(fā)散，由比較審斂法極限形式可知，級(jí)數(shù)發(fā)散．（3）因?yàn)?，而?jí)數(shù)發(fā)散，由比較審斂法極限形式可知，級(jí)數(shù)發(fā)散．（4）因?yàn)?，而?jí)數(shù)收斂，由比較審斂法極限形式可知，級(jí)數(shù)收斂．（5）因?yàn)?，而?jí)數(shù)收斂，由比較審斂法可知，級(jí)數(shù)收斂．2．用比值審斂法判別下列級(jí)數(shù)的收斂性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）因?yàn)橛杀戎祵彅糠芍?，?jí)數(shù)收斂．（2）因?yàn)橛杀戎祵彅糠芍?，?jí)數(shù)發(fā)散．（3）因?yàn)橛杀戎祵彅糠芍?jí)數(shù)收斂．（4）因?yàn)橛杀戎祵彅糠芍?，?jí)數(shù)收斂．（5）因?yàn)橛杀戎祵彅糠芍?，?jí)數(shù)發(fā)散．3．判別下列級(jí)數(shù)的收斂性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解（1）因?yàn)橛杀戎祵彅糠芍?，?jí)數(shù)收斂．（2）因?yàn)?，而?jí)數(shù)發(fā)散，由比較審斂法極限形式可知，級(jí)數(shù)發(fā)散．（3）因?yàn)橛杀戎祵彅糠芍?jí)數(shù)收斂．（4）因?yàn)?，而?jí)數(shù)發(fā)散，由比較審斂法極限形式可知，級(jí)數(shù)發(fā)散．（5）因?yàn)椴粷M足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，故此級(jí)數(shù)發(fā)散．（6）因?yàn)?，而?dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，所以級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散．4．判定下列級(jí)數(shù)是否收斂？如果是收斂的，是條件收斂還是絕對(duì)收斂？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解（1）對(duì)絕對(duì)值級(jí)數(shù)，有而p--級(jí)數(shù)收斂，所以絕對(duì)值級(jí)數(shù)收斂，從而原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．（2）絕對(duì)值級(jí)數(shù)為等比（幾何）級(jí)數(shù)，公比是收斂的，所以絕對(duì)值級(jí)數(shù)收斂，從而原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．（3）對(duì)絕對(duì)值級(jí)數(shù)，有，而級(jí)數(shù)發(fā)散，由比較審斂法極限形式可知，絕對(duì)值級(jí)數(shù)發(fā)散．又是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由萊布尼茲判別法，得級(jí)數(shù)收斂，所以級(jí)數(shù)收斂且為條件收斂．（4）因?yàn)樗越^對(duì)值級(jí)數(shù)收斂，從而原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．（5）因?yàn)椴粷M足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，故級(jí)數(shù)發(fā)散．（6）因?yàn)?，?duì)絕對(duì)值級(jí)數(shù)，有，而級(jí)數(shù)發(fā)散，由比較審斂法極限形式可知，絕對(duì)值級(jí)數(shù)發(fā)散．又是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由萊布尼茲判別法，得級(jí)數(shù)收斂，所以級(jí)數(shù)條件收斂．習(xí)題10.31．求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）因?yàn)?，所以收斂半徑．收斂區(qū)間為．對(duì)于端點(diǎn)，級(jí)數(shù)成為，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知該級(jí)數(shù)發(fā)散；對(duì)于端點(diǎn)，級(jí)數(shù)成為，該級(jí)數(shù)也發(fā)散；因此，收斂域?yàn)椋?）令，則所給級(jí)數(shù)成為．因?yàn)?，所以收斂半徑，收斂區(qū)間為．（3）令，則所給級(jí)數(shù)成為．因?yàn)?，所以收斂半徑，收斂區(qū)間為．即．（4）因?yàn)閮缂?jí)數(shù)中缺少奇數(shù)次冪項(xiàng)，所以不能直接求收斂半徑．可對(duì)絕對(duì)值級(jí)數(shù)使用比值審斂法求收斂半徑．因?yàn)?，故?dāng)即時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)即時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散；所以收斂半徑，收斂區(qū)間為．（5）因?yàn)閮缂?jí)數(shù)中缺少偶數(shù)次冪項(xiàng)，所以不能直接求收斂半徑．可對(duì)絕對(duì)值級(jí)數(shù)使用比值審斂法求收斂半徑．因?yàn)?，故?dāng)即時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)即時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散；所以收斂半徑，收斂區(qū)間為．2．求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域：（1）；（2）．解（1）因?yàn)?，所以收斂半徑．收斂區(qū)間為．對(duì)于端點(diǎn)，級(jí)數(shù)成為，由萊布尼茲判別法，得級(jí)數(shù)收斂；對(duì)于端點(diǎn)，級(jí)數(shù)成為，由級(jí)數(shù)得收斂性得級(jí)數(shù)收斂；因此，收斂域?yàn)椋?）因?yàn)?，所以收斂半徑．收斂區(qū)間為．對(duì)于端點(diǎn)，級(jí)數(shù)成為，由交錯(cuò)級(jí)數(shù)得收斂性得級(jí)數(shù)發(fā)散；對(duì)于端點(diǎn)，級(jí)數(shù)成為，由萊布尼茲判別法，得級(jí)數(shù)收斂；因此，收斂域?yàn)椋?．利用公式，求下列冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)：（1）；（2）．解（1）因?yàn)?，所以收斂半徑．收斂區(qū)間為．設(shè)和函數(shù)為，即，，則=，對(duì)上式從到積分，得．由于，故．（2）設(shè)和函數(shù)為，即，上式兩端從到積分，得，上式兩端對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得．習(xí)題10.41．將下列函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)，并寫(xiě)出展開(kāi)式成立的區(qū)間：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解（1）因?yàn)?，在上式中將換成，得=．（2）因?yàn)椋裕?）因?yàn)?，所?．（4）因?yàn)椋?，所以=．（5）因?yàn)?，在上式中將換成，得，上式兩邊從到積分，得因?yàn)椋谏鲜街袑Q成，得，所以=，故=．（6）因?yàn)椋?，，，因此，在?nèi)，有-．2．將下列函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)：（1）；（2）．解（1）因?yàn)?，，在上式中將換成，再兩邊從到積分，=,．（2）因?yàn)?，，在上式中將分別換成及，得=，．3．將函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)．解因?yàn)?，又?，在上式中將換成后，得．習(xí)題10.51．計(jì)算的值，要求誤差不超過(guò)．解在函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式=中，令，得，這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，從而，故只需令，解得，即取前兩項(xiàng)計(jì)算的近似值，就可保證計(jì)算精度小于．所以．2．計(jì)算的值，要求誤差不超過(guò)．解因?yàn)椋裕?．計(jì)算的值，要求誤差不超過(guò)．解在函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式=中，以替代，得，上式兩端同時(shí)積分，得=．總習(xí)題101．選擇題（1）若級(jí)數(shù)收斂于，則級(jí)數(shù)（）．A．收斂于B．收斂于C．收斂于D．發(fā)散（2）設(shè)為常數(shù)，則級(jí)數(shù)（）．A．絕對(duì)收斂B．條件收斂C．發(fā)散D．?dāng)可⑿耘c的取值有關(guān)（3）設(shè)級(jí)數(shù)與都發(fā)散，則下列級(jí)數(shù)中一定發(fā)散的是（）．A．B．C．D．（4）冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)為（）．A．B．C．D．解（1）設(shè)的部分和為，的部分和為，則=又故選A．（2）因?yàn)?，故?jí)數(shù)絕對(duì)收斂，而級(jí)數(shù)是發(fā)散的，所以級(jí)數(shù)發(fā)散，故選C．（3）舉反例如下：設(shè)，，級(jí)數(shù)與都發(fā)散，但級(jí)數(shù)，為收斂的，故不選A．設(shè)，，級(jí)數(shù)與都發(fā)散，但級(jí)數(shù)，為收斂的，故不選B．設(shè)，，級(jí)數(shù)與都發(fā)散，但級(jí)數(shù)，為收斂的，故不選B．因此，本題選D．（4）因?yàn)?，所?故選B．2.填空題（1）級(jí)數(shù)的和．（2）級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是常數(shù)滿足．（3）設(shè)有冪級(jí)數(shù)，且，則該冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是．（4）把展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)，其收斂半徑R=．解（1）因?yàn)椋瑥亩?，即?jí)數(shù)的和．（2）級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由萊布尼茲判別法可知，級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是常數(shù)滿足：．（3）令，則所給級(jí)數(shù)成為．因?yàn)?，所以收斂半徑，收斂區(qū)間為．即，該冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是．（4）展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)，應(yīng)有，即故展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)，其收斂半徑R=．3．判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）因?yàn)椴粷M足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，故此級(jí)數(shù)發(fā)散．（2）此級(jí)數(shù)為兩個(gè)級(jí)數(shù)之和：+，而級(jí)數(shù)發(fā)散，級(jí)數(shù)為等比（幾何）級(jí)數(shù)，公比是收斂的，故原級(jí)數(shù)發(fā)散．（3）因?yàn)椋?jí)數(shù)收斂，由比較審斂法極限形式可知，級(jí)數(shù)收斂．（4）當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，由比較審斂法可知其發(fā)散，由比值審斂法得，故當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，所以級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散．（5）因?yàn)槎杀戎祵彅糠芍?，?jí)數(shù)收斂，根據(jù)比較審斂法可知級(jí)數(shù)收斂．4．判別下列級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？（1）；（2）；（3）；（4）；解（1）對(duì)絕對(duì)值級(jí)數(shù)，，從而，即級(jí)數(shù)收斂且和為，所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．（2）對(duì)絕對(duì)值級(jí)數(shù)，有而級(jí)數(shù)為等比（幾何）級(jí)數(shù)，公比是收斂的，從而原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．（3）此級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且由萊布尼茲判別法，知級(jí)數(shù)發(fā)散．（4）因?yàn)槎?jí)數(shù)發(fā)散，故級(jí)數(shù)即發(fā)散，又是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且，，所以級(jí)數(shù)收斂且為條件收斂．5．求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，并在收斂區(qū)間內(nèi)求其和函數(shù)：（1）；（2）．（3）；（4）．解（1）因?yàn)?，所以收斂半徑．收斂區(qū)間為．設(shè)和函數(shù)為，即，則=，對(duì)上式從到積分，得．由于，故．（2）因?yàn)閮缂?jí)數(shù)中缺少奇數(shù)次冪項(xiàng)，所以不能直接求收斂半徑．可對(duì)絕對(duì)值級(jí)數(shù)使用比值審斂法求收斂半徑．因?yàn)?，故?dāng)即時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)即時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散；所以收斂半徑，收斂區(qū)間為．設(shè)和函數(shù)為，即，上式兩端從到積分，得，上式兩端對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得．（3）因?yàn)椋允諗堪霃剑諗繀^(qū)間為．設(shè)和函數(shù)為，即，即，．（4）因?yàn)?，所以收斂半徑．收斂區(qū)間為