《高等數(shù)學(xué)上冊 第3版》 課件 D3-4（2）最大值最小值

第四節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值第三章一、函數(shù)的極值及其求法1.定義:(1)則稱為的極大值點(diǎn)

,稱為函數(shù)的極大值

;(2)則稱為的極小值點(diǎn)

,稱為函數(shù)的極小值

.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)；極大值與極小值機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束統(tǒng)稱為極值。2.極值必要條件機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理1設(shè)x0

是f(x)的極值點(diǎn)，則注（1）：定理的逆不成立，即駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)；（2）：極值的嫌疑點(diǎn)為“駐點(diǎn)”和“不可導(dǎo)點(diǎn)”。定理1

(極值第一判別法)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.極值充分條件（1）如在x0左側(cè)附近（2）如在x0左側(cè)附近（3）如在x0左右兩側(cè)附近例1.求的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值嫌疑點(diǎn)：駐點(diǎn)為3)列表判別是極小值點(diǎn)，其極小值為注：駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。定理2(極值第二判別法)設(shè)則是極大值;則是極小值.則不能確定是否為極值（改用一階導(dǎo)數(shù)列表法。）存在，定理2(極值第二判別法)則在點(diǎn)取極大值;證:(1)存在由第一判別法知例2.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束（不記錄）例2.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)判別。函數(shù)的極小值為：試問為何值時(shí),在時(shí)取得極值,還是極小.解:由題意應(yīng)有又取得極大值為例3求出該極值,并指出它是極大。二、最大值與最小值問題1.閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)

f(x)的最大值與最小值求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的極值嫌疑點(diǎn)(2)計(jì)算：(3)比較上述各數(shù)的大小，其中最大的就是所求的最大值，最小的就是所求的最小值。分析：最值點(diǎn)在端點(diǎn)在內(nèi)必為極值點(diǎn)必為極值嫌疑點(diǎn)例4.求在[-1,3]上的最大、最小值.(1)求在內(nèi)的極值嫌疑點(diǎn)(2)計(jì)算：(3)比較上述各數(shù)的大小，其中最大的就是所求的最大值，最小的就是所求的最小值。解:令（舍去）2.只有唯一極值點(diǎn)函數(shù)的最值【理論】任何區(qū)間（開、閉、半開閉、有限、無窮）上的連續(xù)函數(shù)如果只有一個(gè)極值點(diǎn)x0，則（1）若x0是極小值點(diǎn)，則x0是函數(shù)在該區(qū)間上的最小值點(diǎn)；（2）若x0是極大值點(diǎn)，則x0是函數(shù)在該區(qū)間上的最大值點(diǎn)；例5.求函數(shù)在何處取得最小值。3.實(shí)際應(yīng)用問題中的最值例6.設(shè)有蓋圓柱體容積V是常數(shù)，應(yīng)如何安排圓柱體的高和底面半徑，才能使表面積最??？h、r，則設(shè)高、底半徑為解：表面積r令h例7.從半徑為R的圓鐵片上挖去一個(gè)扇形做成漏斗，解:問留下扇形的中心角取多大，做成的漏斗的容積最大？RR設(shè)漏斗底圓半徑為，高為h