湖南省寧鄉(xiāng)一中等部分中學(xué)2024屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

湖南省寧鄉(xiāng)一中等部分中學(xué)2024屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

7T

1.已知函數(shù)/'（x）=cos（2x+§）,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.函數(shù)/（龍）的最小正周期為兀

B.函數(shù)/（九）的圖象關(guān)于點1,0對稱

C.函數(shù)/（%）在］4,菖］上單調(diào)遞增

D.函數(shù)/（光）的圖象可由y=sin2x的圖象向左平移/個單位長度得到

2.在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛馬羊，要

求賠償五斗糧，三畜戶主愿賠償，牛馬羊吃得異樣.馬吃了牛的一半，羊吃了馬的一半.”請問各畜賠多少？它的大意

是放牧人放牧?xí)r粗心大意，牛、馬、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食（1斗=10升）,

三畜的主人同意賠償，但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同.馬吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是馬的一半.問羊、

馬、牛的主人應(yīng)該分別向青苗主人賠償多少升糧食？（）

255010025255010020040050100200

A.B.—,—.__r______.D?—，-----，-----

T,T,—147777777

3.設(shè)a=10g23,b=log46,c二=5-°\則（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

已知復(fù)數(shù)z滿足三下=2-，

4.（其中1為Z的共朝復(fù)數(shù)）,貝!l|z|的值為（）

1-Z

A.1B.2C.73D.75

5.記“個兩兩無交集的區(qū)間的并集為〃階區(qū)間如（-8』U［2,3］為2階區(qū)間，設(shè)函數(shù)/（幻=麗，則不等式

/?［〃x）］+3W0的解集為（）

A.2階區(qū)間B.3階區(qū)間C.4階區(qū)間D.5階區(qū)間

13

6.曲線丁=§丁+2111X上任意一點處的切線斜率的最小值為（）

3

A.3B.2C.-D.1

2

7.設(shè)函數(shù)〃x）=￡-小nx+x+恰有兩個極值點，則實數(shù)f的取值范圍是（）

,+00

1A

2jA3

8.一個四面體所有棱長都是4,四個頂點在同一個球上，則球的表面積為（）

A.24〃B.8而rC.生叵三D.127t

3

9.設(shè)尸為雙曲線C：當(dāng)=1（a>0,6>0）的右焦點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓*2+9=層交于產(chǎn)、Q

ab

兩點.若|PQ=|O為,則。的離心率為

A.72B.73

C.2D.亞

22

10.已知丹、居是雙曲線5-與=1（。>0,6>0）的左右焦點，過點居與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另

ab

一條漸近線于點若點M在以線段可鳥為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（）

A.（2,+oo）B.（/⑵C.（逝,百）D.（1,72）

11.下列四個圖象可能是函數(shù)丁=或鼠叵士u圖象的是（）

X+1

12.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,^2(/?cosA+acosB)=c2,b=3,3cosA=l,則。=

()

A.75B.3C.V10D.4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=L,貝!||z|=

1+1

14.若正實數(shù)二，二滿足二_二-5）則***■fl的最大值是.

三+手

口U

15.已知圓柱的上下底面的中心分別為Q,。②，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為36的正方形，則該

圓柱的體積為__

_JT

16.在AABC中，（A3—若角A的最大值為工，則實數(shù);I的值是.

O

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在四棱錐尸—A5CD中，底面ABC。為矩形，側(cè)面？底面ABC。，X為棱A5的中點，E

為棱。C上任意一點，且不與。點、。點重合.AB=2,AD=PA=1,PH=42-

（1）求證：平面APE_L平面ABC。；

（2）是否存在點E使得平面APE與平面PHC所成的角的余弦值為亞？若存在，求出點E的位置；若不存在，請

3

說明理由.

18.（12分）已知拋物線C:J=4y與直線/：x—2y—2=0.

（1）求拋物線C上的點到直線/距離的最小值；

（2）設(shè)點P（尤0,%）是直線/上的動點，Q（L1）是定點，過點尸作拋物線C的兩條切線，切點為A,B,求證A,Q,

3共線；并在AQ=3Q3時求點P坐標(biāo).

19.（12分）如圖，在四棱錐尸-A3CD中，四邊形ABC。為正方形，平面ABCD,點"是棱PC的中點,

AB=2,PD=t（t>0）.

（1）若t=2,證明：平面平面「5C；

4

（2）若三棱錐C-。斷的體積為求二面角B—DM—C的余弦值.

20.（12分）如圖，焦點在x軸上的橢圓G與焦點在y軸上的橢圓。2都過點M（O,1）,中心都在坐標(biāo)原點，且橢圓G

與C,的離心率均為*L.

2

（I）求橢圓G與橢圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（n）過點M的互相垂直的兩直線分別與G，Q交于點A,B（點A、B不同于點M）,當(dāng)AM4B的面積取最大值

時，求兩直線M4,M3斜率的比值.

M

,百、

21.（12分）在極坐標(biāo)系中，曲線。的極坐標(biāo)方程為夕=<2sin]'十%,2

\,-<0<Tl.

12

（1）求曲線C與極軸所在直線圍成圖形的面積；

（2）設(shè)曲線C與曲線0sind=g交于A,B兩點,求

22.（10分）在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，平面ABCZ）為等腰梯形，AB//CD,AB=2BC,點。為AE

的中點.

E

(1)求證：AC//平面OQF；

(2)若NABC=60。，ACLFB,求BC與平面OQ尸所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

2冗TTTTTT

由7=—可判斷選項A；當(dāng)％=一時，2x+—=—可判斷選項B；利用整體換元法可判斷選項C；

。1232

y=sin2(x+力]=cos^2x--1-^豐f(x)可判斷選項D.

【詳解】

由題知〃x)=cos[2x+m],最小正周期7=5=兀，所以A正確；當(dāng)x=\時，

-n71一-,(7127T),-71{5兀

2x+—=-,所以B正確；當(dāng)時，2x+—eI所以C正確；由、=5皿2%

的圖象向左平移擊個單位，得丁=sin2[x+Aj=sin[2x+Wj=sin[2x+'-m

cosj2x-|U/(x),所以D錯誤.

故選：D.

【點睛】

本題考查余弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到周期性、對稱性、單調(diào)性以及圖象變換后的解析式等知識，是一道中檔題.

2、D

【解析】

設(shè)羊戶賠糧4升，馬戶賠糧的升，牛戶賠糧升，易知，。2，%成等比數(shù)列,9=2,+g+%=50,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)

可求出答案.

【詳解】

設(shè)羊戶賠糧4升，馬戶賠糧的升，牛戶賠糧升，則，。2，%成等比數(shù)列，且公比4=2,+/+%=50,則

“2\S.5050100C2200

a\(1++4)=50,故/=J+2+22=~~j~，&=2"i=,q=2q=—^―.

故選:D.

【點睛】

本題考查數(shù)列與數(shù)學(xué)文化，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.

3、A

【解析】

先利用換底公式將對數(shù)都化為以2為底,利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較。力，再由中間值1可得三者的大小關(guān)系.

【詳解】

a=log23e(1,2),b=log46=log276e(1,log23),0=5。?0,1),因此a>b>c,故選：A.

【點睛】

本題主要考查了利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.

4、D

【解析】

按照復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則先求出再寫出z,進(jìn)而求出國.

【詳解】

1+Z_(l+i)2_2i__.

1^7-(l-z)(l+0一萬一’'

1I,。.

/.——--z=2-i=i”=2-i=2=----=-i(2-i)=-l-2z,

1-ii

z=—1+2in|z|=^(—I)2+22=y/5?

故選：D

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共甄復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模，考查基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、D

【解析】

可判斷函數(shù)為奇函數(shù)，先討論當(dāng)％>0且XW1時的導(dǎo)數(shù)情況，再畫出函數(shù)大致圖形，將所求區(qū)間端點值分別看作對應(yīng)

常函數(shù)，再由圖形確定具體自變量范圍即可求解

【詳解】

當(dāng)x>0且xw1時，/⑴=器）?令/'（%）=0得X=e.可得/'（X）和"力的變化情況如下表：

Xx—0(0,1)(Le)e(e,+8)

/’(%)/——0+

/（X）/(無)—0e1|

令/⑺一，則原不等式變?yōu)?⑺<-3,由圖像知/⑺v-3的解集為re（-8聞（r2,-l）上3」），再次由圖像得到

〃尤）e（-8,幻也，T）,」）的解集由5段分離的部分組成，所以解集為5階區(qū)間.

故選：D

【點睛】

本題考查由函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性求解對應(yīng)自變量范圍，導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想,

屬于難題

6、A

【解析】

根據(jù)題意，求導(dǎo)后結(jié)合基本不等式，即可求出切線斜率％23,即可得出答案.

【詳解】

1a

解：由于y=—d+21n%,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得:

3

k=f()=x2+-=x2+-+->33x2~~=3(x>0)

xXXXVXXf

即切線斜率左23,

當(dāng)且僅當(dāng)x=l等號成立，

1?

所以V=§x+21nx上任意一點處的切線斜率的最小值為3.

故選：A.

【點睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及運(yùn)用基本不等式求最值，考查計算能力.

7、C

【解析】

/(x)恰有兩個極值點，則恰有兩個不同的解，求出光)可確定x=l是它的一個解，另一個解由方程

三T=0確定，令g(x)=>0)通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)值域求出方程有一個不是1的解時t應(yīng)滿足的條件.

【詳解】

x-l)ex

由題意知函數(shù)/(X)的定義域為(0,+?),/(%)=

x2

(x-l)(x+2)T

x+2

X27

%2

因為/(九)恰有兩個極值點，所以恰有兩個不同的解，顯然x=l是它的一個解，另一個解由方程

——-f=0確定，且這個解不等于1.

x+2

，/、(X+1)ex

令g(x)=57(x>0),貝!|g(^)=-—->0,所以函數(shù)g(x)在(0,+?)上單調(diào)遞增，從而g(x)〉g@=j

人I乙x+2)2

￡>ipe”-彳Inx+x+恰有兩個極值點，即實數(shù)f的取值范圍是

且g(l)=q.所以，當(dāng)?！?且/7鼻時，/(%)=—

故選：c

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)與方程的應(yīng)用，屬于中檔題.

8、A

【解析】

將正四面體補(bǔ)成正方體，通過正方體的對角線與球的半徑關(guān)系，求解即可.

【詳解】

解：如圖，將正四面體補(bǔ)形成一個正方體，正四面體的外接球與正方體的外接球相同,

???四面體所有棱長都是4,

.?.正方體的棱長為2起，

設(shè)球的半徑為廠，

則2r=J(20『+42,解得r=?,

所以S=4萬r=24萬，

故選：A.

【點睛】

本題主要考查多面體外接球問題，解決本題的關(guān)鍵在于，巧妙構(gòu)造正方體，利用正方體的外接球的直徑為正方體的對

角線，從而將問題巧妙轉(zhuǎn)化，屬于中檔題.

9、A

【解析】

準(zhǔn)確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率.

【詳解】

設(shè)PQ與X軸交于點A,由對稱性可知軸，

又歸@=|。/|=。，.1241=1，「.24為以O(shè)F為直徑的圓的半徑，

.?.4為圓心|。4|=—.

2

又P點在圓“2+'2="2上'

本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，

運(yùn)算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強(qiáng)化練習(xí)，才能在解決此類問題時事半

功倍，信手拈來.

10、A

【解析】

22

雙曲線AV--V4=1的漸近線方程為y=±b^x,

aba

b

不妨設(shè)過點Fi與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為y=-(x-c),

a

hche

與丫=-一x聯(lián)立，可得交點M(不，-—),

a22a

?.?點M在以線段FiFi為直徑的圓外，

2

c〃2

r.|OM|>|OFi|,即有——+—->€*,

44a2

.?.—>3,即b，3ai,

a

/.c1-a1>3a1,即c>la.

則e=—>1.

a

，雙曲線離心率的取值范圍是(1,+oo).

故選：A.

點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a,b,c的方程或不等式，再根據(jù)a,b,

c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式，建立關(guān)于a,b,c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的

坐標(biāo)的范圍等.

11、C

【解析】

首先求出函數(shù)的定義域，其函數(shù)圖象可由y=配空網(wǎng)的圖象沿x軸向左平移1個單位而得到，因為丁=辿鼠區(qū)為

XX

奇函數(shù)，即可得到函數(shù)圖象關(guān)于(-1,0)對稱，即可排除A、D,再根據(jù)x>0時函數(shù)值，排除8,即可得解.

【詳解】

???y=5吧；+”的定義域為{xIx?！?},

其圖象可由丁=或鼠區(qū)的圖象沿x軸向左平移1個單位而得到，

X

...y=51Og3|x|為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱，

X

y=型鼠學(xué)U的圖象關(guān)于點(-1,0)成中心對稱.

X+1

可排除4、。項.

當(dāng)%>0時，y=51og3-+l|>0,...5項不正確.

x+1

故選：C

【點睛】

本題考查函數(shù)的性質(zhì)與識圖能力，一般根據(jù)四個選擇項來判斷對應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)，即可排除三個不符的選項，屬于中檔

題.

12、B

【解析】

由正弦定理及條件可得2(sin8cosA+sinAcos5)=csinC,

即2sin(A+6)=2sinC=csinC.

QsinC>0,

c=2,

2222

由余弦定理得"=Z?+c—2bccosA=2+3—2x2x3x—=9o

3

a=3.i&Bo

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、克

2

【解析】

先把復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡，然后利用求模公式可得結(jié)果.

【詳解】

111.II72

1+i22112

故答案為：縣.

2

【點睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)模的求解，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算把復(fù)數(shù)化為a+初的形式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

14、,

【解析】

分析：將題中的式子進(jìn)行整理，將.?當(dāng)做一個整體，之后應(yīng)用已知兩個正數(shù)的整式形式和為定值，求分式形式和的

最值的問題的求解方法，即可求得結(jié)果.

號一3=二一二1+—+:一(E+與=2I+2Z-J-

詳解：…'…_…-，當(dāng)且僅當(dāng)

+勺(二+i+=)="+臺+芋)44v0+:

-..等號成立，故答案是.

Uv<)g

點睛：該題屬于應(yīng)用基本不等式求最值的問題，解決該題的關(guān)鍵是需要對式子進(jìn)行化簡，轉(zhuǎn)化，利用整體思維，最后

注意此類問題的求解方法……相乘，即可得結(jié)果.

15、54"

【解析】

由軸截面是正方形，易求底面半徑和高，則圓柱的體積易求.

【詳解】

解：因為軸截面是正方形，且面積是36,

所以圓柱的底面直徑和高都是6

V=兀戶h=%x32x6=54萬

故答案為：54"

【點睛】

考查圓柱的軸截面和其體積的求法，是基礎(chǔ)題.

16、1

【解析】

把向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，用彳表示cosA,利用基本不等式可求實數(shù)彳的值.

【詳解】

(Afi-2AC)(-AS+AC)=-c2-Ab2+(2+l)Z?ccosA=0

.1.Abc、、2^2A/3初歸),

cosA=----(一+-)2-^-=J,解得;1=1.

2+1cb2+12

故答案為：1.

【點睛】

本題主要考查平面向量的數(shù)量積應(yīng)用，綜合了基本不等式，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析(2)存在，E為。C中點

【解析】

(1)證明AP上面ABC。，即證明平面APE，平面ABC。；(2)以A為坐標(biāo)原點，AO為犬軸正方向，A3為丁軸

\n\-n\11+221瓜1

正方向，AP為z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.利用向量方法得COS6==一，解得力=

阿.網(wǎng)V3-V422+l32

所以E為。C中點.

【詳解】

(1)由于“為A5中點，AH=~AB=1.

2

又PH=母，故PH?=轉(zhuǎn)2+曲,

所以_9/為直角三角形且ZPAH=90°,

即？ALAB.

又因為K4u面MB,面RLB面A3CD=AB,面？AB,面ABCD,

故”，面回。。，

又？Au面Q4E,所以面巳4￡_1_面438.

(2)由(1)知AP上面ABC。，又四邊形ABC。為矩形，則AP,AD,兩兩垂直.

以A為坐標(biāo)原點，AO為*軸正方向，A3為了軸正方向，AP為z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

則A(O,O,O),P(O,O,1),H(O,1,O),C(1,2,0),設(shè)E(l,22,0),2e(0,l),

則AP=(O,O,l),AE=(l,22,0),PH=(0,1,-1),HC=(1,1,0),

設(shè)平面APE的法向量為加=(尤，y,z),

,m-AP=0(z=0

則有<c,c，令x=-2X,則y=l,

m-AE=0[x+2Ay=0

則平面APE的一個法向量為班=(-22,1,0),

同理可得平面PHC的一個法向量為勺=(-1,1,1)，

設(shè)平面APE與平面PHC所成角為0,

1ml11+221瓜1

則由題意可得cos6=%^=匚=一,解得2=:，

網(wǎng)同""aI32

所以點E為。C中點.

【點睛】

本題主要考查空間幾何位置關(guān)系的證明，考查空間二面角的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

18、(1)之6；(2)證明見解析，P(0,-l)或P(2,0)

10

【解析】

(1)根據(jù)點到直線的公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出；(2))設(shè)4區(qū)，％),B(X2,%)，表示出直線B4,心的

方程，利用尤0表示出X1,x2,即可求定點P的坐標(biāo).

【詳解】

⑴設(shè)拋物線C上點的坐標(biāo)為”)，

一

則心ST_2r+4),,拽，0=1時取等號)，

10

則拋物線C上的點到直線I距離的最小值上叵；

10

（2）設(shè)4（%，%）,3（尤2，%），

Qy=>

,1

y=-x,

二直線Q4,的方程為分別為y—%=］（X—%），y_y2=^-（X-X2）,

由兩條直線都經(jīng)過點P點得再，了2為方程爐-2%%+4%=0的兩根%+々=2%,占％=4%,

直線A3的方程為〉一%==五（》一西），>一%=受產(chǎn)（無一%），

%2一西4

「X一七）=1一七+苧=甘+%=0,

A,Q,3共線.

又石—1=3（1—x2）,

二.菁=4-3X2,

玉=3x0-2

<X2=2-X0,

xrx2=2XQ-4

解=0,x0—2,

點P（x（>，%）是直線/上的動點，

=0時，yo=—1,=2時，y0—0,

??.m-D,或P（2,O）.

【點睛】

本題考查拋物線的方程的求法，考查直線方程的求法，考查直線過定點的解法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握

水平和分析推理能力.

2

19、（1）見解析（2）-

3

【解析】

⑴由已知可證得AO，平面PDC,則有A。J_PC,在APDC中，由已知可得DM±PC,即可證得PC±平面ADM,

進(jìn)而證得結(jié)論.

⑵過M作腦V//P。交。。于N,由M為PC的中點，結(jié)合已知有“N，平面ABCD

j4i

則VC-DBM=VM-DBC=-SADBC-MN=-，可求得t=4.建立坐標(biāo)系分別求得面DBM的法向量"=(2,-2,1)，平面

DMC的一個法向量為m=(1,0,0)，利用公式即可求得結(jié)果.

【詳解】

(1)證明：平面ABC。，ADu平面ABC。，

AD±PD，又四邊形ABC。為正方形，

:.AD±DC.

又PD、￡)Cu平面PDC,且PDcDC=D,

..AZ)，平面PDC.二AD，PC.

△PDC中,t=PD=DC=2,〃為PC的中點，

：.DM±PC.

又AD、OWu平面ADAf,ADDM=D,

」.PC，平面AZW.

PCu平面尸5C,...平面DM4，平面「5c.

(2)解：過M作MNIIPD交DC于N,如圖

M為PC的中盡，：.MN比'PD,:.MN=Lt.

一22

又P￡)_L平面ABC。，平面ABC。.

VjDBM=VM-DBC=&DBC，MN=]義3X2X=>-'-1=^.

所以P￡)=4,又P￡)、DA、。。兩兩互相垂直，以DP、DA.DC為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系.0(0,0,0),5(2,2,1),C(0,2,0),M(0,l,2)

設(shè)平面QBM的法向量〃=(x,y,z),貝1]

2x+2y=0

\n-DB=0,即<

DMDM=0y+2z=0

令z=l,貝！lx=2,y=-2.：.n=(2,—2,1).

平面DMC的一個法向量為加=(1,0,0)

/\m-n22

cos(m,n)—?；—j-i~~r=-----=一

、/7."1x33-

2

二?二面角5—DM—C的余弦值為一.

3

/?\

【點睛】

本題考查面面垂直的證明方法，考查了空間線線、線面、面面位置關(guān)系，考查利用向量法求二面角的方法，難度一般.

2

六千T⑵9-質(zhì)

20、（1）—+y2=1,

4-

【解析】

分析：（1）根據(jù)題的條件，得到對應(yīng)的橢圓的上頂點，即可以求得橢圓中相應(yīng)的參數(shù)，結(jié)合橢圓的離心率的大小，求得

相應(yīng)的參數(shù)，從而求得橢圓的方程；

⑵設(shè)出一條直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，消元，利用求根公式求得對應(yīng)點的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得向量的坐標(biāo)，將S

表示為關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系，從眼角函數(shù)的角度去求最值，從而求得結(jié)果.

詳解：（I）依題意得對G：b=l,e=，得G：—+y2=1；

24a-4-

2

2%i

同理y+T=1.

4

（II）設(shè)直線MA,MB的斜率分別為冗,k2,則MA：y=左逮+1,與橢圓方程聯(lián)立得：

222

<4+'x+4（^x+l）-4=0,得（4左2+1）x+8^x=0,得4二一力？2】1，VA二f；S,所以

4kl+14K.+1

［丁=幻+111

A防-嵋+1、

4婷+1，4始+1

同理可得8.所以必=（一訪='詬1）’.=

從而可以求得s=g事」.y_二^.上因為左左一_1

4婷+14+44+/4婷+12（4婷+1）（4+4）

8（尢+匕3）-p(i\—4短—9左J+1

‘不1妨n設(shè)㈤=(4婷+1)4

所以s=2

/'（左）=0,二—4短—9婷+1=0,卜：=回-9,所以當(dāng)S最大時，婷二歷一9,此時兩直線MA,MB斜率的比

88

點睛：該題考查的是有關(guān)橢圓與直線的綜合題，在解題的過程中，注意橢圓的對稱性，以及其特殊性，與y軸的交點

即為橢圓的上頂點，結(jié)合橢圓焦點所在軸，得到相應(yīng)的參數(shù)的值，再者就是應(yīng)用離心率的大小找參數(shù)之間的關(guān)系，在

研究直線與橢圓相交的問題時，首先設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，求得結(jié)果，注意從函數(shù)的角度研究問題.

21、⑴%+小

【解