建筑力學 課件 6-2扭轉桿件的應力與變形

§6-3扭轉桿件的應力與變形主要承受扭轉變形的桿件稱為軸，大多數(shù)為圓軸。1、圓截面桿件扭轉時的變形現(xiàn)象:6.3.1圓桿扭轉時的應力⑴所有縱向線都傾斜了一個相同的角度

，變?yōu)槠叫械穆菪€；⑵所有圓周線都繞桿軸線轉動，仍保持為圓形，圓周長不變，兩個圓周線之間的距離也沒變。圓周線縱向線MeMe圓桿扭轉時的應力變形前后橫截面保持為形狀、大小未改變的平面，即橫截面如同剛性平面一樣旋轉了某一角度；MeMe圓周線——形狀、大小、間距不變縱向線——間距不變，傾斜了同一個角度內部——推測（平截面假設）圓桿扭轉時的應力MeMe推論——橫截面大小、形狀不變→半徑方向無正應力；結論——橫截面上只有切應力，且與所在半徑垂直(?)相鄰橫截面間距不變→軸線方向無正應力；橫截面旋轉了角度γ

→存在角應變→切應力不為0；在上述假定、推論的基礎上，綜合考慮幾何、物理、靜力學三方面的關系，可推導出圓桿扭轉時的應力和變形。6.3.1圓桿扭轉時的應力變形規(guī)律幾何關系切應力計算公式靜力學關系2、切應力計算公式物理關系切應變分布規(guī)律切應力分布規(guī)律dx1）幾何關系在圓桿中截取長度為dx的微段：圓軸橫截面切應力公式dxdxR圓軸外表面處切應變：MeMed/dx為單位長度上兩端截面的相對扭轉角圓軸內任一點處切應變：T2）物理關系（胡克定律）根據(jù)剪切胡克定律： 切應力的大小與點到圓心的距離

成正比；切應力的方向垂直于該點與圓心的連線，指向與扭矩轉向一致。R同一橫截面為常量圓軸橫截面切應力公式TO切應力對截面形心的合力矩即截面上的扭矩:3)靜力學關系dA

圓軸橫截面切應力公式Ip是一個只取決于橫截面的形狀和大小的幾何量，稱為橫截面對形心的極慣性矩。量綱：[長度]4TOdA

圓軸橫截面切應力公式對于指定截面，T、Ip為定值。切應力的大小與點到形心的距離成正比。——受扭圓軸橫截面上的切應力計算式TO圓軸橫截面切應力公式最大切應力：抗扭截面系數(shù)，量綱：[長度]3橫截面上切應力分布：圓軸橫截面切應力公式應力分布：tmaxTtmaxtmax（實心截面）tmaxtmaxTtmax（空心截面）圓軸橫截面切應力公式d實心圓截面：Odrr4）Ip

與Wp

的計算圓軸橫截面切應力公式空心圓截面：DrOd圓軸橫截面切應力公式注意：對于空心圓截面Dd圓軸橫截面切應力公式實心軸與空心軸Ip

與Wp

對比：dDd圓軸橫截面切應力公式一圓軸AC受力如圖所示。AB段為實心，直徑D=50mm；BC段為空心，外徑D=50mm，內徑d=40mm。試求該軸內最大切應力。例題解：（1）作扭矩圖（2）分段計算軸內最大切應力AB段：BC段：例題AB段為實心，直徑D=50mm；BC段為空心，外徑D=50mm，內徑d=40mm。試求該軸內最大切應力。

MeMe圓軸外表任一微小單元體：

acddxb

′

′

6.3.2切應力互等定理單元體截面上只有切應力而無正應力作用，這種應力狀態(tài)叫純剪切應力狀態(tài)。在相互垂直的兩個平面上，切應力一定成對出現(xiàn)，其數(shù)值相等，方向同時指向或背離兩平面的交線，并與交線垂直。切應力互等定理xyzacOdbdxdydzt'ttt'根據(jù)切應力互等定理，在畫單元體的應力狀態(tài)圖時，只要知道一個截面上的切應力大小和方向，另外三個面上的切應力也知道了。該定理具有普遍適用性，不僅對只有切應力作用的單元體成立，對正應力和切應力共同作用的單元體也成立。切應力互等定理

（1）在圓桿扭轉時，外表面為自由表面，由切應力互等定理可知：橫截面上切應力垂直于半徑方向。（2）當已知橫截面上的切應力及其分布規(guī)律后，由切應力互等定理便可知道縱截面上的切應力及其分布規(guī)律切應力互等定理MeTGIp—抗扭剛度圓桿扭轉時，其變形可用橫截面之間的相對角位移，即相對扭轉角φ表示。6.3.3圓桿扭轉時的變形dxR單位長度扭轉角：對一段等截面直桿，其上T為常量時圓桿扭轉時的變形當軸內扭矩或截面分為若干不同數(shù)值段時：

—是整個構件兩端截面的相對扭轉角圓桿扭轉時的變形注意：計算時扭矩的正負號要代入算式，正負號體現(xiàn)了不同的相對扭轉方向：解：1.作扭矩圖（求各段軸的扭矩）圖示鋼制實心圓截面軸，已知：M1=1592N·m，M2=955N·m，M3=637N·m，lAB=300mm，lAC=500mm，橫截面直徑d=70mm，G=80GPa。試求橫截面C相對于B的扭轉角。BAClABlAC例題2.求各段軸兩個端面間的相對扭轉角：BAC

例題3.求橫截面C相對于B的扭轉角：BAC

例題Me

tl——通常指的圓管薄壁圓管

T

Me

nntR內力偶矩——扭矩TT=Me6.3.4扭轉試驗nn橫截面上切應力分布：由于管壁很薄，切應力在橫截面上均勻分布（即所有各點處切應力大小均相等），方向垂直于半徑。Me

nnRx

T

Me

nn薄壁圓筒的扭轉切應力計算公式：

daR

T

橫截面的切應力對于圓心的合力矩即為截面上的扭矩：薄壁圓筒的扭轉當t≤R/10時，上式的誤差不超過4.52%，是足夠精確的。切應變薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒實驗證明：切應力與切應變之間存在著與拉壓胡克定律類似的關系。Me

比例常數(shù)G稱為剪切彈性模量，常用單位GPa。鋼材：剪切胡克定律剪切胡克定律當切應力不超過材料的剪切比例極限

p時,切應力與切應變成正比。