建筑力學(xué) 課件 6-2扭轉(zhuǎn)桿件的應(yīng)力與變形

§6-3扭轉(zhuǎn)桿件的應(yīng)力與變形主要承受扭轉(zhuǎn)變形的桿件稱為軸，大多數(shù)為圓軸。1、圓截面桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形現(xiàn)象:6.3.1圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力⑴所有縱向線都傾斜了一個(gè)相同的角度

，變?yōu)槠叫械穆菪€；⑵所有圓周線都繞桿軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，仍保持為圓形，圓周長(zhǎng)不變，兩個(gè)圓周線之間的距離也沒變。圓周線縱向線MeMe圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力變形前后橫截面保持為形狀、大小未改變的平面，即橫截面如同剛性平面一樣旋轉(zhuǎn)了某一角度；MeMe圓周線——形狀、大小、間距不變縱向線——間距不變，傾斜了同一個(gè)角度內(nèi)部——推測(cè)（平截面假設(shè)）圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力MeMe推論——橫截面大小、形狀不變→半徑方向無(wú)正應(yīng)力；結(jié)論——橫截面上只有切應(yīng)力，且與所在半徑垂直(?)相鄰橫截面間距不變→軸線方向無(wú)正應(yīng)力；橫截面旋轉(zhuǎn)了角度γ

→存在角應(yīng)變→切應(yīng)力不為0；在上述假定、推論的基礎(chǔ)上，綜合考慮幾何、物理、靜力學(xué)三方面的關(guān)系，可推導(dǎo)出圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形。6.3.1圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力變形規(guī)律幾何關(guān)系切應(yīng)力計(jì)算公式靜力學(xué)關(guān)系2、切應(yīng)力計(jì)算公式物理關(guān)系切應(yīng)變分布規(guī)律切應(yīng)力分布規(guī)律dx1）幾何關(guān)系在圓桿中截取長(zhǎng)度為dx的微段：圓軸橫截面切應(yīng)力公式dxdxR圓軸外表面處切應(yīng)變：MeMed/dx為單位長(zhǎng)度上兩端截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角圓軸內(nèi)任一點(diǎn)處切應(yīng)變：T2）物理關(guān)系（胡克定律）根據(jù)剪切胡克定律： 切應(yīng)力的大小與點(diǎn)到圓心的距離

成正比；切應(yīng)力的方向垂直于該點(diǎn)與圓心的連線，指向與扭矩轉(zhuǎn)向一致。R同一橫截面為常量圓軸橫截面切應(yīng)力公式TO切應(yīng)力對(duì)截面形心的合力矩即截面上的扭矩:3)靜力學(xué)關(guān)系dA

圓軸橫截面切應(yīng)力公式Ip是一個(gè)只取決于橫截面的形狀和大小的幾何量，稱為橫截面對(duì)形心的極慣性矩。量綱：[長(zhǎng)度]4TOdA

圓軸橫截面切應(yīng)力公式對(duì)于指定截面，T、Ip為定值。切應(yīng)力的大小與點(diǎn)到形心的距離成正比?！芘A軸橫截面上的切應(yīng)力計(jì)算式TO圓軸橫截面切應(yīng)力公式最大切應(yīng)力：抗扭截面系數(shù)，量綱：[長(zhǎng)度]3橫截面上切應(yīng)力分布：圓軸橫截面切應(yīng)力公式應(yīng)力分布：tmaxTtmaxtmax（實(shí)心截面）tmaxtmaxTtmax（空心截面）圓軸橫截面切應(yīng)力公式d實(shí)心圓截面：Odrr4）Ip

與Wp

的計(jì)算圓軸橫截面切應(yīng)力公式空心圓截面：DrOd圓軸橫截面切應(yīng)力公式注意：對(duì)于空心圓截面Dd圓軸橫截面切應(yīng)力公式實(shí)心軸與空心軸Ip

與Wp

對(duì)比：dDd圓軸橫截面切應(yīng)力公式一圓軸AC受力如圖所示。AB段為實(shí)心，直徑D=50mm；BC段為空心，外徑D=50mm，內(nèi)徑d=40mm。試求該軸內(nèi)最大切應(yīng)力。例題解：（1）作扭矩圖（2）分段計(jì)算軸內(nèi)最大切應(yīng)力AB段：BC段：例題AB段為實(shí)心，直徑D=50mm；BC段為空心，外徑D=50mm，內(nèi)徑d=40mm。試求該軸內(nèi)最大切應(yīng)力。

MeMe圓軸外表任一微小單元體：

acddxb

′

′

6.3.2切應(yīng)力互等定理單元體截面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)叫純剪切應(yīng)力狀態(tài)。在相互垂直的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力一定成對(duì)出現(xiàn)，其數(shù)值相等，方向同時(shí)指向或背離兩平面的交線，并與交線垂直。切應(yīng)力互等定理xyzacOdbdxdydzt'ttt'根據(jù)切應(yīng)力互等定理，在畫單元體的應(yīng)力狀態(tài)圖時(shí)，只要知道一個(gè)截面上的切應(yīng)力大小和方向，另外三個(gè)面上的切應(yīng)力也知道了。該定理具有普遍適用性，不僅對(duì)只有切應(yīng)力作用的單元體成立，對(duì)正應(yīng)力和切應(yīng)力共同作用的單元體也成立。切應(yīng)力互等定理

（1）在圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，外表面為自由表面，由切應(yīng)力互等定理可知：橫截面上切應(yīng)力垂直于半徑方向。（2）當(dāng)已知橫截面上的切應(yīng)力及其分布規(guī)律后，由切應(yīng)力互等定理便可知道縱截面上的切應(yīng)力及其分布規(guī)律切應(yīng)力互等定理MeTGIp—抗扭剛度圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，其變形可用橫截面之間的相對(duì)角位移，即相對(duì)扭轉(zhuǎn)角φ表示。6.3.3圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形dxR單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角：對(duì)一段等截面直桿，其上T為常量時(shí)圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形當(dāng)軸內(nèi)扭矩或截面分為若干不同數(shù)值段時(shí)：

—是整個(gè)構(gòu)件兩端截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形注意：計(jì)算時(shí)扭矩的正負(fù)號(hào)要代入算式，正負(fù)號(hào)體現(xiàn)了不同的相對(duì)扭轉(zhuǎn)方向：解：1.作扭矩圖（求各段軸的扭矩）圖示鋼制實(shí)心圓截面軸，已知：M1=1592N·m，M2=955N·m，M3=637N·m，lAB=300mm，lAC=500mm，橫截面直徑d=70mm，G=80GPa。試求橫截面C相對(duì)于B的扭轉(zhuǎn)角。BAClABlAC例題2.求各段軸兩個(gè)端面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角：BAC

例題3.求橫截面C相對(duì)于B的扭轉(zhuǎn)角：BAC

例題Me

tl——通常指的圓管薄壁圓管

T

Me

nntR內(nèi)力偶矩——扭矩TT=Me6.3.4扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)nn橫截面上切應(yīng)力分布：由于管壁很薄，切應(yīng)力在橫截面上均勻分布（即所有各點(diǎn)處切應(yīng)力大小均相等），方向垂直于半徑。Me

nnRx

T

Me

nn薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力計(jì)算公式：

daR

T

橫截面的切應(yīng)力對(duì)于圓心的合力矩即為截面上的扭矩：薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)當(dāng)t≤R/10時(shí)，上式的誤差不超過4.52%，是足夠精確的。切應(yīng)變薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒實(shí)驗(yàn)證明：切應(yīng)力與切應(yīng)變之間存在著與拉壓胡克定律類似的關(guān)系。Me

比例常數(shù)G稱為剪切彈性模量，常用單位GPa。鋼材：剪切胡克定律剪切胡克定律當(dāng)切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限

p時(shí),切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比。