以知識(shí)整合促思維躍遷

精品文檔-下載后可編輯以知識(shí)整合促思維躍遷摘要：相對(duì)于知識(shí)的線性展開，知識(shí)間的整合對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展具有更大的價(jià)值.因此，教師要開發(fā)整合課程，以幫助學(xué)生整合不同知識(shí)，促進(jìn)思維方式的轉(zhuǎn)變和躍遷，發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的內(nèi)在統(tǒng)一，使貌似互不相容

課程內(nèi)容的編排和教學(xué)過程的推進(jìn)，一般都按照由簡(jiǎn)到繁、由低級(jí)到高級(jí)、由直觀到抽象的循“序”原則進(jìn)行.這對(duì)于線性知識(shí)的學(xué)習(xí)非常有利，但當(dāng)遇到知識(shí)間跨度較大的情況，師生則會(huì)遇到極大挑戰(zhàn).

就拿“方程”與“函數(shù)”來說，單純從某一個(gè)方面出發(fā)，而不考慮二者的內(nèi)在統(tǒng)一性，就有可能走到“山重水復(fù)”的境地.在現(xiàn)實(shí)的課堂中，雖然有些教師在講授函數(shù)的時(shí)候，會(huì)涉及方程的知識(shí)，但大多采用拿來主義的方式為我所用，學(xué)生難以從更高的層面把握二者的本質(zhì)聯(lián)系，無法整合思維慣性，難以形成上位思考.為此，我們開發(fā)實(shí)施了專門的整合課程，以幫助學(xué)生整合不同知識(shí)，促進(jìn)思維方式的轉(zhuǎn)變和躍遷，發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的內(nèi)在統(tǒng)一，體驗(yàn)“峰回路轉(zhuǎn)”，享受“柳暗花明”.

一、順勢(shì)而為突遇障礙智慧顯現(xiàn)盡在后續(xù)

教師：請(qǐng)同學(xué)們一起回答下面算式的結(jié)果.（板書：2-1=？）

學(xué)生驚訝.

教師：那如果我將上式改成下面一個(gè)等式，你會(huì)想到什么呢？（板書：x-1=1）

學(xué)生1：這是一個(gè)一元一次方程.

學(xué)生2：這個(gè)方程的解為x=2.

教師：很好，那如果我再將上式改成下面一個(gè)方程，你又會(huì)想到什么呢？（板書：x-y=1）

學(xué)生1：這是一個(gè)二元一次方程.

學(xué)生2：這個(gè)方程的解為x=y+1.

學(xué)生3：不對(duì)，x=y+1不是該方程的解，x的值應(yīng)該是一個(gè)具體的值.所以這個(gè)方程沒有解.

學(xué)生4：不對(duì)，我看x=2，y=1就應(yīng)該是這個(gè)方程的解.

教師：噢，還有其他表達(dá)形式的解嗎？

學(xué)生1：有，x=3，y=2；x=4，y=3；x=5，y=4等等都是該方程的解.

學(xué)生2：這些解的形式是成組出現(xiàn)的，并且有無數(shù)組.

教師：既然二元一次方程x-y=1有無數(shù)組解，那么我們究竟用怎樣的方式來表示這無數(shù)組解呢？用怎樣的呈現(xiàn)形式來更為直觀地描述這無數(shù)組解呢？

課堂現(xiàn)場(chǎng)：學(xué)生討論，無果，留下疑惑：方程的解都是具體的數(shù)值，而能滿足方程成立的數(shù)值有無數(shù)組，無數(shù)組解的表達(dá)是永遠(yuǎn)不可能實(shí)現(xiàn)的.

教師：請(qǐng)同學(xué)們思考一下，在過去的學(xué)習(xí)中，哪些知識(shí)是用有限形式代表了無限形式的表達(dá)呢？

學(xué)生1：循環(huán)小數(shù)的表達(dá)是用有限形式代表無限形式的.比如：0.33……，因小數(shù)點(diǎn)后面有無限多個(gè)3而無法全部寫出，故用0.■表示即可.

學(xué)生2：無理數(shù)的表達(dá)也是用有限形式代表無限形式的.比如：x2=3，其中x的值就是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，如果把所有的小數(shù)點(diǎn)后面的部分用數(shù)字表達(dá)是無法全部寫出的，故用■或-■來表示即可.

學(xué)生3：在幾何作圖的時(shí)候也存在用有限形式替代o限形式的表達(dá)方式，比如直線AB的作圖，我們即可用下圖的作圖方式表達(dá)，端點(diǎn)A、B之外表示向兩方無限延伸.（學(xué)生作圖如下）

學(xué)生4：哦，看來不能用常規(guī)形式表達(dá)的時(shí)候，可以轉(zhuǎn)化其表達(dá)形式.所以我想二元一次方程x-y=1的無數(shù)組解也應(yīng)該有辦法表達(dá)，只不過要選擇一種新的表達(dá)形式，那又該選擇怎樣的表達(dá)形式呢？

【設(shè)計(jì)意圖】通過教師將三個(gè)等式逐一列舉的過程，讓學(xué)生感受從算式到方程的微妙變化；讓學(xué)生意識(shí)到一元一次方程有唯一一組解，而二元一次方程則有無數(shù)組解.于是一個(gè)問題將呈現(xiàn)在學(xué)生面前：二元一次方程的無數(shù)組解該如何表達(dá)？窮極學(xué)生思維，把學(xué)生帶到“行到水窮處”的境地，讓他們體驗(yàn)到“山重水復(fù)疑無路”的窘迫，引發(fā)學(xué)生欲罷不能、躍躍欲試的情感沖動(dòng).

二、歷史融入智慧復(fù)演原理探究策略達(dá)成

教師：這個(gè)問題，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上有很多人研究過，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬就是其中一位.1630年在其論文《平面與立體軌跡引論》中提到：“兩個(gè)未知量決定的方程式，對(duì)應(yīng)著一條軌跡，可以描繪出一條直線或曲線.”大家從這句話中，能否發(fā)現(xiàn)什么呢？

學(xué)生1：我認(rèn)為這位數(shù)學(xué)家是從軌跡的角度研究方程的，即從直線或曲線的角度研究方程式.這樣一來，直線或曲線的形式將更為直觀地描述無數(shù)組解，跳出方程的解的常規(guī)思路.

學(xué)生2：可是如何從軌跡的角度研究方程呢？就比如我們剛才探討的二元一次方程x-y=1，它怎么能與軌跡聯(lián)系到一起呢？

學(xué)生3：我們?cè)瓉韺W(xué)習(xí)一次函數(shù)的時(shí)候，往往要研究函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的圖象是一條直線，可是這里沒有一次函數(shù)的解析式啊.怎樣才能把二元一次方程與一次函數(shù)建立聯(lián)系呢？這種聯(lián)系又要通過怎樣的方式方法來實(shí)現(xiàn)呢？

教師：很好，大家的思考非常有價(jià)值.我們研究方程重在研究其解，研究二元一次方程自然要研究其無數(shù)組解.對(duì)于二元一次方程x-y=1，x=1，y=0，x=2，y=1，是該方程的解，像這樣形式的解有無數(shù)組.我們?nèi)绻麑⑵滢D(zhuǎn)化成有序?qū)崝?shù)對(duì)（1，0），（2，1）形式，那么也就構(gòu)成了點(diǎn)的坐標(biāo)形式……

學(xué)生1：老師，您的意思是否是這樣的：把x=1，y=0，x=2，y=1，通過有序?qū)崝?shù)對(duì)的形式轉(zhuǎn)化成點(diǎn)坐標(biāo)（1，0），（2，1），并在直角坐標(biāo)系中表示出來.這樣方程的兩組解就轉(zhuǎn)化成兩個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)不正是方程的兩組解所對(duì)應(yīng)的軌跡嗎.

學(xué)生2：如果能將更多組解轉(zhuǎn)化成其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡，那么方程對(duì)應(yīng)的軌跡不就表示出來了嗎.可是無數(shù)組解一個(gè)一個(gè)地轉(zhuǎn)化不也是很麻煩的嗎？

教師：這個(gè)問題問得非常好，哪位同學(xué)能夠幫助他解決這個(gè)問題？

學(xué)生3：其實(shí)，將