山西省呂梁地區(qū)2024屆高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析

山西省呂梁地區(qū)2024屆高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知直線廣械+1)伏＞0)與拋物線C:y2=?相交于A,B兩點(diǎn),歹為C的焦點(diǎn)，若|HL|=2|FB|,則解|=()

A.1B.2C.3D.4

(、”為奇數(shù)

2.已知數(shù)列｛。"｝滿足：6=1，為便制r，貝!1。6=()

A.16B.25C.28D.33

7T

3.已知函數(shù)/(x)=cos(2x+§),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.函數(shù)/(九)的最小正周期為兀

B.函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

C.函數(shù)/(%)在1q,^］上單調(diào)遞增

D.函數(shù)/(九)的圖象可由y=sin2x的圖象向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到

4.已知尸為圓C：(x—5f+y2=36上任意一點(diǎn),A(-5,0),若線段Q4的垂直平分線交直線PC于點(diǎn)Q,則。點(diǎn)

的軌跡方程為()

*2

X2J2nX：

A.1=1B.—」=1

916916

V2V2X：12

C.--—^-=1(x<0)D.-—=1(x>0)

916916

5.在AABC中，內(nèi)角A的平分線交邊于點(diǎn)。,AB=4,AC=8,BD=2,則AABD的面積是()

A.1672B.V15C.3D.873

6.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為s“，若2+。5=%+。3,則$7=()

A.28B.14C.7D.2

7-函數(shù)/⑴=菽不在i3］的圖象大致為（）

A.

8.某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個(gè)容量為〃的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中

支出在［20,40）（單位：元）的同學(xué)有34人，則〃的值為（）

A.100B.1000C.90D.90

9.若復(fù)數(shù)（2a+i）（l+i）（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，則實(shí)數(shù)a為（）

11

A.-2B.2C.一一D.-

22

io.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù):

X1234

ym3.24.87.5

若y關(guān)于X的線性回歸方程為了二2.卜—0.25,則加的值為（）

A.1.5B.2.5C.3.5D.4.5

11.(J2x)的展開式中、的系數(shù)為()

x

A.-84B.84C.-280D.280

12.某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個(gè)半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是()

16

D.—71

3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為產(chǎn)，斜率為2后的直線過戶且與拋物線交于4B兩點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn),

s

若A在第一象限，那么不皿=_______________.

3BFO

14.下圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的左的值為

［開始］

15.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-A耳GA中，點(diǎn)石分別為棱的中點(diǎn)，以A為圓心，1為半

徑，分別在面ABBA和面A3。內(nèi)作弧和NE,并將兩弧各五等分，分點(diǎn)依次為M、片、鳥、舄、鳥、N

以及N、。「。2、2、04、E.一只螞蟻欲從點(diǎn)々出發(fā)，沿正方體的表面爬行至。4,則其爬行的最短距離為

.參考數(shù)據(jù)：cos90=0.9877；cos18°=0.9511；cos270=0.8910)

16.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝中，S.為其前幾項(xiàng)和，若%=1，且$5=邑+2,則公比q的值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=sin|2》+2l+cos?x+J^sinxcosx.

TT

(1)若|X|<—,求函數(shù)/(%)的值域；

4

(2)設(shè)A,B,C為ABC的三個(gè)內(nèi)角，若cos(A+C)=—等，求cos。的值；

18.(12分)已知函數(shù)=g(x)=(x+")ln(x+-)-x.

(1)若左=1,=求實(shí)數(shù)，的值.

(2)若a,beR+,f(a)+g(b)>f(0)+g(0)+ab,求正實(shí)數(shù)左的取值范圍.

19.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=xlnx—aeX，Mx)=^，其中aeR,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(I)若/'(x)在(0,+。)上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求。的取值范圍；

(II)若(p(x)=lnx+l—尸(x),cp(l)=e,函數(shù)°(x)與函數(shù)p(x)的圖象交于且線段的中

點(diǎn)為。(如為)，證明：甲(％)<p(l)<%.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=|x+a|+|x—5|,(其中a>0,b>0).

(1)求函數(shù)f(x)的最小值以.

(2)若2c>M,求證：c7c2-ab<a<c+Vc2—ab?

21.(12分)已知拋物線丁=2px(p>0),過點(diǎn)C(-2,0)的直線I交拋物線于A,3兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為。，Q4.。8=12.

(1)求拋物線的方程；

(2)當(dāng)以為直徑的圓與V軸相切時(shí)，求直線/的方程.

22.(10分)已知｛4｝是等差數(shù)列，滿足％=3,4=12,數(shù)列也｝滿足4=4,d=20,且也—4｝是等比數(shù)

列.

(1)求數(shù)列｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

方法一：設(shè)尸利用拋物線的定義判斷出3是AP的中點(diǎn)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得3點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋

物線的定義求得IFBI，進(jìn)而求得|E4|.

方法二：設(shè)出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)5,乙，由拋物線的定義，結(jié)合|1%1=2|m|求得乙，4的關(guān)系式，聯(lián)立直線

y=/：(x+l)的方程和拋物線方程，寫出韋達(dá)定理，由此求得與，進(jìn)而求得|E4|.

【詳解】

方法一：由題意得拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為/:x=—1,直線y=左0+1)恒過定點(diǎn)尸(一1,0),過A3分別作AM±I

于BN工1于N,連接08,由|E4|=2|抄|,貝!11AMi=2|,所以點(diǎn)3為AP的中點(diǎn)，又點(diǎn)。是PF的

中點(diǎn)，

貝!)|。8|=44/|,所以|。8|=|8/|,又|。尸|=1

2

所以由等腰三角形三線合一得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為《，

2

由題意設(shè)A,3兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為,xB(xA>0),

則由拋物線定義得I網(wǎng)1=5+LIE31=/+1

XI^1=21FB|,xA+1=2(XB+1)=>xA=2XB+1①

V2=4-X、、、、―

s=k"x"+(2k~—4)x+左?=0=4?=1②

y=?x+l)'

由①②得

x；-%A-2=0,:.xA=2,\FA\=xA+l=3.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.

2、C

【解析】

依次遞推求出生得解?

【詳解】

時(shí)，

n=l?2=1+3=4,

時(shí)，

n=2?3=2x4+l=9,

n=3時(shí)，%=9+3=12,

n=4時(shí)，出=2義12+1=25,

n=5時(shí)，4=25+3=28.

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查遞推公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

3、D

【解析】

/,,llJIJIJI

由7=，可判斷選項(xiàng)A；當(dāng)工==時(shí)，2x+'=」可判斷選項(xiàng)B；利用整體換元法可判斷選項(xiàng)C；

co1232

y=sin2x+—=cos2x-yU/(X)可判斷選項(xiàng)D.

I12

【詳解】

由題知/(x)=cos2x+5,最小正周期7=夸=兀，所以A正確;當(dāng)％時(shí),

jrjr712兀兀I57J兀1]

2x+—=—,所以B正確；當(dāng)xe時(shí)，2x+—elIT,—I,所以C正確；由丁=5皿2%

323

的圖象向左平移A71個(gè)單位，得了=sin2|x+U71=sin|2x+q=sin|2x+H7171

121223

cosf2X-|L/(X),所以D錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性以及圖象變換后的解析式等知識(shí)，是一道中檔題.

4、B

【解析】

如圖所示：連接QA,根據(jù)垂直平分線知QA=QP,|QA||=6<10,故軌跡為雙曲線，計(jì)算得到答案.

【詳解】

如圖所示：連接。4,根據(jù)垂直平分線知24=。尸,

故||QC|―仁川=||QC|-|QP|=|PC|=6<10,故軌跡為雙曲線,

2a=6,a=3,c=5,故5=4,故軌跡方程為——=1.

916

【點(diǎn)睛】

本題考查了軌跡方程，確定軌跡方程為雙曲線是解題的關(guān)鍵.

5、B

【解析】

利用正弦定理求出CD,可得出BC,然后利用余弦定理求出cos5,進(jìn)而求出sin8,然后利用三角形的面積公式可

計(jì)算出的面積.

【詳解】

?AD為/班C的角平分線，則NRM)=NC4D.

ZADB+ZADC=71,則NADC=%—NAD5,

sinZADC=sin(〃一ZADB^=sinZADB,

ABBD4?

在AABD中,由正弦定理得,即-----------=-----------，①

sinZADBsinZBADsinZADBsinZBAD

ACCD8CD

在AACD中,由正弦定理得,即

sinZADCsinZADCsinZADC-sinZG4D，

2

①+②得解得CD=4,.?.BC=5D+CD=6,

CD2J

222

+人?！揽趎AB+BC-AC1,cr-------T—岳

由余弦定理得cos3=---------------------=——,smB=Vl-cosB=------

2ABBC44

因此'—的面積為S確.加疝3=厲.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形面積的計(jì)算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

6、B

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，+%=%+%并結(jié)合已知可求出為，再利用等差數(shù)列性質(zhì)可得S1=7"%)=7a4,即可求

出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)?+%=%+%，所以2+%=%+%，所以4=2,

所以S7=7(囚；%)=7q=14,

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前幾項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.

7、C

【解析】

先根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B,再根據(jù)函數(shù)極值排除A；結(jié)合特殊值即可排除D,即可得解.

【詳解】

函數(shù)/(%)=

ln(x2+1)

則⑼所以.為奇函數(shù),排除B選項(xiàng);

當(dāng)時(shí)，/⑴土一^一+00,所以排除A選項(xiàng);

Inx

e—eT_e-l_2.72-0.37

當(dāng)x=l時(shí)，/(1)=合3.4,排除D選項(xiàng)

ln(l+l)In20.69

綜上可知，C為正確選項(xiàng)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖像，注意奇偶性、單調(diào)性、極值與特殊值的使用，屬于基礎(chǔ)題.

8、A

【解析】

利用頻率分布直方圖得到支出在［20,40）的同學(xué)的頻率，再結(jié)合支出在［20,40）（單位：元）的同學(xué)有34人，即得解

【詳解】

由題意，支出在［20,40）（單位：元）的同學(xué)有34人

由頻率分布直方圖可知，支出在［20,40）的同學(xué)的頻率為

34

（0.01+0.024）xl0=0.34,/.n=—=100.

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

9、D

【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由實(shí)部為0求得。值.

【詳解】

解：（2a+i）（l+i）=（2a—l）+（2a+l）i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，

2a—1=0,即2=—.

2

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

10、D

【解析】

利用表格中的數(shù)據(jù)，可求解得到1=2.5,代入回歸方程，可得亍=5,再結(jié)合表格數(shù)據(jù)，即得解.

【詳解】

利用表格中數(shù)據(jù)，可得1=2.5,

又y=2.lx-0.25,y=5,

.4.w+3.2+4.8+7.5—20.

解得m=4.5

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查了線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)的性質(zhì)，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

11,C

【解析】

由題意，根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式,+i=cy!，。得（1-2x）7展開式的通項(xiàng)為￡+1=（-貝（J

止四-展開式的通項(xiàng)為加］=（—2|。門4,由左—1=2,得左=3,所以所求產(chǎn)的系數(shù)為（—2）3底=一280.故選

x

C.

點(diǎn)睛：此題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，以及組合數(shù)、整數(shù)塞的運(yùn)算等有關(guān)方面的知識(shí)與技能，屬于中低

檔題，也是?？贾R(shí)點(diǎn).在二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中，注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)，先求出通項(xiàng)公式再根

據(jù)所求問題，通過確定未知的次數(shù)，求出廠，將廠的值代入通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算，從而問題可得解.

12、C

【解析】

由三視圖可知，該幾何體是下部是半徑為2,高為1的圓柱的一半，上部為底面半徑為2,高為2的圓錐的一半，所以，

半圓柱的體積為匕=,><22義%><1=2乃，上部半圓錐的體積為匕=工*!><2乃><22=生，所以該幾何體的體積為

2233

丫=乂+匕=2?+?=等，故應(yīng)選C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2

【解析】

s\AF\S\AF\

如圖所示，先證明《衛(wèi)兩'再利用拋物線的定義和相似得AF到O就=兩=2n.

?BFO

【詳解】

由題得SMFO=^-\OF\\AF\sinZAFO,S^FO=1-|OF||BF\sinZBFO.

因?yàn)閆AFO+Z.BFO=7i.:.sinZAFO=sin/BFO.

uAR?\AF\

所以

uBFO\BFV

過點(diǎn)A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M,N,過點(diǎn)B作RELAM于點(diǎn)E,

設(shè)|BF|二m,|AF|=n,則|BN|二m,|AM|=n,

所以|AE|二n-m,因?yàn)槊?2?,

所以|AB|=3(n-m),

所以3(n-m)=n+m,

n

所以一二2.

m

S|AF|n

所以廣AFO^=局=一=2.

SBFOIBF|m

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

14、3

【解析】

分析程序中各變量、各語句的作用，根據(jù)流程圖所示的順序，即可得出結(jié)論.

【詳解】

解:初始"-13,左-0,

第一次循環(huán)：6,左—1；

第二次循環(huán)：”一3次—2；

第三次循環(huán)：n―1,左一3；

經(jīng)判斷〃=1,此時(shí)跳出循環(huán)，輸出k=3.

故答案為：3

【點(diǎn)睛】

本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是對(duì)算法語句的理解，屬基礎(chǔ)題.

15、1.7820

【解析】

根據(jù)空間位置關(guān)系，將平面旋轉(zhuǎn)后使得各點(diǎn)在同一平面內(nèi)，結(jié)合角的關(guān)系即可求得兩點(diǎn)間距離的三角函數(shù)表達(dá)式.根據(jù)

所給參考數(shù)據(jù)即可得解.

【詳解】

棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)分別為棱A4pA的中點(diǎn)，以A為圓心，1為半徑，分別在

面AB4A和面ABCD內(nèi)作弧和NE.

將平面ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)至與平面A3用4共面的位置，如下圖所示:

則N4Aa=^-x8=144，所以忸Q||=2sin72；

將平面ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)至與平面ADD,A共面的位置，將ABB^繞AA1旋轉(zhuǎn)至與平面ADDX\共面的位置，如下

圖所示：

則N4AQ4=?義2+90=126，所以田。|=2sin63；

因?yàn)閟in63<sin72>且由誘導(dǎo)公式可得sin63=cos27>

所以最短距離為田Q|=2sin63=2x0.8910=1.7820，

故答案為：1.7820.

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間幾何體中最短距離的求法，注意將空間幾何體展開至同一平面內(nèi)求解的方法，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)

用，綜合性強(qiáng)，屬于難題.

1^5—1

10>-------------

2

【解析】

將已知由前"項(xiàng)和定義整理為。3+%+%=2,再由等比數(shù)列性質(zhì)求得公比，最后由數(shù)列｛?！埃黜?xiàng)均為正數(shù)，舍根得

【詳解】

因?yàn)椤?<2+2=>%+a?+生+%+%=q+%+2=^>/+4+%=2

日口?2—1i

即生+%以+生刃=2=>q+g-l=Onq=————

又等比數(shù)列｛4｝各項(xiàng)均為正數(shù)，故〃=告1

故答案為：避二

2

【點(diǎn)睛】

本題考查在等比數(shù)列中由前〃項(xiàng)和關(guān)系求公比，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)]一點(diǎn)目⑵cosC=^

【解析】

(1)將/(x)=sin[2x+W)+cos2x+J^sinxcosx,利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為:，/(x)=2sinl2x+^1+-,再

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解,

(2)根據(jù)=得sin(A+j]=l,又A為ABC的內(nèi)角，得到A=工，再根據(jù)cos(A+C)=—述，利

<2；2<07314

用兩角和與差的余弦公式求解,

【詳解】

/(%)=—sin2x+-cos2x+1+32%+且sin2x，

(1)

2222

=Csin2x+cos2x+g=2sin]2x+?1

+f

22

,,71TC>兀？冗v3

x|<—/.-----<2xH—<—------<sinf2x+^j<l,

43632

-A/3</(x)<—,

即/⑴的值域?yàn)?

(2)由/[$=j得S"A+f=1，

77

又A為A6C的內(nèi)角，所以A=工，

又因?yàn)樵贏BC中，cos(A+C)=-—,

14

所以sin(A+C)=—,

14

所以cosC=cos1A+C—=gcos(A+C)+^^sin(A+C)=

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題，

18、(1)1(2)k31

【解析】

⑴求得/'(X)和g'(x),由1=1,r(f)=g'⑺，得d—ln(f+l)—1=0,令0⑺=/—ln(/+l)—1,令導(dǎo)數(shù)求

得函數(shù)的單調(diào)性，利用0(/)W0(O)=O,即可求解.

⑵解法一:令人⑴=/⑴—法+g。)——g(0),利用導(dǎo)數(shù)求得h(x)的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為/<%)>丸仲伍+1)),

令f(x)=(x+左)ln(x+左)—(x+l)ln(x+l)—曲很(%>0),利用導(dǎo)數(shù)得到《尤)的單調(diào)性，分類討論，即可求解.

x

解法二：可利用導(dǎo)數(shù)，先證明不等式，e-x-l>0fx-l>lwc9x-xiwc-l<09

^/7(x)=g(x)-tzx+/(a)-/(O)-g(O)(x>0),利用導(dǎo)數(shù)，分類討論得出函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

【詳解】

(1)由題意，得g<x)=ln(x+k),

由左=1,=…①，得ln(f+l)—1=0,

令夕(。=/,則/?)=￡———,

因?yàn)橄?")=d+^^>0,所以“(。在(—1,+8)單調(diào)遞增，

又“(0)=0,所以當(dāng)—1<九<0時(shí)，”(。>0,0。)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>0時(shí)，”(/)<0,單調(diào)遞減；

所以0”)W0(O)=O,當(dāng)且僅當(dāng)r=0時(shí)等號(hào)成立.

故方程①有且僅有唯一解f=0,實(shí)數(shù)f的值為L(zhǎng)

(2)解法一：令/z(x)=/(x)—&r+g(z?)—/(o)—g(o)(%>0),

則”(%)=6*-伍+1),

所以當(dāng)x>ln0+l)時(shí)，〃(力〉0,人⑴單調(diào)遞增；

當(dāng)0<x<ln(Z?+l)時(shí),//(%)<0,人(九)單調(diào)遞減；

故〃(力2/?011僅+1))=f(in(b+1))+g(i>)-f(O)-g(0)-bln(b+1)

=(/?+左)山(〃+左)一(〃+1)山(〃+1)—4111左.

令(％)=(x+左)ln(x+左)一(x+l)ln(x+l)-Zin^(x>0),

貝！］f'(x)=ln(x+左)一ln(x+l).

⑴若左>1時(shí)，f(x)>0,在(0,+8)單調(diào)遞增，

所以武力>《0)=0,滿足題意.

(ii)若左=1時(shí)，*％)=0,滿足題意.

(iii)若0(左<1時(shí)，f(x)<0,，(可在(0,+8)單調(diào)遞減，

所以《力<《0)=0.不滿足題意.

綜上述：左N1.

解法二：先證明不等式，ex-x-l>09x-l>lnx,x-xiwc-l<0...(*).

X

令0(X)—€—X—19

則當(dāng)Q0時(shí)，(p'(x)=ex-l>0,研x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xWO時(shí)，(p'(x)=es-l<0,0(x)單調(diào)遞減，

所以0(x)N0(O)=0,即e*—x-120(xeH).

變形得，ex>x+l>所以尤>一1時(shí)，x?ln(x+l),

所以當(dāng)x>0時(shí)，%-l>liu-.

又由上式得，當(dāng)x>0時(shí)，--l>ln—,l-x>-xlnx,x-xliu-l<0.

xx

因此不等式(*)均成立.

h(x)=g(x)-ax+f(a)-f(0)-g(0)(x>0),

貝!|//(x)=ln(x+左)一a,

⑴若a>l加時(shí)，當(dāng)x>e“—左時(shí)，//(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)0<x<ea-左時(shí)，”(x)<0,人(力單調(diào)遞減；

故/z(x)2〃(e"-左)=g(e"一左)+/(a)_/(0)_g(0)

=(k—l)a+左一1—Aink.

(ii)若0<aWln左時(shí)，//(x)>0,丸⑺在(0,+w)單調(diào)遞增,

a

所以/z(x)>/z(O)=〃a)—〃O)=e-a-1.

因此，①當(dāng)0〈人W1時(shí)，此時(shí)1睢<0,a>Ink,h(x)>(k-l)a+k-l-ldnk>Q,

則需

k-l-klnk>Q,

由(*)知，k-ldnk-l<Q,(當(dāng)且僅當(dāng)左=1時(shí)等號(hào)成立)，所以左=1.

②當(dāng)左>1時(shí)，此時(shí)Ink>0,a>0,

則當(dāng)a>lnA時(shí)，〃(%)?(%—1)。+%一1一如左>(左一l)ln%+左一1一如左

=—In左+左一1>0(由(*)知)；

當(dāng)0<aWln左時(shí)，/z(x)>e"—。-1>0(由(*)知).故對(duì)于任意a>0,/?(x)>0.

綜上述：k21.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于

恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參

數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

19、(I)0<a<-;(II)詳見解析.

【解析】

(I)依題意/(X)在(0,+8)上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于尸(x)=0在(0,+8)有兩個(gè)不等實(shí)根，由lnjc+1-ae*=0參

變分類可得a=電手，令g(x)=^F，利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的單調(diào)性、極值，從而得到參數(shù)的取值范圍；

eAe

.+迤e'2—eXxeXx+e為

(II)由題解得。=1,(p(x)=eX,要證(p(』)<M])<及)成立，只需證：e2<k=-------<——--,即：

x>—X.2

“儂.―，再,無1攵一再，巧一』P為一+1￡夕'_1-L1

e2<-——<-------,只需證：e2<-------<-------,設(shè)r=x,—%>0,即證：〉〈二〈幺上

x2-xx2x2-x12t2

再分別證明e—2<，~—,1e'—1/+1即可；

tt2

【詳解】

解：(I)由題意可知，x>0,/'(x)=lnx+l—a",

/(x)在(0,+。)上存在兩個(gè)極值點(diǎn),等價(jià)于/(%)=。在(0,+。)有兩個(gè)不等實(shí)根,

一一?)=lnx+1.,、lnx+1

由lnx+1—ae*=0可得，a=——--,令g(x)=——-—,

exe

則，/、_/(Inx+l),令人(x)」_[nx-1,

e

可得〃(x)=—二一,，當(dāng)％>0時(shí)，A'(x)<0,

XX

所以//(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，且版1)=0

當(dāng)尤e(0,1)時(shí)，〃(尤)>0,g3>0,g(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(l,+oo)時(shí),〃(九)<0,g'(%)<0,g(x)單調(diào)遞減;

所以x=1是g(x)的極大值也是最大值，,g(x)max=g(l)=~:.a〈,又當(dāng)xf0,g(x)一—8,當(dāng)xf+8,g(x)大

ee

于0趨向與0,

要使/'(x)=0在(0,+。)有兩個(gè)根，則0<a〈工,

e

所以〃的取值范圍為0<a<—；

(II)由題解得a=Lcp(x)=ex,要證cp(y)<以1)<%成立,

X]+巧

只需證：e"

x2-jq2

為+%2e巧e七+66

即：廠<---------<----------

x2-xx2

巧一百e巧一再—16電一畫+1

只需證:e2＜----------＜----------

Xj-X12

LJ-1"+1

設(shè)1=%一再>o,即證：

t2

要證前＜—，只需證：

1_1/、1

令歹⑺=e2—e2—〃則尸⑺=Q/+e2-l>0

7

.?1（。在（0,+8）上為增函數(shù)

/\\-1

,\F（t）＞F（O）=Of即〃〈一成立;

要/證—]以/+1，只需證明：d幺—」1＜t人

t2￡+12

￡4d—（d+l）2-日

令G（0=O_Z,則<0

㈠1+12位+1）22

???6（。在（0,+8）上為減函數(shù)，,6（。＜6（0）=0,即一＜一!成立

1＜y＜一/〉0成立，所以（p（l）＜7（1）＜為成立.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于難題;

20、（1）a+b.（2）答案見解析

【解析】

（1）利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可求得最小值〃

（2）利用分析法，只需證明|a-c|＜二行，兩邊平方后結(jié)合2c＞a+。，a＞0即可得證.

【詳解】

(1)f(x)=|x+a|+1...|(x+a)-(x-Z?)\=\a+b\=a+b,當(dāng)且僅當(dāng)(x+a)(x-b)”。時(shí)取等號(hào)，

?*./(x)的最小值M=a+b；