天津市八所重點(diǎn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高三年級上冊期末聯(lián)考試題 數(shù)學(xué)含答案

2024年天津市八所重點(diǎn)學(xué)校高三畢業(yè)班聯(lián)考

數(shù)學(xué)試卷

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘.考試結(jié)束

后，上交答題卡.

第I卷（選擇題,共45分）

一.選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是

符合題目要求的，請將正確答案的序號填涂到答題卡上.

1、已知全集U=[1,2,34,5},集合A={3,5},B={1,2,5},則Bn（如㈤=（）

A.{2}C.[2,4}D.[1,2,4}

2、若久yAO,則"％2=y"是"2+7=—2”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3、已知a=ln|,Z?=logos1-5,c=（|），則（）

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

4、函數(shù)/（%）的部分圖象如下圖所示，則/（%）的解析式可能為（）

sinx1

&?/（%）=D.f（x）=ex+e~x-sinx--

—x1

C/（%）=D.f（x）=ex+ef+sin%--

5、已知某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為3：1,貨車和客車中途停車修理的概率分

別為0.03和0.01,貝Ut輛汽車中途停車修理的概率為（）

A1n—c—n—

504030

6、已知五=（1|1）%=（加|—l）,m為實(shí)數(shù)，若310—0則向量益在Lt的投影向量為（）

硝1）B.（—惠）

7、清初著名數(shù)學(xué)家孔林宗曾提出一種“茨藜形多面體”，其可由相同的兩個(gè)正交的正四面體

組合而成（如圖1）,也可由正方體切割而成（如圖2）.在“蓑藜形多面體”中，若正四面體的棱長

為2,則該幾何體的體積為（）

H

圖1圖2

A.42B.2C.2V2D.4

8、已知過原點(diǎn)O的直線，與雙曲線Z:《—2=l（a>0力>0）交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象

限）,HR分別為雙曲線E的左、右焦點(diǎn)，延長AF?交E于點(diǎn)C,若|B&I=|ZC|/%BF2S，則

雙曲線E的漸近線方程為（）

A.y=±y[2xx=±V2yC.y=±V3xD.x=±V3y

9、已知函數(shù)/（%）=Zsin（3K+w）（o）>Q,A>0,|卬|<5的對稱中心到對稱軸的最小距離為了

將/（%）的圖象向右平移得個(gè)單位長度后所得圖象關(guān)于y軸對稱，且/（久2）1^。工=1,關(guān)于

函數(shù)/（%）有下列四種說法：

①%是/（久）的一個(gè)對稱軸：②（一目0）是/（久）的一個(gè)對稱中心；

③/（久）在（og）上單調(diào)遞增：④若/（久。=/（犯）=0,則巧一久2=:（kez）.

以上四個(gè)說法中，正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

第n卷（非選擇題，共105分）

二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.請將正確的答案填寫到答題紙上.

10.若復(fù)數(shù)z滿足z={1上心（其中i是虛數(shù)單位），則z的虛部為—.

11.在（久-I）'的展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)為.（用數(shù)字填寫答案）

12.已知直線％—zny+2=0與。C:x2+/=4交于A,B兩點(diǎn),寫出滿足“ZXABC面積為遮"的

實(shí)數(shù)m的個(gè)值______（寫出其中個(gè)即可）

13.學(xué)習(xí)于才干信仰，猶如運(yùn)動于健康體魄，持之已久、行之愈遠(yuǎn)愈受益.為實(shí)現(xiàn)中華民族偉

大復(fù)興，全國各行各業(yè)掀起了“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的高潮.某老師很喜歡“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”中“挑戰(zhàn)答題”模

塊，他記錄了自己連續(xù)七天每天一次最多答對的題數(shù)如下表：

天數(shù)X1234567

一次最多答對題數(shù)y12151618212427

參考數(shù)據(jù)：元=4,歹=19,2蠢步=140,2蠢貫=2695,27=6例=600,76?2.45,

2

相天系數(shù)r=Jz仁1（--五）2,J■41%-（）2=|Lixf-nx-21Vs?=iyt-ny--

由表中數(shù)據(jù)可知該老師每天一次最多答對題數(shù)y與天數(shù)%之間是—相關(guān)（填“正”或"負(fù)”），其

相關(guān)系數(shù)e（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

14.已知點(diǎn)A為拋物線y2=2%上一點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，，線

段AF的中垂線交準(zhǔn)線1于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)E（D、E在AF的兩側(cè)），四邊形ADFE為菱

形，若點(diǎn)P、Q分別在邊DA、EA上,加=疝1廚=麗5,若24+〃=|,則而?麗的最小

值為,\tFA-^FE\+\tFA-FE\（tER）的最小值為.

15.函數(shù)/（%）=｛（%+2尸+^+^3^+2）+3a,x<-2，函數(shù)以乃=如一2],若函數(shù)九（乃=f

（%-2）-g（久+2）-2恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

三.解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.（本小題滿分14分）

在AABC^,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知c—2b+2acosC=0.

（1）求角A的大??；

（2）若a=V3,c—孚，

⑴求sin（2C+4）的值；（ii）求△ABC的面積.

17.（本小題滿分15分）

如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，已知.1CD,=(

CD=1.點(diǎn)P為線段EC的中點(diǎn).

(1)求證:BF〃平面CDE;

(2)求直線DP與平面BDF所成角的正弦值;

⑶求平面BDF與平面CDE夾角的余弦值.

18.(本小題滿分15分)

已知橢圓。:今+真=1(。>5>0),2,乙分別是橢圓?的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A為左頂點(diǎn)，橢圓

上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)距離的最小值是焦距的右

(1)求橢圓C的離心率；

(2)直線2過橢圓C的右焦點(diǎn)F2,與橢圓C交于P,0兩點(diǎn)(點(diǎn)P在第一象限).且△4PQ面積

的最大值為學(xué)

(i)求橢圓C的方程；

(ii)若直線AP,AQ分別與直線久交于M,N兩點(diǎn)，

求證：以MN為直徑的圓恒過右焦點(diǎn)F2.

19.(本小題滿分15分)

已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，｛bn｝是等差數(shù)列，且ai=2/=2,02==4。3,

(1)求數(shù)列｛的J和｛九｝的通項(xiàng)公式；

(2)印表示不超過％的最大整數(shù)，74n表示數(shù)列｛(-1)審?郎｝的前4n項(xiàng)和，集合2=

｛川4W名盧jiCN*｝共有4個(gè)元素，求入范圍；

(國二產(chǎn)田為奇數(shù)

數(shù)列｛0｝的前2n項(xiàng)和為S2n,求證：S2n<H+停—3

(3)C九—Qn+zjb九+2bzi

、an.bn,ri為偶數(shù)

4n+1.

20.(本小題滿分16分)

1

已知函數(shù)f(x)=e"-久eX-aln^(e是自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)當(dāng)a=11時(shí),求函數(shù)/(%)在點(diǎn)(1/(1))處的切線方程;

(2)當(dāng)a>e時(shí),

⑴求證：函數(shù)/(%)存在唯一的極值點(diǎn)％1；

2024年天津市八所重點(diǎn)學(xué)校高三畢業(yè)班聯(lián)考

數(shù)學(xué)試卷評分標(biāo)準(zhǔn)

一.選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分.

1.B2.B3.C4.A5.C6.D7.A8.A9,B

填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含2個(gè)空的，答對1個(gè)空的

得3分，全部答對的得5分.

10.211.-1012.±V3,土?(四個(gè)答案寫出其中一個(gè)即可)

13.正，0.9914.3,—15.(―8,0]u肉+8)u{j}

三.解答題(本大題5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

16.(本小題滿分14分)

(1)解：

法一:

由。-26+2acosC=0,根據(jù)正弦定理有5出。一25足5+25111/?05。=0,..............1分

因?yàn)閟inB=sinQ+C),所以

sinC-2sin(Z+C)+2sin4cosC=sinC-2sin24cosC-2cos4sinC+2sinAcosC=0

整理得sinC-2cos/sinC=0，2分

i兀

因?yàn)閟inCwO,所以cos/二萬因?yàn)?￡(0,兀)，所以.......4分

法二：

由c-26+2〃cosC=0,根據(jù)余弦定理有c-2b+2a-"+'-=0..............1分

2ab

整理得6c—262+〃2+62_02=o,n\\b2+c2-a2=bc.............2分

二.cosJ+cT上I，因?yàn)?e(0,7T)

所以/三.............4分

2bc2bc

(2)因?yàn)?=6(=漁，由(1)知/=可

23

V6

(i)由正弦定理二三二一一，/=—/.sinC=-

..............5分

sinZsinCJ3sinC4

又因?yàn)閏<a,所以/C為銳角，.?.cosC=YR

..............6分

數(shù)學(xué)答案第1頁共10頁

所以sin2c=2sinCcosC=蟲，cos2C=l-2sin2C=y..............8分

44

所以sin(2C+A)=sin2Ccos/+cos2CsinA=x—+—x......10分

42428

(ii)法一：由c-26+2acosC=0,將。=百，c=^，cosC=四代入，

24

解得6=布+同,.....12分

4

?1,,^1昌V6+730V63也+3岳工小

^\ARC=—absmC=—x<3x------------x=...................................14TT

MBC224416

法二：sinB=sin(C+A)

sinB=sinCcosA.+cosCsinA-----x—i--------x—=..................12

42428

,?_1_10V6V6+V30_3V3+3V15..

..S——acsinBD——x。3xx------------------------------...............14刀

MBC222816

17.（本小題滿分15分）

（1）證明：法一：

取CD的中點(diǎn)"，連接瓦W

因?yàn)?8〃CD,AB=~CD,所以48//DM,且48=。〃，

2

所以四邊形4DMB為平行四邊形，所以且40=的0,..............2分

又因?yàn)樗倪呅?￡）所為正方形，

所以昉〃8M,且EF=BM,所以四邊形FEA"為平行四邊形，.......3分

所以AF〃￡M,又因?yàn)槊鍯DE,ENu面CDE..............4分

所以B尸〃平面CDE.

法二：

因?yàn)?8〃CD,48<z面COE,CDu面COE,

所以46〃平面CDE,..............2分

同理，N尸〃平面CD￡,又4BC”=4,所以平面尸//平面CDE,.............3分

因?yàn)?FU平面尸，.......4分

所以3尸//平面CDE.

數(shù)學(xué)答案第2頁共10頁

(2)因?yàn)槠矫嫫矫?BCD,平面/DEbA平面=CDLAD,

CDU平面48CD,

所以CD1平面ADEF,又OEU平面ADEF,

故CDLED.

而四邊形/是正方形，所以力

又CD_LN。，以〃為原點(diǎn)，DA,DC,所在直線分

別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

Dxyz

AD=\,則。(0,0,0),4(1,0,0),5(1,1,0),尸(1,0,1),C(0,

-----?1

DP=(0,l,-)..............6分

設(shè)平面尸的法向量為〃=(x,y,z),

nDB=0,Ge+y-0,

則,_即-

n-nF=Q,k+z=0,

令x=l,則y=z=-l,所以"=(1,-1,-1).............8分

設(shè)直線DP與平面BDF所成角的大小為a,..............9分

貝!!sina=|cos<DP,n>|=?當(dāng)白=W..............11分

\DP\-U

所以直線。尸與平面下所成角的正弦值為乎.(設(shè)角或答話寫一個(gè)即可)

(3)取平面COE的一個(gè)法向量房=(1,0,0),..............12分

設(shè)平面甲與平面CDE夾角的大小為。，.......13分

貝Ucos6=|cos<DA,n>\=??=—...............15分

M.J3

所以平面BDF與平面CDE夾角的余弦值是號(設(shè)角或答話寫一個(gè)即可)

數(shù)學(xué)答案第3頁共10頁

18.（本小題滿分15分）

解：⑴由題意可得a—c=/2c

???2a=3c1分

橢圓的離心率為"合|2分

⑵

（i）由（1）可知層=^c2,b2=^c2

3

???4（一/,0）

設(shè)橢圓方程為基+整=1

法一：

由題意可知直線PQ的斜率顯然不為0

設(shè)直線PQ.方程為：x=my+c,P（%i，yi）,Q（%2，y2）

聯(lián)立［20/+36y2=45c2

Ix=my+c

消去工整理得（20zn2+36）y2+4Qrncy-25c2=04分

由題意知A>0恒成立

則rn.i為,+先=—由lum,c乃乃=而不—ZS正L

貝1JS^APQ=g|AF2“yi—yzl=+曠2尸-4”2=2,映手....6分

令t=Vm2+1/貝！Jt>1

c2c2J

SAAPQ=~T'rt2+4=~T'7~4因?yàn)椤?5,+3在1,+8)上單調(diào)遞增,

4DL十勺，5tn-tt匕

當(dāng)t=l時(shí)，S—PQ有最大值

PAAPQJ^=彳。.5T4=T

.?.c2=4...8分

??c=2,a=3,b=V5

橢圓方程為：9+9=1……9分

法二：當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，由題知，k#0

此時(shí)，設(shè)PQ：y=k(x-c)

20x+36y=45c,^0+36^2)X2-72^2CX+36^2C2-45c2=0

聯(lián)立(24分

y=k(x-c)

數(shù)學(xué)答案第4頁共10頁

設(shè)尸(占,％),。(>2，%)由題意知△>()恒成立

12kle36^2C2-45C2

西+12=7-5.%2=75分

20+36/20+36/

SxPQ=g|4闖?|乃-y2|=gx(c?同一履2]=1C'|^|7(X1+X2)2-4x^2

222

51,,J12k2c〃,36^C-45C752,,,Jl+/

-C-R(-----------Y-4------------------=——c2?網(wǎng)-------r

41'V20+364220+36424115+9k2

因?yàn)?gt;=5f+：在(l,+oo)上單調(diào)遞增，

u4C,,、c75c2175c2125c2

5tH—>9(/>1),SPo=----------------<----------=-------7分

t1Q44912

t

當(dāng)直線尸。的斜率不存在時(shí)，此時(shí)尸。：x=c,代入駕■+&0=1中,

9c5c

得|尸。|吾，.,?也戶2=；.圖卜|尸,……8分

7S7S

所以，AAPQ面積的最大值為||c2=y,C2=4

22

橢圓方程為二+匕=1……9分

95

(ii)法一：由(i)知力(-3,0),&(2,0)

,■%P=等7%=含

直線4P的方程為：y=^--(x+3),直線ZQ的方程為：y=^--(%+3)

?/C1十J%2十。

弓*著)，'信用11分

數(shù)學(xué)答案第5頁共10頁

-15%),pjy=(_￡15yz)

???F2M=4'4(%i+3)J2I4'4(%2+3)J.........12分

r+tr/曰?一zum—NDn

由c=2,特歸+曠2=-'為力=-'x=my+2

____.____.25225ViVo

22

1616(%i+3)(%2+3)

25225yy

=-------1-----------------------------1----2---------------

1616(myi+5)(my2+5)

25225y/2

="——|--------'-----------------------------------------------------

1616m2yly2+5m(y1+y2)+25

_25225為力

...-,—I-----------------------------------------------------

16162—25匚-20m今匚

mz--~~o~~-+5m--~~n_-+25

5m2+957n2+9

至+經(jīng)(A二0.........14分

1616V97

???F2M1&N

??.以MN為直徑的圓恒過右焦點(diǎn)..........15分

法二：由(i)知4(-3,0),尸2(2,0)

當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，有尸(2$,0(2,-6

令》=:,得同理

直線AP:y=—x+1

■3

5__2

此時(shí)外M.外N990.........10分

4144-4

當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，y=k(x-2)

,■以P=+kAQ=焉

???直線力P的方程為：y=^--(%+3),直線2Q的方程為：y=^--(x+3)

)

嗚島)，15y211分

I4，4(X2+3))

??.FM=(三15yl)g=(—?15y2).........12分

24'4(巧+3)12I4'4(%2+3)J

數(shù)學(xué)答案第6頁共10頁

36/-45

由c=2…Xi-x=-------

5+9左2-25+9k2

25.225yiy25225k2-2)(X-2)

??FMFN-----1------------------2------=------1---------------------------2---------

?2-2=1616

(xi+3)S+3)1616(X1+3)(x2+3)

2「36/_45c36k2

25+225_22[一9一2(七+/)+4]=交+咨5+請一.57^+(

22

1616xtx2+3(%1+X2)+9161636k-4536k

一~----------------5F3-------+9

5+9d5+9H

25225左2[36廿-45-72/+20+36后2]2522525/，，八

161636左2—45+108左2+45+81左21616225r

???F2M1F2N

???以仞V為直徑的圓恒過右焦點(diǎn).……15分

19.(本小題滿分15分)

解：⑴設(shè)數(shù)列｛%｝首項(xiàng)%=2公比通〉0),設(shè)數(shù)列仿〃｝首項(xiàng)仇=1公差d

42

a5=4a3a1q=4a1q

?/</,...1分

a2=b4axq=b1+3d

：.q=2,q=-2(舍),d=1

n

an=2.bn—n3分

22+2

(2)「4“=(bj_%2_后+64)+(652-Z>6-bf+^8)-"+^4?-3-d"T~+64/)

甌不-b^n-2-b4?-i2+d/=(4n-3)2-(4〃-2)2_(4"-1)2+(4〃r=4....4分

T=4〃,-="("+2),

4n6分

冊+22"

集合，自4華2,”**卜設(shè))=華9

2+「與=迎±嗎臼_巫±2=弋2,所以當(dāng)

7分

〃十1n2〃+12"2"+1

31S3

〃=1時(shí)，。2〉。1，當(dāng)〃22時(shí)，。2＞。3＞。4＞…=一，。2=2,D=—,。4=一，。5=,因?yàn)?/p>

2382

數(shù)學(xué)答案第7頁共10頁

集合有4個(gè)元素，—<X<-.8分

322

4J.+1-&

(3)C“=,2"2.Jn(n+2),〃為奇數(shù)，S2n=Cl+C2+C3+---+C2?

n-T,“為偶數(shù)

2462n

^An=C2+C4+C6+---+C2?=2-2+4-2+6-2+---+2n-2

44,=2-24+4-26+---+(2n-2)-22,!+2n-22,,+29分

46822,,+2242n+2

-3An=8+2(2+2+2+---+2")-2?-2=8+2'-2n-2—10分

20OO2〃+2

=8-----+-------------2n?22n+2

33

所以‘“/[??！?口分

4五+1-~Jn4+2-y/~n1_________]

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),13分

2計(jì)2.J〃("+2)2"2.7?(n+2)2"?a2"+2.J〃+2

111

-------1^=^=<—

222n+1-72^+12

14分

2)Q2M+2

$Q2“=4+%<g+[y_§J,2.......15分

20.（本小題滿分16分）

解：(1)〃=1時(shí)，/(x)=ex-xex+Inx,/(x)=-xex+—.......1分

x

/./'(l)=-e+l,.......2分

又/⑴=0??????3分

所以切線方程為：>=(l_e)x_l+e……4分

數(shù)學(xué)答案第8頁共10頁

(2)(i)當(dāng)a>e時(shí)，/a)="lnx-(xT)e‘，"一》‘"一x,……5分

令g(x)=a-e'x2(x>0),g%r)=-1(/+2x)<0,...6分

則g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

由Q〉e,得lna〉l,In2a>1,貝UI—I/QCO,

又g(l)=a_e>0g(ln?)=a-elnfl-In2a=a(1-In2a)<0&分

由零點(diǎn)存在性定理可知，存在唯一看e(l,lna)使g(X])=0,即"力才=0,……9分

當(dāng)xe(0,X])時(shí)，g(x)>°,/'(x)>0,/(X)在(0,可)上單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(X],+co)時(shí)，g(x)<0,/'(x)<0,/(x)在(孫+°°)上單調(diào)遞減，……io分

則/（X）在*=丐處取得極大值，即“X）存在唯一的極值點(diǎn)看.

(ii)由⑴可知，a-ex'x^=0,即①

X1

由/>匹，且Xie(l,lna),得%>1,

由/(尤0)=。，得alnx()-(%-1)*=0,。山“。=8°,②

Xo-1

②式除以①式，得1?！?五嶼，