3.2.2圓心角、弧、弦的關(guān)系2

第1頁(yè)（共52頁(yè)）圓心角、弧、弦的關(guān)系1．（2016?寶山區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓分別交AB、AC于點(diǎn)D、點(diǎn)E，則弧BD的度數(shù)為（）A．26° B．64° C．52° D．128°【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】先利用互余計(jì)算出∠B=64°，再利用半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)得到∠CDB=∠B=64°，則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠BCD，然后根據(jù)圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)求解．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=26°，∴∠B=64°，∵CB=CD，∴∠CDB=∠B=64°，∴∠BCD=180°﹣64°﹣64°=52°，∴的度數(shù)為52°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．2．（2015?巴中模擬）圓內(nèi)接四邊形ABCD，∠A，∠B，∠C的度數(shù)之比為3：4：6，則∠D的度數(shù)為（）A．60 B．80 C．100 D．120【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)和四邊形的內(nèi)角和為360度進(jìn)行分析求解．【解答】解：∵內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，∴∠A：∠B：∠C：∠D=3：4：6：5設(shè)∠A的度數(shù)為3x，則∠B，∠C，∠D的度數(shù)分別為4x，6x，5x∴3x+4x+6x+5x=360°∴x=20°∴∠D=100°故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)和四邊形的內(nèi)角和為360°的理解及運(yùn)用．3．（2015?鄄城縣三模）如圖，一塊直角三角板ABC的斜邊AB與量角器的直徑重合，點(diǎn)D對(duì)應(yīng)54°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．27° B．54° C．63° D．36°【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】先根據(jù)圓周角定理得到∠ACD=∠AOD=27°，然后利用互余求解．【解答】解：∵一塊直角三角板ABC的斜邊AB與量角器的直徑重合，∴點(diǎn)A、B、C、D都在以AB為直徑的圓上，∵點(diǎn)D對(duì)應(yīng)54°，即∠AOD=54°，∴∠ACD=AOD=27°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=63°．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了圓周角定理．4．（2015?玉林二模）如圖，在⊙O中，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點(diǎn)D，連接CD．如果∠BAC=20°，則∠BDC=（）A．80° B．70° C．60° D．50°【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理；翻折變換（折疊問(wèn)題）．【分析】連接BC，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求出∠ACB，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠B，再根據(jù)翻折的性質(zhì)得到所對(duì)的圓周角，然后根據(jù)∠ACD等于所對(duì)的圓周角減去所對(duì)的圓周角可得出∠DAC的度數(shù)，由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，連接BC，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=20°，∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣20°=70°．根據(jù)翻折的性質(zhì)，所對(duì)的圓周角為∠B，所對(duì)的圓周角為∠ADC，∴∠ADC+∠B=180°，∴∠B=∠CDB=70°，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟知在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等是解答此題的關(guān)鍵．5．（2015?茂名模擬）如圖，已知OA，OB均為⊙O上一點(diǎn)，若∠AOB=80°，則∠ACB=（）A．80° B．70° C．60° D．40°【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】由同弧所對(duì)的圓心角和圓周角的關(guān)系可得，∠AOB=2∠ACB，則結(jié)果即可得出．【解答】解：由題意得，∠ACB=∠AOB=×80°=40°．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，重點(diǎn)是圓周角定理的應(yīng)用．6．（2015?杭州模擬）已知AB是⊙O的直徑，弧AC的度數(shù)是30°．如果⊙O的直徑為4，那么AC2等于（）A． B． C． D．2【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；含30度角的直角三角形；勾股定理．【分析】如圖，連接OC．過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA于點(diǎn)D．根據(jù)圓心角、弧、弦間的關(guān)系知∠COD=30°．在直角△COD中，利用勾股定理、30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半求得線段OD的長(zhǎng)度，易求線段AD的長(zhǎng)度．所以在直角△ACB中，利用射影定理來(lái)求AC2的值．【解答】解：如圖，連接OC．過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA于點(diǎn)D．∵⊙O的直徑為4，∴AB=4，∴OA=OC=2．∵弧AC的度數(shù)是30°，∴∠COD=30°，∴CD=1，∴OD==，則AD=2﹣，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°．∴AC2=AD?AB=（2﹣）×4=8﹣4．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦間的關(guān)系，勾股定理以及含30度角的直角三角形．注意，射影定理是在直角三角形中應(yīng)用．7．（2015?慈溪市一模）下列說(shuō)法正確的是（）A．同圓或等圓中弧相等，則它們所對(duì)的圓心角也相等B．90°的圓心角所對(duì)的弦是直徑C．平分弦的直徑垂直于這條弦D．三點(diǎn)確定一個(gè)圓【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；垂徑定理；圓周角定理；確定圓的條件．【分析】利用等弧和弦的概念，垂徑定理以及弧，弦與圓心角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷．【解答】解：A、弧的度數(shù)與所對(duì)圓心角的度數(shù)相等，所以同圓或等圓中弧相等，則它們所對(duì)的圓心角也相等，故本選項(xiàng)正確；B、90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、應(yīng)強(qiáng)調(diào)這條弦不是直徑，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，垂徑定理以及確定圓的條件．熟練掌握相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．8．（2015?通州區(qū)二模）如圖，⊙O中，如果=2，那么（）A．AB=AC B．AB=2AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；三角形三邊關(guān)系．【分析】取弧AB的中等D，連接AD，DB，由已知條件可知AD=BD=AC，在△ADB中由三角形的三邊關(guān)系可知AD+BD＞AB，即2AC＞AB，問(wèn)題得解．【解答】解：取弧AB的中點(diǎn)D，連接AD，DB，∵=2，∴AD=BD=AC，在△ADB中由三角形的三邊關(guān)系可知AD+BD＞AB，∴2AC＞AB，即AB＜2AC，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系以及三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，題目設(shè)計(jì)新穎，是一道不錯(cuò)的中考題．9．（2015?河?xùn)|區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則的度數(shù)為（）A．25° B．30° C．50° D．65°【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】連接CD，先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠ABC的度數(shù)，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠CDB的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BCD的度數(shù)，由圓心角、弧、弦的關(guān)系即可得出結(jié)論．【解答】解：連接CD，∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，∴∠ABC=90°﹣25°=65°，∵BC=CD，∴∠CDB=∠ABC=65°，∴∠BCD=180°﹣∠CDB﹣∠CBD=180°﹣65°﹣65°=50°，∴=50°．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰三角形是解答此題的關(guān)鍵．10．（2015?奉賢區(qū)一模）在同圓或等圓中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．相等弦所對(duì)的弧相等 B．相等弦所對(duì)的圓心角相等C．相等圓心角所對(duì)的弧相等 D．相等圓心角所對(duì)的弦相等【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】利用在同圓和等圓中，相等的弦所對(duì)的圓心角相等，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等，判斷出B、C、D三選項(xiàng)都正確；而同圓或等圓中，同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，所以可判斷出A選項(xiàng)錯(cuò)誤．【解答】解：A、相等弦所對(duì)的弧不一定相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、相等弦所對(duì)的圓心角相等，故本選項(xiàng)正確；C、相等圓心角所對(duì)的弧相等，故本選項(xiàng)正確；D、相等圓心角所對(duì)的弦相等，故本選項(xiàng)正確．故選A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系定理的推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．注意：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?1．（2015?寶山區(qū)一模）如果在兩個(gè)圓中有兩條相等的弦，那么（）A．這兩條弦所對(duì)的圓心角相等B．這兩條線弦所對(duì)的弧相等C．這兩條弦都被與它垂直的半徑平分D．這兩條弦所對(duì)的弦心距相等【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；垂徑定理．【分析】在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等，但在不同圓中則應(yīng)另當(dāng)別論．【解答】解：A、這兩條弦所對(duì)的圓心角不一定相等，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、這兩條弦所對(duì)的弧不一定相等，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、這兩條弦都被垂直于弦的半徑平分（垂徑定理），原說(shuō)法正確，故本選項(xiàng)正確；D、這兩條弦所對(duì)的弦心距不一定相等，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，注意在同圓和等圓這個(gè)條件，不要盲目解答．12．（2015?常州模擬）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C、D、E是半圓弧上的點(diǎn)，且弦AC=CD=2，弦DE=EB=，則直徑AB的長(zhǎng)是（）A．2 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；勾股定理；等腰直角三角形．【分析】連結(jié)CE，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DE于H，如圖，設(shè)半圓O的半徑為r，由于AC=CD=2，弦DE=EB=，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到∠AOC=∠COD，∠DOE=∠BOE，則∠COE=90°，于是可判斷△OCE為等腰直角三角形，所以CE=OC=r，再根據(jù)圓周角定理得∠1=∠DOE，∠2=∠COD，則∠1+∠2=∠COE=45°，于是根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠3=∠1+∠2=45°，所以△CDH為等腰直角三角形，得到CH=DH=CD=，然后在Rt△CHE中根據(jù)勾股定理計(jì)算出CE=，即有r=，求出r則可得到AB的長(zhǎng)．【解答】解：連結(jié)CE，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DE于H，如圖，設(shè)半圓O的半徑為r，∵AC=CD=2，弦DE=EB=，∴∠AOC=∠COD，∠DOE=∠BOE，∴∠COD+∠DOE=∠AOB=90°，即∠COE=90°，∴△OCE為等腰直角三角形，∴CE=OC=r，∵∠1=∠DOE，∠2=∠COD，∴∠1+∠2=∠COE=45°，∴∠3=∠1+∠2=45°，∴△CDH為等腰直角三角形，∴CH=DH=CD=，∴EH=DE+DH=2，在Rt△CHE中，CE===，∴r=，∴r=，∴AB=2r=2．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)．13．（2015秋?正定縣期末）如圖，在⊙O中，已知=，則AC與BD的關(guān)系是（）A．AC=BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不確定【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】由=，得到，于是推出，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：∵=，∴，∴，∴AC=BD．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，正確的理解圓心角、弧、弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14．（2015秋?東平縣期末）在半徑為1的圓中，長(zhǎng)度等于的弦所對(duì)的弧的度數(shù)為（）A．90° B．145° C．270° D．90°或270°【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】利用AB=，OA=OB=1，則AB2=OA2+OB2，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△AOB為直角三角形，且∠AOB=90°進(jìn)而得出長(zhǎng)度等于的弦所對(duì)的弧長(zhǎng)有兩段，分別求出即可．【解答】解：如圖，連接OA、OB；∵在⊙O中，AB=，OA=OB=1，∴AB2=OA2+OB2，∴△AOB為直角三角形，且∠AOB=90°，即長(zhǎng)度等于的弦所對(duì)的弧長(zhǎng)有兩段：一段所對(duì)圓心角為90°，另一段所對(duì)圓心角為270°，∴長(zhǎng)度等于的弦所對(duì)的弧的度數(shù)為90°或270°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理以及圓心角、弧、弦的關(guān)系，利用已知得出長(zhǎng)度等于的弦所對(duì)的弧長(zhǎng)有兩段，注意不要漏解．15．（2015秋?民勤縣期末）如圖，AB和CD是⊙O的兩條直徑，弦DE∥AB，若弧DE為40°的弧，則∠BOC=（）A．110° B．80° C．40° D．70°【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】連接OE，根據(jù)弧、圓心角的關(guān)系求出∠DOE的度數(shù)，由等腰三角形的性質(zhì)求出∠ODE的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠AOC的度數(shù)，進(jìn)而可得出∠BOC的度數(shù)．【解答】解：連接OE，∵弧DE為40°的弧，∴∠DOE=40°．∵OD=OE，∴∠ODE==70°．∵弦DE∥AB，∴∠AOC=∠ODE=70°，∴∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣70°=110°．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰三角形是解答此題的關(guān)鍵．16．（2015秋?荔灣區(qū)期末）如圖，AB是圓O的直徑，BC、CD、DA是圓O的弦，且BC=CD=DA，則∠BCD等于（）A．100° B．110° C．120° D．135°【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圓，從而不難求得∠BCD的度數(shù)．【解答】解：連接OC、OD，∵BC=CD=DA，∴∠COB=∠COD=∠DOA，∵∠COB+∠COD+∠DOA=180°，∴∠COB=∠COD=∠DOA=60°，∴∠BCD=×2（180°﹣60°）=120°．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧、弦與圓心角的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．注意半圓對(duì)的圓心角為180°．17．（2015秋?微山縣校級(jí)期中）下列語(yǔ)句中不正確的有（）①相等的圓心角所對(duì)的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸；④長(zhǎng)度相等的兩條弧是等?。瓵．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓的認(rèn)識(shí)．【分析】①和④、沒(méi)有前提；②、注意不是直徑的弦；③、注意對(duì)稱軸是直線．【解答】解：①和④、錯(cuò)誤，應(yīng)強(qiáng)調(diào)在同圓或等圓中；②、錯(cuò)誤，應(yīng)強(qiáng)調(diào)不是直徑的弦；③、錯(cuò)誤，應(yīng)強(qiáng)調(diào)過(guò)圓心的直線才是它的對(duì)稱軸．故選D．【點(diǎn)評(píng)】在敘述命題時(shí)注意要強(qiáng)調(diào)命題成立的條件．18．（2015秋?臺(tái)州期中）下列說(shuō)法正確的是（）A．同弧或等弧所對(duì)的圓心角相等B．相等的圓周角所對(duì)的弧相等C．弧長(zhǎng)相等的弧一定是等弧D．平分弦的直徑必垂直于弦【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；垂徑定理；圓周角定理．【分析】根據(jù)等弧和同弧的意義即可得出同弧或等弧所對(duì)的圓心角相等，即可判斷A，舉出反例即可判斷B、D；根據(jù)在同圓或等圓中，弧長(zhǎng)相等的弧是等弧，即可判斷C．【解答】解：A、同弧或等弧所對(duì)的圓心角相等，故本選項(xiàng)正確；B、如圖∠EBF=∠CAD，但是弧EF≠弧CD，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、在同圓或等圓中，弧長(zhǎng)相等的弧是等弧，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、平分弦（弦不是直徑）的直徑垂直于弦，如圖，弦AB和直徑CD就不垂直，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，垂徑定理，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和辨析能力．19．（2015秋?諸暨市校級(jí)期中）下列說(shuō)法正確的是（）A．相等的圓心角所對(duì)的弧相等B．在同圓中，等弧所對(duì)的圓心角相等C．相等的弦所對(duì)的圓心到弦的距離相等D．圓心到弦的距離相等，則弦相等【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．【分析】A，C，D三項(xiàng)一定注意前提“在同圓和等圓中”．否則，錯(cuò)誤．【解答】解：A，C，D中沒(méi)有強(qiáng)調(diào)在同圓和等圓中，故錯(cuò)誤，只有B正確，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)圓周角定理的理解：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．20．（2015秋?新賓縣月考）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D是⊙O上的點(diǎn)，若∠CAB=25°，則∠ADC的度數(shù)為（）A．65° B．55° C．60° D．75°【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】由AB為⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠CAB=25°，得出∠B的度數(shù)，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等繼而求得∠ADC的度數(shù)．【解答】解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=25°，∴∠ABC=90°﹣∠CAB=65°，∴∠ADC=∠ABC=65°．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．21．（2015秋?邗江區(qū)校級(jí)月考）已知⊙O中，=2，則弦AB和2CD的大小關(guān)系是（）A．AB＞2CD B．AB=2CD C．AB＜2CD D．不能確定【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；三角形三邊關(guān)系．【分析】如圖，取弧AB的中點(diǎn)E，利用=2得到==，則根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到AE=BE=CD，再利用三角形三邊的關(guān)系得AE+BE＞AB，于是有2CD＞AB．【解答】解：如圖，取弧AB的中點(diǎn)E，則=，∵=2，∴==，∴AE=BE=CD，∵AE+BE＞AB，∴2CD＞AB．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了三角形三邊的關(guān)系．22．（2015秋?永嘉縣校級(jí)月考）如果所在圓的半徑為3cm，它所對(duì)圓心角的度數(shù)是120°，那么的長(zhǎng)是（）cm．A．6π B．3π C．2π D．π【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；弧長(zhǎng)的計(jì)算．【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式，將數(shù)值代入計(jì)算即可．【解答】解：∵所在圓的半徑為3cm，它所對(duì)圓心角的度數(shù)是120°，∴的長(zhǎng)是：=2π．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握弧長(zhǎng)計(jì)算公式：l=（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）是解題的關(guān)鍵．23．（2015秋?青海校級(jí)月考）下列語(yǔ)句中，正確的有（）A．圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸B．平分弦的直徑垂直于弦C．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等D．長(zhǎng)度相等的兩條弧相等【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；垂徑定理．【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系，垂徑定理等知識(shí)對(duì)各個(gè)命題進(jìn)行分析，從而得到答案．【解答】解：圓的直徑是一條線段，而圓的對(duì)稱軸是一條直線，故A錯(cuò)誤；平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，故B錯(cuò)誤；在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故C正確；在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧才相等，故D錯(cuò)誤；所以正確的結(jié)論只有一個(gè)．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧的關(guān)系以及垂徑定理，牢記圓心角、弧的關(guān)系，垂徑定理等相關(guān)知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵；需要特別注意的是軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是一條直線．24．（2015秋?建湖縣校級(jí)月考）下列說(shuō)法正確的是（）A．等弧所對(duì)的圓心角相等B．三角形的外心到這個(gè)三角形的三邊距離相等C．經(jīng)過(guò)三點(diǎn)可以作一個(gè)圓D．相等的圓心角所對(duì)的弧相等【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；確定圓的條件；三角形的外接圓與外心．【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系、確定圓的條件、三角形的外接圓和外心的知識(shí)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：等弧所對(duì)的圓心角相等，A正確；三角形的外心到這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，B錯(cuò)誤；經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)可以作一個(gè)圓，C錯(cuò)誤；相等的圓心角所對(duì)的弧不一定相等，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系、確定圓的條件、三角形的外接圓和外心的知識(shí)，掌握相關(guān)定理并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．25．（2015秋?杭州校級(jí)月考）下列說(shuō)法正確的是（）A．等弧所對(duì)的弦相等B．平分弦的直徑垂直弦并平分弦所對(duì)的弧C．若拋物線與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則b2﹣4ac=0D．相等的圓心角所對(duì)的弧相等【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；拋物線與x軸的交點(diǎn)；垂徑定理．【分析】由圓心角、弧、弦的關(guān)系，可知等弧所對(duì)的弦相等；在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等；注意不要少條件：在同圓或等圓中；拋物線與x標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則b2﹣4ac=0；由垂徑定理的推論可知：平分（非直徑的）弦的直徑垂直弦并平分弦所對(duì)的?。窘獯稹拷猓篈、等弧所對(duì)的弦相等；故本選項(xiàng)正確；B、平分（非直徑的）弦的直徑垂直弦并平分弦所對(duì)的?。还时具x項(xiàng)錯(cuò)誤；C、若拋物線與x標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則b2﹣4ac=0；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，垂徑定理以及拋物線與一元二次方程的關(guān)系．注意熟記定理是解此題的關(guān)鍵．26．（2015秋?新北區(qū)校級(jí)月考）如圖，∠AOB=110°，弦AB所對(duì)的圓周角為（）A．55° B．55°或70° C．55°或125° D．55°或110°【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】首先在優(yōu)弧AB上取點(diǎn)C，連接BC，AC，在劣弧AB上取點(diǎn)D，連接AD，BD，由圓周角定理，即可求得∠C的度數(shù)，又由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，求得∠D的度數(shù)，繼而求得答案．【解答】解：如圖，在優(yōu)弧AB上取點(diǎn)C，連接BC，AC，在劣弧AB上取點(diǎn)D，連接AD，BD，∵∠AOB=110°，∴∠ACB=∠AOB=55°，∴∠ADB=180°﹣∠ACB=125°．∴弦AB所對(duì)的圓周角為：55°或125°．故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理以及圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．注意在圓周中，弦所對(duì)的圓周角有兩類且互補(bǔ)．27．（2014?貴港）如圖，AB是⊙O的直徑，==，∠COD=34°，則∠AEO的度數(shù)是（）A．51° B．56° C．68° D．78°【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】由==，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，繼而可求得∠AOE的度數(shù)；然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理來(lái)求∠AEO的度數(shù)．【解答】解：如圖，∵==，∠COD=34°，∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．又∵OA=OE，∴∠AEO=∠OAE，∴∠AEO=×（180°﹣78°）=51°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了弧與圓心角的關(guān)系．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．28．（2014?江北區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，則⊙O的周長(zhǎng)為（）A．5πcm B．6πcm C．9πcm D．8πcm【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【分析】如圖，連接OD、OC．根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系證得△AOD是等邊三角形，則⊙O的半徑長(zhǎng)為BC=4cm；然后由圓的周長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：如圖，連接OD、OC．∵AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，∴==，∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°．又OA=OD，∴△AOD是等邊三角形，∴OA=AD=4cm，∴⊙O的周長(zhǎng)=2×4π=8π（cm）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，等邊三角形的判定．該題利用“有一內(nèi)角是60度的等腰三角形為等邊三角形”證得△AOD是等邊三角形．29．（2013秋?惠山區(qū)校級(jí)期末）下列語(yǔ)句中正確的是（）A．相等的圓心角所對(duì)的弧相等B．平分弦的直徑垂直于弦C．長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧D．經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是圓的對(duì)稱軸【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；垂徑定理．【分析】根據(jù)圓、圓心角、弧、弦的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答即可．【解答】解：A、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等；故A錯(cuò)誤；B、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦；故B錯(cuò)誤；C、在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧是等?。还蔆錯(cuò)誤；D、圓是軸對(duì)稱圖形，過(guò)圓心的任意一條直線都是圓的對(duì)稱軸，故D正確；故選D．【點(diǎn)評(píng)】此題涉及的知識(shí)點(diǎn)有：圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓的性質(zhì)以及垂徑定理．30．（2014秋?科爾沁區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于圓O，則∠ADB的度數(shù)為（）A．60° B．45° C．30° D．22.5°【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】由正六邊形ABCDEF，可求出的度數(shù)，再得到∠ADB的度數(shù)．【解答】解：∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于圓O∴的度數(shù)等于360°÷6=60°∴∠ADB=30°故選C．【點(diǎn)評(píng)】理解正多邊的定義；掌握?qǐng)A周角定理及其推論．1．（2014秋?新泰市期末）在⊙O中，AB、CD是兩條相等的弦，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．AB、CD所對(duì)的弧一定相等B．AB、CD所對(duì)的圓心角一定相等C．△AOB和△COD能完全重合D．點(diǎn)O到AB、CD的距離一定相等【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】根據(jù)一條弦對(duì)兩條弧可對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形全等可對(duì)C、D進(jìn)行判斷．【解答】解：A、AB、CD所對(duì)的弧對(duì)應(yīng)相等，所以A選項(xiàng)的說(shuō)法錯(cuò)誤；B、AB、CD所對(duì)的圓心角一定相等，所以B選項(xiàng)的說(shuō)法正確；C、△AOB和△COD全等，所以C選項(xiàng)的說(shuō)法正確；D、點(diǎn)O到AB、CD的距離一定相等，所以D選項(xiàng)的說(shuō)法正確．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．2．（2014秋?淮北期末）如果兩個(gè)圓心角相等，那么（）A．這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弦相等B．這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弧相等C．這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弦的弦心距相等D．以上說(shuō)法都不對(duì)【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】根據(jù)圓心角定理進(jìn)行判斷即可．【解答】解：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等，所對(duì)的弦的弦心距相等．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．3．（2014秋?廈門期末）如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，若∠AOB是銳角，且∠AOB=2∠BOC．則下列結(jié)論正確的是（）A．AB=2BC B．AB＜2BC C．∠AOB=2∠CAB D．∠ACB=4∠CAB【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；三角形三邊關(guān)系．【分析】首先取的中點(diǎn)D，連接AD，BD，由∠AOB=2∠BOC，易得AD=BD=BC，繼而證得AB＜2BC，又由圓周角定理，可得∠AOB=4∠CAB，∠ACB=∠BOC=2∠CAB．【解答】解：取的中點(diǎn)D，連接AD，BD，∵∠AOB=2∠BOC，∴=2，∴==，∴AD=BD=BC，∵AB＜AD+BD，∴AB＜2BC．故A錯(cuò)誤，B正確；∵∠AOB=2∠BOC，∠BOC=2∠CAB，∴∠AOB=4∠CAB；故C錯(cuò)誤；∵∠AOB=2∠ACB，∴∠ACB=∠BOC=2∠CAB，故D錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了弧、弦與圓心角的關(guān)系以及圓周角定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．（2014秋?江陰市期中）如圖所示，小范從一個(gè)圓形場(chǎng)地的A點(diǎn)出發(fā)，沿著與半徑OA夾角為α的方向行走，走到場(chǎng)地邊緣B后，再沿著與半徑OB夾角為α的方向折向行走．按照這種方式，小范第五次走到場(chǎng)地邊緣時(shí)處于弧AB上，此時(shí)∠AOE=48°，則α的度數(shù)是（）A．60° B．51° C．48° D．76°【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】連接OD，要求α的度數(shù)，只需求出∠AOB的度數(shù)，根據(jù)已知條件，易證∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，所以可以求出α的度數(shù)．【解答】解：連接OD，∵∠BAO=∠CBO=α，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，∵∠AOE=48°，∴∠AOB==78°，∴α==51°．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟知，在圓中，半徑處處相等，由半徑和弦組成的三角形是等腰三角形等知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．5．（2014秋?龍巖校級(jí)期中）下列表述不正確的有（）①相等的圓心角所對(duì)的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸；④半圓是??；⑤圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓的認(rèn)識(shí)；垂徑定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理判斷①，根據(jù)垂徑定理的推論判斷②；根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義判斷③；根據(jù)半圓與弧的定義判斷④；根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)判斷⑤．【解答】解：①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故①表述不正確；②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故②表述不正確；③圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸，故③表述不正確；④半圓是弧，故④表述正確；⑤圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，故⑤表述正確．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系定理，垂徑定理的推論，軸對(duì)稱圖形的定義，半圓與弧的定義，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2014秋?微山縣期中）下列說(shuō)法不正確的有（）①直徑是弦，弦是直徑；②長(zhǎng)度相等的弧是等弧；③在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等；④在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的圓周角相等．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓的認(rèn)識(shí)；圓周角定理．【分析】根據(jù)弦、直徑的定義對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)等弧的定義對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)圓周角定理對(duì)④進(jìn)行判斷．【解答】解：直徑是弦，弦不一定是直徑，所以①錯(cuò)誤；能夠完全重合的弧是等弧，長(zhǎng)度相等的弧不一定是等弧，所以②錯(cuò)誤；在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所以③正確；在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的圓周角相等或互補(bǔ)，所以④錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了圓周角定理．7．（2014秋?亭湖區(qū)校級(jí)月考）若圓的一條弦把圓分成度數(shù)比為1：5的兩條弧，則優(yōu)弧所對(duì)的圓心角為（）A．60° B．300° C．30° D．150°【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】先根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系求出這條弦所對(duì)圓心角的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理得出所分得的優(yōu)弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)即可．【解答】解：∵弦AB把圓周分成1：5的兩部分，∴AB所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)是：360°×=60°，∴所分得的優(yōu)弧所對(duì)的圓心角為：360°﹣60°=300°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系及圓周角定理，在解答此類問(wèn)題時(shí)要注意是在“同圓或等圓中”才適用，這是此類問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)．8．（2014秋?東?？h校級(jí)月考）一條弦將圓分成1：3兩部分，則劣弧所對(duì)的圓心角為（）A．30° B．60° C．90° D．120°【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】一條弦將圓分成1：3兩部分，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系劣弧所對(duì)的圓心角為周角的，然后根據(jù)周角的定義計(jì)算即可．【解答】解：劣弧所對(duì)的圓心角=×360°=90°．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．9．（2014秋?武平縣校級(jí)月考）如圖，A，B是⊙O的直徑，C、D在⊙O上，=，若∠DAB=58°，則∠CAB=（）A．20° B．22° C．24° D．26°【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．【分析】連結(jié)BD，如圖，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得∠ADB=90°，則利用互余可計(jì)算出∠ABD=90°﹣∠DAB=32°，再根據(jù)圓周角定理得∠DAC=∠ABD=32°，然后計(jì)算∠DAB﹣∠DAC即可．【解答】解：連結(jié)BD，如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=90°﹣58°=32°，∵=，∴∠DAC=∠ABD=32°，∴∠CAB=∠DAB﹣∠DAC=58°﹣32°=26°．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了圓周角定理．10．（2014秋?沭陽(yáng)縣校級(jí)月考）下列說(shuō)法正確的是（）A．長(zhǎng)度相等的弧是等弧B．圓周角的度數(shù)一定等于圓心角度數(shù)的一半C．面積相等的圓是等圓D．劣弧一定比優(yōu)弧短【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．【分析】根據(jù)等弧的定義，圓周角定理，等圓、優(yōu)弧與劣弧的定義求解即可求得答案；注意前提條件：在同圓或等圓中不等少．【解答】解：A、在同圓或等圓中，長(zhǎng)度相等的弧是等?。还时具x項(xiàng)錯(cuò)誤；B、在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、面積相等的圓是等圓；故本選項(xiàng)正確；D、在同圓或等圓中，劣弧一定比優(yōu)弧短．故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理，等弧、等圓以及優(yōu)弧、劣弧的定義．注意掌握各定理定義的前提條件：在同圓或等圓中是解此題的關(guān)鍵．11．（2014秋?溧水縣校級(jí)月考）下列說(shuō)法中，正確的是（）A．同圓中，相等的弦所對(duì)的圓周角相等B．同圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等C．圓心角相等，它們所對(duì)的弧也相等D．圓心角相等，它們所對(duì)的弦也相等【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】根據(jù)圓心角與圓周角的性質(zhì)求解即可求得答案，注意掌握排除法在選擇題中的應(yīng)用．【解答】解：A、同圓中，相等的弦所對(duì)的圓周角相等或互補(bǔ)，故錯(cuò)誤；B、同圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等，故正確；C、在同圓或等圓中，圓心角相等，它們所對(duì)的弧也相等，故錯(cuò)誤；D、在同圓或等圓中，圓心角相等，它們所對(duì)的弦也相等．故錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系以及圓周角定理．此題難度不大，注意熟記定理是解此題的關(guān)鍵．12．（2014秋?安次區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB，CD是⊙O的直徑，=，若∠AOE=32°，則∠COE的度數(shù)是（）A．32° B．60° C．68° D．64°【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系，由=得到∠BOD=∠AOE=32°，然后利用對(duì)頂角相等得∠BOD=∠AOC=32°，易得∠COE=64°．【解答】解：∵=，∴∠BOD=∠AOE=32°，∵∠BOD=∠AOC，∴∠AOC=32°∴∠COE=32°+32°=64°．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．13．（2013?內(nèi)江）如圖，半圓O的直徑AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，則AD的長(zhǎng)為（）A．cm B．cm C．cm D．4cm【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．【分析】連接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，運(yùn)用圓周角定理，可證得∠DOB=∠OAC，即證△AOF≌△OED，所以O(shè)E=AF=3cm，根據(jù)勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股定理，可求AD的長(zhǎng)．【解答】解：連接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD=∠BAD（角平分線的性質(zhì)），∴=，∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE=AF=AC=3（cm），在Rt△DOE中，DE==4（cm），在Rt△ADE中，AD==4（cm）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換及圓的有關(guān)計(jì)算，涉及圓的題目作弦的弦心距是常見(jiàn)的輔助線之一，注意熟練運(yùn)用垂徑定理、圓周角定理和勾股定理．14．（2013?臺(tái)灣）如圖，是半圓，O為AB中點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)在上，且AD∥OC，連接BC、BD．若=62°，則的度數(shù)為何？（）A．56 B．58 C．60 D．62【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；平行線的性質(zhì)．【分析】以AB為直徑作圓，如圖，作直徑CM，連接AC，根據(jù)平行線求出∠1=∠2，推出弧DC=弧AM=62°，即可求出答案．【解答】解：以AB為直徑作圓，如圖，作直徑CM，連接AC，∵AD∥OC，∴∠1=∠2，∴弧AM=弧DC=62°，∴弧AD的度數(shù)是180°﹣62°﹣62°=56°，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出弧AM的度數(shù)．15．（2013秋?東昌府區(qū)校級(jí)期中）已知弧CD是⊙O的一條弧，點(diǎn)A是弧CD的中點(diǎn)，連接AC，CD．則（）A．CD=2AC B．CD＞2AC C．CD＜2AC D．不能確定．【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；三角形三邊關(guān)系．【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后由在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等，即可求得AC=AD，然后利用三角形三邊關(guān)系，即可求得答案．【解答】解：如圖，∵點(diǎn)A是弧CD的中點(diǎn)，即=，∴AC=AD，∵CD＜AC+AD，∴CD＜2AC．故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系以及三角形三邊關(guān)系．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵，注意掌握兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等定理的應(yīng)用．16．（2013?湖州校級(jí)模擬）如圖，△ABC是圓O的內(nèi)接三角形，且AB≠AC，∠ABC和∠ACB的平分線，分別交圓O于點(diǎn)D，E，且BD=CE，則∠A等于（）A．90° B．60° C．45° D．30°【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．【分析】連接AD、BE，求出弧BD=弧CE，推出∠BAD=∠EBC，推出∠CAB=∠ABD+∠ABE，求出∠CAB=∠ABD+∠ACE，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出∠ABC+∠ACB=2∠CAB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出3∠CAB=180°，求出即可．【解答】解：連接AD、BE，∵BD=CE∴弧BD=弧CE，∴∠BAD=∠EBC，∵∠BAD=∠CAD+∠CAB，∠EBC=∠ABE+∠ABD+∠CBD，∴∠CAD+∠CAB=∠ABE+∠ABD+∠CBD，∵∠CAD=∠CBD（同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等），∴∠CAB=∠ABD+∠ABE，∵∠ABE=∠ACE（同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等），∴∠CAB=∠ABD+∠ACE（等量代換）∵BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB∴∠CAB=（∠ABC+∠ACB）∴∠ABC+∠ACB=2∠CAB∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠CAB+2∠CAB=180°，3∠CAB=180°∴∠CAB=60°．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外接圓與外心，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．17．（2013?保定模擬）如圖：AB是所對(duì)的弦，AB的中垂線CD分別交于C，交AB于D，AD的中垂線EF分別交于E，交AB于F，DB的中垂線GH分別交于G，交AB于H，下列結(jié)論中不正確的是（）A．= B．= C．= D．EF=GH【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】由AB是所對(duì)的弦，AB的中垂線CD分別交于C，交AB于D，AD的中垂線EF分別交于E，交AB于F，DB的中垂線GH分別交于G，根據(jù)垂徑定理與弦與弧的關(guān)系，即可求得答案，注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用．【解答】解：連接EG，AE，∵AB的中垂線CD分別交于C，∴=，故A正確；∵AD的中垂線EF分別交于E，交AB于F，DB的中垂線GH分別交于G，∴=，故B正確；∴四邊形EFHG是矩形，∴EF=GH，故D正確．∵AE＞AF=DF，∴AE＞EC，∴＞，故C錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了弦與弧的關(guān)系以及垂徑定理．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．18．（2013?下關(guān)區(qū)一模）如圖，AD是⊙O的直徑，且AD=6，點(diǎn)B、C在⊙O上，=，∠AOB=120°，點(diǎn)E是線段CD的中點(diǎn)，則OE=（）A．1 B． C．3 D．2【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【分析】求出∠DOC=∠AOB=120°，QIUC∠DOC=60°，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠COE=∠DOC=30°，OE⊥DC，在Rt△OEC中解直角三角形求出即可．【解答】解：∵=，∠AOB=120°，∴∠AOC=∠AOB=120°，∴∠DOC=60°，∵PD=OC，E為DC中點(diǎn)，∴∠COE=∠DOC=30°，OE⊥DC，∴在Rt△OEC中，cos30°=，∵OC=AD=×6=3，∴OE=，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，等腰三角形性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出OC長(zhǎng)和求出∠COE的度數(shù)．19．（2013?武漢模擬）如圖表示一個(gè)時(shí)鐘的鐘面垂直固定于水平桌面上，且當(dāng)鐘面顯示3點(diǎn)時(shí)，分針垂直于桌面，分針針尖距桌面的高度為24cm；若此鐘面顯示3點(diǎn)30分時(shí)，分針針尖距桌面的高度為6cm，則鐘面顯示3點(diǎn)40分時(shí)，分針針尖距桌面的高度為（）A．7.5cm B．10.5cm C．6cm D．12cm【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；含30度角的直角三角形．【分析】設(shè)分針長(zhǎng)為xcm，鐘面半徑為r，由于當(dāng)鐘面顯示3點(diǎn)時(shí)，分針垂直于桌面，分針針尖距桌面的高度為24cm；若此鐘面顯示3點(diǎn)30分時(shí)，分針針尖距桌面的高度為6cm，可列出方程組求得分針長(zhǎng)為9cm，鐘面半徑為15，由3點(diǎn)40分時(shí)得到∠DOB=60°，作DH⊥OB于H，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OH=OD=4.5cm，然后計(jì)算BH=OB﹣OH即可．【解答】解：設(shè)分針長(zhǎng)為xcm，鐘面半徑為rcm，根據(jù)題意得，解得，在右圖中，OD=9，OB=15，∠DOB=60°，作DH⊥OB于H，∴OH=OD=4.5cm，∴BH=OB﹣OH=15﹣4.5=10.5（cm）．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角、兩條弧和兩條弦中有一組量對(duì)應(yīng)相等，那么其他對(duì)應(yīng)的兩組量也分別對(duì)應(yīng)相等．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．20．（2013?奉賢區(qū)一模）在兩個(gè)圓中有兩條相等的弦，則下列說(shuō)法正確的是（）A．這兩條弦所對(duì)的弦心距相等B．這兩條弦所對(duì)的圓心角相等C．這兩條弦所對(duì)的弧相等D．這兩條弦都被垂直于弦的半徑平分【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；垂徑定理．【分析】在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等，但在不同圓中則應(yīng)另當(dāng)別論．【解答】解：A、這兩條弦所對(duì)的弦心距不一定相等，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、這兩條弦所對(duì)的圓心角不一定相等，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、這兩條弦所對(duì)的弧不一定相等，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、這兩條弦都被垂直于弦的半徑平分（垂徑定理），原說(shuō)法正確，故本選項(xiàng)正確；故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，注意在同圓和等圓這個(gè)條件，不要盲目解答．21．（2013秋?余姚市期末）已知弦AB把圓周分成1：5的兩部分，則弦AB所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為（）A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或300°【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】AB所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)是，就是360度的，據(jù)此即可求解．【解答】解：∵弦AB把圓周分成1：5的兩部分，∴AB所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)是：360°×=60°．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理，正確理解弧長(zhǎng)的比值等于對(duì)應(yīng)的圓心角的比值是關(guān)鍵．22．（2013秋?長(zhǎng)汀縣期中）下列語(yǔ)句中，正確的有（）①相等的圓心角所對(duì)的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③長(zhǎng)度相等的兩條弧是等?。虎芙?jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是圓的對(duì)稱軸．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓的認(rèn)識(shí)；垂徑定理．【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系以及垂徑定理等對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析即可求出正確答案．【解答】解：①同圓或等圓中相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；②平分弦的直徑垂直于弦，被平分的弦不能是直徑，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；③能重合的弧是等弧，而長(zhǎng)度相等的弧不一定能夠重合，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；④經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是圓的對(duì)稱軸，此選項(xiàng)正確；故正確的有1個(gè)，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系以及垂徑定理和圓的有關(guān)定理；解題時(shí)要注意圓心角、弧、弦的關(guān)系是在同圓或等圓中才能成立．23．（2013秋?豐城市校級(jí)期中）下列說(shuō)法中正確的是（）①圓心角是頂點(diǎn)在圓心的角；②兩個(gè)圓心角相等，它們所對(duì)的弦相等；③兩條弦相等，圓心到這兩弦的距離相等；④在等圓中，圓心角不變，所對(duì)的弦也不變．A．①③ B．②④ C．①④ D．②③【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】根據(jù)圓心角的定義對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等對(duì)②③④進(jìn)行判斷．【解答】解：圓心角是頂點(diǎn)在圓心的角，所以①正確；在同圓和等圓中，兩個(gè)圓心角相等，它們所對(duì)的弦相等，所以②錯(cuò)誤；③在同圓和等圓中，兩條弦相等，圓心到這兩弦的距離相等，所以③錯(cuò)誤；在等圓中，圓心角不變，所對(duì)的弦也不變，所以④正確．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等；在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．24．（2013秋?大城縣校級(jí)期中）如圖，A，B，C，D均為⊙O上的點(diǎn)，且AB=CD，則下列說(shuō)法不正確的是（）A．∠AOB=∠COD B．∠AOC=∠BOD C．AC=BD D．OC=CD【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】由A，B，C，D均為⊙O上的點(diǎn)，且AB=CD，根據(jù)弦與圓心角的關(guān)系，即可得∠AOB=∠COD，繼而可得∠AOC=∠BOD，則可求得AC=BD．【解答】解：∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，故A正確；∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，∴∠AOC=∠BOD，故B正確；∴AC=BD，故C正確；∵△OCD不一定是等邊三角形，∴OC不一定等于CD，故D錯(cuò)誤．故選D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓心角、弧與弦的關(guān)系．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．25．（2013秋?宜城市期中）下列四個(gè)命題：①頂點(diǎn)在圓心的角是圓心角；②兩個(gè)圓心角相等，它們所對(duì)的弦也相等；③兩條弦相等，它們所對(duì)的弧也相等；④等弧所對(duì)的圓心角相等．其中正確的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；命題與定理．【分析】由圓心角的定義、弧、弦與圓心角的關(guān)系，即可確定答案，注意條件：同圓或等圓中．【解答】解：①頂點(diǎn)在圓心的角是圓心角，正確；②在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角相等，它們所對(duì)的弦也相等；錯(cuò)誤；③在同圓或等圓中，兩條弦相等，它們所對(duì)的弧也相等；錯(cuò)誤；④等弧所對(duì)的圓心角相等．正確．故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓心角的定義、弧、弦與圓心角的關(guān)系．此題比較簡(jiǎn)單，注意熟記定理與定義是關(guān)鍵．26．（2012?江寧區(qū)二模）形如半圓型的量角器直徑為4cm，放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中（量角器的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，零刻度線在x軸上），連接60°和120°刻度線的一個(gè)端點(diǎn)P、Q，線段PQ交y軸于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，） B．（0，） C．（，0） D．（1，）【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；解直角三角形．【分析】連接OQ、OP，求出∠POQ的度數(shù)，得出等邊三角形POQ，得出PQ=OQ=OP=2，∠OPQ=∠OQP=60°，求出∠AOQ度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠QAO，求出AQ、OA，即可得出答案．【解答】解：連接OQ、PO，則∠POQ=120°﹣60°=60，∵PO=OQ，∴△POQ是等邊三角形，∴PQ=OP=OQ=×4cm=2cm，∠OPQ=∠OQP=60°，∵∠AOQ=90°﹣60°=30°，∴∠QAO=180°﹣60°﹣30°=90°，∴AQ=OQ=1cm，∵在Rt△AOQ中，由勾股定理得：OA==，∴A的坐標(biāo)是（0，），故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形后求出OA的長(zhǎng)，主要考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．27．（2012?長(zhǎng)春校級(jí)模擬）如圖，弧BE是⊙D的圓周，點(diǎn)C在弧BE上運(yùn)動(dòng)（不與B重合），則∠C的取值范圍是（）A．0°≤∠C≤45° B．0°＜∠C≤45° C．45°＜∠C＜90° D．45°≤∠C＜90°【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】由于是⊙D的圓周，則可計(jì)算出∠BDE=90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由DB=DC，則∠B=∠BCD，于是根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BCD=90°﹣∠BDC，然后根據(jù)0≤∠BDC≤90°求∠BCD的取值范圍．【解答】解：∵是⊙D的圓周，∴∠BDE=×360°=90°，∵DB=DC，∴∠B=∠C，∴∠C=（180°﹣∠D）=90°﹣∠D，∵0≤∠D≤90°，∴45°≤∠C≤90°，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．28．（2012?長(zhǎng)春校級(jí)模擬）如圖，圓內(nèi)接△ABC中，D、E、F是三邊的中點(diǎn)，若=，則四邊形AEDF的形狀是（）A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．等腰梯形【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；三角形中位線定理；菱形的判定．【分析】由圓內(nèi)接△ABC中，D、E、F是三邊的中點(diǎn)，利用三角形中位線的性質(zhì)，可證得DE∥AC，DF∥AB，即可判定四邊形AEDF是平行四邊形，又由=，易證得AE=AF，即可判定四邊形AEDF的形狀是菱形．【解答】解：∵圓內(nèi)接△ABC中，D、E、F是三邊的中點(diǎn)，∴DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∵=，∴AB=AC，∴AE=AF，∴四邊形AEDF是菱形．故選A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了弧與弦的關(guān)系、三角形中位線的性質(zhì)以及菱形的判定．注意在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．29．（2012?荊門模擬）圓中有兩條等弦AB=AE，夾角∠A=88°，延長(zhǎng)AE到C，使EC=BE，連接BC，如圖．則∠ABC的度數(shù)是（）A．90° B．80° C．69° D．65°【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】根據(jù)題意可得出△ABE、△BEC是等腰三角形，在等腰三角形中先求出∠AEB的度數(shù)，然后利用外角的性質(zhì)可求出∠EBC的度數(shù)，繼而可得出答案．【解答】解：∵AB=AE，EC=BE，∴∠ABE=∠AEB，∠EBC=∠ACB，又∵∠A=88°，∴∠ABE=∠AEB=46°，∠EBC=∠ACB=∠AEB=23°，∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=69°．故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出∠ABE及∠EBC的度數(shù)，難度一般．30．（2012秋?揚(yáng)州期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，以C為圓心，以CA的長(zhǎng)為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，則弧AD的度數(shù)為（）A．25° B．50° C．45° D．30°【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】首先根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，得到∠A=90°﹣∠B=65°．再根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形的內(nèi)角和定理得到∠ACD的度數(shù)，進(jìn)一步得到其所對(duì)的弧的度數(shù)．【解答】解：連接CD．∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°∴∠A=90°﹣∠B=65°．∵CA=CD，∴∠CDA=∠CAD=65°（等邊對(duì)等角），∴∠ACD=50°即弧AD的度數(shù)是50°．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系．解題時(shí)，綜合運(yùn)用了三角形的內(nèi)角和定理及其推論，根據(jù)同圓的半徑相等和等邊對(duì)等角的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．1．已知線段AB是⊙O的弦，點(diǎn)P是優(yōu)弧上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不與A、B重合），直線l是∠APB的平分線．（1）畫圖并證明：當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB的平分線l過(guò)定點(diǎn)Q；（2）當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△APQ的面積能否取得最大值，如果能，請(qǐng)用尺規(guī)作圖確定點(diǎn)P在⊙O上的位置；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】（1）由∠APQ=∠BPQ，根據(jù)圓周角定理得到弧AQ=弧BQ，即Q為弧AB的中點(diǎn)，為定點(diǎn)；（2）由于AQ為定值，所以當(dāng)P到AQ的距離最大時(shí)，△APQ的面積取得最大值，則過(guò)圓心O作AQ的垂線交優(yōu)弧AB于P點(diǎn)．【解答】證明：（1）如圖，∵∠APQ=∠BPQ，∴弧AQ=弧BQ，∴Q為弧AB的中點(diǎn)，即∠APB的平分線過(guò)定點(diǎn)Q．（2）能取得最大值．理由如下：∵AQ為定值，∴當(dāng)P到AQ的距離最大時(shí)，△APQ的面積取得最大值，所以過(guò)圓心O作AQ的垂線交優(yōu)弧AB于P點(diǎn)．如圖．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角以及它們對(duì)應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對(duì)應(yīng)相等．也考查了圓周角定理以及過(guò)一點(diǎn)作直線的垂線的方法．2．如圖，AB為半圓O的直徑，B1，B2，…，Bk是半圓上的k個(gè)點(diǎn)，滿足BB1=B1B2=…Bk﹣1Bk，對(duì)于線段OB1，OB2，…，OBk，AB1，AB2，…，ABk，當(dāng)k=4時(shí)，有兩對(duì)互相平行的線段；當(dāng)k取任意大于1的整數(shù)時(shí)，試探索這2k條線段中有多少對(duì)互相平行的線段，寫出你的結(jié)論：當(dāng)k取任意大于1的整數(shù)時(shí)，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，有對(duì)互相平行的線段；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，有對(duì)互相平行的線段．．【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】由BB1=B1B2=…Bk﹣1Bk，得到弧BB1=弧B1B2=…弧Bk﹣1Bk，當(dāng)k=4時(shí)，可得∠B1AO=∠B1=∠B1AB2，得到OB1∥AB2，同理可得OB2∥AB4；當(dāng)k取任意大于1的整數(shù)時(shí)，①當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，有對(duì)互相平行的線段；②當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，有對(duì)互相平行的線段．【解答】解：∵BB1=B1B2=…Bk﹣1Bk，∵弧BB1=弧B1B2=…弧Bk﹣1Bk，當(dāng)k=4時(shí)，∴∠B1AO=∠B1=∠B1AB2，∴OB1∥AB2，同理可得OB2∥AB4，∴有兩對(duì)互相平行的線段；當(dāng)k取任意大于1的整數(shù)時(shí)，①當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，有對(duì)互相平行的線段；②當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，有對(duì)互相平行的線段．故答案為：兩；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，有對(duì)互相平行的線段，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，有對(duì)互相平行的線段．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角以及它們對(duì)應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對(duì)應(yīng)相等．也考查了平行線的判定．3．如圖，已知AB是半徑為1的圓O的一條弦，且AB＜1，以AB為一邊在圓O內(nèi)作正△ABC，點(diǎn)D為圓O上不同于點(diǎn)A的一點(diǎn)，且DB=AB，DC的延長(zhǎng)線交圓O于點(diǎn)E，試探究AE的長(zhǎng)是否為定值（不隨AB長(zhǎng)度的變化而變化）？若為定值，求出這個(gè)定值；若不為定值，試確定AE與OA長(zhǎng)之間的關(guān)系．AE=OA=1．【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；三角形的外角性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)四點(diǎn)共圓的性質(zhì)得到四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，然后根據(jù)等邊三角形的內(nèi)角的度數(shù)進(jìn)一步得到△EAC與△OAB全等進(jìn)而確定兩對(duì)應(yīng)線段的關(guān)系．【解答】解：由A、B、D、E四點(diǎn)共圓，∴∠EAB+∠EDB=180°，∵BC=BD，∠BDC=∠BCD，∠BCD+∠ECB=180°，∴∠ECB=∠EAB又∵∠CAB=∠ACB=60°∴∠ECB﹣∠ACB=∠EAB﹣∠CAB，∴∠ECA=∠EAC，∴△EAC是等腰三角形，∵AB=BD，∴∠DEA=∠DOB，∵AC=AB，∴△EAC≌△OAB，∴AE=OA=1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了四點(diǎn)共圓、三角形全等的判定及圓心角圓周角之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)得到全等三角形，進(jìn)而確定兩線段的關(guān)系．4．如圖，已知圓內(nèi)接△ABC中，AB＞AC，D為的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，求證：BD2﹣AD2=AB?AC．【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．【分析】在BA上截取BF=CA，連DF，DC，由D為的中點(diǎn)，根據(jù)在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角以及它們對(duì)應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對(duì)應(yīng)相等得到DB=DC，易得△DBF≌△DCA，得到AE=EF，于是有BF=BE﹣EF=BE﹣AE=CA，因此BD2﹣AD2=BE2﹣AE2=（BE+AE）（BE﹣AE）=AB?AC．【解答】證明：在BA上截取BF=CA，連DF，DC，如圖，∵D為的中點(diǎn)，∴DB=DC，又∵∠DBF=∠ACD，∴△DBF≌△DCA，∴DF=DA，而DE⊥AB，∴AE=EF，∴BF=BE﹣EF=BE﹣AE=CA，又∵BD2=BE2+DE2，AD2=AE2+DE2，∴BD2﹣AD2=BE2﹣AE2=（BE+AE）（BE﹣AE）=AB?AC，即證．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角以及它們對(duì)應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對(duì)應(yīng)相等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理．5．如圖，已知⊙O中，==，OB、OC分別交AC、BD于E、F．求證：△EOF是等腰三角形．【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；等腰三角形的判定．【分析】由于==，根據(jù)垂徑定理的推論得到OB⊥AC，OC⊥BD，且=，即OE和OE為等弦的弦心距，所以O(shè)E=OF，由此可判斷△EOF是等腰三角形．【解答】證明：∵==，∴OB⊥AC，OC⊥BD，=，∴OE=OF，∴△EOF是等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了垂徑定理．6．如圖，以AB為直徑的半圓上有C，E，D三點(diǎn)，且OC⊥OD，=，求證：（1）BD=ED；（2）AC+BD＞CD．【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；三角形三邊關(guān)系．【分析】（1）連接OE，證明∠BOD=∠EOD即可求證；（2）根據(jù)AC=CE，DE=BD，在△CDE中，依據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可證得．【解答】證明：（1）連接OE．∵OC⊥OD，∴∠AOC+∠BOD=180°﹣∠COD=90°，又∵=，∴∠AOC=∠COE，∠COE+∠EOD=90°，∴∠EOD=∠BOD，∴BD=ED；（2）∵=，∴AC=CE，又∵BD=ED，在△CED中，CE+ED＞CD，∴AC+BD＞CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧、弦、圓心角之間的關(guān)系以及三角形三邊關(guān)系定理，證明∠BOD=∠EOD是關(guān)鍵．7．已知：如圖，⊙O的兩條半徑OA⊥OB，C，D是的三等分點(diǎn)，OC，OD分別與AB相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：CD=AE=BF．【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】由于C、D是弧AB的三等分點(diǎn)，易得∠AOC=∠DOB，又OA=OB=OC，易證得△AOC≌△OCD，可得∠ACO=∠OCD，易知∠AEC=∠OCD，因此∠ACO=∠AEC，即AC=AE=BF．【解答】解：連接AC、BD，∵C，D是的三等分點(diǎn)，∴AC=CD=BD，∵∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，∴△ACO≌△DCO．∴∠ACO=∠OCD．∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD==75°，∴∠OEF=∠OCD，∴CD∥AB，∴∠AEC=∠OCD，∴∠ACO=∠AEC．故AC=AE，同理，BF=BD．又∵AC=CD=BD∴CD=AE=BF．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力．8．如圖，在⊙O中弦AB⊥CD于點(diǎn)E，過(guò)E作AC的垂線交BD于點(diǎn)Q，P為垂足，求證Q為BD的中點(diǎn)．【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】在Rt△ACE，Rt△ACE中有∠CEP=∠A，∠DEQ與∠CEP是對(duì)頂角，由同弧所對(duì)的圓周角相等得∠A=∠D，∴∠DEQ=∠D，∴EQ=QD再根據(jù)等角的余角相等得∠QEB=∠B，∴EQ=QB，∴EQ=QD=QB，即Q為BD的中點(diǎn)．【解答】證明：∵AB⊥CD于點(diǎn)E，過(guò)E作AC的垂線交BD于點(diǎn)Q，∴三角形ACE、三角形PCE、三角形APE、三角形BED都是直角三角形．∴∠DEQ=∠CEP（對(duì)頂角相等）．∠CEP=∠A（同角的余角相等）．又∵∠A=∠D（同弧所對(duì)的圓周角相等），∴∠DEQ=∠D，∴EQ=QD（等角對(duì)等邊）．又∵∠QEB=∠B（等角的余角相等），∴EQ=QB．∴EQ=QD=QB，即Q為BD的中點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了直角三角形的性質(zhì)、同弧所對(duì)的圓周角相等、等角的余角相等，等角對(duì)等邊求解．9．如圖，在⊙O中半徑OA⊥OB，C，D是的兩個(gè)三等分點(diǎn)，弦AB分別交OC，OD于E，F(xiàn)點(diǎn)．求證：AE=BF=CD．（提示：連接AC，BD，先證：AC=CD=BD）【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】由于C、D是弧AB的三等分點(diǎn)，易得∠AOC=∠DOB，又OA=OB=OC，易證得△AOC≌△OCD，可得∠ACO=∠OCD，易知∠AEC=∠OCD，因此∠ACO=∠AEC，即AE=BF=CD．【解答】解：連接AC、BD，∵C，D是的三等分點(diǎn)，∴AC=CD=BD，∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，在△ACO與△DCO中，∵∴△ACO≌△DCO（SAS），∴∠ACO=∠OCD．∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD==75°，∴∠OEF=∠OCD，∴CD∥AB，∴∠AEC=∠OCD，∴∠ACO=∠AEC，∴AC=AE，同理，BF=BD．又∵AC=CD=BD，∴AE=BF=CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟知在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等是解答此題的關(guān)鍵．10．已知如圖所示，P為直徑AB上一點(diǎn)，EF，CD為過(guò)點(diǎn)P的兩條弦，且∠DPB=∠EPB；（1）求證：；（2）求證：CE=DF．【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；勾股定理．【分析】（1）根據(jù)弧長(zhǎng)之間的關(guān)系，可證=；（2）由弧CE=弧DF推出CE=DF．【解答】證明：（1）作ON⊥EF，OM⊥CD，∵∠DPB=∠EPB；∴ON=OM，∴CD=EF，∴=，﹣=﹣，即．；；（2）證明：∵∴CE=DF．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓心角，弧和弦之間的關(guān)系．11．如圖，在△AOB中，AO=AB，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓交AB于D，交AO于點(diǎn)E，AD=OB．試說(shuō)明，并求∠A的度數(shù)．【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】設(shè)∠A=x，由AD=OB，得DO=DA，所以有∠DOA=x，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠BDO=2x，因此∠B=2x，由AO=AB，得到∠BOE=∠B=2x，得到∠BOD=2x﹣x=x=∠DOE，所以=．在△OBD中，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出x．【解答】解：連OD，如圖，設(shè)∠A=x，∵AD=OB，∴DO=DA，∴∠DOA=x，∴∠BDO=2x，∴∠B=2x，又∵AO=AB，∴∠BOE=∠B=2x，∴∠BOD=2x﹣x=x=∠DOE，∴=，在△OBD中，x+2x+2x=180°，∴x=36°，即∠A=36°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角以及它們對(duì)應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對(duì)應(yīng)相等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理．12．如圖所示，以等邊三角形ABC的邊BC為直徑作⊙O交AB于D，交AC于E，判斷，，之間的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】連接OD，OE，由∠B=∠C=60°，易證△BOD與△COE都是等邊三角形，可得∠DOE=∠BOD=∠COE=60°，由圓周角定理知，．【解答】解：相等．如右圖所示，連接OD，OE，∵OB=OD=OE=OC，∠B=∠C=60°∴△BOD與△COE都是等邊三角形∴∠BOD=∠COE=60°∠DOE=180°﹣∠BOD﹣∠COE=60°∴∠DOE=∠BOD=∠COE∴．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了等邊三角形的性質(zhì)和判定及圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．13．如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在⊙0上，AD⊥BC，D為垂足，E是的中點(diǎn)，求證：∠OAE=∠EAD．（寫出兩種以上的證明方法）【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；三角形內(nèi)角和定理．【分析】方法一：連接OB，利用同弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)圓心角的一半，三角形內(nèi)角和定理，同弧所對(duì)的圓周角相等即可證明此題．方法二：連接OE，利用垂徑定理可得OE⊥BC，再利用AD⊥BC，可得OE∥AD，然后即可證明．【解答】證明：（1）連接OB，則∠AOB=2∠ACB，∠OAB=∠OBA，∵AD⊥BC，∴∠OAB=（180°﹣∠AOB），=90°﹣∠AOB=90°﹣∠ACB=∠DAC，∵E是弧BC的中點(diǎn)，∴∠EAB=∠EAC，∴∠EAO=∠EAB﹣∠OAB=∠EAC﹣∠DAC=∠EAD．（2）連接OE，∵E是的中點(diǎn)，∴弧BE=弧EC，∴OE⊥BC，∵AD⊥BC，∴OE∥AD，∴∠OEA=∠EAD，∵OE=OA，∴∠OAE=∠O