2.2.5二次函數(shù)圖象與幾何變換

二次函數(shù)圖象與幾何變換（2014?臨沂）在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=x2﹣2x（x≥0）的圖象為C1，C1關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象為C2，則直線y=a（a為常數(shù)）與C1、C2的交點(diǎn)共有（）A．1個 B．1個或2個C．1個或2個或3個 D．1個或2個或3個或4個【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合．【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的關(guān)系，可得C2，根據(jù)直線y=a（a為常數(shù)）與C1、C2的交點(diǎn)，可得答案．【解答】解：函數(shù)y=x2﹣2x（x≥0）的圖象為C1，C1關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象為C2，C2圖象是y=﹣x2﹣2x，a非常小時，直線y=a（a為常數(shù)）與C1沒有交點(diǎn)，與C2有一個交點(diǎn)，所以直線y=a（a為常數(shù)）與C1、C2有一個交點(diǎn)；直線y=a經(jīng)過C1的頂點(diǎn)時，與C2有一個交點(diǎn)，共有兩個交點(diǎn)；直線y=a（a為常數(shù)）與C1有兩個交點(diǎn)時，直線y=a（a為常數(shù)）與C1、C2的交點(diǎn)共有3個交點(diǎn)；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，先求出C2的圖象，再求出交點(diǎn)個數(shù)．（2013?聊城）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=經(jīng)過平移得到拋物線y=，其對稱軸與兩段拋物線所圍成的陰影部分的面積為（）A．2 B．4 C．8 D．16【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)拋物線解析式計算出y=的頂點(diǎn)坐標(biāo)，過點(diǎn)C作CA⊥y軸于點(diǎn)A，根據(jù)拋物線的對稱性可知陰影部分的面積等于矩形ACBO的面積，然后求解即可．【解答】解：過點(diǎn)C作CA⊥y，∵拋物線y==（x2﹣4x）=（x2﹣4x+4）﹣2=（x﹣2）2﹣2，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（2，﹣2），對稱軸與兩段拋物線所圍成的陰影部分的面積為：2×2=4，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的問題，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出平移后的拋物線的對稱軸的解析式，并對陰影部分的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．（2013?畢節(jié)地區(qū)）將二次函數(shù)y=x2的圖象向右平移一個單位長度，再向上平移3個單位長度所得的圖象解析式為（）A．y=（x﹣1）2+3 B．y=（x+1）2+3 C．y=（x﹣1）2﹣3 D．y=（x+1）2﹣3【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】由二次函數(shù)y=x2的圖象向右平移一個單位長度，再向上平移3個單位長度，根據(jù)平移的性質(zhì)，即可求得所得圖象的函數(shù)解析式．注意二次函數(shù)平移的規(guī)律為：左加右減，上加下減．【解答】解：∵二次函數(shù)y=x2的圖象向右平移一個單位長度，再向上平移3個單位長度，∴所得圖象的函數(shù)解析式是：y=（x﹣1）2+3．故選A．【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減、左加右減”的原則是解答此題的關(guān)鍵．（2013?安徽一模）把拋物線y=x2+bx+c的圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式為y=x2﹣3x+5，則（）A．b=3，c=7 B．b=6，c=3 C．b=﹣9，c=﹣5 D．b=﹣9，c=21【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】可逆向求解，將y=x2﹣3x+5向上平移2個單位，再向左平移3個單位，所得拋物線即為y=x2+bx+c，進(jìn)而可判斷出b、c的值．【解答】解：y=x2﹣3x+5=（x﹣）2+，將其向上平移2個單位，得：y=（x﹣）2+．再向左平移3個單位，得：y=（x+）2+=x2+3x+7．因此b=3，c=7．故選A．【點(diǎn)評】主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．（2013?西華縣校級模擬）把一個二次函數(shù)的圖象向左平移2個單位，向上平移1個單位得到y(tǒng)=的圖象，則原函數(shù)的表達(dá)式（）A．y= B．y=﹣ C． D．【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律．【解答】解：把y=的圖象向左平移2個單位，向上平移1個單位得到y(tǒng)=的圖象．故選A．【點(diǎn)評】考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減．（2013?南安市校級模擬）邊長為1的正方形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，將正方形OABC繞頂點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)75°，使點(diǎn)B落在拋物線y=ax2（a＜0）的圖象上．則拋物線y=ax2的函數(shù)解析式為（）A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣2x2 D．y=﹣【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】過點(diǎn)B向x軸引垂線，連接OB，可得OB的長度，進(jìn)而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式即可求解．【解答】解：如圖，作BE⊥x軸于點(diǎn)E，連接OB，∵正方形OABC繞頂點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)75°，∴∠AOE=75°，∵∠AOB=45°，∴∠BOE=30°，∵OA=1，∴OB=，∵∠OEB=90°，∴BE=OB=，∴OE=，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（，﹣），代入y=ax2（a＜0）得a=﹣，∴y=﹣．故選B．【點(diǎn)評】本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)及相應(yīng)的三角函數(shù)得到點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2013?陜西模擬）已知拋物線C1：y=2x2﹣4x+1，拋物線C2是由拋物線C1向右平移3個單位得到的，那我們我們可以得到拋物線C1和拋物線C2一定關(guān)于某條直線對稱，則這條直線為（）A．x= B．x=2 C．x= D．x=3【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)拋物線C1：y=2x2﹣4x+1=2（x﹣1）2﹣1，得出拋物線對稱軸，再利用C2是由拋物線C1向右平移3個單位得到，得出兩函數(shù)對稱軸即可．【解答】解：∵拋物線C1：y=2x2﹣4x+1=2（x﹣1）2﹣1，∴拋物線對稱軸為：直線x=1，∵拋物線C2是由拋物線C1向右平移3個單位得到，∴拋物線C1和拋物線C2一定關(guān)于，直線x==對稱，故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，根據(jù)已知得出拋物線C1的對稱軸是解題關(guān)鍵．（2012?陜西）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=x2﹣x﹣6向上（下）或向左（右）平移m個單位，使平移后的拋物線恰好經(jīng)過原點(diǎn)，則|m|的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．6【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題；探究型．【分析】計算出函數(shù)與x軸、y軸的交點(diǎn)，將圖象適當(dāng)運(yùn)動，即可判斷出拋物線移動的距離及方向．【解答】解：當(dāng)x=0時，y=﹣6，故函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣6），當(dāng)y=0時，x2﹣x﹣6=0，即（x+2）（x﹣3）=0，解得x=﹣2或x=3，即A（﹣2，0），B（3，0）；由圖可知，函數(shù)圖象至少向右平移2個單位恰好過原點(diǎn)，故|m|的最小值為2．故選B．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)與幾何變換，畫出函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．（2012?桂林）如圖，把拋物線y=x2沿直線y=x平移個單位后，其頂點(diǎn)在直線上的A處，則平移后的拋物線解析式是（）A．y=（x+1）2﹣1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x﹣1）2+1 D．y=（x﹣1）2﹣1【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】首先根據(jù)A點(diǎn)所在位置設(shè)出A點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m）再根據(jù)AO=，利用勾股定理求出m的值，然后根據(jù)拋物線平移的性質(zhì)：左加右減，上加下減可得解析式．【解答】解：∵A在直線y=x上，∴設(shè)A（m，m），∵OA=，∴m2+m2=（）2，解得：m=±1（m=﹣1舍去），m=1，∴A（1，1），∴拋物線解析式為：y=（x﹣1）2+1，故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象的幾何變換，關(guān)鍵是求出A點(diǎn)坐標(biāo)，掌握拋物線平移的性質(zhì)：左加右減，上加下減．（2012?宿遷）在平面直角坐標(biāo)系中，若將拋物線y=2x2﹣4x+3先向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，則經(jīng)過這兩次平移后所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（﹣2，3） B．（﹣1，4） C．（1，4） D．（4，3）【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題；探究型．【分析】先把拋物線y=2x2﹣4x+3化為頂點(diǎn)式的形式，再根據(jù)函數(shù)圖象平移的法則求出向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度所得拋物線的解析式，求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：∵拋物線y=2x2﹣4x+3化為y=2（x﹣1）2+1，∴函數(shù)圖象向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度所得拋物線的解析式為：y=2（x﹣1﹣3）2+1+2，即y=2（x﹣4）2+3，∴其頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，3）．故選D．【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，先把原拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式的形式是解答此題的關(guān)鍵．（2012?淮北模擬）已知二次函數(shù)y=x2﹣bx+1（﹣1≤b≤1），當(dāng)b從﹣1逐漸變化到1的過程中，它所對應(yīng)的拋物線位置也隨之變動．下列關(guān)于拋物線的移動方向的描述中，正確的是（）A．先往左上方移動，再往左下方移動B．先往左下方移動，再往左上方移動C．先往右上方移動，再往右下方移動D．先往右下方移動，再往右上方移動【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題；探究型．【分析】先分別求出當(dāng)b=﹣1、0、1時函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得出答案．【解答】解：當(dāng)b=﹣1時，此函數(shù)解析式為：y=x2+x+1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣，）；當(dāng)b=0時，此函數(shù)解析式為：y=x2+1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，1）；當(dāng)b=1時，此函數(shù)解析式為：y=x2﹣x+1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（，）．故函數(shù)圖象應(yīng)先往右上方移動，再往右下方移動．故選C．【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．（2012?柳州模擬）對于實(shí)數(shù)c、d，我們可用min{c，d}表示c、d兩數(shù)中較小的數(shù)，如min{3，﹣1}=﹣1．若關(guān)于x的函數(shù)y=min{2x2，a（x﹣t）2}的圖象關(guān)于直線x=3對稱，則a、t的值可能是（）A．3，6 B．2，﹣6 C．2，6 D．﹣2，6【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題；新定義．【分析】先根據(jù)函數(shù)y=2x2可知此函數(shù)的對稱軸為y軸，由于函數(shù)關(guān)于直線x=3對稱，所以數(shù)y=min{2x2，a（x﹣t）2}的圖象即為y=a（x﹣t）2的圖象，據(jù)此解答即可．【解答】解：∵y=2x2中a=2，∴y=a（x﹣t）2，中，a=2，∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c都可以化成y=a（x﹣m）2+n形式，其中m=﹣，n=，∵圖象開口向上，即a＞0，那么a=2，點(diǎn)（3，y）為這兩個函數(shù)的交點(diǎn)，∴2×32=a（3﹣t）2，解得t=6．故選C．【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，先根據(jù)題意求出a的值是解答此題的關(guān)鍵．（2012?大港區(qū)一模）把拋物線y=ax2+bx+c的圖象先向右平移4個單位，再向下平移2個單位，所得的圖象的解析式是y=x2﹣3x+5，則a+b+c的值為（）A．11 B．13 C．15 D．17【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】因?yàn)閽佄锞€y=ax2+bx+c的圖象先向右平移4個單位，再向下平移2個單位，得到圖象的解析式是y=x2﹣3x+5，所以y=x2﹣3x+5向左平移4個單位，再向上平移2個單位后，可得拋物線y=ax2+bx+c的圖象，先由y=x2﹣3x+5的平移求出y=ax2+bx+c的解析式，再求a+b+c=17．【解答】解：∵y=x2﹣3x+5=（x﹣）2+，當(dāng)y=x2﹣3x+5向左平移4個單位，再向上平移2個單位后，可得拋物線y=ax2+bx+c的圖象，∴y=（x﹣+4）2++2=x2+5x+11；∴a+b+c=17．故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．（2012?道真縣校級模擬）把拋物線y=3（x+1）2﹣2向右平移1個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線是（）A．y=3x2 B．y=3x2﹣4 C．y=3（x+2）2 D．y=3（x+2）2﹣4【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題；動點(diǎn)型．【分析】易得原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平移的規(guī)律可得平移后新拋物線的頂點(diǎn)，根據(jù)平移不改變拋物線的二次項系數(shù)，利用頂點(diǎn)式可得新拋物線解析式．【解答】解：∵原拋物線的頂點(diǎn)為（﹣1，﹣2），∴向右平移1個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線的頂點(diǎn)為（0，0），∴新拋物線為y=3x2．故選A．【點(diǎn)評】考查拋物線的平移問題；用到的知識點(diǎn)為：拋物線的平移不改變拋物線的二次項系數(shù)；關(guān)鍵是找到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2012?奉賢區(qū)模擬）將二次函數(shù)y=x2的圖象沿y軸方向向上平移1個單位，則所得到圖象的函數(shù)解析式為（）A．y=x2+1 B．y=x2﹣1 C．y=（x+1）2 D．y=（x﹣1）2【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題；探究型．【分析】直接根據(jù)“上加下減”的原則進(jìn)行解答即可．【解答】解：由“上加下減”的原則可知：二次函數(shù)y=x2的圖象沿y軸方向向上平移1個單位，則所得到圖象的函數(shù)解析式為：y=x2+1．故選A．【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．（2012?寶安區(qū)校級模擬）把拋物線y=2x2﹣3向右平移1個單位，再向上平移4個單位，則所得拋物線的解析式是（）A．y=2（x+1）2+1 B．y=2（x﹣1）2+1 C．y=2（x+1）2﹣7 D．y=2（x﹣1）2﹣7【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】先確定出原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加，向上平移縱坐標(biāo)加求出平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)頂點(diǎn)式解析式寫出解析式即可．【解答】解：拋物線y=2x2﹣3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3），∵向右平移1個單位，向上平移4個單位，∴平移后的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），∴所得拋物線的解析式是y=2（x﹣1）2+1．故選B．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用頂點(diǎn)的變換確定拋物線的變換是解題的關(guān)鍵．（2011?桂林）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=x2+2x+3繞著它與y軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析式是（）A．y=﹣（x+1）2+2 B．y=﹣（x﹣1）2+4 C．y=﹣（x﹣1）2+2 D．y=﹣（x+1）2+4【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】先將原拋物線化為頂點(diǎn)式，易得出與y軸交點(diǎn)，繞與y軸交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，那么根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，可得旋轉(zhuǎn)后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得解析式．【解答】解：由原拋物線解析式可變?yōu)椋簓=（x+1）2+2，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，2），與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），又由拋物線繞著它與y軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，∴新的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)與原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于點(diǎn)（0，3）中心對稱，∴新的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），∴新的拋物線解析式為：y=﹣（x﹣1）2+4．故選B．【點(diǎn)評】本題主要考查了拋物線一般形式及于y軸交點(diǎn)，同時考查了旋轉(zhuǎn)180°后二次項的系數(shù)將互為相反數(shù)，難度適中．（2011?廣元）在平面直角坐標(biāo)系中，如果拋物線y=3x2不動，而把x軸、y軸分別向上、向右平移3個單位，那么在新坐標(biāo)系中此拋物線的解析式是（）A．y=3（x﹣3）2+3 B．y=3（x﹣3）2﹣3 C．y=3（x+3）2+3 D．y=3（x+3）2﹣3【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題；動點(diǎn)型．【分析】先判斷出原拋物線的頂點(diǎn)及新拋物線的頂點(diǎn)，根據(jù)平移不改變二次函數(shù)二次項的系數(shù)可得新拋物線解析式．【解答】解：原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），∵把x軸、y軸分別向上、向右平移3個單位，∴新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，﹣3），設(shè)新拋物線為y=3（x﹣h）2+k，∴新坐標(biāo)系中此拋物線的解析式是y=3（x+3）2﹣3．故選D．【點(diǎn)評】考查二次函數(shù)的平移問題；得到新拋物線的頂點(diǎn)是解決本題的易錯點(diǎn)；用到的知識點(diǎn)為：二次函數(shù)的平移，不改變二次項的系數(shù)．（2011?萬州區(qū)校級模擬）將二次函數(shù)y=x2+6x+10的圖象向右平移4個單位，再向上平移3個單位后，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是（）A．y=（x﹣7）2+5 B．y=（x﹣1）2+4 C．y=（x﹣7）2﹣2 D．y=（x﹣1）2﹣2【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】將原二次函數(shù)整理為用頂點(diǎn)式表示的形式，根據(jù)平移的單位可得新拋物線的解析式．【解答】解：y=x2+6x+10變?yōu)椋簓=（x+3）2+1，向右平移4個單位得到的函數(shù)的解析式為：y=（x+3﹣4）2+1，即y=（x﹣1）2+1，再向上平移3個單位后，所得圖象的函數(shù)的解析式為y=（x﹣1）2+1+3，即：y=（x﹣1）2+4，故選B．【點(diǎn)評】討論兩個二次函數(shù)的圖象的平移問題，只需看頂點(diǎn)坐標(biāo)是如何平移得到的即可．（2010?寧夏）把拋物線y=﹣x2向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平移后拋物線的解析式為（）A．y=﹣（x﹣1）2﹣3 B．y=﹣（x+1）2﹣3 C．y=﹣（x﹣1）2+3 D．y=﹣（x+1）2+3【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】利用二次函數(shù)平移的性質(zhì)．【解答】解：當(dāng)y=﹣x2向左平移1個單位時，頂點(diǎn)由原來的（0，0）變?yōu)椋ī?，0），當(dāng)向上平移3個單位時，頂點(diǎn)變?yōu)椋ī?，3），則平移后拋物線的解析式為y=﹣（x+1）2+3．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)y=ax2、y=a（x﹣h）2、y=a（x﹣h）2+k的關(guān)系問題．（2010?蘭州）拋物線y=x2+bx+c圖象向右平移2個單位再向下平移3個單位，所得圖象的解析式為y=x2﹣2x﹣3，則b、c的值為（）A．b=2，c=2 B．b=2，c=0 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣3，c=2【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】易得新拋物線的頂點(diǎn)，根據(jù)平移轉(zhuǎn)換可得原拋物線頂點(diǎn)，根據(jù)頂點(diǎn)式及平移前后二次項的系數(shù)不變可得原拋物線的解析式，展開即可得到b，c的值．【解答】解：由題意得新拋物線的頂點(diǎn)為（1，﹣4），∴原拋物線的頂點(diǎn)為（﹣1，﹣1），設(shè)原拋物線的解析式為y=（x﹣h）2+k代入得：y=（x+1）2﹣1=x2+2x，∴b=2，c=0．故選B．【點(diǎn)評】拋物線平移不改變二次項的系數(shù)的值；討論兩個二次函數(shù)的圖象的平移問題，只需看頂點(diǎn)坐標(biāo)是如何平移得到的即可．（2010?桂林）將拋物線y=2x2﹣12x+16繞它的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析式是（）A．y=﹣2x2﹣12x+16 B．y=﹣2x2+12x﹣16C．y=﹣2x2+12x﹣19 D．y=﹣2x2+12x﹣20【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】先將原拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，將其繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，開口大小和頂點(diǎn)坐標(biāo)都沒有變化，變化的只是開口方向，可據(jù)此得出所求的結(jié)論．【解答】解：y=2x2﹣12x+16=2（x2﹣6x+8）=2（x﹣3）2﹣2，將原拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，得：y=﹣2（x﹣3）2﹣2=﹣2x2+12x﹣20；故選D．【點(diǎn)評】此題考查了二次函數(shù)圖象的旋轉(zhuǎn)變換，在繞拋物線頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，二次函數(shù)的開口大小和頂點(diǎn)坐標(biāo)都沒有變化．（2010?陜西）將拋物線C：y=x2+3x﹣10，將拋物線C平移到C′．若兩條拋物線C，C′關(guān)于直線x=1對稱，則下列平移方法中正確的是（）A．將拋物線C向右平移個單位B．將拋物線C向右平移3個單位C．將拋物線C向右平移5個單位D．將拋物線C向右平移6個單位【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】主要是找一個點(diǎn)，經(jīng)過平移后這個點(diǎn)與直線x=1對稱．拋物線C與y軸的交點(diǎn)為A（0，﹣10），與A點(diǎn)以對稱軸對稱的點(diǎn)是B（﹣3，﹣10）．若將拋物線C平移到C′，就是要將B點(diǎn)平移后以對稱軸x=1與A點(diǎn)對稱．則B點(diǎn)平移后坐標(biāo)應(yīng)為（2，﹣10）．因此將拋物線C向右平移5個單位．【解答】解：∵拋物線C：y=x2+3x﹣10=，∴拋物線對稱軸為x=﹣．∴拋物線與y軸的交點(diǎn)為A（0，﹣10）．則與A點(diǎn)以對稱軸對稱的點(diǎn)是B（﹣3，﹣10）．若將拋物線C平移到C′，并且C，C′關(guān)于直線x=1對稱，就是要將B點(diǎn)平移后以對稱軸x=1與A點(diǎn)對稱．則B點(diǎn)平移后坐標(biāo)應(yīng)為（2，﹣10）．因此將拋物線C向右平移5個單位．故選C．【點(diǎn)評】主要考查了函數(shù)圖象的平移，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．（2010?徐州）平面直角坐標(biāo)系中，若平移二次函數(shù)y=（x﹣2009）（x﹣2010）+4的圖象，使其與x軸交于兩點(diǎn)，且此兩點(diǎn)的距離為1個單位，則平移方式為（）A．向上平移4個單位 B．向下平移4個單位C．向左平移4個單位 D．向右平移4個單位【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】先由二次函數(shù)y=（x﹣2009）（x﹣2010）+4求出拋物線，然后求出拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間距離公式即可求得距離是1．【解答】解：法一：二次函數(shù)y=（x﹣2009）（x﹣2010）+4=[（x﹣2010）+1]（x﹣2010）+4設(shè)t=x﹣2010，則原二次函數(shù)為y=（t+1）t+4=t2+t+4=﹣+4=+．則原拋物與x軸沒的交點(diǎn)．若原拋物線向下平移4個單位，則新拋物的解析式為：y=+﹣4=﹣．則新拋物與x軸的交點(diǎn)距離為|0﹣（﹣1）|=1．故選B．法二：二次函數(shù)y=（x﹣2009）（x﹣2010）+4的圖象向下平移4個單位得y=（x﹣2009）（x﹣2010），屬于交點(diǎn)式，與x軸交于兩點(diǎn)（2009，0）、（2010，0），兩點(diǎn)的距離為1，符合題意，故選：B．【點(diǎn)評】主要考查了函數(shù)圖象的平移，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．會利用方程求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)．若把函數(shù)y=x的圖象用E（x，x）記，函數(shù)y=2x+1的圖象用E（x，2x+1）記，…則E（x，x2﹣2x+1）可以由E（x，x2）怎樣平移得到？（）A．向上平移1個單位 B．向下平移1個單位C．向左平移1個單位 D．向右平移1個單位【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題；新定義．【分析】首先弄清E（x，x2﹣2x+1）和E（x，x2）所代表的函數(shù)，然后根據(jù)左加右減，上加下減的規(guī)律進(jìn)行判斷．【解答】解：E（x，x2﹣2x+1）即為y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2；E（x，x2）即為y=x2；y=（x﹣1）2可由y=x2向右平移一個單位得出；故選D．【點(diǎn)評】主要考查的是函數(shù)圖象的平移，弄清新標(biāo)記的含義是解答此題的關(guān)鍵．（2010?來賓）將函數(shù)y=x2的圖象向左平移1個長度單位所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是（）A．y=x2﹣1 B．y=x2+1 C．y=（x﹣1）2 D．y=（x+1）2【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題；探究型．【分析】根據(jù)“左加右減”的原則進(jìn)行解答即可．【解答】解：由“左加右減”的原則可知，將函數(shù)y=x2的圖象向左平移1個長度單位所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是y=（x+1）2．故選D．【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“左加右減”的原則是解答此題的關(guān)鍵．（2010?淮北模擬）把拋物線y=﹣2x2+4x+1的圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位，所得的拋物線的函數(shù)關(guān)系式是（）A．y=﹣2（x﹣1）2+6 B．y=﹣2（x﹣1）2﹣6 C．y=﹣2（x+1）2+6 D．y=﹣2（x+1）2﹣6【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】拋物線平移不改變a的值．【解答】解：原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），向左平移2個單位，再向上平移3個單位得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，6）．可設(shè)新拋物線的解析式為：y=﹣2（x﹣h）2+k，代入得：y=﹣2（x+1）2+6．故選C．【點(diǎn)評】解決本題的關(guān)鍵是得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2009?天津）在平面直角坐標(biāo)系中，先將拋物線y=x2+x﹣2關(guān)于x軸作軸對稱變換，再將所得的拋物線關(guān)于y軸作軸對稱變換，那么經(jīng)兩次變換后所得的新拋物線的解析式為（）A．y=﹣x2﹣x+2 B．y=﹣x2+x﹣2 C．y=﹣x2+x+2 D．y=x2+x+2【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)關(guān)于x軸、y軸軸對稱的特點(diǎn)得出答案．【解答】解：先將拋物線y=x2+x﹣2關(guān)于x軸作軸對稱變換，可得新拋物線為y=﹣x2﹣x+2；再將所得的拋物線y=﹣x2﹣x+2關(guān)于y軸作軸對稱變換，可得新拋物線為y=﹣x2+x+2，故選：C．【點(diǎn)評】兩拋物線關(guān)于x軸對稱，二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項均互為相反數(shù)；兩拋物線關(guān)于y軸對稱，二次項系數(shù)，常數(shù)項不變，一次項系數(shù)互為相反數(shù)．（2009?孝感）將函數(shù)y=x2+x的圖象向右平移a（a＞0）個單位，得到函數(shù)y=x2﹣3x+2的圖象，則a的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】把兩個函數(shù)都化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律，對比一下確定a的值．【解答】解：y=x2+x=（x+）2﹣．y=x2﹣3x+2=（x﹣）2﹣．所以a==2．故選B．【點(diǎn)評】此題不僅考查了對平移的理解，同時考查了學(xué)生將一般式轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)式的能力．（2009?茂名）如圖，把拋物線y=x2與直線y=1圍成的圖形OABC繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°后，再沿x軸向右平移1個單位得到圖形O1A1B1C1，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．點(diǎn)O1的坐標(biāo)是（1，0）B．點(diǎn)C1的坐標(biāo)是（2，﹣1）C．四邊形OBA1B1是矩形D．若連接OC，則梯形OCA1B1的面積是3【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】利用拋物線和平面直角坐標(biāo)系的性質(zhì)．【解答】解：根據(jù)圖形可知：點(diǎn)O的坐標(biāo)是（0，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，1）．因?yàn)榘褣佄锞€y=x2與直線y=1圍成的圖形OABC繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°后，再沿x軸向右平移1個單位得到圖形O1A1B1C1，所以點(diǎn)O，C繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°后，再沿x軸向右平移1個單位得到點(diǎn)O1的坐標(biāo)是（1，0），點(diǎn)C1的坐標(biāo)是（2，﹣1），所以選項A，B正確．根據(jù)點(diǎn)O（0，0），B（0，1），A1（2，1），B1（2，0）的坐標(biāo)可得：四邊形OBA1B1是矩形，選項C正確．根據(jù)點(diǎn)O（0，0），C（1，1），A1（2，1），B1（2，0）的坐標(biāo)可得：梯形OCA1B1的面積等于（1+2）×1=≠3，所以選項D錯誤．故選：D．【點(diǎn)評】本題難度中等，考查拋物線的旋轉(zhuǎn)、平移及平面直角坐標(biāo)系的知識．（2009?陜西）將拋物線y=x2﹣4x+3平移，使它平移后的頂點(diǎn)為（﹣2，4），則需將該拋物線（）A．先向右平移4個單位，再向上平移5個單位B．先向右平移4個單位，再向下平移5個單位C．先向左平移4個單位，再向上平移5個單位D．先向左平移4個單位，再向下平移5個單位【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】先把拋物線y=x2﹣4x+3化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)函數(shù)圖象平移的法則進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵拋物線y=x2﹣4x+3可化為y=（x﹣2）2﹣1，∴其頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，﹣1），∴若使其平移后的頂點(diǎn)為（﹣2，4）則先向左平移4個單位，再向上平移5個單位．故選C．【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象及幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則（上加下減，左加右減）是解答此題的關(guān)鍵．（2008?荊門）把拋物線y=x2+bx+c的圖象向左平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的關(guān)系式為y=x2﹣3x+5，則有（）A．b=3，c=7 B．b=﹣9，c=25 C．b=3，c=3 D．b=﹣9，c=21【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律，把y=x2﹣3x+5的圖象向右平移3個單位，再向上平移2個單位得拋物線y=x2+bx+c的圖象．【解答】解：根據(jù)題意y=x2﹣3x+5=（x﹣）2+，向右平移3個單位，再向上平移2個單位得y=（x﹣）2+=x2﹣9x+25．所以b=﹣9，c=25．故選B．【點(diǎn)評】此題不僅考查了對平移的理解，同時考查了學(xué)生將一般式轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)式的能力．（2008?常德）把拋物線y=x2向右平移2個單位，再向上平移1個單位，所得的拋物線的解析式為（）A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x﹣2）2﹣1 C．y=（x+2）2+1 D．y=（x+1）2﹣2【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】拋物線平移不改變a的值．【解答】解：原拋物線的頂點(diǎn)為（0，0），向右平移2個單位，再向上平移1個單位，那么新拋物線的頂點(diǎn)為（2，1）．可設(shè)新拋物線的解析式為y=（x﹣h）2+k，代入得y=（x﹣2）2+1．故選A．【點(diǎn)評】解決本題的關(guān)鍵是得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2008?鄂爾多斯）如圖，若將拋物線y=（x+1）2﹣7沿x軸平移經(jīng)過P（﹣2，2），則平移后拋物線的解析式為（）A．y=（x+5）2﹣7 B．y=（x+5）2﹣7或y=（x+1）2+1C．y=（x+1）2+1 D．y=（x+5）2﹣7或y=（x﹣1）2﹣7【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】經(jīng)過平移，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)依然是﹣7，利用待定系數(shù)法根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)式把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入求則可．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=（x+h）2﹣7，拋物線過（﹣2，2），所以2=（﹣2+h）2﹣7，解得h=5或﹣1，所以平移后拋物線的解析式為y=（x+5）2﹣7或y=（x﹣1）2﹣7．故選D．【點(diǎn)評】此題不僅考查了對平移的理解，同時考查了學(xué)生將一般式轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)式及運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線表達(dá)式的能力．（2008?奉賢區(qū)模擬）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，如果拋物線y=﹣x2+3經(jīng)過平移可以與拋物線y=﹣x2互相重合，那么平移的要求是（）A．沿y軸向上平移3個單位 B．沿y軸向下平移3個單位C．沿x軸向左平移3個單位 D．沿x軸向右平移3個單位【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題；探究型．【分析】根據(jù)“上加下減”的原則進(jìn)行解答．【解答】解：把拋物線y=﹣x2+3向下平移3個單位即可得到拋物線y=﹣x2．故選B．【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減”的原則是解答此題的關(guān)鍵．（2007?新疆）將拋物線y=x2+1的圖象繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，則旋轉(zhuǎn)后的拋物線的函數(shù)關(guān)系式（）A．y=﹣x2 B．y=﹣x2﹣1 C．y=x2﹣1 D．y=﹣x2+1【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)求則可．【解答】解：根據(jù)題意﹣y=（﹣x）2+1，化簡為y=﹣x2﹣1．故選B．【點(diǎn)評】考查根據(jù)二次函數(shù)的圖象的變換求拋物線的解析式．（2006?湖州）已知二次函數(shù)y=x2﹣bx+1（﹣1＜b＜1），在b從﹣1變化到1的過程中，它所對應(yīng)的拋物線的位置也隨之變化，下列關(guān)于拋物線的移動方向描述正確的是（）A．先往左上方移動，再往左下方移動B．先往左下方移動，再往左上方移動C．先往右上方移動，再往右下方移動D．先往右下方移動，再往右上方移動【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】把二次函數(shù)y=x2﹣bx+1化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，在b變化的過程中，觀察頂點(diǎn)坐標(biāo)的變化則可．【解答】解：y=x2﹣bx+1=（x﹣）2+，所以頂點(diǎn)是（，），根據(jù)b的值的變化和拋物線頂點(diǎn)位置的變化，按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律，拋物線的移動方向是先往右上方移動，再往右下方移動．故選C．【點(diǎn)評】此題不僅考查了對平移的理解，同時考查了學(xué)生將一般式轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)式的能力．（2003?廈門）已知以（﹣1，0）為圓心，1為半徑的⊙M和拋物線y=x2+6x+11，現(xiàn)有兩個命題：（1）拋物線y=x2+6x+11與⊙M沒有交點(diǎn)；（2）將拋物線y=x2+6x+11向下平移3個單位，則此拋物線與⊙M相交．則以下結(jié)論正確的是（）A．只有命題（1）正確 B．只有命題（2）正確C．命題（1），（2）都正確 D．命題（1），（2）都不正確【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】（1）把拋物線化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，然后找出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，判定拋物線與圓有沒有交點(diǎn)．（2）找出平移后的拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再判斷拋物線與圓是否相交．【解答】解：（1）y=x2+6x+11=（x+3）2+2；所以頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣3，2），拋物線開口向上，頂點(diǎn)在x軸上方；⊙M上最高點(diǎn)為（﹣1，1），所以拋物線y=x2+6x+11與⊙M沒有交點(diǎn)．（2）y=（x+3）2+2向下平移3個單位得：y=（x+3）2﹣1=x2+6x+8；當(dāng)y=0時，x2+6x+8=0，解得x=﹣2或﹣4；所以拋物線與x軸有一交點(diǎn)是（﹣2，0），拋物線的頂點(diǎn)是（﹣3，﹣1），在圓的下方，拋物線開口向上，⊙M最左邊點(diǎn)為（﹣2，0），所以拋物線與圓相交．故選C．【點(diǎn)評】此題不僅考查了對平移的理解，同時考查了圓的知識和考查了學(xué)生將一般式轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)式的能力．（2002?寧波校級模擬）二次函數(shù)y=（x﹣1）2+（x﹣3）2與y=（x+a）2+（x+b）2的圖象關(guān)于y軸對稱，則（a+1）2+（1+b）2的值為（）A．9 B．10 C．20 D．25【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】首先由二次函數(shù)y=（x﹣1）2+（x﹣3）2與y=（x+a）2+（x+b）2的圖象關(guān)于y軸對稱，即可求得y=（x+a）2+（x+b）2的解析式，然后根據(jù)整式相等的性質(zhì)，求得2a+2b=8，a2+b2=10，又由（a+1）2+（1+b）2=a2+b2+2a+2b+2，即可求得答案．【解答】解：∵二次函數(shù)y=（x﹣1）2+（x﹣3）2與y=（x+a）2+（x+b）2的圖象關(guān)于y軸對稱，∴y=（x+a）2+（x+b）2的解析式為：y=（﹣x﹣1）2+（﹣x﹣3）2，即y=2x2+8x+10，又∵y=（x+a）2+（x+b）2=2x2+（2a+2b）x+a2+b2，∴2a+2b=8，a2+b2=10，∴（a+1）2+（1+b）2=a2+b2+2a+2b+2=10+8+2=20．故選C．【點(diǎn)評】此題考查了二次函數(shù)的對稱變換，注意兩函數(shù)關(guān)于y軸對稱，則x變?yōu)橄喾磾?shù)，y不變．解此題的關(guān)鍵是注意整體思想與方程思想的應(yīng)用．（1997?重慶）拋物線y=x2+bx+c向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到拋物線y=x2，則b與c的值分別為（）A．6，4 B．﹣8，14 C．﹣6，6 D．﹣8，﹣14【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】把拋物線y=x2按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律，向右平移4個單位，再向下平移2個單位，得拋物線y=x2+bx+c則可．【解答】解：y=x2向右平移4個單位，再向下平移2個單位得y=（x﹣4）2﹣2=x2﹣8x+14．所以b=﹣8，c=14．故選：B．【點(diǎn)評】此題考查了二次函數(shù)的平移，利用變化規(guī)律：左加右減，上加下減得出是解題關(guān)鍵．（2015?岳陽）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為﹣2，現(xiàn)將拋物線向右平移2個單位，得到拋物線y=a1x2+b1x+c1，則下列結(jié)論正確的是③④．（寫出所有正確結(jié)論的序號）①b＞0②a﹣b+c＜0③陰影部分的面積為4④若c=﹣1，則b2=4a．【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【專題】壓軸題．【分析】①首先根據(jù)拋物線開口向上，可得a＞0；然后根據(jù)對稱軸為x=﹣＞0，可得b＜0，據(jù)此判斷即可．②根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c的圖象，可得x=﹣1時，y＞0，即a﹣b+c＞0，據(jù)此判斷即可．③首先判斷出陰影部分是一個平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的面積=底×高，求出陰影部分的面積是多少即可．④根據(jù)函數(shù)的最小值是，判斷出c=﹣1時，a、b的關(guān)系即可．【解答】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，又∵對稱軸為x=﹣＞0，∴b＜0，∴結(jié)論①不正確；∵x=﹣1時，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴結(jié)論②不正確；∵拋物線向右平移了2個單位，∴平行四邊形的底是2，∵函數(shù)y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2，∴平行四邊形的高是2，∴陰影部分的面積是：2×2=4，∴結(jié)論③正確；∵，c=﹣1，∴b2=4a，∴結(jié)論④正確．綜上，結(jié)論正確的是：③④．故答案為：③④．【點(diǎn)評】（1）此題主要考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，要熟練掌握，解答此類問題的關(guān)鍵是要明確：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．（2）此題還考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒?dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）③常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點(diǎn)．拋物線與y軸交于（0，c）．（2014?德州）如圖，拋物線y=x2在第一象限內(nèi)經(jīng)過的整數(shù)點(diǎn)（橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)）依次為A1，A2，A3…An，…．將拋物線y=x2沿直線L：y=x向上平移，得一系列拋物線，且滿足下列條件：①拋物線的頂點(diǎn)M1，M2，M3，…Mn，…都在直線L：y=x上；②拋物線依次經(jīng)過點(diǎn)A1，A2，A3…An，…．則頂點(diǎn)M2014的坐標(biāo)為（4027，4027）．【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】根據(jù)拋物線y=x2與拋物線yn=（x﹣an）2+an相交于An，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律，可得答案．【解答】解：M1（a1，a1）是拋物線y1=（x﹣a1）2+a1的頂點(diǎn)，拋物線y=x2與拋物線y1=（x﹣a1）2+a1相交于A1，得x2=（x﹣a1）2+a1，即2a1x=a12+a1，x=（a1+1）．∵x為整數(shù)點(diǎn)∴a1=1，M1（1，1）；M2（a2，a2）是拋物線y2=（x﹣a2）2+a2=x2﹣2a2x+a22+a2頂點(diǎn)，拋物線y=x2與y2相交于A2，x2=x2﹣2a2x+a22+a2，∴2a2x=a22+a2，x=（a2+1）．∵x為整數(shù)點(diǎn)，∴a2=3，M2（3，3），M3（a3，a3）是拋物線y2=（x﹣a3）2+a3=x2﹣2a3x+a32+a3頂點(diǎn)，拋物線y=x2與y3相交于A3，x2=x2﹣2a3x+a32+a3，∴2a3x=a32+a3，x=（a3+1）．∵x為整數(shù)點(diǎn)∴a3=5，M3（5，5），∴點(diǎn)M2014，兩坐標(biāo)為：2014×2﹣1=4027，∴M2014（4027，4027），故答案為：（4027，4027）【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，定點(diǎn)沿直線y=x平移是解題關(guān)鍵．（2013?河北）如圖，一段拋物線：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），記為C1，它與x軸交于點(diǎn)O，A1；將C1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180°得C2，交x軸于點(diǎn)A2；將C2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180°得C3，交x軸于點(diǎn)A3；…如此進(jìn)行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段拋物線C13上，則m=2．【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)圖象的旋轉(zhuǎn)變化規(guī)律以及二次函數(shù)的平移規(guī)律得出平移后解析式，進(jìn)而求出m的值．【解答】解：∵一段拋物線：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），∴圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，0），（3，0），∵將C1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180°得C2，交x軸于點(diǎn)A2；將C2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180°得C3，交x軸于點(diǎn)A3；…如此進(jìn)行下去，直至得C13．∴C13的解析式與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（36，0），（39，0），且圖象在x軸上方，∴C13的解析式為：y13=﹣（x﹣36）（x﹣39），當(dāng)x=37時，y=﹣（37﹣36）×（37﹣39）=2．故答案為：2．【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)的平移規(guī)律，根據(jù)已知得出二次函數(shù)旋轉(zhuǎn)后解析式是解題關(guān)鍵．（2013?大連）如圖，拋物線y=x2+bx+與y軸相交于點(diǎn)A，與過點(diǎn)A平行于x軸的直線相交于點(diǎn)B（點(diǎn)B在第一象限）．拋物線的頂點(diǎn)C在直線OB上，對稱軸與x軸相交于點(diǎn)D．平移拋物線，使其經(jīng)過點(diǎn)A、D，則平移后的拋物線的解析式為y=x2﹣x+．【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)中位線定理可得頂點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，然后利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式列式求出b的值，再求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)平移的性質(zhì)設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=x2+mx+n，把點(diǎn)A、D的坐標(biāo)代入進(jìn)行計算即可得解．【解答】解：∵令x=0，則y=，∴點(diǎn)A（0，），根據(jù)題意，點(diǎn)A、B關(guān)于對稱軸對稱，∴頂點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為×=，即=，解得b1=3，b2=﹣3，由圖可知，﹣＞0，∴b＜0，∴b=﹣3，∴對稱軸為直線x=﹣=，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0），設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=x2+mx+n，則，解得，所以，y=x2﹣x+．故答案為：y=x2﹣x+．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性確定出頂點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)平移變換不改變圖形的形狀與大小確定二次項系數(shù)不變也很重要．（2012?廣安）如圖，把拋物線y=x2平移得到拋物線m，拋物線m經(jīng)過點(diǎn)A（﹣6，0）和原點(diǎn)O（0，0），它的頂點(diǎn)為P，它的對稱軸與拋物線y=x2交于點(diǎn)Q，則圖中陰影部分的面積為．【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)點(diǎn)O與點(diǎn)A的坐標(biāo)求出平移后的拋物線的對稱軸，然后求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，過點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，根據(jù)拋物線的對稱性可知陰影部分的面積等于矩形NPMO的面積，然后求解即可．【解答】解：過點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，∵拋物線平移后經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)A（﹣6，0），∴平移后的拋物線對稱軸為x=﹣3，得出二次函數(shù)解析式為：y=（x+3）2+h，將（﹣6，0）代入得出：0=（﹣6+3）2+h，解得：h=﹣，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣3，﹣），根據(jù)拋物線的對稱性可知，陰影部分的面積等于矩形NPMO的面積，∴S=|﹣3|×|﹣|=．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的問題，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出平移后的拋物線的對稱軸的解析式，并對陰影部分的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．（2013?成都模擬）如圖將拋物線L1：y=x2+2x+3向下平移10個單位得L2，而l1、l2的表達(dá)式分別是l1：x=﹣2，l2：，則圖中陰影部分的面積是25．【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)已知得出陰影部分即為矩形DEFG的面積，進(jìn)而求出矩形的長與寬即可．【解答】解：如圖所示：陰影部分即為矩形DEFG的面積，∵y=x2+2x+3向下平移10個單位得L2，∴DE=10，∵l1、l2的表達(dá)式分別是l1：x=﹣2，l2：，∴DG=，∴則圖中陰影部分的面積是：10×=25，故答案為：25．【點(diǎn)評】此題主要考查了函數(shù)圖象的平移，根據(jù)已知得出陰影部分即為矩形DEFG的面積是解題關(guān)鍵．（2012?淄川區(qū)校級模擬）拋物線y=ax2+bx+m與拋物線y=x2﹣2x+m關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)Q1（﹣2，q1），Q2（﹣3，q2）都在拋物線y=ax2+bx+m上，則q1、q2的大小關(guān)系是q1＜q2．【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【專題】壓軸題；探究型．【分析】先根據(jù)拋物線y=ax2+bx+m與拋物線y=x2﹣2x+m關(guān)于y軸對稱求出a、b的值，再求出拋物線的對稱軸直線，Q1（﹣2，q1），Q2（﹣3，q2）所在的位置，進(jìn)而可得出答案．【解答】解：∵拋物線y=ax2+bx+m與拋物線y=x2﹣2x+m關(guān)于y軸對稱，∴a=1，b=2，∴拋物線y=ax2+bx+m的解析式為：y=x2+2x+m，∴此拋物線開口向上，對稱軸x=﹣=﹣1，∵﹣1＞﹣2＞﹣3，∴點(diǎn)Q1（﹣2，q1），Q2（﹣3，q2）均在對稱軸的左側(cè)，∴q1＜q2．故答案為：q1＜q2．【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出a、b的值是解答此題的關(guān)鍵．（2012?晉江市校級模擬）已知拋物線y=x2經(jīng)過平移后，拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的部分對應(yīng)值如下表所示：x…﹣101ab45…y…127434712…則：（1）對稱軸是直線x=2．（2）當(dāng)4＜y≤12時，x的取值范圍是﹣1≤x＜1或3＜x≤5．【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】（1）利用二次函數(shù)的對稱性得出x=0和x=4時，y=7，則對稱軸為x=，求出即可；（2）根據(jù)圖表數(shù)據(jù)得出當(dāng)4＜y≤12時，x的取值范圍即可．【解答】解：（1）利用二次函數(shù)的對稱性得出x=0和x=4時，y=7，則對稱軸為：x===2，故答案為：x=2；（2）∵對稱軸是直線x=2，∴當(dāng)y=4時，x=b或x=1，故b到對稱軸距離等于1到對稱軸距離，∴b=3，利用圖表數(shù)據(jù)得出當(dāng)4＜y≤12時，﹣1≤x＜1或3＜x≤5，故答案為：﹣1≤x＜1或3＜x≤5．【點(diǎn)評】此題主要考查了利用二次函數(shù)的對稱性求對稱軸以及利用圖表求自變量的取值范圍，根據(jù)已知得出函數(shù)對稱軸是解題關(guān)鍵．（2010?揚(yáng)州二模）如圖，平行于y軸的直線l被拋物線y=x2+1、y=x2﹣1所截．當(dāng)直線l向右平移3個單位時，直線l被兩條拋物線所截得的線段掃過的圖形面積為6平方單位．【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】由于拋物線y=x2+1是y=x2﹣1向上平移2個單位長度得到的，平行于y軸的直線l與2個函數(shù)圖象的交點(diǎn)縱坐標(biāo)是個定值2，通過截補(bǔ)法可知陰影部分的面積是6的單位長度．【解答】解：拋物線y=x2+1是y=x2﹣1向上平移2個單位長度得到的，即|y1﹣y2|=2．當(dāng)直線l向右平移3個單位時，陰影部分的面積是，2×3=6．【點(diǎn)評】主要考查了函數(shù)圖象動態(tài)變化中的不變的量，本題的關(guān)鍵點(diǎn)是在能否看出陰影部分的面積通過截補(bǔ)法是個平行四邊形，直接2×3=6即可求出．（2009?常德）一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形時，稱該函數(shù)為偶函數(shù)．那么在下列四個函數(shù)①y=2x；②y=﹣3x﹣1；③y=；④y=x2+1中，偶函數(shù)是4（填出所有偶函數(shù)的序號，答案格式如：“1234”）．【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】本題考查偶函數(shù)的定義．【解答】解：①y=2x；②y=﹣3x﹣1的圖象都是直線，它們都關(guān)于這條直線的垂線對稱；反比例函數(shù)是中心對稱圖形，關(guān)于原點(diǎn)對稱；④y=x2+1的對稱軸是y軸．故填④．【點(diǎn)評】各種函數(shù)的圖象特征需掌握．（2006?福州質(zhì)檢）如圖示：己知拋物線C1，C2關(guān)于x軸對稱，拋物線C1，C3關(guān)于y軸對稱．如果拋物線C2的解析式是y=﹣（x﹣2）2+1，那么拋物線C3的解析式是．【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】經(jīng)過對稱變換，函數(shù)圖象的形狀沒有發(fā)生變化，因而二次項系數(shù)的絕對值不變，C1，C2關(guān)于x軸對稱，則二次項系數(shù)互為相反數(shù)，拋物線C1，C3關(guān)于y軸對稱則二次項系數(shù)相同．頂點(diǎn)式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：拋物線C2的解析式是y=﹣（x﹣2）2+1那么拋物線C3的二次項系數(shù)是C2的頂點(diǎn)是（2，1），則C1的頂點(diǎn)是（2，﹣1）那么拋物線C3的頂點(diǎn)是（﹣2，﹣1）∴拋物線C3的解析式是．【點(diǎn)評】根據(jù)函數(shù)的變換關(guān)系，能夠理解函數(shù)C3的二次項系數(shù)，頂點(diǎn)坐標(biāo)是解決的關(guān)鍵．（1998?溫州）拋物線y=x2﹣（2m﹣1）x﹣6m與x軸交于（x1，0）和（x2，0）兩點(diǎn)，已知x1x2=x1+x2+49，要使此拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，應(yīng)將它向右平移4或9個單位．【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換；拋物線與x軸的交點(diǎn)．【專題】壓軸題．【分析】確定拋物線與x軸的交點(diǎn)，再確定平移的單位長度．【解答】解：由根與系數(shù)關(guān)系得x1x2=﹣6m，x1+x2=2m﹣1，代入已知得﹣6m=2m﹣1+49，解得m=﹣6，∴拋物線解析式為y=x2+13x+36=（x+4）（x+9），它與x軸兩交點(diǎn)是（﹣4，0），（﹣9，0），故應(yīng)將它向右平移4或9個單位，拋物線就可以經(jīng)過原點(diǎn)．【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)關(guān)系，用待定系數(shù)法確定拋物線解析式．（2014?陜西）已知拋物線C：y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣3，0）和B（0，3）兩點(diǎn)，將這條拋物線的頂點(diǎn)記為M，它的對稱軸與x軸的交點(diǎn)記為N．（1）求拋物線C的表達(dá)式；（2）求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）將拋物線C平移到拋物線C′，拋物線C′的頂點(diǎn)記為M′，它的對稱軸與x軸的交點(diǎn)記為N′．如果以點(diǎn)M、N、M′、N′為頂點(diǎn)的四邊形是面積為16的平行四邊形，那么應(yīng)將拋物線C怎樣平移？為什么？【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】壓軸題；分類討論．【分析】（1）直接把A（﹣3，0）和B（0，3）兩點(diǎn)代入拋物線y=﹣x2+bx+c，求出b，c的值即可；（2）根據(jù)（1）中拋物線的解析式可得出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）根據(jù)平行四邊形的定義，可知有四種情形符合條件，如解答圖所示．需要分類討論．【解答】解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣3，0）和B（0，3）兩點(diǎn)，∴，解得，故此拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵由（1）知拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3，∴當(dāng)x=﹣=﹣=﹣1時，y=4，∴M（﹣1，4）．（3）由題意，以點(diǎn)M、N、M′、N′為頂點(diǎn)的平行四邊形的邊MN的對邊只能是M′N′，∴MN∥M′N′且MN=M′N′．∴MN?NN′=16，∴NN′=4．i）當(dāng)M、N、M′、N′為頂點(diǎn)的平行四邊形是?MNN′M′時，將拋物線C向左或向右平移4個單位可得符合條件的拋物線C′；ii）當(dāng)M、N、M′、N′為頂點(diǎn)的平行四邊形是?MNM′N′時，將拋物線C先向左或向右平移4個單位，再向下平移8個單位，可得符合條件的拋物線C′．∴上述的四種平移，均可得到符合條件的拋物線C′．【點(diǎn)評】本題考查了拋物線的平移變換、平行四邊形的性質(zhì)、待定系數(shù)法及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點(diǎn)．第（3）問需要分類討論，避免漏解．（2013?涼山州）先閱讀以下材料，然后解答問題：材料：將二次函數(shù)y=﹣x2+2x+3的圖象向左平移1個單位，再向下平移2個單位，求平移后的拋物線的解析式（平移后拋物線的形狀不變）．解：在拋物線y=﹣x2+2x+3圖象上任取兩點(diǎn)A（0，3）、B（1，4），由題意知：點(diǎn)A向左平移1個單位得到A′（﹣1，3），再向下平移2個單位得到A″（﹣1，1）；點(diǎn)B向左平移1個單位得到B′（0，4），再向下平移2個單位得到B″（0，2）．設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=﹣x2+bx+c．則點(diǎn)A″（﹣1，1），B″（0，2）在拋物線上．可得：，解得：．所以平移后的拋物線的解析式為：y=﹣x2+2．根據(jù)以上信息解答下列問題：將直線y=2x﹣3向右平移3個單位，再向上平移1個單位，求平移后的直線的解析式．【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換；一次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題；閱讀型．【分析】根據(jù)上面例題可在直線y=2x﹣3上任取一點(diǎn)A（0，﹣3），由題意算出A向