人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè) 第7章 §7.1 條件概率與全概率公式 同步課時(shí)講練（教師版）

第第頁§7.1條件概率與全概率公式7.1.1條件概率學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合古典概型，了解條件概率的定義.2.掌握條件概率的計(jì)算方法.3.利用條件概率公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．知識(shí)點(diǎn)一條件概率的概念一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．思考P(A|B)，P(B)，P(AB)間存在怎樣的等量關(guān)系？答案P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)，其中P(B)>0.知識(shí)點(diǎn)二概率乘法公式對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)＝P(A)P(B|A)為概率的乘法公式．知識(shí)點(diǎn)三條件概率的性質(zhì)設(shè)P(A)>0，則(1)P(Ω|A)＝1.(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．(3)設(shè)eq\x\to(B)和B互為對(duì)立事件，則P(eq\x\to(B)|A)＝1－P(B|A)．1．在“A已發(fā)生”的條件下，B發(fā)生的概率可記作P(A|B)．(×)2．對(duì)事件A，B，有P(B|A)＝P(A|B)．(×)3．若P(B|A)＝P(B)，則事件A，B相互獨(dú)立．(√)4．P(B|A)相當(dāng)于事件A發(fā)生的條件下，事件AB發(fā)生的概率．(√)一、條件概率的定義及計(jì)算命題角度1利用定義求條件概率例1現(xiàn)有6個(gè)節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽，其中4個(gè)舞蹈節(jié)目，2個(gè)語言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個(gè)節(jié)目，求(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率．解設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A，第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件B，則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件AB.(1)從6個(gè)節(jié)目中不放回地依次抽取2個(gè)，總的事件數(shù)n(Ω)＝Aeq\o\al(2,6)＝30.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有n(A)＝Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,5)＝20，所以P(A)＝eq\f(nA,nΩ)＝eq\f(20,30)＝eq\f(2,3).(2)因?yàn)閚(AB)＝Aeq\o\al(2,4)＝12，所以P(AB)＝eq\f(nAB,nΩ)＝eq\f(12,30)＝eq\f(2,5).(3)方法一由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq\f(3,5).方法二因?yàn)閚(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).反思感悟利用定義計(jì)算條件概率的步驟(1)分別計(jì)算概率P(AB)和P(A)．(2)將它們相除得到條件概率P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)，這個(gè)公式適用于一般情形，其中AB表示A，B同時(shí)發(fā)生．跟蹤訓(xùn)練1從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽取兩張，將其中一張放到驗(yàn)鈔機(jī)上檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是假鈔，求兩張都是假鈔的概率．解設(shè)A＝“抽到的兩張都是假鈔”，B＝“抽到的兩張中至少有一張是假鈔”，則所求概率為P(A|B)．∵P(AB)＝P(A)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,20))，P(B)＝eq\f(C\o\al(2,5)＋C\o\al(1,5)C\o\al(1,15),C\o\al(2,20))，∴P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,5)＋C\o\al(1,5)C\o\al(1,15))＝eq\f(10,85)＝eq\f(2,17).命題角度2縮小樣本空間求條件概率例2集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙兩人各從A中任取一個(gè)數(shù)，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇數(shù)的條件下，求乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的概率．解將甲抽到數(shù)字a，乙抽到數(shù)字b，記作(a，b)，甲抽到奇數(shù)的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15個(gè)．在這15個(gè)情形中，乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9個(gè)，所以所求概率P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).延伸探究1．在本例條件下，求乙抽到偶數(shù)的概率．解在甲抽到奇數(shù)的情形中，乙抽到偶數(shù)的情形有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9個(gè)，所以所求概率P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).2．若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的數(shù)大于4”；事件B：“甲、乙抽到的兩數(shù)之和等于7”，求P(B|A)．解甲抽到的數(shù)大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12個(gè)，其中甲、乙抽到的兩數(shù)之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2個(gè)．所以P(B|A)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).反思感悟利用縮小樣本空間法求條件概率的方法(1)縮：將原來的基本事件全體Ω縮小為事件A，原來的事件B縮小為AB.(2)數(shù)：數(shù)出A中事件AB所包含的基本事件．(3)算：利用P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)求得結(jié)果．跟蹤訓(xùn)練2拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，記事件A為“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為4或6”，事件B為“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8”，求：(1)事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率；(2)事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率．解n(A)＝6×2＝12.由3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8,4＋6＝6＋4＝5＋5>8,5＋6＝6＋5>8,6＋6>8知n(B)＝10，其中n(AB)＝6.所以(1)P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).(2)P(A|B)＝eq\f(nAB,nB)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).二、概率的乘法公式例3一個(gè)盒子中有6只白球、4只黑球，從中不放回地每次任取1只，連取2次．求：(1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率；(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．解設(shè)A＝“第一次取得白球”，B＝“第二次取得白球”，則eq\x\to(A)＝“第一次取得黑球”，由題意得：(1)P(A)＝eq\f(6,10)＝0.6.(2)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq\f(6,10)×eq\f(5,9)＝eq\f(1,3).(3)P(eq\x\to(A)B)＝P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(4,10)×eq\f(6,9)＝eq\f(4,15).反思感悟概率的乘法公式(1)公式P(AB)＝P(A)P(B|A)反映了知二求一的方程思想．(2)該概率公式可以推廣P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)，其中P(A1)>0，P(A1A2)>0.跟蹤訓(xùn)練3已知某品牌的手機(jī)從1m高的地方掉落時(shí)，屏幕第一次未碎掉的概率為0.5，當(dāng)?shù)谝淮挝此榈魰r(shí)第二次也未碎掉的概率為0.3，試求這樣的手機(jī)從1m高的地方掉落兩次后屏幕仍未碎掉的概率．解設(shè)Ai＝“第i次掉落手機(jī)屏幕沒有碎掉”，i＝1,2，則由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3，因此由乘法公式可得P(A2A1)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15.即這樣的手機(jī)從1m高的地方掉落兩次后屏幕仍未碎掉的概率為0.15.三、條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用例4在某次考試中，要從20道題中隨機(jī)抽出6道題，若考生至少能答對(duì)其中4道題即可通過，至少能答對(duì)其中5道題就獲得優(yōu)秀．已知某考生能答對(duì)其中10道題，并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過，求他獲得優(yōu)秀成績(jī)的概率．解記事件A為“該考生6道題全答對(duì)”，事件B為“該考生答對(duì)了其中5道題，另一道答錯(cuò)”，事件C為“該考生答對(duì)了其中4道題，另2道題答錯(cuò)”，事件D為“該考生在這次考試中通過”，事件E為“該考生在這次考試中獲得優(yōu)秀”，則A，B，C兩兩互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(C\o\al(6,10),C\o\al(6,20))＋eq\f(C\o\al(5,10)C\o\al(1,10),C\o\al(6,20))＋eq\f(C\o\al(4,10)C\o\al(2,10),C\o\al(6,20))＝eq\f(12180,C\o\al(6,20))，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝eq\f(PA,PD)＋eq\f(PB,PD)＝eq\f(\f(C\o\al(6,10),C\o\al(6,20)),\f(12180,C\o\al(6,20)))＋eq\f(\f(C\o\al(5,10)C\o\al(1,10),C\o\al(6,20)),\f(12180,C\o\al(6,20)))＝eq\f(13,58).故獲得優(yōu)秀成績(jī)的概率為eq\f(13,58).反思感悟條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用(1)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使條件概率的計(jì)算較為簡(jiǎn)單，但應(yīng)注意這個(gè)性質(zhì)的使用前提是“B與C互斥”．(2)為了求復(fù)雜事件的概率，往往需要把該事件分為兩個(gè)或多個(gè)互斥事件，求出簡(jiǎn)單事件的概率后，相加即可得到復(fù)雜事件的概率．跟蹤訓(xùn)練4有五瓶墨水，其中紅色一瓶，藍(lán)色、黑色各兩瓶，某同學(xué)從中隨機(jī)任取兩瓶，若取得的兩瓶中有一瓶是藍(lán)色，則另一瓶是紅色或黑色的概率為________．答案eq\f(6,7)解析設(shè)事件A為“其中一瓶是藍(lán)色”，事件B為“另一瓶是紅色”，事件C為“另一瓶是黑色”，事件D為“另一瓶是紅色或黑色”，則D＝B∪C且B與C互斥．又P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(7,10)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,5)，P(AC)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，故P(D|A)＝P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝eq\f(PAB,PA)＋eq\f(PAC,PA)＝eq\f(6,7).1．設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且P(A)>0，若P(AB)＝eq\f(1,3)，P(A)＝eq\f(2,3)，則P(B|A)等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,9)C.eq\f(1,9)D.eq\f(4,9)答案A解析P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,3),\f(2,3))＝eq\f(1,2).2．市場(chǎng)上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從市場(chǎng)上買到的一個(gè)甲廠的合格燈泡的概率是()A．0.665B．0.564C．0.245D．0.285答案A解析記事件A為“甲廠產(chǎn)品”，事件B為“合格產(chǎn)品”，則P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.3．某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45答案A解析根據(jù)條件概率公式P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)，得所求概率為eq\f(0.6,0.75)＝0.8.4．投擲兩顆均勻的骰子，已知點(diǎn)數(shù)不同，設(shè)兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和小于等于6的概率為________．答案eq\f(2,5)解析設(shè)A＝“投擲兩顆骰子，其點(diǎn)數(shù)不同”，B＝“兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和小于等于6”，則P(A)＝eq\f(30,36)＝eq\f(5,6)，P(AB)＝eq\f(1,3)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(2,5).5．某氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)下雨的概率為eq\f(4,15)，既刮四級(jí)以上的風(fēng)又下雨的概率為eq\f(1,10).設(shè)事件A為該地區(qū)下雨，事件B為該地區(qū)刮四級(jí)以上的風(fēng)，則P(B|A)＝________.答案eq\f(3,8)解析由題意知P(A)＝eq\f(4,15)，P(AB)＝eq\f(1,10)，故P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,10),\f(4,15))＝eq\f(3,8).1．知識(shí)清單：(1)條件概率：P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(nAB,nA).(2)概率乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)·P(A|B)．(3)條件概率的性質(zhì)．2．方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸、對(duì)立統(tǒng)一．3．常見誤區(qū)：分不清“在誰的條件下”，求“誰的概率”．1．已知P(B|A)＝eq\f(1,3)，P(A)＝eq\f(2,5)，則P(AB)等于()A.eq\f(5,6)B.eq\f(9,10)C.eq\f(2,15)D.eq\f(1,15)答案C解析P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，故選C.2．(多選)設(shè)P(A|B)＝P(B|A)＝eq\f(1,2)，P(A)＝eq\f(1,3)，則()A．P(AB)＝eq\f(1,6) B．P(AB)＝eq\f(5,6)C．P(B)＝eq\f(1,3) D．P(B)＝eq\f(1,12)答案AC解析P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，由P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)，得P(B)＝eq\f(PAB,PA|B)＝eq\f(1,6)×2＝eq\f(1,3).3．某人忘記了一個(gè)電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，只好去試撥，他第一次失敗、第二次成功的概率是()A.eq\f(1,10)B.eq\f(2,10)C.eq\f(8,10)D.eq\f(9,10)答案A解析記事件A為第一次失敗，事件B為第二次成功，則P(A)＝eq\f(9,10)，P(B|A)＝eq\f(1,9)，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq\f(1,10).4．某班學(xué)生考試成績(jī)中，數(shù)學(xué)不及格的占15%，語文不及格的占5%，兩門都不及格的占3%.已知一學(xué)生數(shù)學(xué)不及格，則他語文也不及格的概率是()A．0.2B．0.33C．0.5D．0.6答案A解析記“數(shù)學(xué)不及格”為事件A，“語文不及格”為事件B，P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(0.03,0.15)＝0.2，所以數(shù)學(xué)不及格時(shí)，該生語文也不及格的概率為0.2.5．將兩枚質(zhì)地均勻的骰子各擲一次，設(shè)事件A＝“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)互不相同”，B＝“出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)”，則P(B|A)等于()A.eq\f(1,3)B.eq\f(5,18)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,4)答案A解析出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)互不相同的共有6×5＝30(種)，出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)共有5×2＝10(種)，所以P(B|A)＝eq\f(10,30)＝eq\f(1,3).6．袋中有5個(gè)小球(3白2黑)，現(xiàn)從袋中每次取一個(gè)球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是________，兩次都取到白球的概率是________．答案eq\f(1,2)eq\f(3,10)解析第一次取到白球，則還剩下4個(gè)小球，2個(gè)白球，2個(gè)黑球，故第二次取到白球的概率P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，兩次都取到白球的概率P＝eq\f(3×2,5×4)＝eq\f(3,10).7．設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率0.4，現(xiàn)有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物，則它能活到25歲的概率是________．答案0.5解析設(shè)該動(dòng)物活到20歲為事件A，活到25歲為事件B，則P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，又P(AB)＝P(B)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(0.4,0.8)＝0.5.8．有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，則這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率是________．答案0.72解析“種子發(fā)芽”為事件A，“種子成長(zhǎng)為幼苗”為事件AB(發(fā)芽，并成活才成長(zhǎng)為幼苗)，則P(A)＝0.9，又種子發(fā)芽后的幼苗成活率為P(B|A)＝0.8，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.9．某校高三(1)班有學(xué)生40人，其中共青團(tuán)員15人．全班平均分成4個(gè)小組，其中第一組有共青團(tuán)員4人．從該班任選一人作學(xué)生代表．(1)求選到的是第一組的學(xué)生的概率；(2)已知選到的是共青團(tuán)員，求他是第一組學(xué)生的概率．解設(shè)事件A表示“選到第一組學(xué)生”，事件B表示“選到共青團(tuán)員”．(1)由題意，得P(A)＝eq\f(10,40)＝eq\f(1,4).(2)方法一要求的是在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率P(A|B)．不難理解，在事件B發(fā)生的條件下(即以所選到的學(xué)生是共青團(tuán)員為前提)，有15種不同的選擇，其中屬于第一組的有4種選擇．因此，P(A|B)＝eq\f(4,15).方法二P(B)＝eq\f(15,40)＝eq\f(3,8)，P(AB)＝eq\f(4,40)＝eq\f(1,10)，∴P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(4,15).10．設(shè)b和c分別是拋擲一枚骰子先后得到的點(diǎn)數(shù)．(1)求方程x2＋bx＋c＝0有實(shí)根的概率；(2)求在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程x2＋bx＋c＝0有實(shí)根的概率．解(1)方程有實(shí)根，Δ＝b2－4c≥0，∴b2≥4c，又b，c∈{1,2,3,4,5,6}，∴當(dāng)b＝2時(shí)，c＝1，當(dāng)b＝3時(shí)，c＝1,2，當(dāng)b＝4時(shí)，c＝1,2,3,4，當(dāng)b＝5時(shí)，c＝1,2,3,4,5,6，當(dāng)b＝6時(shí)，c＝1,2,3,4,5,6，共19種情況．故所求的概率為eq\f(19,6×6)＝eq\f(19,36).(2)把“出現(xiàn)5點(diǎn)”記為事件A，“方程有實(shí)根”記為事件B，滿足b2≥4c的有序數(shù)對(duì)記為(b，c)，則事件A包含的事件有(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11種，事件AB包含的有(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7種，故所求的概率為eq\f(7,11).11．7名同學(xué)從左向右站成一排，已知甲站在中間，則乙站在最右端的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,7)答案C解析記“甲站在中間”為事件A，“乙站在最右端”為事件B，則n(A)＝Aeq\o\al(6,6)，n(AB)＝Aeq\o\al(5,5)，所以P(B|A)＝eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,6).12．已知某產(chǎn)品的次品率為4%，其合格品中75%為一級(jí)品，則任選一件為一級(jí)品的概率為()A．75%B．96%C．72%D．78.125%答案C解析記“任選一件產(chǎn)品是合格品”為事件A，則P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－4%＝96%.記“任選一件產(chǎn)品是一級(jí)品”為事件B，由于一級(jí)品必是合格品，所以事件A包含事件B，故P(AB)＝P(B)．由合格品中75%為一級(jí)品知P(B|A)＝75%，故P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝96%×75%＝72%.13．一個(gè)盒子里有6支好晶體管，4支壞晶體管，任取兩次，每次取1支，每次取后不放回，已知第一支是好晶體管，則第二支也是好晶體管的概率為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(5,12)C.eq\f(5,9)D.eq\f(7,9)答案C解析記“第i(i＝1,2)支晶體管是好的”為事件Ai(其中i＝1,2)．由題意可知，要求的概率為P(A2|A1)．因?yàn)镻(A1)＝eq\f(3,5)，P(A1A2)＝eq\f(6×5,10×9)＝eq\f(1,3)，所以P(A2|A1)＝eq\f(PA1A2,PA1)＝eq\f(\f(1,3),\f(3,5))＝eq\f(5,9).14．某項(xiàng)射擊游戲規(guī)定：選手先后對(duì)兩個(gè)目標(biāo)進(jìn)行射擊，只有兩個(gè)目標(biāo)都射中才能過關(guān)．某選手射中第一個(gè)目標(biāo)的概率為0.8，繼續(xù)射擊，射中第二個(gè)目標(biāo)的概率為0.5，則這個(gè)選手過關(guān)的概率為________．答案0.4解析記“射中第一個(gè)目標(biāo)”為事件A，“射中第二個(gè)目標(biāo)”為事件B，則P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5，所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4，即這個(gè)選手過關(guān)的概率為0.4.15．從1～100共100個(gè)正整數(shù)中任取一數(shù)，已知取出的一個(gè)數(shù)不大于50，則此數(shù)是2或3的倍數(shù)的概率為________．答案eq\f(33,50)解析設(shè)事件C為“取出的數(shù)不大于50”，事件A為“取出的數(shù)是2的倍數(shù)”，事件B是“取出的數(shù)是3的倍數(shù)”，則P(C)＝eq\f(1,2)，且所求概率為P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)－P(AB|C)＝eq\f(PAC,PC)＋eq\f(PBC,PC)－eq\f(PABC,PC)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,100)＋\f(16,100)－\f(8,100)))＝eq\f(33,50).16．如圖，三行三列的方陣有9個(gè)數(shù)aij(i＝1,2,3，j＝1,2,3)，從中任取三個(gè)數(shù)，已知取到a22的條件下，求至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a11a12a13,a21a22a23,a31a32a33))解設(shè)事件A＝“任取的三個(gè)數(shù)中有a22”，事件B＝“三個(gè)數(shù)至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列”，則eq\x\to(B)＝“三個(gè)數(shù)互不同行且不同列”，依題意得n(A)＝Ceq\o\al(2,8)＝28，n(Aeq\x\to(B))＝2，故P(eq\x\to(B)|A)＝eq\f(nA\x\to(B),nA)＝eq\f(2,28)＝eq\f(1,14)，則P(B|A)＝1－P(eq\x\to(B)|A)＝1－eq\f(1,14)＝eq\f(13,14).即已知取到a22的條件下，至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率為eq\f(13,14).7.1.2全概率公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合古典概型，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率.2.了解貝葉斯公式(不作考試要求)．知識(shí)點(diǎn)一全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)，我們稱該公式為全概率公式．*知識(shí)點(diǎn)二貝葉斯公式設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝eq\f(PAiPB|Ai,PB)＝eq\f(PAiPB|Ai,\i\su(k＝1,n,P)AkPB|Ak)，i＝1,2，…，n.1．若P(A)>0，P(eq\x\to(A))>0，則P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))．(√)2．若A1，A2，A3互斥且P(A1)>0，P(A2)>0，P(A3)>0，則P(B)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Ai)P(B|Ai)．(×)一、兩個(gè)事件的全概率問題例1某次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，甲、乙兩個(gè)班的同學(xué)共同在一個(gè)社區(qū)進(jìn)行民意調(diào)查．參加活動(dòng)的甲、乙兩班的人數(shù)之比為5∶3，其中甲班中女生占eq\f(3,5)，乙班中女生占eq\f(1,3).求該社區(qū)居民遇到一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率．解如果用A1，A2分別表示居民所遇到的一位同學(xué)是甲班的與乙班的事件，B表示是女生的事件，則Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B?Ω，由題意可知，P(A1)＝eq\f(5,8)，P(A2)＝eq\f(3,8)，且P(B|A1)＝eq\f(3,5)，P(B|A2)＝eq\f(1,3).由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝eq\f(5,8)×eq\f(3,5)＋eq\f(3,8)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,2).反思感悟兩個(gè)事件的全概率問題求解策略(1)拆分：將樣本空間拆分成互斥的兩部分如A1，A2(或A與eq\x\to(A))．(2)計(jì)算：利用乘法公式計(jì)算每一部分的概率．(3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．跟蹤訓(xùn)練1某商店收進(jìn)甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品30箱，乙廠生產(chǎn)的同種產(chǎn)品20箱，甲廠每箱裝100個(gè)，廢品率為0.06，乙廠每箱裝120個(gè)，廢品率為0.05，求：(1)任取一箱，從中任取一個(gè)為廢品的概率；(2)若將所有產(chǎn)品開箱混放，求任取一個(gè)為廢品的概率．解記事件A，B分別為甲、乙兩廠的產(chǎn)品，事件C為廢品，則Ω＝A∪B，且A，B互斥，(1)由題意，得P(A)＝eq\f(30,50)＝eq\f(3,5)，P(B)＝eq\f(20,50)＝eq\f(2,5)，P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝eq\f(7,125).(2)P(A)＝eq\f(30×100,30×100＋20×120)＝eq\f(5,9)，P(B)＝eq\f(20×120,30×100＋20×120)＝eq\f(4,9)，P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝eq\f(5,9)×eq\f(6,100)＋eq\f(4,9)×eq\f(5,100)＝eq\f(1,18).二、多個(gè)事件的全概率問題例2假設(shè)某市場(chǎng)供應(yīng)的智能手機(jī)中，市場(chǎng)占有率和優(yōu)質(zhì)率的信息如下表所示：品牌甲乙其他市場(chǎng)占有率50%30%20%優(yōu)質(zhì)率95%90%70%在該市場(chǎng)中任意買一部智能手機(jī)，求買到的是優(yōu)質(zhì)品的概率．解用A1，A2，A3分別表示買到的智能手機(jī)為甲品牌、乙品牌、其他品牌的事件，B表示買到的是優(yōu)質(zhì)品的事件，則Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3兩兩互斥，依據(jù)已知可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%，因此，由全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%.反思感悟“化整為零”求多事件的全概率問題(1)如圖，P(B)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Ai)P(B|Ai)．(2)已知事件B的發(fā)生有各種可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B發(fā)生的可能性，就是各種可能情形Ai發(fā)生的可能性與已知在Ai發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的可能性的乘積之和．跟蹤訓(xùn)練2甲箱的產(chǎn)品中有5個(gè)正品和3個(gè)次品，乙箱的產(chǎn)品中有4個(gè)正品和3個(gè)次品．(1)從甲箱中任取2個(gè)產(chǎn)品，求這2個(gè)產(chǎn)品都是次品的概率；(2)若從甲箱中任取2個(gè)產(chǎn)品放入乙箱中，然后再?gòu)囊蚁渲腥稳∫粋€(gè)產(chǎn)品，求取出的這個(gè)產(chǎn)品是正品的概率．解(1)從甲箱中任取2個(gè)產(chǎn)品的事件數(shù)為Ceq\o\al(2,8)＝eq\f(8×7,2)＝28，這2個(gè)產(chǎn)品都是次品的事件數(shù)為Ceq\o\al(2,3)＝3，∴這2個(gè)產(chǎn)品都是次品的概率為eq\f(3,28).(2)設(shè)事件A為“從乙箱中取出的一個(gè)產(chǎn)品是正品”，事件B1為“從甲箱中取出2個(gè)產(chǎn)品都是正品”，事件B2為“從甲箱中取出1個(gè)正品1個(gè)次品”，事件B3為“從甲箱中取出2個(gè)產(chǎn)品都是次品”，則事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．P(B1)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,8))＝eq\f(5,14)，P(B2)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,3),C\o\al(2,8))＝eq\f(15,28)，P(B3)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,8))＝eq\f(3,28)，P(A|B1)＝eq\f(2,3)，P(A|B2)＝eq\f(5,9)，P(A|B3)＝eq\f(4,9)，∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝eq\f(5,14)×eq\f(2,3)＋eq\f(15,28)×eq\f(5,9)＋eq\f(3,28)×eq\f(4,9)＝eq\f(7,12).三、條件概率在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用例3設(shè)某批產(chǎn)品中，甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%,35%,20%，各廠的產(chǎn)品的次品率分別為4%,2%,5%，現(xiàn)從中任取一件．(1)求取到的是次品的概率；(2)經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)取到的產(chǎn)品為次品，求該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的概率．解記事件A1＝“該產(chǎn)品為甲廠生產(chǎn)的”，事件A2＝“該產(chǎn)品為乙廠生產(chǎn)的”，事件A3＝“該產(chǎn)品為丙廠生產(chǎn)的”，事件B＝“該產(chǎn)品是次品”．則Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3兩兩互斥，由題設(shè)，知P(A1)＝45%，P(A2)＝35%，P(A3)＝20%，P(B|A1)＝4%，P(B|A2)＝2%，P(B|A3)＝5%.(1)由全概率公式得P(B)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Ai)P(B|Ai)＝3.5%.(2)由貝葉斯公式(或條件概率定義)，得P(A1|B)＝eq\f(PA1B,PB)＝eq\f(PA1PB|A1,PB)＝eq\f(18,35).反思感悟條件概率的內(nèi)含(1)公式P(A1|B)＝eq\f(PA1B,PB)＝eq\f(PA1PB|A1,PB)反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之間的互化關(guān)系．(2)P(A1)稱為先驗(yàn)概率，P(A1|B)稱為后驗(yàn)概率，其反映了事情A1發(fā)生的可能在各種可能原因中的比重．跟蹤訓(xùn)練3同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個(gè)廠供應(yīng)．由長(zhǎng)期的經(jīng)驗(yàn)知，三家的正品率分別為0.95,0.90,0.80，三家產(chǎn)品數(shù)所占比例為2∶3∶5，混合在一起．(1)從中任取一件，求此產(chǎn)品為正品的概率；(2)現(xiàn)取到一件產(chǎn)品為正品，問它是由甲、乙、丙三個(gè)廠中哪個(gè)廠生產(chǎn)的可能性大？解設(shè)事件A表示取到的產(chǎn)品為正品，B1，B2，B3分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙廠生產(chǎn)．則Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3兩兩互斥，由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8.(1)由全概率公式得P(A)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86.(2)由貝葉斯公式得P(B1|A)＝eq\f(PB1PA|B1,PA)＝eq\f(0.2×0.95,0.86)＝eq\f(19,86)，P(B2|A)＝eq\f(PB2PA|B2,PA)＝eq\f(0.3×0.9,0.86)＝eq\f(27,86)，P(B3|A)＝eq\f(PB3PA|B3,PA)＝eq\f(0.5×0.8,0.86)＝eq\f(40,86).由以上3個(gè)數(shù)作比較，可知這件產(chǎn)品由丙廠生產(chǎn)的可能性最大，由甲廠生產(chǎn)的可能性最?。?．一袋中裝有10個(gè)球，其中3個(gè)黑球、7個(gè)白球，從中先后隨意各取一球(不放回)，則第二次取到的是黑球的概率為()A.eq\f(2,9)B.eq\f(3,9)C.eq\f(3,10)D.eq\f(7,10)答案C解析記事件A，B分別表示第一、二次取到的是黑球，則P(B)＝P(AB)＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))，由題設(shè)易知P(A)＝eq\f(3,10)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(7,10)，P(B|A)＝eq\f(2,9)，P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(3,9)，于是P(B)＝eq\f(3,10)×eq\f(2,9)＋eq\f(7,10)×eq\f(3,9)＝eq\f(3,10).2．兩臺(tái)車床加工同樣的零件，第一臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率為0.03，第二臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率為0.02，加工出來的零件放在一起，現(xiàn)已知第一臺(tái)加工的零件比第二臺(tái)加工的零件多一倍，則任意取出一個(gè)零件是合格品的概率是()A.eq\f(2,75)B.eq\f(7,300)C.eq\f(73,75)D.eq\f(973,1000)答案C解析設(shè)Ai＝“任意取出一個(gè)零件是第i臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的”，i＝1,2，B＝“任意取出一個(gè)零件是合格品”．則Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，∴P(B)＝eq\i\su(i＝1,2,P)(Ai)P(B|Ai)＝eq\f(2,3)(1－0.03)＋eq\f(1,3)(1－0.02)＝eq\f(292,300)＝eq\f(73,75).3．有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%，二廠生產(chǎn)的占50%，三廠生產(chǎn)的占20%.又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2%,1%,1%，則從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是()A．0.013B．0.04C．0.002D．0.003答案A解析設(shè)事件A為“任取一件為次品”，事件Bi為“任取一件為i廠的產(chǎn)品”，i＝1,2,3，則Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3兩兩互斥，易知P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01.∴P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.4．甲袋中有3個(gè)白球2個(gè)黑球，乙袋中有4個(gè)白球4個(gè)黑球，今從甲袋中任取2球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳∫磺颍瑒t該球是白球的概率為________．答案eq\f(13,25)解析設(shè)A＝“從乙袋中取出的是白球”，Bi＝“從甲袋中取出的兩球恰有i個(gè)白球”，i＝0,1,2.由全概率公式P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))·eq\f(4,10)＋eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))·eq\f(1,2)＋eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))·eq\f(6,10)＝eq\f(13,25).5．一項(xiàng)血液化驗(yàn)用來鑒別是否患有某種疾病，在患有此種疾病的人群中通過化驗(yàn)有95%的人呈陽性反應(yīng)，而健康的人通過化驗(yàn)也會(huì)有1%的人呈陽性反應(yīng)，某地區(qū)此種病患者占人口數(shù)的0.5%，則：(1)某人化驗(yàn)結(jié)果為陽性的概率為________；(2)若此人化驗(yàn)結(jié)果為陽性，則此人確實(shí)患有此病的概率為________．答案(1)1.47%(2)eq\f(95,294)解析A＝“呈陽性反應(yīng)”，B＝“患有此種病”．(1)P(A)＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%.(2)P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(0.5%×95%,1.47%)＝eq\f(95,294).1．知識(shí)清單：(1)全概率公式．(2)貝葉斯公式．2．方法歸納：化整為零、轉(zhuǎn)化化歸．3．常見誤區(qū)：事件拆分不合理或不全面．1．有朋自遠(yuǎn)方來，乘火車、船、汽車、飛機(jī)來的概率分別為0.3，0.2,0.1,0.4，遲到的概率分別為0.25,0.3,0.1,0，則他遲到的概率為()A．0.85B．0.65C．0.145D．0.075答案C解析設(shè)A1＝“他乘火車來”，A2＝“他乘船來”，A3＝“他乘汽車來”，A4＝“他乘飛機(jī)來”，B＝“他遲到”．則Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4兩兩互斥，由全概率公式得P(B)＝eq\i\su(i＝1,4,P)(Ai)·P(B|Ai)＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145.2．播種用的一等小麥種子中混有2%的二等種子，1.5%的三等種子，1%的四等種子．用一、二、三、四等種子長(zhǎng)出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5,0.15,0.1,0.05，則這批種子所結(jié)的穗含50顆以上麥粒的概率為()A．0.8B．0.532C．0.4825D．0.3125答案C解析設(shè)從這批種子中任選一顆是一、二、三、四等種子的事件是A1，A2，A3，A4，則Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4兩兩互斥，設(shè)B＝“從這批種子中任選一顆，所結(jié)的穗含50顆以上麥?！?，則P(B)＝eq\i\su(i＝1,4,P)(Ai)·P(B|Ai)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.4825.3．已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，現(xiàn)隨機(jī)選一人，則此人恰是色盲的概率是()A．0.01245B．0.05786C．0.02625D．0.02865答案C解析用事件A，B分別表示隨機(jī)選一人是男人或女人，用事件C表示此人恰好患色盲，則Ω＝A∪B，且A，B互斥，P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝eq\f(1,2)×5%＋eq\f(1,2)×0.25%＝0.02625.4．設(shè)有來自三個(gè)地區(qū)的各10名，15名和25名考生的報(bào)名表，其中女生報(bào)名表分別為3份、7份和5份，隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，從中先后取出兩份，則先取到的一份為女生表的概率為()A.eq\f(3,10)B.eq\f(21,100)C.eq\f(7,30)D.eq\f(29,90)答案D解析設(shè)A＝“先取到的是女生表”，Bi＝“取到第i個(gè)地區(qū)的表”，i＝1,2,3，∴P(A)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Bi)P(A|Bi)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,10)＋eq\f(1,3)×eq\f(7,15)＋eq\f(1,3)×eq\f(5,25)＝eq\f(29,90).5．把外形相同的球分裝在三個(gè)盒子中，每盒10個(gè)．其中，第一個(gè)盒子中有7個(gè)球標(biāo)有字母A,3個(gè)球標(biāo)有字母B；第二個(gè)盒子中有紅球和白球各5個(gè)；第三個(gè)盒子中有紅球8個(gè)，白球2個(gè)．試驗(yàn)按如下規(guī)則進(jìn)行：先在第一個(gè)盒子中任取一個(gè)球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在第二個(gè)盒子中任取一個(gè)球；若第一次取得標(biāo)有字母B的球，則在第三個(gè)盒子中任取一個(gè)球．如果第二次取出的是紅球，則稱試驗(yàn)成功，則試驗(yàn)成功的概率為()A．0.59B．0.41C．0.48D．0.64答案A解析設(shè)A＝“從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母A的球”，B＝“從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母B的球”，R＝“第二次取出的球是紅球”，則容易求得P(A)＝eq\f(7,10)，P(B)＝eq\f(3,10)，P(R|A)＝eq\f(1,2)，P(R|B)＝eq\f(4,5)，P(R)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)＝eq\f(1,2)×eq\f(7,10)＋eq\f(4,5)×eq\f(3,10)＝0.59.6．袋中裝有編號(hào)為1,2，…，N的N個(gè)球，先從袋中任取一球，如該球不是1號(hào)球就放回袋中，是1號(hào)球就不放回，然后再摸一次，則取到2號(hào)球的概率為________．答案eq\f(N2－N＋1,N2N－1)解析設(shè)A＝“第一次取到1號(hào)球”，則eq\x\to(A)＝“第一次取到的是非1號(hào)球”；B＝“最后取到的是2號(hào)球”，顯然P(A)＝eq\f(1,N)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(N－1,N)，且P(B|A)＝eq\f(1,N－1)，P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(1,N)，∴P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|eq\x\to(A))P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,N－1)·eq\f(1,N)＋eq\f(1,N)·eq\f(N－1,N)＝eq\f(N2－N＋1,N2N－1).7．人們?yōu)榱私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r(shí)期內(nèi)價(jià)格的變化，往往會(huì)去分析影響股票價(jià)格的基本因素，比如利率的變化．現(xiàn)假設(shè)人們經(jīng)分析估計(jì)利率下調(diào)的概率為60%，利率不變的概率為40%.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，人們估計(jì)，在利率下調(diào)的情況下，該支股票價(jià)格上漲的概率為80%，而在利率不變的情況下，其價(jià)格上漲的概率為40%，則該支股票將上漲的概率為________．答案64%解析記A為事件“利率下調(diào)”，那么eq\x\to(A)即為“利率不變”，記B為事件“股票價(jià)格上漲”．依題設(shè)知P(A)＝60%，P(eq\x\to(A))＝40%，P(B|A)＝80%，P(B|eq\x\to(A))＝40%，于是P(B)＝P(AB)＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))＝60%×80%＋40%×40%＝64%.8．設(shè)盒中裝有5只燈泡，其中3只是好的，2只是壞的，現(xiàn)從盒中隨機(jī)地摸出兩只，并換進(jìn)2只好的之后，再?gòu)暮兄忻?只，則第二次摸出的2只全是好的概率為________．答案0.55解析Ai＝“第一次摸出i只好的”(i＝0,1,2)，A＝“第二次摸出的2只全是好的”，則A＝AA2∪AA1∪AA0，∵P(A0)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(A|A0)＝1，P(A1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)，P(A|A1)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)，P(A2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10)，P(A|A2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10)，∴第二次摸出的2只全是好的的概率為P(A)＝P(A2)·P(A|A2)＋P(A1)P(A|A1)＋P(A0)P(A|A0)＝eq\f(3,10)×eq\f(3,10)＋eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,10)＝0.55.9．1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球，現(xiàn)隨機(jī)地從1號(hào)箱中取出一球放入2號(hào)箱，然后從2號(hào)箱隨機(jī)取出一球，問：(1)從1號(hào)箱中取出的是紅球的條件下，從2號(hào)箱取出紅球的概率是多少？(2)從2號(hào)箱取出紅球的概率是多少？解記事件A＝“最后從2號(hào)箱中取出的是紅球”；事件B＝“從1號(hào)箱中取出的是紅球”．則事件eq\x\to(B)＝“從1號(hào)箱中取出的是白球”．P(B)＝eq\f(4,2＋4)＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝eq\f(1,3).(1)P(A|B)＝eq\f(3＋1,8＋1)＝eq\f(4,9).(2)∵P(A|eq\x\to(B))＝eq\f(3,8＋1)＝eq\f(1,3)，∴P(A)＝P(AB)＋P(Aeq\x\to(B))＝P(A|B)P(B)＋P(A|eq\x\to(B))·P(eq\x\to(B))＝eq\f(4,9)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(11,27).10．設(shè)甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)爆發(fā)了某種流行病，三個(gè)地區(qū)感染此病的比例分別為eq\f(1,7)，eq\f(1,5)，eq\f(1,4).現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)任選一個(gè)地區(qū)抽取一個(gè)人．(1)求此人感染此病的概率；(2)若此人感染此病，求此人來自乙地區(qū)的概率．解設(shè)Ai＝“此區(qū))，B＝“感染此病”，則Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3兩兩互斥，∴P(A1)＝eq\f(1,3)，P(A2)＝eq\f(1,3)，P(A3)＝eq\f(1,3)，∴P(B|A1)＝eq\f(1,7)，P(B|A2)＝eq\f(1,5)，P(B|A3)＝eq\f(1,4).由全概率公式得(1)P(B)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Ai)P(B|Ai)＝eq\f(83,420).(2)P(A2|B)＝eq\f(PA2PB|A2,\i\su(i＝1,3,P)AiPB|Ai)＝eq\f(28,83).11．設(shè)袋中有12個(gè)球，9個(gè)新球，3個(gè)舊球，第一次比賽取3球，比賽后放回，第二次比賽再任取3球，則第二次比賽取得3個(gè)新球的概率為()A.eq\f(441,3025)B.eq\f(193,220)C.eq\f(1,11)D.eq\f(7,60)答案A解析設(shè)Ai＝“第一次比賽恰取出i個(gè)新球(i＝0,1,2,3)”，B＝“第二次比賽取得3個(gè)新球”，∴P(B)＝eq\i\su(i＝0,3,P)(Ai)P(B|Ai)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(3,9),C\o\al(3,12)C\o\al(3,12))＋eq\f(C\o\al(1,9)C\o\al(2,3)C\o\al(3,8),C\o\al(3,12)C\o\al(3,12))＋eq\f(C\o\al(2,9)C\o\al(1,3)C\o\al(3,7),C\o\al(3,12)C\o\al(3,12))＋eq\f(C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),C\o\al(3,12)C\o\al(3,12))＝eq\f(441,3025).12．某卡車為鄉(xiāng)村小學(xué)運(yùn)送書籍，共裝有10個(gè)紙箱，其中5箱英語書、2箱數(shù)學(xué)書、3箱語文書．到目的地時(shí)發(fā)現(xiàn)丟失一箱，但不知丟失哪一箱，現(xiàn)從剩下的9箱中任意打開兩箱，結(jié)果都是英語書的概率為()A.eq\f(5,18)B.eq\f(5