專題10 幾何圖形中的分類討論思想（解析版）

專題10幾何圖形中的分類討論思想【典例解析】【例1】（2019·江蘇崇川期中）△ABC中，最小內(nèi)角∠B＝24°，若△ABC被一過點(diǎn)A的直線分割成兩個(gè)等腰三角形，如圖為其中一種分割法，此時(shí)△ABC中的最大內(nèi)角為90°，那么其它分割法中，△ABC中的最大內(nèi)角度數(shù)為_____．【答案】117°或108°或84°．【解析】解：①∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣24°）＝78°，∠DAC＝∠DCA＝∠BDA＝39°，∴∠BAC＝78°+39°＝117°；②∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠ACD＝2∠DBA＝48°，∴∠DAC＝180°﹣2×48°＝84°，∴∠BAC＝24°+84°＝108°；③∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠DAC＝2∠DBA＝48°，∴∠BAC＝24°+48°＝72°，∠C＝180°﹣2×48°＝84°；△ABC中的最大內(nèi)角度數(shù)為117°或108°或84°，故答案為：117°或108°或84°．【變式1-1】（2020·哈爾濱月考）已知等腰三角形，，為邊上一點(diǎn)，且和都是等腰三角形，則______．【答案】45°或36°.【解析】解：分兩種情況：（1）當(dāng)AD＝BD，DC＝AD時(shí)，則BD＝CD．在△ADB與△ADC中，∵BD=CD，AD=AD，AB=AC，∴△ADB≌△ADC，∴∠ADB＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠ADB＝90°，∴∠B＝45°；（2）當(dāng)AB＝BD，CD＝AD時(shí)，則∠BAD＝∠BDA，∠C＝∠DAC．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝∠DAC，∠BAD＝∠BDA＝2∠C＝2∠B，∵∠B+∠C+∠BAD+∠DAC＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°．故答案為：45°或36°．【變式1-2】（2019·河北邢臺(tái)模考）我們知道，經(jīng)過三角形一頂點(diǎn)和此頂點(diǎn)所對(duì)邊上的任意一點(diǎn)的直線，均能把三角形分割成兩個(gè)三角形（1）如圖，在中，，過作一直線交于，若把分割成兩個(gè)等腰三角形，則的度數(shù)是______．（2）已知在中，，過頂點(diǎn)和頂點(diǎn)對(duì)邊上一點(diǎn)的直線，把分割成兩個(gè)等腰三角形，則的最小度數(shù)為________．【答案】130°，.【解析】解：（1）由題意得：當(dāng)DA=BA，BD=BA時(shí)，不符合題意，當(dāng)DA=DB時(shí)，則∠ABD=∠A=25°，∴∠BDA=180°-25°×2=130°．故答案為：130°；（2）①∵AB=AC，當(dāng)BD=AD，CD=AD，∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴4∠B=180°，∴∠BAC=90°．②∵AB=AC，當(dāng)AD=BD，AC=CD，∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，∴∠BAC=3∠B，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∴∠BAC=108°．③∵AB=AC，當(dāng)AD=BD=BC，∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，∴∠ABC=∠C=2∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴5∠BAC=180°，∴∠BAC=36°．④∵AB=AC，當(dāng)AD=BD，CD=BC，∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠CDB=∠CBD，∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，∴∠ABC=∠C=3∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴7∠BAC=180°，∴∠BAC=．綜上所述，∠A的最小度數(shù)為：．故答案：．【例2】（2018·南通市期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)的坐標(biāo)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)在軸上沿著軸的正方向運(yùn)動(dòng)．（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處，過點(diǎn)作的垂線交直線于點(diǎn)，證明，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，問是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的三角形和全等，若存在求點(diǎn)的坐標(biāo)以及此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】見解析．【解析】解：（1）∵AP⊥PD∴∠APB+∠DPC=90°又∠A+∠APB=90°∴∠A=∠APB∵AB=CP，∠ABP=∠PCD∴△ABP≌△PCD∴AP=DP，CD=BP=3∴D（2,3）.（2）設(shè)P（a,0），Q（2，b）①當(dāng)AB=PC，BP=CQ時(shí)，△PCQ≌△ABP即，解得或∴P（0,0），Q（2,3）或P（0,0），Q（2,-3）或P（4,0），Q（2,7）或P（4,0），Q（2,-7）②當(dāng)AB=CQ，BP=CP時(shí)，△APB≌△QPC即，解得∴P（,0），Q（2,-2）或P（,0），Q（2,2）.【變式2-1】（2020·重慶期末）如圖，點(diǎn)在線段上，于，于，，且，，點(diǎn)以的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)以的速度從開始，在線段上往返運(yùn)動(dòng)（即沿…運(yùn)動(dòng)），當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).過，分別作的垂線，垂足為，.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)以，，為頂點(diǎn)的三角形與全等時(shí)，的值為__________．【答案】1或或.【解析】解：①當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在CE上時(shí)，∵以P，C，M為頂點(diǎn)的三角形與△QCN全等，∴PC=CQ，∴5-2t=6-3t，∴t=1，②當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q第一次從點(diǎn)C返回時(shí)，∵以P，C，M為頂點(diǎn)的三角形與△QCN全等，∴PC=CQ，∴5-2t=3t-6，∴t=，③當(dāng)點(diǎn)P在CE上，點(diǎn)Q第一次從E點(diǎn)返回時(shí)，∵以P，C，M為頂點(diǎn)的三角形與△QCN全等，∴PC=CQ，∴2t-5=18-3t，∴t=，綜上所述：t的值為1或或．故答案為：1或或．【例3】（2019·四川成都期中）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．(1)如果∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)；(2)如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，試探索∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系．(3)如圖③，延長線段BP、QC交于點(diǎn)E，△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，求∠A的度數(shù)．【答案】見解析．【解析】解：(1)∵△ABC的角平分線BD、CE相交于點(diǎn)P，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，∵∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，∴∠PBC∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=×100°=50°，∴∠BPC=180°-(∠PBC∠PCB)=180°-50°=130°.(2)∵△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，∴∠QBC=(∠A+∠ACB)，∠PCB=(∠A+∠ABC)，∴∠QBC∠QCB=(∠A+∠A+∠ABC+∠ACB)=(∠A+180°)=∠A+90°.又∠QBC∠QCB=180°-∠Q，∴∠A+90°=180°-∠Q，∴∠Q=90°-∠A.(3)連接BC并延長到點(diǎn)F∵CQ為△ABC的外角的角平分線，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，∴∠ACF=2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBC，∵∠ECF=∠EBC+∠E，∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，即∠ACF=∠ABC+2∠E，又∵∠ACF=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠E，即∠E=∠A；∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=∠ABC+∠MBC=(∠ABC+∠A+∠ACB)=90°．①∠EBQ=2∠E=90°，則∠E=45°，∠A=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°，則∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；③∠Q=2∠E，則90°-∠A=∠A，解得∠A=60°；④∠E=2∠Q，則∠A=2(90°-∠A)，解得∠A=120°．綜上所述，∠A的度數(shù)是90°或60°或120°．【變式3-1】（2020·河南偃師）（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，的內(nèi)角的平分線和外角的平分線相交于點(diǎn).①當(dāng)時(shí)，則②當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）﹔（2）應(yīng)用：如圖2，直線與直線垂直相交于點(diǎn)，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），延長至，已知的角平分線與的角平分線所在的直線相交于，在中，如果一個(gè)角是另一個(gè)角的倍，請(qǐng)直接寫出的度數(shù).【答案】見解析．【解析】解：（1）①∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠OCD＝∠BOC＋∠OBC，∵OB、OC分別平分∠ABC、∠ACD，∴∠ACD＝2∠OCD，∠ABC＝2∠OBC，∴2∠OCD＝2∠OBC＋∠A，∴∠A＝2∠BOC，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝∠A＝25°，②由∠ACD=∠A+∠ABC，知∠ACD－∠ABC=α∵OB，OC平分∠ABC，∠ACD∴∠OBC=∠ABC，∠OCD=∠ACD∴∠BOC=∠OCD－∠OBC=（∠ACD－∠ABC）=α（2）∵∠BAO，∠OAG的平分線與∠BOQ的平分線相交于E，F(xiàn)∴∠EAF=（∠BAO+∠GAO）=90°①當(dāng)∠E=∠EAF=30°時(shí)，根據(jù)（1）可知：∠ABO=2∠E=60°②當(dāng)∠E=∠F時(shí)，∠E=22.5°∴∠ABO=2∠E=45°.【變式3-2】（2020·山東嶗山期末）直線與直線垂直相交于，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，連接．圖1圖2圖3圖4（1）如圖1，已知，分別是和角的平分線，①點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)的過程中，的大小是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由；若不發(fā)生變化，試求出的大?。谌鐖D2，將沿直線折疊，若點(diǎn)落在直線上，記作點(diǎn)，則_______；如圖3，將沿直線折疊，若點(diǎn)落在直線上，記作點(diǎn)，則________．（2）如圖4，延長至，已知，的角平分線與的角平分線交其延長線交于，，在中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的倍，求的度數(shù)．【答案】見解析．【解析】解：（1）①∠ACB的大小不變，∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠PAB+∠ABM=270°，∵AC、BC分別是∠BAP和∠ABM角的平分線，∴∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，∴∠BAC+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，∴∠ACB=45°；②∵將△ABC沿直線AB折疊，若點(diǎn)C落在直線PQ上，∴∠CAB=∠BAQ，∵AC平分∠PAB，∴∠PAC=∠CAB，∴∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°，∵∠AOB=90°，∴∠ABO=30°；如圖3，∵將△ABC沿直線AB折疊，若點(diǎn)C落在直線MN上，∴∠ABC=∠ABN，∵BC平分∠ABM，∴∠ABC=∠MBC，∴∠MBC=∠ABC=∠ABN，∴∠ABO=60°，故答案為：30，60；（2）∵∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E，∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線，∴∠EAF=90°．在△AEF中，有一個(gè)角是另一個(gè)角的倍，有：①∠EAF=∠E，∠E=60°，∠ABO=120°（不合題意，舍去）；②∠EAF=∠F，∠E=30°，∠ABO=60°；③∠F=∠E，∠E=36°，∠ABO=72°；④∠E=∠F，∠E=54°，∠ABO=108°（不合題意，舍去）；．∴∠ABO為60°或72°．【習(xí)題專練】1.（2020·河南宛城月考）等腰三角形的底邊長為6cm，一腰上的中線把三角形分成的兩部分周長之差為4cm，則這個(gè)等腰三角形周長為_____cm．【答案】26.【解析】解：設(shè)腰長為xcm，根據(jù)題意得：x﹣6＝4或6﹣x＝4，解得：x＝10或x＝2（舍去），∴這個(gè)等腰三角形的周長為10+10+6＝26cm．故答案為：26．2.（2020·重慶月考）如圖，，，，E為AC上一點(diǎn)，且，在直線AC上取一點(diǎn)P，使，則：的值為______．【答案】2或4.【解析】解：如圖，①當(dāng)∠1=∠2時(shí)，∠1+∠3=60°，∠BAD=3∠CAD，∠ABE=2∠CBE，DA∥BC得：3∠3+3∠EBC=180°∴∠EBC+∠3=60°∴∠EBC=∠1=∠2=∠P1BE即∠CBP1:∠ABP1=2②當(dāng)∠ABP2=∠DCA時(shí)，同理，得∠CBP2:∠ABP2=4故答案為：2或4．3.（2020·湖北硚口期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，其中，，點(diǎn)是軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是在直線與直線之間的一點(diǎn)，連接、，平分，平分，交于，則與之間可滿足的數(shù)量關(guān)系式為______________．【答案】∠BNO+∠BPO=180°或∠BPO=2∠BNO.【解析】解：①P在OB左側(cè)時(shí)，∠BPO=2∠BNO，在△BPO中，∠PBO+∠POB=180°－∠BPO∵BC∥OA，BN平分∠CBP，ON平分∠AOP，∴∠BNO=（180°－∠PBO－∠POB）=90°－（180°－∠BPO）=∠BPO即∠BPO=2∠BNO.②P在OB右側(cè)時(shí)，∠BNO+∠BPO=180°，∵BC∥OA，

∴∠CBP+∠AOP+∠BPO=360°，

∵BN平分∠CBP，ON平分∠AOP，∴∠PBN+∠PON+∠BPO=180°∴∠PBN+∠PON=180°－∠BPO在四邊形BNOP中，∠BNO=360°－∠PBN－∠PON－∠BPO=180°－∠BPO即∠BNO+∠BPO=180°.故答案為：∠BNO+∠BPO=180°或∠BPO=2∠BNO.4.（2019·樂清市期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)最多為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】解：①以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，△BCD就是等腰三角形；②以A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E，△ACE就是等腰三角形；③以C為圓心，BC長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)F，△BCF就是等腰三角形；④作AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)H，△ACH就是等腰三角形；⑤作AB的垂直平分線交AC于G，則△AGB是等腰三角形；⑥作BC的垂直平分線交AB于I，則△BCI和△ACI都是等腰三角形．故答案為C.5.（2020·廈門市）在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（3，2），點(diǎn)P（m，0）（m＜6），若△POA是等腰三角形，則m可取的值最多有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B.【解析】解：點(diǎn)P（m，0）（m＜6），點(diǎn)P在x軸上，分三種情況：①當(dāng)O為頂角頂點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)O為圓心OA長為半徑畫弧，交x軸于一點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性得到此點(diǎn)的坐標(biāo)為（6,0），舍去；②當(dāng)點(diǎn)A為頂角頂點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，OA長為半徑畫弧，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)均滿足小于6的條件，故此時(shí)有兩個(gè)；③作線段OA的垂直平分線，與x軸交于一點(diǎn)，滿足小于6的條件；綜上，共有3個(gè)點(diǎn)P，即m有3個(gè)值.6.（2020·四川江油月考）在△ABC中，AB=AC，AC上的中線BD把三角形的周長分為24㎝和30㎝的兩個(gè)部分，求三角形的三邊長．【答案】16cm，16cm，22cm或20cm，20cm，14cm.【解析】解：如圖所示設(shè)三角形的腰AB=AC=xcm（1）若AB+AD=24cm，則x+x=24∴x=16∵三角形的周長為24+30=54cm所以三邊長分別為16cm，16cm，22cm（2）若AB+AD=30cm，則x+x=30∴x=20∵三角形的周長為24+30=54cm∴三邊長分別為20cm，20cm，14cm因此，三角形的三邊長為16cm，16cm，22cm或20cm，20cm，14cm．7.（2020·南陽市期末）已知一個(gè)等腰三角形的三邊長分別為2x﹣1、x+1、3x﹣2，求這個(gè)等腰三角形的周長．（1）完成部分解題過程，在以下解答過程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容．解：①當(dāng)2x﹣1=x+1時(shí)，解x等于多少，此時(shí)是否能構(gòu)成三角形（回答“能”或“不能”）．②當(dāng)2x﹣1=3x﹣2時(shí)，解x等于多少，此時(shí)是否能構(gòu)成三角形（回答“能”或“不能”）．（2）請(qǐng)你根據(jù)（1）中兩種情況的分類討論，完成第三種情況的分析，若能構(gòu)成等腰三角形，求出這個(gè)三角形的周長．【答案】見解析．【解析】解：（1）①當(dāng)2x﹣1=x+1時(shí)，解得：x=2，此時(shí)3，3，4，能構(gòu)成三角形．②當(dāng)2x﹣1=3x﹣2時(shí)，解得：x=1，此時(shí)1，2，1不能構(gòu)成三角形．故答案為2，能，1，不能；（2）③當(dāng)x+1=3x﹣2，解得：x=，此時(shí)2，能構(gòu)成三角形．故三角形的周長為：3+3+4=10或=7．綜上所述：三角形的周長為10或7．8.（2019·宜春市期中）如圖，，點(diǎn)為射線上一頂點(diǎn)，點(diǎn)在射線上移動(dòng)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，_________．【答案】30°、75°、120°.【解析】解：①當(dāng)OA=AB時(shí)∴∠ABO=∠MON=30°②當(dāng)OA=OB時(shí)，∴∠ABO=∠BAO=75°③當(dāng)OB=AB時(shí)∴∠OAB=∠MON=30°∴∠ABO=180°-∠OAB-∠MON=120°故答案為：30°、75°、120°.9.（2020·安徽淮南月考）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為20°，則該等腰三角形的底角的度為______.【答案】55°或35°．【解析】解：如圖，∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC于D，∴∠A=70°，∴∠ABC=∠C=（180°-70°）÷2=55°；如圖，∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC于D，∴∠BAC=20°+90°=110°，∴∠ABC=∠C=（180°-110°）÷2=35°．故答案為55°或35°．10.（2020·江蘇盱眙一期末）直線與相互垂直，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)、點(diǎn)均不與點(diǎn)重合．（1）如圖1，平分，平分，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，平分，平分，的反向延長線交于點(diǎn)．①若，則______度（直接寫出結(jié)果，不需說理）；②點(diǎn)、在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否發(fā)生變化，若不變，試求的度數(shù)：若變化，請(qǐng)說明變化規(guī)律．（3）如圖3，已知點(diǎn)在的延長線上，的角平分線、的角平分線與的角平分線所在的直線分別相交于的點(diǎn)、，在中，如果有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的4倍，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．【答案】（1）135°；（2）①45°；②不變；45°；（3）45°或36°【解析】解：（1）易知∠AIB=90°+∠BOA=135°.（2）①易知∠D=∠BOA=45°②結(jié)論：點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)過程中，∠ADB=45°，不發(fā)生變化.理由：∠D=∠CBA-∠BAD=(∠MBA-∠BAO)=∠AOB=45°.（3）由題意得：∠DAO=∠BAO，∠FAO=∠EAP，∴∠DAF=（∠BAO+∠EAP）=90°∴∠D=∠POD-∠DAO=（∠POB-∠BAO）=∠ABO∴∠ABO=2∠D在△ADF中，如果有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的4倍，則：①當(dāng)∠DAF=4∠D時(shí)，∠D=22.5°，此時(shí)∠ABO=2∠D=45°，②當(dāng)∠DAF=4∠F時(shí)，∠F=22.5°，∠D=67.5°∠ABO=135°（不符合題意舍去），③∠F=4∠D時(shí)，∠D=18°，∠ABO=36°④∠D=4∠F時(shí)，∠D=72°，∠ABO=144°（不符合題意舍去），綜上所述，當(dāng)∠ABO為45°或36°時(shí)，在△ADF中，有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的4倍．11.（2020·樂陵市月考）在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，連接PD、PE，∠PDB=∠1，∠PEA=∠2，∠DPE=∠α．（1）如圖1所示，若點(diǎn)P在線段AB上，且∠α=60°，則∠1+∠2=______°（答案直接填在題中橫線上）；（2）如圖2所示，若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為有何數(shù)量關(guān)系；猜想結(jié)論并說明理由；（3）如圖3所示，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長線上，則∠α、∠1、∠2之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)先補(bǔ)全圖形，再猜想并直接寫出結(jié)論（不需說明理由．）【答案】見解析.【解析】解：（1）∵∠α=60°，∠C=90°，∴∠DPE的鄰補(bǔ)角為120°，∠C的鄰補(bǔ)角為90°，又∵四邊形的外角和為360°，∴∠1+∠2=360°-120°-90°=150°；（2）∠DPE的鄰補(bǔ)角為180°-∠α，∠C的鄰補(bǔ)角為90°，∵∠1與∠2是四邊形DPEC的外角，∴由四邊形外角和可知：∠1+∠2+90°+（180°-∠α）=360°，∴∠1+∠2=90°+∠α（3）如圖3所示，

當(dāng)PD位于PE上方時(shí)，∴∠CFE=∠DPE+∠PDB=∠α+∠1，∵∠PEA=∠C+∠CFE，∴∠2=90°+∠α+∠1．當(dāng)PD位于PE下方時(shí)，

∵∠1=∠α+∠PFD，∠2=90°+∠CFE，∠PFD=∠CFE，∴∠1-∠2=∠α-90°．12.（2020·江蘇東臺(tái)期中）直線MN與直線PQ垂直相交于O，點(diǎn)A在直線PQ上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在直線MN上運(yùn)動(dòng)．（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠AEB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明變化的情況；若不發(fā)生變化，試求出∠AEB的大小．（2）如圖2，已知AB不平行CD，AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CED的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值．（3）如圖3，延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及延長線相交于E、F，在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，試求∠ABO的度數(shù)．【答案】見解析.【解析】解：（1）∠AEB的大小不變，∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，∴∠BAE+∠ABE=（∠OAB+∠OBA）=45°，∴∠AEB=135°；（2）∠CED的大小不變．延長AD、BC交于點(diǎn)F，∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∠PAB+∠MBA=270°，∵AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，∴∠BAD+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，∠F=45°，∴∠FDC+∠FCD=135°，∠CDA+∠DCB=225°∵DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，∴∠CDE+∠DCB=112.5°，∴∠E=67.5°；（3）∵∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E，∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，∴∠E=（∠BOQ-∠BAQ）=∠ABO∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線，∴∠EFA=90°在△AEF中，有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，有：①∠EFA=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°②∠EFA=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍）③∠EAF=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°④∠EAF=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍）∴∠ABO為60°或45°．13.（2020·四川彭州期末）如圖，在中，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接，作，交線段于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，°，°，°；（2）當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r(shí)?≌，請(qǐng)說明理由．（3）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，請(qǐng)直接寫出當(dāng)是等腰三角形時(shí)的度數(shù)．【答案】見解析.【解析】解：（1）∵∠BDA＝110°，∠ADE＝50°，∴∠CDE＝180°?∠BDA?∠ADE＝180°?110°?50°＝20°，∵∠C＝50°，∴∠AED＝∠CDE＋∠C＝20°＋50°＝70°，在△ADE中，∠DAE＝180°?∠ADE?∠AED＝180°?50°?70°＝60°，故答案為：20，70，60；（2）當(dāng)DC＝3時(shí)，△ABD≌△DCE，理由：在△ABD中，∠BAD＋∠BDA＝180°?∠B＝130°，∵∠BDA＋∠EDC＝180°?∠ADE＝130°，∴∠BAD＝∠CDE，∵∠B＝∠C，△ABD≌△DCE，∴CD＝AB＝3；（3）∵△ADE是等腰三角形，∴①當(dāng)AD＝AE時(shí)，∠AED＝∠ADE＝50°，∵∠C＝50°，∴點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，不符合題意，舍去，當(dāng)AD＝ED時(shí)，∠AED＝（180°?∠ADE）＝65°，∴∠CDE＝∠AED?∠C＝15°，∴∠BDA＝180°?∠ADE?∠CDE＝115°，當(dāng)AE＝DE時(shí)，∠AED＝180°?2∠ADE＝80°，∴∠CDE＝∠AED?∠C＝30°，∴∠BDA＝180°?∠ADE?∠CDE＝100°，即當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)∠BDA的度數(shù)為115°或100°．14.（2020·都江堰期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C方向運(yùn)動(dòng)到C（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE＝30°，DE交線段AC于E．（1）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，若∠BDA＝100°，求∠DEC的大??；（2）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，若AB＝DC，請(qǐng)證明△ABD≌△DCE；（3）若BC＝6cm，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)速度是1cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的t，使得△ADE的形狀是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】見解析．【解析】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝∠B＝30°，∵∠BDA＝100°，∠ADE＝30°，∴∠EDC＝180°﹣100°﹣30°＝50°，∴∠DEC＝180°﹣50°﹣30°＝100°；（2）∵∠C＝30°，∴∠CED+∠CDE＝150°，∵∠ADE＝30°，∴∠ADB+∠CDE＝150°，∴∠CED＝∠ADB，在△ABD和△DCE中，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）存在，∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠BAC＝120°，∵BC＝6cm，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)速度是1cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），∴BD＝t，CD＝6﹣t，①如圖1，當(dāng)∠DAE＝90，則∠BAD＝30°，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴AD＝BD＝t，∵∠C＝30°，∴CD＝2AD，即6﹣t＝2t，∴t＝2；②當(dāng)∠AED＝90°時(shí)，則∠DAE＝60°，∴AD平分∠BAC，∴BD＝CD，即t＝6﹣t，∴t＝3，綜上所述，當(dāng)t＝2或3時(shí)，△ADE的形狀是直角三角形．15.（2019·湖北房縣）在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別交x軸、y軸于點(diǎn)A（–a，0）、點(diǎn)B（0，b），且a、b滿足a2+b2–4a–8b+20=0，點(diǎn)P在直線AB的右側(cè)，且∠APB＝45°．（1）a＝；b＝．（2）若點(diǎn)P在x軸上，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出圖形（BP為虛線），并寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P不在x軸上，是否存在點(diǎn)P，使△ABP為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】見解析．【解析】解：（1）∵a2+b2–4a–8b+20=0，∴（a2–4a+4）+（b2–8b+16）＝0，∴（a–2）2+（b–4）2＝0∴a＝2，b＝4，故答案為：2，4；（2）如圖1，由（1）知，b＝4，∴B（0，4），∴OB＝4，點(diǎn)P在直線AB的右側(cè)，且在x軸上，∵∠APB＝45°，∴OP＝OB＝4，∴P（4，0），故答案為：（4，0）；（3