專題09 在網(wǎng)格背景下的面積和周長計算（解析版）

專題09在網(wǎng)格背景下的面積和周長計算1．如圖，正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C，E，F(xiàn)在同一條圓弧上，且點C，E，F(xiàn)在格點（小正方形的頂點）上，若，則陰影部分的面積為_________．【答案】【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點找到過點的圓的圓心，進而根據(jù)已知條件與圓周角定理求得，關(guān)于陰影部分面積面積等于即可求解．【詳解】如圖，根據(jù)網(wǎng)格的特點找到的垂直平分線與的垂直平分線，交于點，連接，，，，陰影部分面積面積等于．故答案為：．【我思故我在】本題考查了圓周角定理，求扇形面積公式，確定圓心是解題的關(guān)鍵．2．如圖是由相同的小正方形組成的網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1，上的點A，B，C，D均為格點，上有一點E，且，則圖中陰影部分的面積為______．【答案】【分析】線段AB和線段BC的垂直平分線相交于點O，則點O即為所在的圓得的圓心，連接OC，OE，由圓周角定理得∠COE＝2∠CAE＝30°，過點C作CH⊥OE于點H，則∠OHC＝90°，在Rt△OCH中，求得CH＝OC＝，利用即可求出圖中陰影部分的面積．【詳解】解：如圖，線段AB和線段BC的垂直平分線相交于點O，則點O即為所在的圓得的圓心，連接OC，OE，∵，∴∠COE＝2∠CAE＝30°，過點C作CH⊥OE于點H，則∠OHC＝90°，由勾股定理得OC＝OE＝，在Rt△OCH中，∠OHC＝90°，∠COH＝30°，OC＝，∴CH＝OC＝，∴＝＝故答案為：【我思故我在】此題考查了圓周角定理、判斷三角形外接圓的圓心位置、扇形的面積公式、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等知識，利用圓周角定理得到∠COE＝2∠CAE＝30°是解題的關(guān)鍵．3．如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，的三個頂點均在格點上，點D是邊AB的中點，格點E在上，則圖中陰影部分的面積為_______．【答案】【分析】取BC中點F，連接DF，由中位線的性質(zhì)得到，，利用勾股定理分別解得AC，BC，AB的長，證明為等腰直角三角形，繼而得到也是等腰直角三角形，解得的面積及扇形CDF的面積即可解答．【詳解】解：如圖，連接DFD是邊AB的中點，F(xiàn)是邊BC的中點，是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，故答案為：．【我思故我在】本題考查網(wǎng)格與勾股定理、扇形的面積、中位線性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．4．如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，點A，B，C均為小正方形的頂點，且點B在上，則陰影部分的面積為__．【答案】##【分析】點O為過B點的縱軸和過C點的橫軸的交點，連接OA，根據(jù)題意求出OA，OB，OC的長，確定圓心和半徑，從而求出弓形BC的面積，進而解答；【詳解】解：如圖，點O為過B點的縱軸和過C點的橫軸的交點，連接OA，D點為小正方形的頂點，根據(jù)題意由圖可得：OA=，OB=OC=5，∴O為的外接圓的圓心，AD為底邊，則的面積=，∵OC⊥OB，圓的半徑為5，則扇形BC的面積為外接圓的面積，∴弓形BC的面積=，∴陰影部分的面積為：10＋=，故答案為：．【我思故我在】本題考查了求不規(guī)則圖形的面積，勾股定理，三角形外接圓的性質(zhì)，扇形面積的計算；找出圓心的位置是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，一條弧經(jīng)過格點（網(wǎng)格線的交點）A，B，D，點C為弧BD上一點．若，則弧CD的長為__________．【答案】【分析】作線段AD和線段AC的垂直平分線交于點O，即格點O為弧AD所在圓的圓心，連接OC、OD，根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理，得出的長，再根據(jù)圓周角定理，得出，再根據(jù)弧長公式進行計算即可．【詳解】解：如圖，作線段AD和線段AC的垂直平分線交于點O，即格點O為弧AD所在圓的圓心，連接OC、OD，根據(jù)題意，可得：，，∴弧CD的長為：．故答案為：【我思故我在】本題考查了線段的垂直平分線、勾股定理、圓周角定理、弧長公式，根據(jù)題意并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解本題的關(guān)鍵．圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半；弧長公式：（為弧所對的圓心角的度數(shù)；為半徑）6．如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一段弧，弧上三點A，B，C均在格點上．則的長為______．【答案】【分析】直接利用圓的性質(zhì)得出圓心位置進而利用勾股定理以及勾股定理逆定理得出；再利用弧長公式計算得出答案．【詳解】解：如圖所示：圓心P的坐標(biāo)為：（-2，1），∵AP=PC=，AC=2，∴AP2+PC2=AC2，∴△APC是等腰直角三角形，∴∠APC=90°，的長度為：．故答案為【我思故我在】此題主要考查了弧長的計算以及勾股定理以及勾股定理逆定理，正確得出圓心位置是解題關(guān)鍵．7．如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A、B、C、D、E、F均在小正方形的頂點上，且弦BG上有4個正方形的格點（包括端點），則陰影部分的面積為_____________．【答案】【分析】連接BE、CF交于點O，連接OG，由圓周角定理可得BE，CF是圓的直徑，O為圓的圓心，由勾股定理可得圓的半徑為，由∠CBM=45°可得扇形圓心角為90°，再由陰影面積=扇形COG面積-△COG面積計算求值即可；【詳解】解：如圖，連接BE、CF交于點O，連接OG，設(shè)BG、CE交于格點M，B、C、E、F均在小正方形的頂點上，則ECBF是矩形，∵∠BCE=90°，∠CBF=90°，∴BE，CF是圓的直徑，O為圓的圓心，BC=3，BF=4，則FC==5，圓的半徑為，∵BC=CM=3，∠BCM=90°，∴∠CBM=45°，即∠CBG=45°，∴∠COG=90°，∴陰影面積=扇形COG面積-△COG面積=-OC?OG=，故答案為：；【我思故我在】本題考查了圓周角定理，勾股定理，扇形面積計算等知識；正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．8．如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．點A，B，C均在小正方形的頂點上，且點A，B，C在同一條弧上，則陰影部分的周長為_____．【答案】【分析】設(shè)的圓心為O，的中點為M，OM與BC的交點為N，根據(jù)表格得出BC=6，MN=1，CN=，設(shè)圓O的半徑為R，利用勾股定理得出R=5，由勾股定理逆定理得出?AOC為直角三角形，∠COA=90°，結(jié)合圖形應(yīng)用弧長公式及勾股定理即可得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)的圓心為O，的中點為M，OM與BC的交點為N，由圖可知，BC=6，MN=1，CN=，設(shè)圓O的半徑為R，由圖可得：，即，解得：R=5，∴OC=OA=5，∵，∴，∴?AOC為直角三角形，∠COA=90°，陰影部分的周長為：，故答案為：．【我思故我在】題目主要考查不規(guī)則圖形的周長，包括扇形弧長、勾股定理及其逆定理，理解題意，作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．9．如圖，在每個小正方形的邊長均為1的網(wǎng)格圖中，一段圓弧經(jīng)過格點A，B，C，格點A，D的連線交圓弧于點E，則圖中陰影部分面積為____．【答案】【分析】連接AC，取AC中點F，連接EF，可得AC為直徑，F(xiàn)為圓心，再由勾股定理逆定理可得，△ACD是等腰直角三角形，且∠ACD=90°，從而得到，結(jié)合圖形利用三角形面積與扇形面積之間的關(guān)系求解即可．【詳解】解：如圖，連接AC，取AC中點F，連接EF，∵∠ABC=90°，∴AC為直徑，F(xiàn)為圓心，∴，∴∠FAE=∠FEA，即∠CAD=∠FEA，網(wǎng)格中，由勾股定理得：，，，∴，，∴，△ACD是等腰直角三角形，且∠ACD=90°，∴∠CAD=45°，∴∠CAD=∠FEA=45°，∴，∴，故答案為：．【我思故我在】本題主要考查了圓周角定理，求扇形面積，勾股定理逆定理的應(yīng)用，熟練掌握圓周角定理，扇形面積，勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵．10．如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，C均在小正方形的頂點上，點B在弧AC上，且∠ACB＝15°，則陰影部分的周長為______．【答案】【分析】先確定出圓心位置根據(jù)弧長公式求出弧AB的長度，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得BC的長度，再利用勾股定理求出線段AC的長度，即得答案．【詳解】解：由題意知圓心O位置如圖所示，∵∠ACB＝15°，∴∠AOB=30°，∴∠BOC=60°，即△BOC為等邊三角形，OC=BC=OB=6，∴弧AB的長度為：，由勾股定理得：AC=，陰影部分的周長為，故答案為：．【我思故我在】本題考查了弧長的計算公式、勾股定理求格點中線段的長度、等邊三角形的判定等知識點．解題關(guān)鍵是：確定出弧所在圓的圓心位置．11．如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C，D均在小正方形的頂點上，且點C在上，與交于點，則的長為______．【答案】【分析】連接AC、BC、AB、BD、取AB的中點O，連接OH，首先利用△ABD求出∠BAD=45°，結(jié)合△OAH求出圓心角的度數(shù)和半徑長，再求出∠BOH=90°，繼而利用弧長公式即可求出弧長．【詳解】解：連接AC、BC、AB、BD、取AB的中點O，連接OH，∵∠ACB=90°，∴AB為圓O的直徑，O是圓心，∵AB=,同理BD=5，AD=，∴AB2+BD2=AD2，∴∠ABD=90°，又∵AB=BD，∴∠BAD=45°，又∵OA=OH，∴∠AOH=90°，∴∠BOH=90°，∴的長為，故答案為．【我思故我在】本題考查弧長公式、圓周角定理以及勾股定理以及逆定理，解決問題的關(guān)鍵是求出圓心角和半徑．12．如圖，在5×4的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長均為1點A，B，C，D均在格點上，點D在上線段BC與交于點E，則圖中陰影部分的周長為_______．（結(jié)果保留）【答案】【分析】先連接AC，AE，可說明△ABC是等腰直角三角形，進而得出∠BDA=90°，得出AB是圓的直徑及△ABE是等腰直角三角形，然后根據(jù)特殊角三角函數(shù)求出BE，再根據(jù)弧長公式求出弧長，即可得出答案．【詳解】連接AC，AE，如圖所示，∵，，∴，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°．∵∠BDA=90°，∴AB是直徑，∴∠BEA=90°，∴△ABE為等腰直角三角形，∴，∠BAE=45°，∴所對的圓心角度數(shù)為90°，∴的長為，∴陰影部分的周長是．故答案為：．【我思故我在】本題主要考查了圓周角定理及推論，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，弧長公式等，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．13．如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A、B、D均在小正方形的頂點上，且點B、C在AD上，∠BAC=25°，則的長為______．（結(jié)果保留）【答案】##【分析】如圖，圓心為O，連接OA，OB，OC，OD．利用弧長公式求解即可．【詳解】解：如圖，圓心為O，連接OA，OB，OC，OD．∵OA=OB=OD=5，∠BOC=2∠BAC=50°，∴的長=．故答案為：．【我思故我在】本題考查弧長公式，解題的關(guān)鍵是正確尋找圓心O的位置，屬于中考?？碱}型．14．如圖，在的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長均為1，點，，三點都在格點上，線段與交于點，則圖中的長度為________．（結(jié)果保留）【答案】【分析】連接，由網(wǎng)格圖得到和長，再利用圓周角定理得到所對的圓心角，最后利用弧長公式代值求解即可．【詳解】解：連接，如圖所示：由圖可知和均是的網(wǎng)格構(gòu)成的矩形的對角線，則，是半圓的直徑，由圓周角定理可知，是等腰直角三角形，，，由圓周角定理可知所對的圓心角為，的長度為，在網(wǎng)格中，，的長度為，故答案為：．【我思故我在】本題考查網(wǎng)格中線段長求解及弧長求解，通過網(wǎng)格找到線段關(guān)系及相應(yīng)線段長度、角度是解決問題的關(guān)鍵．15．如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C均在小正方形的頂點上，且點D在上，，則的長為_________．【答案】【分析】連接AC，確定弧所對的圓心O，可知AC為直徑，連接OB、OD，利用勾股定理求得，，則，根據(jù)圓周角定理可得，從而求得，即可求解．【詳解】解：連接AC，確定弧所對的圓心O，連接OB、OD，如下圖：由勾股定理可得：，，∴∴為直角三角形，∴AC為直徑，，，∴∵∴，∴，所以的長為故答案為：【我思故我在】此題考查了弧長的計算，涉及了勾股定理，圓周角定理等性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定圓心的位置，正確求得半徑以及圓心角，熟記弧長公式．16．如圖，△ABC的三個頂點都在5×5的網(wǎng)格（每個小正方形的邊長均為1個單位長度）的格點上，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)到△A′BC′的位置，且點A′、C′仍落在格點上，則圖中陰影部分的面積是___________．【答案】【分析】首先求得扇形的半徑和圓心角，然后根據(jù)扇形面積公式求得扇形的面積，然后計算出的面積，相減即可得出陰影部分面積．【詳解】解：由題意得，，旋轉(zhuǎn)角，，∵，．故答案為：．【我思故我在】本題主要考查了扇形面積的計算、勾股定理等，牢固掌握扇形面積公式是做出本題的關(guān)鍵．17．如圖，在4×5的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長均為1，點A，C，B三點都在格點上，線段AC與交于D，則圖中的長度為___．（結(jié)果保留π）【答案】【分析】連接BC，由題意可得，∠ABC=90°，，推出所對的圓心角的度數(shù)和圓的半徑，根據(jù)弧長公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接BC，由圖可得：，，，，是直角三角形，∠ABC=90°，，∴∠BAD=45°，∴所對的圓心角是90°，所在圓的半徑是，∴的長度為：故答案為：．【我思故我在】本題考查了弧長的計算，勾股定理及其逆定理，正確的作出輔助線并熟記弧長公式是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在的方格紙中，每個小方格都是邊長為1的正方形，點、、是格點，則圖中扇形中陰