專題11 相似三角形中的“K”字型相似模型(原卷版)

專題11相似三角形中的“K”字型相似模型【模型展示】特點如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.結(jié)論CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.【模型證明】解決方案“三垂直”模型如圖，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.“一線三等角”模型如圖，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點，則△ACE∽△ABC∽△CDE.【題型演練】一、單選題1．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，E是邊CD上一點，連接AE．折疊該紙片，使點A落在AE上的G點，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BF，點F在AD上．若DE=4，則AF的長為（

）A．

B．4

C．3

D．22．如圖，邊長為10的等邊中，點在邊上，且，將含30°角的直角三角板（）繞直角頂點旋轉(zhuǎn)，、分別交邊、于、．連接，當(dāng)時，長為（

）A．6 B． C．10 D．3．如圖，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中點，連接AE，tan∠AEB，P是AD邊上一動點，沿過點P的直線將矩形折疊，使點D落在AE上的點處，當(dāng)是直角三角形時，PD的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或4．如圖，在矩形中，，，、、、分別為矩形邊上的點，過矩形的中心，且．為的中點，為的中點，則四邊形的周長為（

）A． B． C． D．5．如圖，E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，連接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，則下列結(jié)論：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正確的個數(shù)是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個6．如圖，在中，．動點從點出發(fā)沿著射線的方向以每秒1cm的速度移動，動點從點出發(fā)沿著射線的方向以每秒2cm的速度移動．已知點和點同時出發(fā)，設(shè)它們運動的時間為秒．連接．下列結(jié)論正確的有（）個①；②當(dāng)時，；③以點為圓心、為半徑畫，當(dāng)時，與相切；④當(dāng)時，．A． B． C． D．二、填空題7．如圖，正方形的對角線，相交于點，，為上一點，，連接，過點作于點，與交于點，則的長是______．8．如圖，在矩形中，，，是邊上一點，連接，將沿折疊使點落在點，連接并延長交于點，連接．若是以為腰的等腰三角形，則的長為________．9．如圖，為等邊三角形，點D，E分別在邊AB，AC上，，將沿直線DE翻折得到，當(dāng)點F落在邊BC上，且時，的值為______．三、解答題10．如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F，延長FE與直線CD相交于點G，連接FC（AB＞AE）．(1)求證：△AEF∽△DCE；(2)△AEF與△ECF是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由；(3)設(shè)，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BFC相似？若存在，證明你的結(jié)論并求出k的值；若不存在，請說明理由．11．（1）問題如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當(dāng)時，求證：．（2）探究若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在BC上，點E在AC上，點F在BC上，且，若，求CD的長．12．【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．若，，，求AP的長．【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點E，當(dāng)是等腰三角形時，直接寫出AP的長．13．如圖，在矩形中，是上一點，于點，設(shè)．（1）若，求證：；（2）若，且在同一直線上時，求的值．14．如圖，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，點E是邊BC上一個動點（不與點B、C重合），AE的垂線AF交CD的延長線于點F，點G在線段EF上，滿足FG∶GE＝1∶2，設(shè)BE＝x．（1）求證：；（2）當(dāng)點G在△ADF的內(nèi)部時，用x的代數(shù)式表示∠ADG的余切；（3）當(dāng)∠FGD＝∠AFE時，求線段BE的長．15．如圖，已知四邊形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC邊上的一點，∠APD＝90°．（1）求證：；（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的長．16．如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是矩形，C，F(xiàn)，G三點在一直線上，連接AF并延長交邊CD于點M，若∠AFG＝∠ACD．（1）求證：①△MFC∽△MCA；②若AB＝5，AC＝8，求的值．（2）若DM＝CM＝2，AD＝3，請直接寫出EF長．17．如圖，在正方形中，點在上，交于點．（1）求證：；（2）連結(jié)，若，試確定點的位置并說明理由．18．如圖，正方形ABCD的邊長等于，P是BC邊上的一動點，∠APB、∠APC的角平分線PE、PF分別交AB、CD于E、F兩點，連接EF．（1）求證：△BEP∽△CPF；（2）當(dāng)∠PAB＝30°時，求△PEF的面積．19．如圖，四邊形ABCD是矩形，點P是對角線AC上一動點（不與A、C重合），連接PB，過點P作，交射線DC于點E，已知，．設(shè)AP的長為x．(1)___________；當(dāng)時，_________；(2)試探究：否是定值?若是，請求出這個值；若不是，請說明理由；(3)當(dāng)是等腰三角形時，請求出的值．20．【推理】如圖1，在正方形ABCD中，點E是CD上一動點，將正方形沿著BE折疊，點C落在點F處，連結(jié)BE，CF，延長CF交AD于點G．（1）求證：．【運用】（2）如圖2，在【推理】條件下，延長BF交AD于點H．若，，求線段DE的長．【拓展】（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF，延長CF，BF交直線AD于G，兩點，若，，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．21．在矩形中，點是邊上一點，將沿折疊，使點恰好落在邊上的點處．（1）如圖1，若，求的值；（2）如圖2，在線段上取一點，使平分，延長，交于點，若，求的值．22．問題提出（1）如圖1，在矩形中，，點E為的中點，點F在上，過點E作交于點G．若，則的面積為_________．問題探究（2）如圖2，在矩形中，，點P是邊上一動點，點Q是的中點將．沿著折疊，點A的對應(yīng)點是，將沿著折疊，點D的對應(yīng)點是．請問是否存在這樣的點P，使得點P、、在同一條直線上？若存在，求出此時的長度；若不存在，請說明理由．問題解決（3）某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)，部件要求：如圖3，在四邊形中，，點D到的距離