專題08 一線三角型（原卷版）-2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)相似三角形基本模型探究（北師大版）

專題08一線三角型【基本模型】(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點(diǎn)，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補(bǔ)充：其他常見的一線三等角圖形【例題精講】例1.如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一點(diǎn)，使得AE⊥DE．(1)求證：△ABE∽△ECD；(2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的長(zhǎng)．例2．【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．若，，，求AP的長(zhǎng)．【拓展】如圖③，在中，，，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點(diǎn)E，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫出AP的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練1】如圖，已知邊長(zhǎng)為10的正方形ABCD，E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（與B、C不重合），連結(jié)AE，G是BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，過點(diǎn)E作AE的垂線交∠DCG的角平分線于點(diǎn)F，若FG⊥BG．（1）求證：△ABE∽△EGF；（2）若EC＝2，求△CEF的面積；（3）當(dāng)△CEF的面積最大時(shí)，求EC．【變式訓(xùn)練2】如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求證△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的邊長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練3】如圖，矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、D重合），EF⊥BE交CD于點(diǎn)F．（1）求證：EA·ED＝AB·DF；（2）若BE平分∠ABD，點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，AG交BE于點(diǎn)K，H為AB邊上一點(diǎn)，∠BEH＝45°，BD交EF于點(diǎn)J，當(dāng)＝時(shí)，求；（3）若AB＝BC，點(diǎn)K為線段BE的三等分點(diǎn)（BK＜EK），點(diǎn)J為射線EF上一點(diǎn)，且EK＝EJ，當(dāng)＝_________時(shí)（直接寫結(jié)果），tan∠DJE＝．【課后訓(xùn)練】1．如圖，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，tan∠AEB，P是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿過點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時(shí)，PD的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或2．如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E為邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE，取BE的中點(diǎn)G，點(diǎn)G繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)F，連接CF，在點(diǎn)E從A到D的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑=________，△CEF面積的最小值是________．3．如圖，在矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，連接，將沿折疊使點(diǎn)落在點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．若是以為腰的等腰三角形，則的長(zhǎng)為________．4．等邊△ABC邊長(zhǎng)為6，P為BC上一點(diǎn)，含30°、60°的直角三角板60°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P上，使三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．(1)如圖1，當(dāng)P為BC的三等分點(diǎn)，且PE⊥AB時(shí)，判斷△EPF的形狀；(2)在（1）問的條件下，F(xiàn)E、PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，如圖2，求△EGB的面積；(3)在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如圖3，求PE的長(zhǎng)．5．【推理】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連結(jié)BE，CF，延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)G．（1）求證：．【運(yùn)用】（2）如圖2，在【推理】條件下，延長(zhǎng)BF交AD于點(diǎn)H．若，，求線段DE的長(zhǎng)．【拓展】（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF，延長(zhǎng)CF，BF交直線AD于G，兩點(diǎn)，若，，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．6．在中與中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，連接．（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是__________，位置關(guān)系是__________；（2）類比探究當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）問題解決在旋轉(zhuǎn)過程中，請(qǐng)直接寫出的面積的最大值與最小值．7．已知正方形的邊長(zhǎng)為4，一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E、F，連接．設(shè)．（1）如圖1，當(dāng)被對(duì)角線平分時(shí)，求a、b的值；（2）當(dāng)是直角三角形時(shí)，求a、b的值；（3）如圖3，探索繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，的面積是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．8．如圖1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，直角∠GEF的兩直角邊EF、EG分別交CD、BC于點(diǎn)F、G．（1）若點(diǎn)F是邊CD的中點(diǎn)，求EG的長(zhǎng)．（2）當(dāng)直角∠GEF繞直角頂點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中與邊CD、BC交于點(diǎn)F、G．∠EFG的大小是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)求出tan∠EFG的值．（3）當(dāng)直角∠GEF繞頂點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中與邊CD、BC所在的直線交于點(diǎn)F、G．在圖2中畫出圖形，并判斷∠EFG的大小是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)直接寫出tan∠EFG的值．（4）如圖3，連接CE交FG于點(diǎn)H，若，請(qǐng)求出CF的長(zhǎng)．9．如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB＝8，將紙片折疊，使頂點(diǎn)B落在邊AD上的E點(diǎn)處，折痕的一端G點(diǎn)在邊BC上．（1）如圖1，當(dāng)折痕的另一端F在AB邊上且AE＝