正定矩陣的判定

正定矩陣的判定泰山學院正定矩陣的判定所在學院專業(yè)名稱申請學士學位所屬學科年級學生姓名、學號指導教師姓名職稱裝訂日期2015年6月30日一、開題報告二、任務(wù)書三、論文1.封面2.中文摘要3.英文摘要4.目錄5.正文6.參考文獻7.致謝評委評語及其建議：評委簽字：學院蓋章：2014年12月20日泰山學院畢業(yè)論文任務(wù)書題目正定矩陣的判定學院年級專業(yè)姓名學號指導教師簽字學生簽字2014年12月20日你的畢業(yè)論文開題報告已通過，現(xiàn)將畢業(yè)論文工作任務(wù)下達給你,請按照要求認真完成。主要內(nèi)容如下：正定矩陣的判定基本要求論文寫作前必須充分收集關(guān)于“正定矩陣的判定”的相關(guān)資料；在參考已有文獻的基礎(chǔ)上，矩陣作為科學研究的一項重要工具，在數(shù)學、工程技術(shù)、自然科學以及經(jīng)濟管理等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，要有一定的新見解；論文的文字要通順、書寫規(guī)范、表述準確.倡導獨立思考、杜絕抄襲和盡可能減少雷同；文字數(shù)控制在6000字左右。應(yīng)收集的資料及主要參考文獻[1]王萼芳，石生明.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，1996.[2]王品超.高等代數(shù)新方法[M].濟南：山東教育出版社，1989.[3]毛綱源.線性代數(shù)解題方法技巧歸納[M].武漢：華中理工大學出版社，1993.[4]錢吉林.高等代數(shù)題解精粹[M].北京：中央民族大學出版社，2002.[5]北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室.高等代數(shù)(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003.[6]張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)(第四版)[M].北京：高等教育出版社，1999.進度安排1.調(diào)研、收集資料務(wù)必于2014年12月10日前完成。2.寫作初稿務(wù)必于2015年4月10日前完成。3.修改、定稿、打印務(wù)必于2015年5月30日前完成。本畢業(yè)論文完成期限任務(wù)書下達于2014年12月20日。任務(wù)完成后，2015年6月5日前按照規(guī)定格式打印交至學院，由指導教師評閱后提交畢業(yè)論文答辯委員會。泰山學院本科畢業(yè)論文 正定矩陣的判定所在學院專業(yè)名稱申請學士學位所屬學科年級學生姓名、學號指導教師姓名、職稱完成日期二〇一五年六月摘要PAGE\*ROMANI摘要矩陣理論是線性代數(shù)的核心內(nèi)容，是數(shù)學中最重要的基本概念之一，是代數(shù)學研究的主要對象及應(yīng)用的重要工具，它貫穿于線性代數(shù)的各個部分。并且矩陣理論在幾何學、物理學、概率論及最優(yōu)化理論等諸多學科中具有廣泛的應(yīng)用而且一直都是重要的熱門課題。矩陣作為科學研究的一項重要工具，在數(shù)學、工程技術(shù)、自然科學以及經(jīng)濟管理等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，掌握好矩陣理論是學好線性代數(shù)必不可少的條件。正定矩陣作為一類特殊的矩陣在矩陣理論中占有非常重要的地位，而正定矩陣的判定又是正定矩陣研究的重要內(nèi)容，接下來文中文中給出了定義法、標準型法、順序主子式法、特征值法、矩陣分解法五種判斷實對稱矩陣正定的方法，并舉例說明如何判斷一個實對稱方陣是否正定。關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；正定矩陣；基本概念；性質(zhì)；判定方法ABSTRACTPAGE\*ROMANIIABSTRACTMatrixtheoryisthecorecontentoflinearalgebra,isoneofthemostimportantbasicconceptsinmathematics,isanimportanttoolforthemainresearchobjectalgebraanditsapplication,itrunsthrougheverypartoflinearalgebra.Andthematrixtheoryingeometry,physics,probabilitytheoryandtheoptimizationtheoryandotherdisciplinesiswidelyusedandhasbeenahottopicof.Matrixisanimportanttoolofscientificresearch,playanimportantroleinthefieldofmathematics,engineeringtechnology,naturalscienceandeconomicmanagement,mastermatrixtheoryisessentialtolearnlinearalgebra.Positivedefinitematrixasakindofspecialmatrixplaysaveryimportantroleinmatrixtheory,anddeterminethepositivedefinitematrixandpositivedefinitematrixisanimportantcontentoftheresearch.ThispapergivesthedefinitionofChinesemethod,standardmethod,sequenceanalysis,eigenvaluemethod,matrixdecompositionmethodoffivekindsofmethodstojudgethepositiverealsymmetricmatrix,andanexampleisgiventoillustratehowtojudgewhetherarealsymmetricpositivedefinitematrix.Keywords:Linearalgebra,Positivedefinitematrix,Thebasicconcept,Nature,Judgingmethod目錄PAGE\*ROMANIII目錄TOC\o1引言12正定矩陣的基本概念13正定矩陣的性質(zhì)24正定矩陣的判定方法34.1定義法34.2標準形法44.3順序主子式法54.4特征值法64.5矩陣分解法85參考文獻 106致謝 11泰山學院本科畢業(yè)論文PAGE\*Arabic111引言矩陣理論是線性代數(shù)的核心內(nèi)容，是數(shù)學中最重要的基本概念之一，是代數(shù)學研究的主要對象及應(yīng)用的重要工具，它貫穿于線性代數(shù)的各個部分。并且矩陣理論在幾何學、物理學、概率論及最優(yōu)化理論等諸多學科中具有廣泛的應(yīng)用而且一直都是重要的熱門課題。矩陣作為科學研究的一項重要工具，在數(shù)學、自然科學、工程技術(shù)以及經(jīng)濟管理等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，掌握矩陣理論是學好線性代數(shù)必不可少的條件。正定矩陣作為一類特殊的矩陣在矩陣理論中占有十分重要的地位，而正定矩陣的判定又是正定矩陣研究的重要內(nèi)容，接下來文中文中給出了定義法、標準型法、順序主子式法、特征值法、矩陣分解法五種判斷實對稱矩陣正定的方法，并舉例說明如何判斷一個實對稱方陣是否正定。2正定矩陣的基本概念定義1實二次型稱為正定的，如果對于任意一組不全為零的實數(shù)，有定義2若實數(shù)域上的一個元二次型是正定二次型，則稱為正定矩陣。其中，注：（1）正定二次型和正定矩陣是一一對應(yīng)的關(guān)系。（2）經(jīng)非退化的線性替換，新二次型的矩陣和原二次型的矩陣合同。3正定矩陣的性質(zhì)1、與正定矩陣合同的矩陣一定是正定矩陣。實際上由合同的傳遞性、正定矩陣均與單位矩陣合同可知結(jié)論成立。2、正定矩陣的主對角線上的元素全大于零。事實上當實對稱矩陣是正定矩陣時，由它確定的二次型必為正定二次型。不妨假設(shè)，取，代入上式得，這與正定矛盾，所以假設(shè)不成立，即。3、正定矩陣的行列式大于零。正定矩陣與單位矩陣合同，存在可逆矩陣，使得，，由此還可看出：正定矩陣一定是可逆矩陣。4、正定矩陣的元素的絕對值的最大者一定是主對角線上的元素。設(shè)是正定矩陣，其中為絕對值最大者，則，又知道所有主子式都大于零，，與假設(shè)矛盾，正定矩陣中元素的絕對值的最大者一定是主對角線上的元素。注：這個結(jié)論常用于判定某些實對稱矩陣不是正定的矩陣。這是因為只要有一個非主對角線上的元素的絕對值不小于主對角線上元素的絕對值的最大者，則這個實對稱矩陣必定不是正定矩陣。5、正定矩陣乘積的特征根都大于零。設(shè)均為正定矩陣，則有可逆矩陣，使得，可逆，又是正定矩陣，從而與正定矩陣相似，而相似矩陣的特征根相同，所以的特征根都大于零。注：不一定是對稱矩陣。6、若是一個階正定矩陣，則（其中是主對角線上元素全大于零的上三角形矩陣）。事實上有可逆矩陣,使得(其中是正交矩陣，是一個上三角矩陣且主對角線上的元素均為正數(shù))。。7、正定矩陣的逆矩陣必為正定矩陣。正定矩陣與單位矩陣合同，存在可逆矩陣，使得，取逆矩陣，即有，則與單位矩陣合同，是正定矩陣。4正定矩陣的判定方法正定矩陣是一類特殊重要的矩陣，正定矩陣的判定又是正定矩陣討論的重要內(nèi)容，以下給出了五種正定矩陣的判定方法。4.1定義法階實對稱矩陣稱為正定矩陣，如果對于任意的維實非零列向量，都有.正定的實對稱矩陣簡稱為正定矩陣，記作：。例1設(shè)是正定矩陣，是非奇異實方陣，則也是正定矩陣。證明是實對稱矩陣，也是實對稱矩陣，又對任何實的非零列向量，由于，，即是正定矩陣例2設(shè)都是階正定矩陣，證明：也是正定矩陣。證明顯然矩陣是實對稱矩陣，任取知，由，知存在階可逆矩陣，使得,即，所以對任意的，因為，所以總存在一個，使得，又有：對以上的成立。所以，即。注：用定義證明矩陣正定需證明兩點：1）為實對稱矩陣。2）對任何的非零實列向量，4.2標準形法（合同變換法）下面五個陳述是等價的：1）階實對稱矩陣是正定的；2）正慣性指數(shù)等于；3）合同于單位矩陣；4）存在可逆矩陣，使得；5）的特征值全大于零。推論與正定矩陣合同的實對稱矩陣也是正定矩陣。例2證明：若是正定矩陣，則也是正定矩陣。證明是正定矩陣，是實對稱矩陣，可逆，且，即也是實對稱矩陣。例3設(shè)是階實對稱矩陣，，證明：為正定矩陣的充要條件為對所有的正定矩陣恒有證明必要性由正定，則存在實可逆矩陣，使得，于是充分性設(shè)不是正定的，由，必有負特征值，設(shè)為由實對稱,則存在正交矩陣,使得,這里令則正定.令,則正定,但是,矛盾.4.3順序主子式法1）的所有順序主子式全大于零。2）的所有主子式全大于零。注：類似的我們可以得到半正定矩陣的7個等價命題：a）階實對稱矩陣是半正定的；b)負慣性指數(shù)為零；c)合同于；d)存在階矩陣,使得；e)的特征值全非負。例4判斷二次型是否正定。解二次型的矩陣為三角矩陣的任意的階順序主子式=，所以矩陣為正定矩陣，原二次型為正定二次型。例5取何值時，二次型是正定二次型。解二次型對應(yīng)的矩陣為要使二次型正定，則的各階順序主子式全大于零，即滿足：得到，時，二次型為正定二次型。4.4特征值法的特征值全大于零，于是存在正交矩陣，使得，，，即存在正交線性替換，使得，，例6證明：二次型為正定二次型。證設(shè)的矩陣為，則由，可知的特征值，由于特征值全為正數(shù)，所以是正定矩陣，從而為正定二次型。例7設(shè),問滿足什么條件正定。解（1）當變元的個數(shù)為偶數(shù)時，的矩陣為，于是，故的特征值為（均為重），故正定（2）當變元的個數(shù)為奇數(shù)時，，故的特征值為正定綜上所述，4.5矩陣分解法如果矩陣有分解式:，則列滿秩時，正定；行滿秩時，半正定。一般地，如果矩陣能分解成若干個簡單矩陣的和、積等，則可能將問題化難為易，矩陣分解也是一種解決問題的方法。例8證明：是半正定矩陣。證明：因為，其中是行滿秩的，所以是半正定矩陣。例9設(shè)階實對稱矩陣，而且正定，求證：存在正定矩陣，使，且是唯一的。證明由正定，則存在正交矩陣，使得，這里令，則是正定矩陣，且下證唯一性。設(shè)存在正定矩陣使得,則是反對稱矩陣，于是的特征值為零和純虛數(shù)。若能證明的特征值全為零，則。由正定，則存在正定矩陣，使得，于是由實對稱，則其特征值皆為實數(shù)，又知的特征值皆為實數(shù)，于是的特征值皆為實數(shù)。由的特征值為和純虛數(shù)，則的特征值全為，故，注意到可逆，所以可得，故，唯一性得證。參考文獻[1]王萼芳，石生明.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，1996.[2]王品超.高等代數(shù)新方法[M].濟南：山東教育出版社，1989.[3]毛綱源.線性代數(shù)解題方法技巧歸納[M].武漢：華中理工大學出版社，1993.[4]錢吉林.高等代數(shù)題解精粹[M].北京：中央民族大學出版社，2002.[5]北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室.高等代數(shù)(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003.[6]于增海.高等代數(shù)考研選講[M