2024屆湖北省高三數(shù)學(xué)4月模擬考試卷附答案解析

2024屆湖北省高三數(shù)學(xué)4月模擬考試卷

2024.4

全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

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注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上

的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草

稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡

上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.設(shè)0=(1,-2),6=(-3,4),c=(3,2),則"+2處c等于()

A.(-15,12)B.0C.-3D.-11

2.已知集合4={#=|尤1|+|尤+2|},B=--------?,貝IJAB=()

[\A/10-X

A.(回,+8)B.[3,Vio)C.[3,+00)D.(-710,3]

3.下面四個數(shù)中，最大的是()

A.In3B.In(ln3)C.-----D.(ln3)2

X7ln3

4.數(shù)列{4}的首項為1,前〃項和為S”，若5〃+5而=S〃+m，(九〃￡N*)則，。9=()

A.9B.1C.8D.45

5.復(fù)數(shù)z=(aeR)在復(fù)平面上對應(yīng)的點不可能位于()

l+2z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

1

6.函數(shù)〃尤)加的圖象大致為()

1

7.能被3整除，且各位數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)的個數(shù)為（）

A.228B.210C.240D.238

8.拋物線「：/=2y上有四點A,B,C,D,直線AC,BD交于點、P,且PC="A，

q7

uABP_4

PD=APB（O<A<1）.過AB分別作『的切線交于點Q,貝IJ2=()

DABQ3'

￡

B\-z.----D.

2-133

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.平行六面體中，各個表面的直角個數(shù)之和可能為（）

A.0B.4C.8D.16

3

10.已矢口函數(shù)/(x)=任in(①％+0)+/口〉0,—j有最小正零點彳,/（O）=L若在

乙乙）4

4,|）上單調(diào)，貝U（）

A.(0=71B.』C."9)=1D./(9)=-1

3

11.如圖，三棱臺A5C-A與G的底面ABC為銳角三角形，點O,H,E分別為棱AA，BC,GA的中

點,且3c=24G=2,AC+AB=4；側(cè)面5CG用為垂直于底面的等腰梯形，若該三棱臺的體積最大值

為拽，則下列說法可能但不一定正確的是（）

7

A.該三棱臺的體積最小值為B"坐

，3后回）

C.^E-ADHD.EHe

2844J

2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.寫出函數(shù)〃尤）=]-譽的一條斜率為正的切線方程：.

13.兩個連續(xù)隨機(jī)變量X,Y滿足X+2F=3,且XN（3,靖,若尸5+1<0）=0.14,貝|

P（K+2>0）=.

22

14.雙曲線C:三-方=1（°,6>0）的左右焦點分別為耳，工，以實軸為直徑作圓。，過圓。上一點E作

圓。的切線交雙曲線的漸近線于A,8兩點（8在第一象限），若Bg=c,A4與一條漸近線垂直，則

雙曲線的離心率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程及演算步驟.

15.數(shù)列｛4｝中，4=1,g=9,且冊+2+=2。“+]+8,

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵數(shù)列也｝的前〃項和為S“，且滿足彳=右，袖用<0,求力

22

16.已知橢圓C]：?+;/=l和C2：*+y2=ig>b>o）的離心率相同，設(shè)C1的右頂點為A，C2的左頂點

ab

為4，3（0」），

⑴證明：BAt±BA,.

⑵設(shè)直線84與C?的另一個交點為P,直線與C1的另一個交點為0,連PQ,求|尸。|的最大值.

參考公式：m3+n3=（m+n^m2—mn+n1^

17.空間中有一個平面口和兩條直線機(jī)，n,其中機(jī)，〃與a的交點分別為A,B,AB=1,設(shè)直線與〃

（1）如圖1,若直線相，〃交于點C,求點C到平面。距離的最大值；

（2）如圖2,若直線m,n互為異面直線，直線機(jī)上一點尸和直線n上一點。滿足P0〃a,尸Q，〃且PQ，",

（i）證明：直線相，〃與平面a的夾角之和為定值;

3

(ii)設(shè)PQ=d(O<d<l),求點尸到平面。距離的最大值關(guān)于d的函數(shù)〃〃).

18.已知函數(shù)/(x)=ax2-x+ln(x+l),aeR,

(1)若對定義域內(nèi)任意非零實數(shù)占，巧，均有'(%)/')>0,求°；

(2)記r,=l+1+…+工，證明：??-j<ln(n+l)<r?.

19.歐拉函數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用.設(shè)〃為正整數(shù)，集合X“={1,2,…1},歐拉函數(shù)夕(〃)的值等

于集合X“中與〃互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)；記M(x,y)表示x除以y的余數(shù)G和y均為正整數(shù))，

(1)求0(6)和夕(15)；

(2)現(xiàn)有三個素數(shù)p,q,e(p<q<e),〃=的，存在正整數(shù)d滿足M(應(yīng)/(“))=1；已知對素數(shù)。和xwX”,

均有M(x"T,a)=l,證明:若xeX“,則％="(["(三,〃)產(chǎn),〃)；

(3)設(shè)"為兩個未知素數(shù)的乘積，,，g為另兩個更大的己知素數(shù)，且2q=3e2+l；又G=M(W,W),

e2

c2=M(x,n),xwX“，試用q,c?和〃求出了的值.

1.C

【分析】先求出a+26的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)運算公式求解即可

【詳解】因為。=。,-2),6=(-3,4),

所以。+26=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6),

因為c=(3,2),

所以(。+26”=-583+6乂2=-3,

故選：C

2.B

【分析】由絕對值三角不等式求得4=[3,y)，然后由解析式有意義求得2=卜可,如)，再由交集運

算可得.

【詳解】由|x-l|+|x+2閆(x-l)-(x+2)|=3,

當(dāng)且僅當(dāng)(x—l)(x+2)W0,即一24尤41時，等號成立，得人=[3,-)；

4

由10-無2>0得-屈<x<亞，即2=卜加,可).

所以AcB=［3，W

故選：B

3.D

【分析】先根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求得l<ln3<2,然后可判斷最大項.

【詳解】因為lne<ln3<lne2,即kin3V2,

所以In(ln3)<ln2<l,白<1,故B,C錯誤；

X(ln3)2-ln3=(In3-l)ln3>0,所以(1113)?>ln3.

故選：D

4.B

【分析】根據(jù)題意，令機(jī)=1,得到S,”「S“=I=1,等差數(shù)列｛Sj是等差數(shù)列，求得S“=7z,結(jié)合

%MSg-Sg,即可求解.

【詳解】由題意知，數(shù)列｛4｝的首項為1,且s“+s,"=s』，

令m=l,可得S,+H=S用，即S,「S"=S|=1,

所以數(shù)列￡,｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，所以s〃=i+5-1)義1=〃，

貝lja9=S9-Ss=l.

故選：B.

5.A

【分析】先利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘除運算法則求出復(fù)數(shù)z,由此能求出結(jié)果.

a—2i(Q-2i)q-4-2(〃+l)ia—42a+2.

Z===Z，

［詳角牛］77^(1+2Z)(1-2/)55^

當(dāng)“>4時，一>0,-在/<0,則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(一，-幺在第四象限；

當(dāng)-2<。<4時，一<0,-在「<0,則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第三象限；

當(dāng)。<-2時，—<0,-在/>0,則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(一在第二象限；

當(dāng)。=-2或。=4時，—=0或-在「=0,則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點|—在坐標(biāo)軸上，不屬于任何

5

象限.

故復(fù)數(shù)Z=六電，對應(yīng)的點(一不可能位于第一象限.

故選：A.

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點所在象限的判斷，考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘除運算法則及復(fù)數(shù)的

幾何意義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于基礎(chǔ)題.

6.A

【分析】根據(jù)尤<0時的單調(diào)性可排除BC；再由奇偶性可排除D.

ex-ex-21n(-x),x<0

【詳解】

/(x)=e'-e--ln.r=<j_，

ex-ex-21nx,x>0

i

因為當(dāng)xv0時，y=e\y=—e[y=—21n(—x)都為增函數(shù)，

i

所以，y=e-e-21n(r),x<0單調(diào)遞增，故B，C錯誤；

又因為=e~x-e，-Inx2w-/(x),

所以/(x)不是奇函數(shù)，即圖象不關(guān)于原點對稱，故D錯誤.

故選：A

7.A

【分析】根據(jù)題意將10個數(shù)字分成三組：即被3除余1的；被3除余2的；被3整除的，若要求所得的

三位數(shù)被3整除，則可以分類討論：每組自己全排列或每組各選一個，求出3的倍數(shù)的三位數(shù)個數(shù)即可.

【詳解】然后根據(jù)題意將10個數(shù)字分成三組：

即被3除余1的有1,4,7；被3除余2的有2,5,8；被3整除的有3,6,9,0,

若要求所得的三位數(shù)被3整除，

則可以分類討論：每組自己全排列，每組各選一個，

所以3的倍數(shù)的三位數(shù)有：(A；+A；+A；-A；)+(C；CCA；-C；C；A：)=228j.

故選：A.

8.D

【分析】由題意可得取弦A3,的中點分別為M,N,設(shè)直線AB的方程為：y=^+根代

2

拋物線，由韋達(dá)定理可得時=k,yM=k+m,/=%，從而得P在直線MN上，根據(jù)切線方程可得4=左,

6

作出圖象，可得”=-，〃，%二（1一㈤/一2力〃,再根據(jù)￥里=：求解即可.

【詳解】解：由尸c=x尸A,PZ）=2PB（O<2<1）,可知AB〃⑺，

設(shè)弦AB,8的中點分別為M,N,

設(shè)直線AB的方程為：y=kx+m,

代入爐=2y,得了之—2kx—2m=0，

貝IxA+xB=2k,xAxB=-2m,

M2

所以X=上，yM=kxM+m=k+m,

同理可得尤N=%，

由拋物線的幾何意義可知點P在直線MN上,

所以Xp=%,

因為_?=2y,所以y=y=x,

所以物線在A處的切線為4：y-%=XA(X-XQ,即y-^-=xA(x-xA),

y=xAx-^,BP

同理可得物線在B處的切線為小丫=4尤-1焉，即苫/=%+上

X

綜上，M==xp=xQ=kfyQ——m,

所以四點共線，且所在直線平行于y軸,

7

由PC=APA,得(左一馬,汽—力)=%(4一%,%一%),

則%=2XA+(1-2)XP,yc=AyA+(l-A)yp,

又片=2打，

所以有+(1—=2AyA+2(1—2)yp,

又琮=2yA,

化簡得2AXPXA—2AyA+(1——2yp=0,

同理有2Axp%—2AyB+(1--2yp=0,

由兩式知直線AB的方程為：

2Xxp%—2Xy+(1--2yp-0,

因為馬=攵，

所以2Xfcv_2Xy+(l_；l)左2—2力=0,

又直線過點M伏火之+刈,

代入得力=(一㈤;2幾加，

H,m(—2—

sABP__PMQM-yp-，2=2,

2

sABQQMyM-yQk+m-(-m)3

整理得-k2-2m+3Ak2+6Am=0,

BP(3A-l)(^2+2m)=0,

由題可得yQ=-m<o,

所以相>0,

所以1—34=0,

解得2=；.

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及直線與圓錐曲線的問題，作出圖象，結(jié)合韋達(dá)定理求解.

9.ACD

8

【分析】根據(jù)平行六面體的性質(zhì)考察矩形個數(shù)的可能情況即可.

【詳解】平行六面體的六個面都是平行四邊形，且相對的平行四邊形全等，

所以六個平行四邊形中的矩形個數(shù)可能為0,2,4,6,

所以各個表面的直角個數(shù)之和可能為0,8,16,24.

故選：ACD

10.BC

【分析】確定fe(i-垃,&],reZ,故r=0或f=l,當(dāng)f=0時，不滿足單調(diào)性，排除；當(dāng)r=l時，計算

夕=0,。=(兀，代入計算得到答案.

【詳解】/(0)=應(yīng)sin°+f=1,故fw(1-0,1+0),/(^)=A/2sin(-1<w+^)+Z=0,故①，應(yīng)"

故,￡(1一瓶,五],ZGZ,故方=0或1=1,

當(dāng)/=0時，sin(p=^~,一=<°<=，

222

故°=2，/(x)=0sin(s:+2),CO>Q,/(九)有最小正零點一，

444

3兀777*4.兀77*T、9)1

一刃+―=也，攵EN,a)=—KTi-----eN,—>----4=—,

4433222

故7=—21,co<2兀，故口=兀，/(x)=A/2sin(7LvH—),

co4

當(dāng)xe(4,g),"+(學(xué),學(xué))，函數(shù)不單調(diào)，排除；

2444

IT7T

當(dāng)/=1時，sin°=0,--<(p<-,故0=0,

3635兀_3..7兀

sin(一0)=----，-a)=2kR+—^—a)=2kji+--,

424444

8.5兀7877K,._T9,1

a)=—kR-\---，左或〃？=—EH----eN,—>——4=—,

3333222

977

故T=—>1,CO<2TI,

CD

故@=當(dāng)，/(x)=0sin耳%)+1,驗證滿足條件，此時/(9)=V2sin(157i)+1=1.

綜上，AD錯誤，BC正確.

故選：BC.

11.BD

【分析】根據(jù)題意可得點A的軌跡為橢圓，由橢圓的幾何性質(zhì)從而可確定A的坐標(biāo)范圍，設(shè)三棱臺的高

為"由三棱臺的體積最大值確定力的范圍，從而可判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)兩點之間的距

9

離公式求解。包EH的取值范圍，從而可判斷B,D；將三棱臺補(bǔ)成三棱錐，根據(jù)棱錐與棱臺的體積關(guān)系

即可判斷C.

【詳解】由AC+AB=4,BC=2,可得點A的軌跡為橢圓，如圖

則橢圓方程為土+上=1,由于匕=石>。=1則0°<NBAC<90。，

43

又因為tABC為銳角三角形，貝10°<ZABC<90°且0。<ZACB<90°,

Qf—,

所以;<從區(qū)道，0<|xA|<l,

所以（5詼）皿*=丁2義出=6,由于2C=24G=2,所以5收。=/曲4字，

設(shè)S=SA,B'C'，則/Me=4s,設(shè)三棱臺的高為人，

則%C”,G=?3+45+所）=:此

因為該三棱臺的體積最大值為拽，所以％x=2,

64

由于S,力無最小值，故該三棱臺的體積無最小值，故A不正確;

對于三棱臺ABC-A耳G有側(cè)面BCCA為垂直于底面的等腰梯形,

則如圖，以H為原點,在平面ABC上作/fr_L面BCC4,在面8CC4作所j_面4BC,

則77(0,0,0),8(1,0,0),C(-l,0,0),耳

設(shè)A(x,y,0),則A]4，“，《?小〃)

h2h2

所以印）=+——=

444

10

由于忖40,1),/ZG(O,2］,所以苧，等，又乎?［手，粵；故B可能正確;

理比e

[―卜/=4

［述叵cf-.—1.物DM骷

11

r-22

故答案為：）=F+1——ln2（答案不唯一）

ee

,43

13.0.86##—

50

【分析】利用期望和方差的性質(zhì)可得然后由對稱性即可求解.

【詳解】因為X+2Y=3,所以X+l=4—2V,

因為P(X+140)=0.14,所以P(4-2y<0)=0.14,即尸(222)=0.14

131311

又y=-5X+w，所以石")=一5磯x)+5=o,D(Y)=-D[X}=-^,

乙乙乙乙'I1

所以

所以p(y+2>o)=p(y>-2)=i-p(y<-2)=i-p(y>2)=1-0.14=0.86.

故答案為：0.86

14.2

【分析】先根據(jù)幾何關(guān)系證明點E必為雙曲線的右頂點，再結(jié)合離心率計算公式，直接求解即可.

即儂=2°；

在△BOE中，cos/BOE=^=f=:，又/BOEqOi),故ZBOE==；

OBla2'/3

/、hibe

又左焦點(―GO)到直線y=^x的距離d=而+7=b,

即閨川=6,又|O4|=c,故|OH|=Jc2-口=a,則〃在圓。上，即A4與圓。相切；

TT

顯然AEO,貝=XZAOH+ZEOA+ZBOE=71,5LZBOE=~,

12

jr1JrTT

故可得NAOH=—,根據(jù)對稱性，ZBOy=-ZAOH=-,故/20招=—,

3263

故O,E,乙三點共線，E點是唯一的，根據(jù)題意，E必為雙曲線右頂點；

此時顯然有2=1皿三=力，故雙曲線離心率為￡=、兀衛(wèi)=2.

a3a\a2

故答案為：2.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是能夠人月與漸近線垂直，以及忸居|=c,確定點E的位置，進(jìn)而

求解離心率.

15.（l）a?=4M2-4M+1

⑵答案見解析

【分析】⑴依題意可得%+2+8,即可得到｛。用-4｝為等差數(shù)列，即可得到%-4=8”,

再利用累加法計算可得；

（2）由（1）可得2=±（2力-1）,由人也”＜。，得到/與燈2同號，再對偽分類討論，利用并項求和法

計算可得.

【詳解】（1）因為4+2+4=2。”+1+8，所以?！?2用=a,+i+8,

所以數(shù)列｛q,「4｝是公差為8的等差數(shù)列，其首項為電-4=8,

于是%-4=8〃，

則。"-%_1=8（〃一1）,0T-%_2=8（"-2）,L,

。3一〃2=8X2,〃2一4]=8,

LLt、1/\（1+〃—1）（〃—1）9

所以4=8（1+2H---bn-l）=8x-------------=4zz2-4n,

所以%=4/一4〃+1；

2

（2）由（1）問知，an=（2n-l）,則2=±（2〃-1）,

又2％＜。，則%%＜。，兩式相乘得h%%2＞0,即她+2〉。，

因此么與么+2同號,

13

因為她<。，所以當(dāng)4=1時，刈=-3,此時用=「2〃："為偶數(shù)，

當(dāng)"為奇數(shù)時，S”=(4+62)+(63+64)+…+(僅一2+2.1)+2=bn-2x^-=n,

當(dāng)〃為偶數(shù)時，S”=伍+3+他+優(yōu)升…+0"T+6"）=_2X]=-〃；

l-2n,〃為奇數(shù)

當(dāng)a=-1時，打=3,此時。=

2〃-1,"為偶數(shù)

當(dāng)〃為奇數(shù)時，Sn=伍+4)+伽+%)+…+(履2+%)+〃=b“+2x%=-n，

當(dāng)〃為偶數(shù)時，5.=(4+4)+(4+64)+…+(%+%=2x]="；

綜上,當(dāng)」=1時,S"=(T"T"；當(dāng)〃=一1時,S?=(-1)"■?.

16.⑴證明見解析；

Q)巫.

2

【分析】（1）根據(jù)離心率相等可得片〃=1,然后求出直線8A和B4的斜率，利用斜率即可得證;

（2）聯(lián)立直線和橢圓方程求出尸，。的坐標(biāo)，從而可得P。的中點坐標(biāo)，根據(jù)（1）中結(jié)論可得|尸。|=2忸C|,

利用導(dǎo)數(shù)即可求解.

【詳解】（1）當(dāng)時，G的離心率

當(dāng)0<“<1時，G的禺心率q=J1—/;

當(dāng)>>1時，C?的離心率e?=

當(dāng)0<6<1時，C?的離心率=71萬;

因為〃b,所以=1或Jl-b。="21'得a"2=1,

Vba

又a>b>0,所以仍=1,且1>1>匕>0；

由題意知4（。，°），4（—友。），即4-,0),

aJ

14

聯(lián)立如與c?的方程:將y消去得：卜+：卜子=0,

[ax+y=l''

解得占=0,X2=^-

a+1

又3（0,1）在曲線C2上，則馬=名，%=-&+i=44

aa+1

y=ax+l

將y消去得：（〃+/]/+2辦=°,

聯(lián)立/班與G的方程1221

—+y=1

〔Q

解得占=0,%=-"，

Cl+1

又3（0,1）在曲線G上，貝1Ja=一矣;，均="2+1=片,

/_3、

因此尸的中點^-,0,連BC,因為84，%,即5PL3。,

QcI。+1J

所以|PQ|=2忸。=2

3_

記〃。）=予言（。＞1）,當(dāng)/⑷最大時，|PQ|也最大;

(3/_1)(/+])_4a3,3

可知—（。）=2

?4+1

3/+3/-"+1)(/+1)(一/+4/-1)

⑹+1—(/+1)2

令/'(。)>0得_/+442_1>0,解得2—6<2+后，

又。>1,貝1|ae|l,42+

15

令r(a)<0得oe也+若,+8

因此/（。）在〃=亞二萬處取得最大值，

因此|「。|最大值為|P。1nm

17.（1）B

2

⑵（i）證明見解析，（ii）/⑷=辦丁w

【分析】（1）設(shè)點C到平面a的距離為/?,結(jié)合余弦定理、三角形，面積公式，基本不等式即可求得大

值；

（2）利用空間直線之間的位置關(guān)系、線面垂直的性質(zhì)定理與判定定理確定線面夾角即可證明結(jié)論；再根

據(jù)點到平面的距離，結(jié)合（1）中結(jié)論即可得答案.

【詳解】（1）設(shè)點C到平面a的距離為人，作于點“，可知

設(shè)。1=6,CB=a,在ASC中，由余弦定理可知：a2+b2-2abcosZACB=AB2=1,

TT7T

由于直線，"與"之間的夾角為且它們交于點C,則=

2

從而"=1,+b—ab>abf貝UabVl（Q=Z?時取等）；

因為SAABC=^-absmZACB=\ABCH,所以CH=昱ab<B,

2222

所以點C到平面a的距離/zv且，其最大值為1；

22

（2）（i）證：如圖，過點尸作直線"/〃，由題知直線/與平面a必相交于一點，設(shè)其為點。，

連接D4,則P,Q,D,B共面，又PQUaaDBua,于是尸?！ā?gt;8,

又///〃，則四邊形尸為平行四邊形，則OB=PQ=1,

因為尸。，〃且PQ，〃z,所以3O_L〃且5D_L7”,所以

又/m=P,所以平面上4￡>,

作尸H_LAD于H,則尸”_L5￡>,又ADBD=D,則

設(shè)PH=h,則尸到平面a的距離也為/?,且直線相，”與平面a的夾角分別為々4H和NPDH；

由于直線相與”之間的夾角為:，則直線，"與/之間的夾角也為；，

16

TTZJT

則/APQ=—，ZPAH+ZPDH=n-ZAPD=——,

33

2兀

即直線機(jī)，”與平面a的夾角之和為定值T；

(ii)因為5D2平面PAD,所以BD_LAD,

△ABD中，AD2^AB2-BD2^l-d2,則AD=J1一筋,

又/APD=g,由(1)問同法算得PHM是=43-3/

322

即點P到平面a距離h的最大值為=，3>(0<[<1).

18.(l)a=—

(2)證明見解析

【分析】(1)求導(dǎo)可得了'(0)=0,再分與。>0兩種情況分析原函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)。>0時分析極

值點的正負(fù)與原函數(shù)的正負(fù)區(qū)間，從而確定。的值；

(2)由(1)問的結(jié)論可知，+再累加結(jié)合放縮方法證明即可.

n2n\nJn

【詳解】⑴的定義域為(T,e)，且"0)=0;

/'(x)=lax-Id———=lax———=2a----|,因止匕/10)=0.

i.aWO時，2a--^-<0,貝！J止匕時令/4x)>。有xe(-1,0),令/[x)<0有xe(0,+co),

則/■")在(TO)上單調(diào)遞增，(。,+e)上單調(diào)遞減，又〃0)=。，

于是〃x)W0,此時令須馬<。，有"“)"")<0,不符合題意;

萬馬

ii.a>0時,/'(x)有零點0和超=(-1,

若/vo,即此時令r(x)<o有％￡5,0),“工)在(％,。)上單調(diào)遞減,

17

又"0)=0,則〃x0)>0,令%>0,x2=x0,有〃?：伍)<0,不符合題意；

若%>。，即此時令r(x)<0有xe(O,Xo),“X)在(。,不)上單調(diào)遞減，

又"0)=0,貝廳(%)<0,令t<王<。,3=/，有"龍"㈤<。,不符合題意；

玉光2

1丫2

若％=0,即4=不，此時尸(x)=，>0,“X)在(—I,—)上單調(diào)遞增，又/'(0)=0,

貝IJJC>0時/(x)>0,%<0時/(1)<0；貝iJxwO時/^>0,也即對西工2工。，"''"")>。,

x玉%2

綜上，

(2)證：由(1)問的結(jié)論可知，〃=0時，/(x)=-x+ln(x+l)<0；

且〃=；時工>0,/(x)=^x2-x+ln(x+l)>0；

貝!J_x>0時，X——X2<ln(x+l)<x,令x=L,有—-―^<ln|—F1|<—,

2nn2n\nJn

BP———^<ln(n+l)-Inn<—,

n2nn

于是廿日尸2M-l)(=

l--<ln2<l

2

將上述幾個式子相加，0―…+，］<ln(〃+l)</〃；

<In(H+1)<,只需證力〃一■!<(+：+,??+』］，只需證1+!+~+4<\；

6o2y2nJ2n3

「、，144(111

n24n24M2-1(2九-12n+1)

CCHI,11,111111525,日、丁

22n2(35572n-l2n+lJ32ra+l3

于是得證/?-1<ln(?+l)<??.

【點睛】方法點睛：

(I)此題考導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合應(yīng)用，找到合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)極值點，并確定函數(shù)正負(fù)區(qū)間是解此題的

關(guān)鍵；

(2)對累加結(jié)構(gòu)的不等式證明，一般需要應(yīng)用前問的結(jié)論，取特定參數(shù)值，得出不等式累加證明，遇到

18

不能累加的數(shù)列結(jié)構(gòu)，需要進(jìn)行放縮證明.

19.(1)以6)=2,火15)=8；

⑵證明見解析；

(3)x=M(aocf,n).

【分析】(1)利用歐拉函數(shù)。5)的定義直接求出。(6)和火15).

(2)分析求出尤與〃不互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)，求得—1),設(shè)M(x,p)=s,A/(x,q)=f,結(jié)合

二項式展開式證明M[水),〃)=1,再按V工0與st=0分類求證即得.

(3)利用"(x,y)的定義，記々=c；,n0=n,令%=M(敢一,4),那么%eN+,>n