上海市2024年高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析

上海市北蔡高中2024年高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.下列函數(shù)中，圖象關(guān)于V軸對(duì)稱的為()

%

A./(?)=jB./(%)=j7+2x+07-2x,xe[-l,2]

e+

C./(x)=sin8xD.f(x)=/

X

2.過拋物線￡：42=2加(。>0)的焦點(diǎn)尸作兩條互相垂直的弦48,CD,設(shè)P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，2(1,2),若

看+表小則s+iPQ的最小值是(3

A.1B.2C.3D.4

3.如圖，正三棱柱ABC-ABC1各條棱的長(zhǎng)度均相等，。為AA的中點(diǎn)，M,N分別是線段8區(qū)和線段CG的動(dòng)點(diǎn)

(含端點(diǎn))，且滿足BM=GN,當(dāng)M,N運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論中不正確的是

\-L.

*

A.在ADMN內(nèi)總存在與平面ABC平行的線段

B.平面。WNJ_平面5CG耳

C.三棱錐A-DMN的體積為定值

D.ADAGV可能為直角三角形

4.已知函數(shù)=”"1,若f(a)>f(b),則下列不等關(guān)系正確的是()

In%,x>1

A.——<——B.W>y/b

a~+lb+1

C.a2<abD.ln（?2+1）>ln（/?2+1）

5.等腰直角三角形BC。與等邊三角形ABO中，ZC=90°,BD=6,現(xiàn)將△回￡）沿3。折起，則當(dāng)直線AO與平

面5C。所成角為45。時(shí)，直線AC與平面所成角的正弦值為（）

A

A.WB.也c.顯D.空

3223

6.a為正實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，=2,則a=()

1

A.2B.73c.V2D.1

7.某部隊(duì)在一次軍演中要先后執(zhí)行六項(xiàng)不同的任務(wù)，要求是：任務(wù)A必須排在前三項(xiàng)執(zhí)行，且執(zhí)行任務(wù)A之后需立

即執(zhí)行任務(wù)E,任務(wù)B、任務(wù)C不能相鄰，則不同的執(zhí)行方案共有（）

A.36種B.44種C.48種D.54種

8.2021年某省將實(shí)行“3+1+2”的新高考模式，即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科必選，物理、歷史二選一，化學(xué)、生物、政

治、地理四選二，若甲同學(xué)選科沒有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率為

9.對(duì)于任意xwR,函數(shù)滿足"2—%）=—/（*）,且當(dāng)X..1時(shí)，函數(shù)/（x）=Gl.若

a===則a,b,c大小關(guān)系是（）

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

22

10.已知橢圓「+與=l（a〉6〉0）的焦點(diǎn)分別為耳，工，其中焦點(diǎn)B與拋物線y2=2px的焦點(diǎn)重合，且橢圓與

ab

拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)連線正好過點(diǎn)B，則橢圓的離心率為（）

A.受B.72-1C.3-2A/2D.8―1

2

11.若函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镸={x|-2WxW2},值域?yàn)镹={y|0WyW2},則函數(shù)y=/(x)的圖像可能是()

C.

12.如圖，AABC內(nèi)接于圓。，是圓。的直徑，DC=BE,DC//BE,DC±CB,DCLCA,AB=2EB=2,則

三棱錐E-ABC體積的最大值為()

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

22

13.已知橢圓工+乙=1的左焦點(diǎn)為點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方，若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)。為圓心

95

為半徑的圓上，則直線PR的斜率是.

^<3

14.若X、y滿足約束條件<%+>22,貝!|z=x+2y的最小值為.

x-3y<6

15.設(shè)a、/為互不重合的平面，m9〃是互不重合的直線，給出下列四個(gè)命題:

①若山〃小則相〃“；

②若帆ua,nua,m//n//貝！|a〃/；

③若“〃4，mc.a9nu/f,則加〃〃；

④若a_L/,aC\fi=m,nc.a,m^_n9貝!]〃_L/；

其中正確命題的序號(hào)為.

16.正四面體A-5CD的各個(gè)點(diǎn)在平面〃同側(cè)，各點(diǎn)到平面河的距離分別為1,2,3,4,則正四面體的棱長(zhǎng)為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）某健身館為響應(yīng)十九屆四中全會(huì)提出的“聚焦增強(qiáng)人民體質(zhì)，健全促進(jìn)全民健身制度性舉措”，提高廣大

市民對(duì)全民健身運(yùn)動(dòng)的參與程度，推出了健身促銷活動(dòng)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：健身時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi)，超過1小時(shí)的

部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為20元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.現(xiàn)有甲、乙兩人各自獨(dú)立地來該健身館健身，設(shè)甲、

111?

乙健身時(shí)間不超過1小時(shí)的概率分別為Z，健身時(shí)間1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)的概率分別為5,§，且兩人健

身時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí).

（1）設(shè)甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和為隨機(jī)變量J（單位：元），求J的分布列與數(shù)學(xué)期望￡（＜）;

（2）此促銷活動(dòng)推出后，健身館預(yù)計(jì)每天約有300人來參與健身活動(dòng)，以這兩人健身費(fèi)用之和的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，預(yù)

測(cè)此次促銷活動(dòng)后健身館每天的營(yíng)業(yè)額.

18.（12分）如圖，在直角AAO2中，OA=OB=2,AAOC通過AAO3以直線Q4為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到

（ZBOC=120°）.點(diǎn)。為斜邊AB上一點(diǎn).點(diǎn)〃為線段上一點(diǎn)，且=逋.

3

（1）證明：平面AOB；

（2）當(dāng)直線與平面所成的角取最大值時(shí)，求二面角3-CD-O的正弦值.

19.（12分）已知點(diǎn)4、3分別在x軸、V軸上運(yùn)動(dòng)，|AB|=3,=IMA-

（1）求點(diǎn)〃的軌跡C的方程；

（2）過點(diǎn)N，,-1］且斜率存在的直線/與曲線C交于p、。兩點(diǎn)，E（0,l）,求|石「|2+|￡。|2的取值范圍.

22

20.（12分）已知橢圓2y+17=1（?！?〉0）,上、下頂點(diǎn)分別是A、B,上、下焦點(diǎn)分別是耳、B，焦距為2,

點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）若。為橢圓上異于A、3的動(dòng)點(diǎn)，過A作與x軸平行的直線/,直線與/交于點(diǎn)S,直線&S與直線AQ交

于點(diǎn)P,判斷NSPQ是否為定值，說明理由.

21.(12分)已知函數(shù)/(%)=改2+851(?！瓿?

(1)當(dāng)■時(shí)，證明/''(x)'。，在［0,+8)恒成立；

(2)若/(X)在x=0處取得極大值，求。的取值范圍.

22.(10分)設(shè)函數(shù)/(x)=x—工，g(x)=〃nx,其中尤e(0,1),。為正實(shí)數(shù).

(1)若/(%)的圖象總在函數(shù)g(x)的圖象的下方，求實(shí)數(shù)f的取值范圍；

(2)設(shè)〃(x)=(lnx——+1)]+(必—1)11-；證明：對(duì)任意xe(o,i),都有H(x)>0.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)為偶函數(shù)，用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷可解.

【詳解】

圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)為偶函數(shù)；

A中,XGR，/I)=/_；+]=-/(x),故/(%)=潦1為奇函數(shù);

5中，/(x)=j7+2x+j7-2x的定義域?yàn)閇—L2],

不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為非奇非偶函數(shù);

C中，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，/(x)=sin8x為奇函數(shù);

e'+：*為偶函數(shù).

。中，X￡R且xwO,f(—x)=e+：=/(x)，故/(九)

(一%)x一

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查判斷函數(shù)奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法:

⑴定義法：對(duì)于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X都有/(x)=-/(-x),則函數(shù)“X)是奇函數(shù)；都有/(%)=/'(-X),

則函數(shù)/■(%)是偶函數(shù)

(2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)O函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)(丁軸)對(duì)稱.

2,C

【解析】

設(shè)直線的方程為丫=履+3，代入爐=2加得：x2-2pkx-p2=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得乙+乙=2。左，

必與=一22,從而得至"AB|=2?(1+z2)，同理可得|C￡)|=2p(l+，)，再利用點(diǎn)+陶=；求得P的值，

當(dāng)Q,P,M三點(diǎn)共線時(shí)，即可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，可知拋物線的焦點(diǎn)為(0,火)，則直線A3的斜率存在且不為0,

2

設(shè)直線AB的方程為y=Ax+g代入爐=2刀得：x2-2pkx-p2=0.

2

由根與系數(shù)的關(guān)系得4+4=2pk,xAxB=-p,

所以|AB|=2p(l+產(chǎn)).

又直線CD的方程為y=—1x+",同理|CD|=2pQ+4)，

k2k

111111

______—|--------^3_____________—|—_____________^3

所以\CD\~2p(l+k2)22(1+°)—2p—4，

所以2p=4.故必=4%過點(diǎn)尸作pu垂直于準(zhǔn)線，加為垂足，

則由拋物線的定義可得『尸1=1PMI.

所以|Pb|+|PQ|=|PM|+|PQ閆MQ|=3,當(dāng)Q,p,M三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、焦半徑公式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力

和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意取最值的條件.

3、D

【解析】

A項(xiàng)用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交，則交線與平面ABC平行；

B項(xiàng)利用線面垂直的判定定理；

C項(xiàng)三棱錐A-的體積與三棱錐N-A.DM體積相等，三棱錐N-A.DM的底面積是定值，高也是定值，則

體積是定值；

D項(xiàng)用反證法說明三角形DMN不可能是直角三角形.

【詳解】

A項(xiàng)，用平行于平面ABC的平面截平面MND,則交線平行于平面ABC,故正確；

B項(xiàng)，如圖：

當(dāng)M、N分別在BBHCCI上運(yùn)動(dòng)時(shí),若滿足BM=CN,則線段MN必過正方形BCGBi的中心O,由DO垂直于平面BCCiBi

可得平面平面5CG4,故正確；

C項(xiàng)，當(dāng)M、N分別在BB1、CG上運(yùn)動(dòng)時(shí),△A1DM的面積不變,N到平面AiDM的距離不變，所以棱錐N-AiDM的體積

不變，即三棱錐AI-DMN的體積為定值，故正確；

D項(xiàng)，若△DMN為直角三角形，則必是以NMDN為直角的直角三角形，但MN的最大值為BG,而此時(shí)DM,DN的長(zhǎng)大于

BBi,所以△DMN不可能為直角三角形，故錯(cuò)誤.

故選D

【點(diǎn)睛】

本題考查了命題真假判斷、棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間想象力和思維能力，意在考查對(duì)線面、面面平行、垂直的判定和性

質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.

4、B

【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性得到。步的大小關(guān)系，再利用不等式的性質(zhì)，即可得答案.

【詳解】

???/（X）在R上單調(diào)遞增，：.a>b.

的符號(hào)無法判斷，故后與/，/與。匕的大小不確定,

對(duì)A,當(dāng)a=l力=-1時(shí)，=故A錯(cuò)誤；

CL+1b+1

對(duì)C,當(dāng)〃=1,人=一1時(shí)，a1=l,ab=-l,故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,當(dāng)a=l力=一1時(shí)，111(4+1)=111僅？+1),故D錯(cuò)誤；

對(duì)B,對(duì)貝!］媯＞如故B正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性、不等式性質(zhì)的運(yùn)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算

求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、A

【解析】

設(shè)E為中點(diǎn)，連接AE、CE,過A作AOLCE于點(diǎn)。，連接OO,得到NADO即為直線40與平面BCD所成角

的平面角，根據(jù)題中條件求得相應(yīng)的量，分析得到NC4E即為直線AC與平面A3。所成角，進(jìn)而求得其正弦值，得

到結(jié)果.

【詳解】

設(shè)E為中點(diǎn)，連接AE、CE,

由題可知CELBD,所以平面AEC,

過A作AO_LCE于點(diǎn)0,連接。0,則49,平面50C,

所以ZADO即為直線AD與平面BCD所成角的平面角，

所以sinNADO=R^=42,可得AO=3近，

2AD

在“。石中可得。E=3,

XOC=-BD=3,即點(diǎn)。與點(diǎn)C重合，此時(shí)有AC,平面5C。，

2

過C作CELAE與點(diǎn)凡

又8。，平面AEC,所以8DLCF,所以。尸，平面9，

從而角ZCAE即為直線AC與平面ABD所成角，sinZC4E=q=工=昱，

AE303

故選：A.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)平面圖形翻折問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線面角的正弦值的求解，在解題的過程中，注意空間角的平

面角的定義，屬于中檔題目.

6、B

【解析】

|"+’|=2Ja，+1=2a=上出a>Q,.'.a=y/3,選B.

i

7、B

【解析】

分三種情況，任務(wù)A排在第一位時(shí)，E排在第二位；任務(wù)A排在第二位時(shí)，E排在第三位；任務(wù)A排在第三位時(shí)，E

排在第四位，結(jié)合任務(wù)3和C不能相鄰，分別求出三種情況的排列方法，即可得到答案.

【詳解】

六項(xiàng)不同的任務(wù)分別為A、B、C、D,E、F,

如果任務(wù)A排在第一位時(shí)，E排在第二位，剩下四個(gè)位置，先排好。、F,再在。、歹之間的3個(gè)空位中插入5、C,

此時(shí)共有排列方法：尺#=12；

如果任務(wù)A排在第二位時(shí)，E排在第三位，則5,C可能分別在A、E的兩側(cè)，排列方法有方方=12,可能都在A、

E的右側(cè)，排列方法有北g=4；

如果任務(wù)A排在第三位時(shí)，E排在第四位，則5,C分別在A、E的兩側(cè)尺尺=16；

所以不同的執(zhí)行方案共有12+12+4+16=44種.

【點(diǎn)睛】

本題考查了排列組合問題，考查了學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題.

8、B

【解析】

甲同學(xué)所有的選擇方案共有12種，甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一

31

科即可，共有c=3種選擇方案，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，可得甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率尸=二=：,

124

故選B.

9、A

【解析】

由已知可得［L+8)的單調(diào)性，再由/(2-X)=-/(%)可得/(X)對(duì)稱性，可求出/(x)在(-8,1)單調(diào)性，即可求出結(jié)論.

【詳解】

對(duì)于任意xeR,函數(shù)〃x)滿足/(2—x)=—/(%),

因?yàn)楹瘮?shù)/（X）關(guān)于點(diǎn)（1,。）對(duì)稱,

當(dāng)時(shí)，/（X）=萬是單調(diào)增函數(shù),

所以/（x）在定義域R上是單調(diào)增函數(shù).

因?yàn)?--<—<一,所以/

232

b<c<a.

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值的大小，解題的關(guān)鍵要掌握函數(shù)對(duì)稱性的代數(shù)形式，屬于中檔題..

10、B

【解析】

22+32

22a=----------p

a-b上4「2

根據(jù)題意可得易知C=T且'4,解方程可得<，再利用e?==即可求解.

a~

p2b2+4p-a2=4a2b2p2

2

【詳解】

^=2V|+32

4

易知c=e且4

2b2=^+1

p2b2+4p-a-=4a2b2P2

2

2__________

故有e?=筋=3-20,則e=，3-21=亞-1

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、拋物線的幾何性質(zhì)，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題

11、B

【解析】

因?yàn)閷?duì)A不符合定義域當(dāng)中的每一個(gè)元素都有象，即可排除；

對(duì)B滿足函數(shù)定義，故符合；

對(duì)C出現(xiàn)了定義域當(dāng)中的一個(gè)元素對(duì)應(yīng)值域當(dāng)中的兩個(gè)元素的情況，不符合函數(shù)的定義，從而可以否定;

對(duì)D因?yàn)橹涤虍?dāng)中有的元素沒有原象，故可否定.

故選B.

12、B

【解析】

根據(jù)已知證明班1平面ABC,只要設(shè)AC=尤，則5c=〃-/2（0<%<2卜從而可得體積

2

VE_ABC=1x-A/4-X=|西（4_尤2）,利用基本不等式可得最大值.

【詳解】

因?yàn)镈C=BE,DCUBE,所以四邊形為平行四邊形.又因?yàn)镈C±CB,DCLCA,CBoCA=C,CB平面

ABC,C4u平面ABC,

所以DC,平面ABC,所以跖1平面ABC.在直角三角形觸中，AB=2EB=2,

設(shè)AC=x,則3C=J4—/（0<%<2卜

所以—=口。叱=%”——,所

（22、2

以外一巧,=^公:4_丁=公:爐（4_.）又因?yàn)?（4_爐）《廠+4—x，當(dāng)且僅當(dāng)

66I2J

/2A2、2

X2（4-X2）<x+"x,即％=夜時(shí)等號(hào)成立，

【2J

所以（H。

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查求棱錐體積的最大值.解題方法是：首先證明線面垂直同，得棱錐的高，然后設(shè)出底面三角形一邊長(zhǎng)為工,

用建立體積V與邊長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系，由基本不等式得最值，或由函數(shù)的性質(zhì)得最值.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、V15

【解析】

結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn)，利用三角形中位線定理，將線段長(zhǎng)度用坐標(biāo)表示成圓的方程，與橢圓方程聯(lián)立可進(jìn)一步求解.利用

焦半徑及三角形中位線定理，則更為簡(jiǎn)潔.

【詳解】

方法1：由題意可知|O/|=|QM|=c=2,

由中位線定理可得|尸片|=2|OM|=4,設(shè)P(x,y)可得(x-2)2+V=16,

22

聯(lián)立方程L+匕=i

95

321

可解得x=—-,》=一(舍)，點(diǎn)P在橢圓上且在工軸的上方，

22

(L、岳

[3J15|/—

求得尸--，^―,所以左弘=*—=岳

I22J1

2

方法2：焦半徑公式應(yīng)用

解析1：由題意可知I。尸l=|0M|=c=2,

由中位線定理可得|尸耳|=2||=4,即a—/=4=々=—5

求得尸一5'一'所以kpF=；=.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想，是解答解析幾何問題的

重要途徑.

14、1

【解析】

作出不等式組所表示的可行域，利用平移直線的方法找出使得目標(biāo)函數(shù)z=x+2y取得最小時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解，代入目標(biāo)

函數(shù)計(jì)算即可.

【詳解】

”3

作出不等式組,x+y22所表示的可行域如下圖所示:

x-3y<6

x+y=2x=3/、

聯(lián)立:，，解得，，即點(diǎn)4(3,—1),

[x-3y=6[y=T

平移直線z=x+2y,當(dāng)直線z=x+2y經(jīng)過可行域的頂點(diǎn)4(3,-1)時(shí)，該直線在X軸上的截距最小，此時(shí)z取最小值,

即Zmin=3+2x(-l)=l.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15、④

【解析】

根據(jù)直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.

【詳解】

對(duì)于①，當(dāng)機(jī)〃”時(shí)，由直線與平面平行的定義和判定定理，不能得出機(jī)〃a,①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，當(dāng)niua,〃ua,且根〃時(shí)，由兩平面平行的判定定理，不能得出a〃“，②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，當(dāng)a〃“，且mua,“以時(shí)，由兩平面平行的性質(zhì)定理，不能得出機(jī)〃“③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，當(dāng)a_Ly?,且〃ua,/n_L”時(shí)，由兩平面垂直的性質(zhì)定理，能夠得出④正確；

綜上知，正確命題的序號(hào)是④.

故答案為：④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象能力和推斷能力.

16、國(guó)

【解析】

不妨設(shè)點(diǎn)A,D,C,5到面的距離分別為1,2,3,4,平面"向下平移兩個(gè)單位，與正四面體相交，過點(diǎn)O,與

AC分別相交于點(diǎn)E,F,根據(jù)題意尸為中點(diǎn)，E為的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A),設(shè)棱長(zhǎng)為求得

%=!義無/x逅。=正。3,再用余弦定理求得：EF,DEDF,cosZEDF,從而求得

324372

S=-xDExDFxsinZEDF=-x—ax—ax^=—a2,再根據(jù)頂點(diǎn)A到面即尸的距離為1,得到

2232V2112

匕EDF='xSEDFX1='XL叵/xl=d5/,然后利用等體積法％_AEF=%一°EF求解，

331236

【詳解】

不妨設(shè)點(diǎn)A,D,C,3到面的距離分別為1,2,3,4,

平面M向下平移兩個(gè)單位，與正四面體相交，過點(diǎn)。，與AB,AC分別相交于點(diǎn)E,F,如圖所示：

A

B

由題意得：尸為中點(diǎn)，E為AB的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A）,

設(shè)棱長(zhǎng)為a，S=—x—x—xsin60=—a2?

A￡F22324

V6

頂點(diǎn)D到面ABC的距離為d----Q

3

所以ViEF'

111171J7

由^■弦定EF~——a?H—a?—2x—ax—axcos60——ct~,DE?——ci~+ci~—2xax—axcos60——ci~,

一492336939

3、DE?+DF°-EF?

DF，=~a~+a2-2xax-axcos60=-cr,cosZEDF

4242DEDF

2

所以sinNEDF=里,所以SmF=-xDExDFxsinZEDF=-x—ax—ax^=—a,

V21-223272112

又頂點(diǎn)A到面EDF的距離為1,

所以匕EDF=—X.SEDFx1=—X〃2x1=,

331236

因?yàn)椋?膽=匕-DEF，

所以正

7236

解得a="s/10，

故答案為：710

【點(diǎn)睛】

本題主要考查幾何體的切割問題以及等體積法的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象，運(yùn)算求解的能力，屬于

難題，

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)見解析，40元(2)6000元

【解析】

(1)甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用都是0元、20元、40元三種情況，因此甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和共有9種情

況，分情況計(jì)算即可

(2)根據(jù)(1)結(jié)果求均值.

【詳解】

解：(1)由題設(shè)知J可能取值為0,20,40,60,80,貝!)

故&的分布列為:

020406080

11511

P———————

24412424

所以數(shù)學(xué)期望E（J）=Ox—+20x-+40x—+60x-+80x—=40（元）

24412424

（2）此次促銷活動(dòng)后健身館每天的營(yíng)業(yè)額預(yù)計(jì)為：40x300x-=6000（元）

2

【點(diǎn)睛】

考查離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望的求法，中檔題.

18、（1）見解析；（2）上叵

35

【解析】

（1）先算出的長(zhǎng)度，利用勾股定理證明05,再由已知可得利用線面垂直的判定定理即可

證明；

（2）由（1）可得NMDO為直線與平面408所成的角，要使其最大，則“（應(yīng)最小，可得。為中點(diǎn)，然后

建系分別求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，進(jìn)一步得到正弦值.

【詳解】

（1）在AMO3中，ZOBC=30，由余弦定理得

OM=^OB~+BM2-2OB-BM-cos30=,

3

/.OM2+OB2=MB2,

OMLOB,

由題意可知：OALOC,OBOC=O,

AOA_L平面COB,

QVfu平面COB,AOA±OM,

又OAOB=O,

:.OM,平面AOB.

（2）以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)M，OB，的方向?yàn)椋?，V，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

J)

if

VOM±平面AOB，:.MD在平面AOB上的射影是OD,

MD與平面AOB所成的角是NMDO,.,./"DO最大時(shí)，即ODLAB,點(diǎn)。為A5中點(diǎn).

3(020),C(^,-l,0),A(0,0,2),D(0,l,l),CD=(-0,2,1),

DB=(0,l,-l),OD=(0,1,1)?設(shè)平面CDB的法向量〃=(尤,y,z),

n-CD=09-V§x+2y+z=0

由＜9得＜，令z=l,得y=l,x=百,

幾DB=0y-z=0

所以平面CDB的法向量〃=(6,1,1),

m-CD-0-y/3x+2y+z—0

同理，設(shè)平面CD。的法向量m=(x,y,z),由＜,得

m-OD-0y+z=0

/

令y=l,得z=—l,x=43,所以平面C。。的法向量機(jī)=字2,

3

?..cosy…叵，sins…、尸=心

35V3535

故二面角B-CD-O的正弦值為生夕。.

35

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道中檔題.

19、(1)—+y2=1(2)f4,-——

4-I25J

【解析】

(1)設(shè)坐標(biāo)后根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到軌跡方程.(2)聯(lián)立直線和橢圓方程，用坐標(biāo)表示出EP,EQ,得到EPLEQ,

所以|EP『+1EQ\2=\PQ/，代入韋達(dá)定理即可求解.

【詳解】

(1)設(shè)A(卬0),5(0,%)，則需+4=9,

uuu皿睚x=2(x0-x)lx0=-^

設(shè)M(x,y),由剛/=2屁4得｛0/n尸｛2.

y-yo=2(O-y)[%=3,

又由于||x[+(3y)2=9,

化簡(jiǎn)得M的軌跡C的方程為—+y2=l.

4'

3

(2)設(shè)直線PQ的方程為》二日-1，

與。的方程聯(lián)立，消去y得(1+4/)必一日履一||=0,

A>0,設(shè)P(玉，yj,Q(x2,y2),

24k—64

則再+々=

5+20k225+lOOp

由已知￡7「=(%,%-1),一1)，則

EP-EQ=xxx2+(X—1)(%—1)=夕％2+1何一

-648,24k64

—々X____________H-------

25+100左255+20k225

-64-64k2-192k2+64+256k2

25+10042

=0,

故直線EPLEQ.

\EP\2+\EQ\2=\PQ\2=

2

24k-6464(1+左2)(25左2+4)

I-4x

=(")5+20F25+100F25(1+4左2/

64(4+29左2+25左4

25(1+4左2J

令1+4/=/,則

4[-27+66/+25r]

25?

4<|<詈.

(256

所以，|￡「『+|￡。|2的取值范圍為4,石,

【點(diǎn)睛】

此題考查軌跡問題，橢圓和直線相交，注意坐標(biāo)表示向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化的處理技巧，屬于較難題目.

22

20、(1)-^+―=1；(2)NSPQ=1，理由見解析.

432

【解析】

(1)求出橢圓的上、下焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓的定義求得。的值，進(jìn)而可求得〃的值，由此可得出橢圓的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(%0，%)(%*0)，求出直線的方程，求出點(diǎn)S的坐標(biāo)，由此計(jì)算出直線AQ和&S的斜率,

可計(jì)算出七°?篇的值，進(jìn)而可求得的值，即可得出結(jié)論.

2sNSPQ

【詳解】

(1)由題意可知，橢圓的上焦點(diǎn)為月(0,1)、7^(0,-1),

由橢圓的定義可得2a==4,可得。=2，b=Jo?一[=5y39

22

因此，所求橢圓的方程為上+上=1;

43

(2)設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(％,%)(//0),則手+[=1,得第=4一手,

y=24./.\

x=----4%,2

聯(lián)立為+2、解得%+2,即點(diǎn)S

、為+2?

、不°=2

y-2k=2+1=3(%+2)

直線AQ的斜率為右0=也一，直線KS的斜率為4%04%，

“。2

4片

所以，k-k」?！?3(%+2)3宙—4)一才義3,1,:.AQLF2S,

AQ

尸2s/4x04片4%Q

jr

因此，NSPQ=—.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了橢圓中定值問題的求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

21、(1)證明見解析(2)-oo,-1

【解析】

⑴根據(jù)〃x)=；x2+cosx,求導(dǎo)/■'(￡)=x-sinx,h[x)=x-sinx,用導(dǎo)數(shù)法求其最小值.

(2)設(shè)g(x)=/'(x)=2dx—s%x,研究在尤=0處左正右負(fù)，求導(dǎo)g'(x)=2a-cosx.,分a<-^,

--<a<~,三種情況討論求解.

22

【詳解】

(1)因?yàn)?(X)=+COSX,

所以/'(x)=x—sinx,

令/，(%)=貝=l—

所以M光)是［0,+s)的增函數(shù)，

?/z(x)>/z(O)=O,

即/'(x"0.

⑵因?yàn)間(x)=/'(X)=2ox—sinx,

所以g'(x)=2a-cosx.,

①當(dāng)■時(shí)，g\x)>l-cosx>0,

所以函數(shù)/'(x)在E上單調(diào)遞增.

若%>0,則/(%)>尸(0)=0；

若％<0,則/(x)</'(O)=O,

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(-嗎0),

所以/(%)在x=0處取得極小值，不符合題意，

②