2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習：6類解三角形公式定理解題技巧

題型136類解三角形公式定理解題技巧

(海倫、射影、角平分線、張角、倍角、恒等式)

我漢海倫公式的應(yīng)用及解題技巧

技泣02射影定理的應(yīng)陽及解1B技巧

技注。3角平分線定理的龍用及就麴技巧

ua.(M張#|定用的應(yīng)用及解題檢巧

技法。5信仰定理的應(yīng)用及解網(wǎng)技巧

技法0610類忻號式的應(yīng)用及新燃技巧

技法01海倫公式的應(yīng)用及解題技巧

?常見題型解讀

海倫?奉九10公式能塘*決已知三邊的三角形的面職求解,是群三角形中必不可少的解題利

界.也會作為胭在島號及?？贾谐霈F(xiàn)，福加以練習.

知識遷移海倫-秦九韶公式

三角形的三邊分別是。、b、c,則三角形的面積為S=Jp(p-a)(p-b)(p-c)

其中p=￡!|土￡,這個公式就是海倫公式，為古希臘的幾何學(xué)家海倫所發(fā)現(xiàn)并證明。

我國南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三邊求三角形面積的秦九韶公式：

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例1.

(2022?浙江?統(tǒng)考高考真題)

我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三

斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個空白.如果把這個方法寫成公式，就是

S=j：,其中①6,c是三角形的三邊，S是三角形的面積.設(shè)

某三角形的三邊。=也，b=6，c=2,則該三角形的面積S=_.

試卷第1頁，共10頁

技巧點撥o

【詳解】因為5=，所以S=j；4x2［土苧.故

答案為:學(xué)

力魯?知識遷移強化

（2022?全國?校聯(lián)考模擬預(yù)測）

1.在古希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作《測地術(shù)》中記載了著名的海倫公式，利用三角形的三

邊長求三角形的面積.若三角形的三邊分別為a,b,c,則其面積

S,這里P=a+，c.已知在“3C中，內(nèi)角/,B,C所對

的邊分別為a,b,c,。=6,6+c=10,則AJBC的面積最大值為（）.

A.66B.8啦C.10D.12

（2023上?河北石家莊?高三?？茧A段練習）

2.海倫公式是利用三角形的三條邊的邊長a,b,c直接求三角形面積S的公式，表達

式為：S^^p（p-a）（p-b）（p-c）（其中。=”產(chǎn)）；它的特點是形式漂亮，便于記

憶.中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶在1247年獨立提出了“三斜求積術(shù)”，但它與海倫公式完

全等價，因此海倫公式又譯作海倫-秦九韶公式.現(xiàn)在有周長為10+26的“8C滿足

sin/:sin8:sinC=2:3:"，則用以上給出的公式求得“3C的面積為（）

A.877B.4近C.673D.12

（2023?海南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）

3.古希臘的數(shù)學(xué)家海倫在他的著作《測地術(shù)》中最早記錄了“海倫公式”：

S=Np（p_a）（p_b）（p_c）,其中°=a+：+c,a,b,c分別為“BC的三個內(nèi)角N,

B,C所對的邊，該公式具有輪換對稱的特點.已知在^ABC中，sin/:sinB:sinC=8:7:3,

且的面積為126，則（）

A.角4,B,C構(gòu)成等差數(shù)列B.“BC的周長為36

C.”3C的內(nèi)切圓面積為gD.8C邊上的中線長度為伍

技法02射影定理的應(yīng)用及解題技巧

試卷第2頁，共10頁

識高考?常見題型解讀

三角形中隨或笥許多性隨.比如：角形3也定理就修幡住*:角形中口化計才過程，但是白

號試中就祚豆不能lilt使用，品鎏推V.不少島學(xué)IftiB用射影定胛可以快速化商的出答案.

在一些小也中.應(yīng)用三角形射骷定理度幡快速用到管案.雷強化練習

知識遷移射影定理。=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例2.

（全國?高考真題）

A4BC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,若26cosH=acosC+ccosZ,則8=

技巧點撥

在△45C中，acosC+ccosA=b,；?條件等式變?yōu)?6cos5=6,cosB=y.

一71

又0<5〈兀，:?B=一.

3

摩榮證?知識遷移強化

（2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模）

4.在△4BC中，角/、B、C的對邊分別記為a、b、c,若5acos/=6cosC+ccosB,

貝ljsin2N=

（全國?高考真題）

5.28C的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c.已知2cosc（acosB+6cos/）=c.

（）求角；（）若°=近，S=—,求的周長.

1C2ZM\/1B￡>OC2A1BC

（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）

6.記》8C的內(nèi)角4瓦。的對邊分別為仇c,已知一+「』=2.

cosA

⑴求加；

acosB-bcosAb,…八—巾

⑵若————；—一=1,求”面積.

acosB+bcosAc

（上海虹口?高三上外附中?？计谥校?/p>

Q43

7.在MBC中，tzcos2——Fccos2—=—b,貝!J（）

222

試卷第3頁，共10頁

A.a,b,c依次成等差數(shù)列

B.b,a,c依次成等差數(shù)列

C.a,c,b依次成等差數(shù)列

D.a,b,c既成等差數(shù)列，也成等比數(shù)列

（2023?全國?高三專題練習）

8.在中，三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、6、c,若"8C的面積S./BC=2C，

acosB+bcosA?

a+b=6,----------------------------------二2cosC,則。=

c

技法03角平分線定理的應(yīng)用及解題技巧

用高年?常見題型解讀

仔U三角形中.應(yīng)用他平分線定理及乂變形公式能做到快速求解及K杪解,也艮高考命題的

島頓考點.需K點學(xué)習.

知識遷移

角平分線定理

ARAT

(1)在A48c中，為/歷1C的角平分線，則有二=次

DL）CJL9

.ABAC

2/JXCXCOS—

(2)AD=---------------2_

b+c

(3)AD2=ABxAC-BDxCD(庫斯頓定理)

(4)——AB=S"ABD

ACSArn

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例3.

（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）

在“BC中，NA4c=60。，AB=2,3C=?,/A4c的角平分線交8C于D,則/D=_.

試卷第4頁，共10頁

技巧點撥o

由余弦定理可得，22+Z>2-2x2xftxcos600=6,因為6>0,解得：6=1+百，

NBAC

則xc°s”一計算即可，故答案為：2.

b+c

摩榮證?知識遷移強化

（2023?全國?高三專題練習）

9.△NBC中，邊6C內(nèi)上有一點。，證明：是2/的角平分線的充要條件是

ABBD

AC~DC

（2023春?寧夏銀川?高三?？茧A段練習）

10.在“3C中，角/的角平分線交8c于點。，且/8=4,/C=2,則N萬等于（

1―?2—?5—?2—?

A.-AC+-ABB.-AB——AC

3333

2—.1—.2——?1——?

C.-AC——ABD.-AC+-AB

3333

（2023春?湖北?高一赤壁一中校聯(lián)考階段練習）

11.在“3C中，內(nèi)角N,B,C所對的邊分別是a,b,C,若4=至，。=7,6=3,

則角A的角平分線AD=.

（2023春?安徽滁州?高一統(tǒng)考期末）

12.在康8。中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知

asm^-isinS-csinC-Z>sinC=O.

（1）求角A的大??；

（2）若/3=5,AC=3,4D是△/2C的角平分線，求的長.

技法04張角定理的應(yīng)用及解題技巧

?常見題型解讀

試卷第5頁，共10頁

在解二曲形中.應(yīng)用張用定理健做制快速求薪及共杪*.也是晶號命局的高喊號點，需4（點

知識遷移

張角定理嗤+堯=任好

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例4-1.

（內(nèi)蒙古呼和浩特?統(tǒng)考一模）

如圖，已知4D是A43c中NA4c的角平分線，交BC邊于點D.

ABBD

（1）用正弦定理證明:

ACDC

(2)若N8/C=120。，AB=2,AC=1,求的長.

技巧點撥

先用面積之和來證明張角定理，然后直接由張角定理求得AD的長為■1.

例4-2.

在AABC中，角48、C所對的邊分別為服從c,已知點。在3C邊

±,AD±^GsinABAC,AB=yp2AD=3,則

3

技巧點撥

解：如圖

試卷第6頁，共10頁

BD

■：sinZBAC=2拒

3

sinNBACsinABADsinADAC

-------------=--------------+--------------

2拒

即丁

AC

2V2-cosZBAC1

~9~~AC+372

2V2__J1

~9~~^4C+yj2

:.AC=36

CD=yjAD2+AC2=3^/3

你來練?知識遷移強化

13.在^ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

b=2,c=4,Z8/C=120。，ABAC的角平分線交邊BC于點Z）,Hi]\AD\=

14.在“BC中，角4B、。所對的邊分別為a、b、c,4D是的角平分線，若

/A4C=§,[4D|=2G,則26+c的最小值為.

（2023上?河南信陽?高二河南宋基信陽實驗中學(xué)?？计谀?/p>

15.春8。中，角/,3,C所對的邊分別為a,6,c,NABC=120。，BD工BC交AC于點、D,

且2。=1,2a+c的最小值為（）

D.8也

技法05倍角定理的應(yīng)用及解題技巧

識高考?常見題型解讀

試卷第7頁，共10頁

在*三肺形中.應(yīng)用信知定理能做到快速求解及林杪川.也凡商寫命目的小叁號點,籬*點

學(xué)習.

知識遷移

倍角定理

在。8c中，三個內(nèi)角4B、C的對邊分別為。、b、c,

(1)如果/=28,貝!］有:a2=6。+be,

(2)如果C=2/,則有:c'Y+aZ),

(3)如果3=2C,則有E=c2+ac

倍角定理的逆運用

在AABC中，三個內(nèi)角/、B、C的對邊分別為a、b、c,

(1)如果/=/+%,則有:N=22,

(2)如果,2=/+",則有:C=24,

(3)如果〃=c2+ac,則有:3=2C。

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例5.在dBC中，角4CB、C所對的邊分別為a、b、c,若8=24,

a=1,6=?,貝!Ic-

解題

技巧點撥o

???B=2A,由倍角定理得：/=/+℃即(百)=1+1XC

:.c=2

喘然福?知識遷移強化

16.在“3C中，內(nèi)角/,B,C所對的邊分別是a,b,c,已知86=5c,C=2B,則

cosC-.

17.在AABC中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,若4=28,則反+(竺］的

bya)

最小值為

試卷第8頁，共10頁

18.AABC中，角4B、C所對的邊分別為服b、c,若/-/=bc，且sinN=Gsin8,

則角/=

(2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測)

19.在銳角△N3C中，角/,B,C所對的邊分別是a,b,c,滿足/=c(c+a).

(1)證明：B=2C；

(2)求二"———+3sin5的取值范圍.

tanCtanB

技法0610類恒等式的應(yīng)用及解題技巧

喟3?常見題型解讀

在孵三角形中，應(yīng)用忸等式能做到快速求*及靛秒解.也是高考命心的聿要考點.福，點學(xué)，

知識遷移

三角恒等式

在AABC中，

(1)sinA+sin5+sinC=4cos^-cos^-cos^-；

.A.B.C

(2)cosA+cosB+cosC=l+4sinysin—sin—；

③sin2A+sin2B+sin2C=2+2cos4cos5cosC;

(4)cos2A+cos2B+cos2C=l-2cos^4cosficosC;

.2.2B.?C.A.B.C

(5)sin——I-sin——i-sin—1=l-2sin-sin—sin一?

222222

4A2B2c>A.B.C

(6)co2s—Fcos—Fcos——2+2sm—sin—sin—?

222222

⑦tan4+tanB+tanC=tanA?tanB-tanC；

(8)cotA-cotB+cotA-cotC+cotB-cotC=1；

ABCABC

(9)cot—+cot—■I-cot——=cot—cot—cot——：

222222

cABBCCA

(10)tan-tan——btan-tan——btan-tan一=A1。

222222

02

例6.

(2023,全國,高三專題練習)

在銳角“3C中，角4B,。所對的邊分別為。，b,c,若

試卷第9頁，共10頁

tarU+tan5+tanC=>/3tan5tanC，A=

技巧點撥o

tarU+tan5+tanC=tan^tanStanC,可得tai》=JL所以/J.

喘普福?知識遷移強化

20.在"BC中，tanA:tan5:tanC=1:2:3,求-=______________.

AC

（河南?高一競賽）

ABC

21.在A4BC中，設(shè)工=以）5%+cos5+cosC,y=sin—+sin—+sin—^!jx、》的大小

222

關(guān)系是（）.

A.x=VB.

c.xKyD.不能確定

（全國?高三競賽）

ABC

22.在A4BC中，M-sin^4+sinB+sinC,N=cos—+cos—+cos—.則"、N的大

222

小關(guān)系是（）.

A.M=NB.M<N

C.M>ND.無法確定

試卷第10頁，共10頁

參考答案:

1.D

【分析】根據(jù)給定信息列出關(guān)于b的函數(shù)關(guān)系，再借助二次函數(shù)計算作答.

【詳解】依題意，p="<c=3,則

S=；8x2x(8叫(6-2)=4，-1+106-16=4^-(&-5)2+9，

所以6=5,Smax=12,

所以A48C的面積最大值是12.

故選：D

2.C

【分析】

由正弦定理得三角形三邊之比，由周長求出三邊，代入公式即可.

【詳解】

：siik4:sinB:sinC=2:3:a:b:c-2:3:y/1>

：“BC周長為10+2』,即a+b+c=10+2近,

4+6+2

:.a=4,b=6,c=2近，：.p=^=5+77,

2

AABC的面積S=^(5+V7)(l+V7)(V7-1)(5-77)=6/3.

故選：C.

3.ACD

【分析】

利用正弦定理和余弦定理可知B=],滿足/+。=會=28,即A正確；根據(jù)海倫公式可得

a=8亞,所以周長為18直，故B錯誤；由等面積法可知內(nèi)切圓的半徑廠=半，可知C

正確，由利用余弦定理可得BC邊上的中線長度為而，即D正確.

【詳解】

對于A,由正弦定理可知a:6:c=8:7:3,

設(shè)〃=8左，b=lk,c=3k(k>0),

82+32-72_1_

由余弦定理可得cosB="一

2ac2x8x32

答案第1頁，共12頁

所以8=],A+C=y=2B,故角N,B,C構(gòu)成等差數(shù)列，故A正確；

對于B,根據(jù)海倫公式得P=9左，S=gkxkx2kx6k=6品樞,得左=也,

所以a=8V^，b=7A/2>c=3也,所以28c的周長為18V^,故B錯誤；

對于C,設(shè)ABC內(nèi)切圓的半徑為r,則、18萬=126，得廠=地，

23

所以的內(nèi)切圓面積為兀r=g,故C正確；

對于D,設(shè)3c的中點為。，則8。=4收，

在八ABD中，AD=^BD2+AB2-2ABxBD-cos60°=726，故D正確.

故選：ACD

4.巫

25

【分析】

由正弦定理得到cos/=；,求出正弦，利用二倍角公式求出答案.

【詳解】5acosA=bcosC+ccosB,由正弦定理得

5sinAcos/=sin8cosC+sinCcosB=sin(3+C)=sin/,

因為力￡(0,兀)，所以sin/wO,故cos/=1,

由于440,兀)，故sin/=Jl—cos?/

則sin24=2sinAcosA=2x—x.

5525

故答案為：巫

25

5.(1)C=y(2)5+V7

【詳解】試題分析：⑴根據(jù)正弦定理把2cosc(QCOSB+6COS/)=C化成

2cosC(sin4cosB+sinBcos4)=sinC,利用和角公式可得cosC=士從而求得角C；(2)根據(jù)

2

三角形的面積和角C的值求得ab=6,由余弦定理求得邊。得到AABC的周長.

試題解析：(1)由已知可得2cosc(sinZcos5+sin5cos/)=sinC

]71

2cosCsin(4+5)=sinC=>cosC=-^C=—

(2)SMBC=—absinC=>—y/3=^-ab-^-=>ab=6

答案第2頁，共12頁

Xva2+b~-2abcosC=c2

a2+b2=13,(a+b')2=2.5=>a+b=5

...乙486的周長為5+4

考點：正余弦定理解三角形.

6.(1)1

(2)手

4

【分析】

(1)根據(jù)余弦定理即可解出；

(2)由(1)可知，只需求出sin/即可得到三角形面積，對等式恒等變換，即可解出.

【詳解】(1)

因為/-a。cos/,所以'—L=c°s"=2bc=2，解得：bc=l.

cosAcosA

(2)

,r/p,acosB-bcosAbsinAcos-sin5cosAsin5

由正弦定理可得------——；—一二—;一-————--——

acosB+bcosAcsinAcosB+smBcosAsinC

sin(/-B)sin5sin(A-B)-sin5]

sin(/+8)sin(4+8)sin0+B)

變形可得：sin(Z—B)—sin(/+B)=sin5,即一2cos4sin8=sinB,

i/7

而0<sin5Wl,所以cosZ=—7，又0</<兀，所以sin/=、一，

22

故^ABC的面積為SAABC=^bcsin^4=^-xlx^-=.

7.A

【分析】根據(jù)已知條件，利用三角函數(shù)余弦的二倍角公式以及正弦定理逐步化簡可得出

a+c=2b,即可求出。、b、。關(guān)系.

CA3

【詳解】設(shè)尺是三角形A4BC外接圓半徑，???“052”+。32二=不3

222

.^(1+cosC)c(l+cosA\3口口「,c,

..------------+-------------=—b,a+acosC+c+ccosA=3b,

222

答案第3頁，共12頁

即Q+c+(QcosC+ccos%)=36即Q+C+(QcosC+ccosA)=2b+b

Q+c+2A(sin力cosC+sinCcosA)=2b+2RsinB

Q+c+2Rsin(%+C)=26+2Rsin8

TA、B、。在三角形中，

所以sin(/+C)=sin3,所以〃+c+27?sin(Z+C)=26+27?sin5

得至！JQ+C=26,

即。，b,。成等差數(shù)列，

故選：A.

【點睛】本題主要考查學(xué)生對三角函數(shù)余弦的二倍角公式、正弦定理以及等差數(shù)列性質(zhì)的熟

練掌握，解題時要注重整體思想的運用，望同學(xué)們平常多加練習.

8.273

【分析】

由正弦定理、誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式化簡竺巴絲包巴W=2cosC,由C的范圍特殊

C

角的三角函數(shù)值求出C,代入三角形的面積公式列出方程，利用余弦定理列出方程，變形

后整體代入求出C的值.

【詳解］由"c°sB0°s4_2cos?？傻胊cosB+bcosA=2ccosC,

c

在^ABC中，由正弦定理得：sinAcos5+sin5cosA=2sinCcosC

sin(/+B)=2sinCcosC,

'：A+B=7i-C,

sin(/+B)=sinC=2sinCcosC,

sinCw0,「.cos。，

7T

由0<C<7T得，C=—

3

由SARr=2由得LabsinC=26,

△/IJDv2

得“b=8,

'：a+b=6,

?,?由余弦定理得—=(a+b)2—2qb—2abcosC=36—16—8=12

答案第4頁，共12頁

解得c=2A/3，

故答案為：28.

9.證明見解析

【分析】證明兩個命題為真：一個是由/。是//的角平分線證明嚕=黑，一個是由

ARDF)

*=若證明ND是//的角平分線.

7iCzDC

AB_BD

【詳解】證明：設(shè)?：是//的角平分線，q：~AC~^C

如圖，過點5作BE〃ZC交4。的延長線與點E,

(1)充分性(P=q):若N1=N2,貝|JN1=NE,所以N2=NE,所以又

ABEBDABBD

ABDE^/AXCDA,所以六二法，所crH以I=

(2)必要性(qnp)：反之,若空=器，則；BE"4C,：.公BDEs八CDA,；.器=器,

ACDC力cDC

所以4B=BE,所以N2=NE,又BE"AC,所以N1=NE,所以N1=N2.

由(1)(2)可得，是//的角平分線的充要條件是耳=黑.

ACDC

【點睛】本題考查充分必要條件的證明，要證明夕是9的充要條件，必須證明兩個命題為真:

即充分性：P=q,必要性：qnP.

10.D

【分析】

利用角平分線定理以及平面向量的線性運算法則即可求解.

【詳解】因為/。是“5C的角平分線，所以/氏4。=/。4。,

所以由正弦定理得送=竟需ACDC

sinZADCsin/CAD

又因為sin/ADB=sin/ADC，sinABAD=sinZCAD，

答案第5頁，共12頁

所以"=這，^-=—=-=2,所以屈=方+麗=焉+劣就

BDDCDCAC23

=AB+-（AC-AB）=-AB+-ACfS.pAD=-AC+-AB.

3、）3333

故選：D

15

11.——

8

【分析】運用正弦定理和兩角和差公式求解.

A

［詳解］

BDc

由正弦定理得空=父,.博inB=—sin—=,NZ=—^，.=者B是銳角，

sinAsinB73143

〃13.（兀）?兀rj兀?5

cosB=——,sinC=sin——B=sin—cosn-cos-sm5=-----，

14（3）3314

sinZADC=sin（S+/DAB）=sii

ADACfsinC15

在△/DC中，由正弦定理得：------=--------------,AD=AC*---------=—；

sinCsin//。。sinZADC8

故答案為：

O

12.⑴/

（2）—

8

【分析】

（1）先利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理即可得到答案；

（2）根據(jù)S"BC='"BD+S“cD,再利用三角形面積公式得到關(guān)于4。的方程，解出即可.

【詳解】（1）由正弦定理可知,a2-b2-c2=be.

22

由余弦定理可得cosA=々h+r*_a2—be1

2bc?_2bc_2，

77T

又/￡（0,兀），所以/=與-.

（2）由題意知S“8c=；，sACD，

答案第6頁，共12頁

所以一xABxZCxsin——=—xABxADxsin—+—xZCxADxsin—,

232323

grpl1^261G1

n\kA—x5x3x——x5x4DxF―x3x4Dx,

222222

解得

o

4,1

13.-##1-

33

【分析】

根據(jù)三角形面積公式，由等面積建立等量關(guān)系可得結(jié)果.

【詳解】

依題思，因為SAABC=S&BAD+S^CAD,

即g|/c|M同sin/2/C=；|AD|Masin/BAD+1|^CpZ）|sinZC^D,

所以4x2sinl20°=|ZD|x4sin600+2|y4￡>|sin60°,

化簡得：K=p

4

故答案為：—.

14.6+4五

【分析】利用張角定理得到加J,再利用不等式中1的妙用來求解最值.

【詳解】???40是/A4c的角平分線,

1JI

...ABAD=ACAD=-ABAC=-

26

sinNBACsin/BADsinZDAC

由張角定理得:------=-------+-------

ADACAB

JEJEit

ansin—sin—sin—

即_3=—6+_L，

2也一bc

111

—F—=—

bc2

2b+c=（2b+c）J-lx2=^^6>6+4融乜6+4「

b+cb

答案第7頁，共12頁

（當且僅當f=上，即°=回=2+2行時取"=”）.

bc

故答案為：6+472.

15.B

【分析】根據(jù)題意由面積關(guān)系可得,+工=6,再結(jié)合基本不等式運算求解.

ac

【詳解】由題意可知：AABD=12Q°,

因為=s"即+SAWBP—6ZCX—=—xlxcx—+—xlxa，

22222

整理得工+2=百，

ac

cAa\1

貝U2〃+c=+c)+4+2

ardT

當且僅當c=2a=迪時，等號成立.

3

所以2a+c的最小值為迪.

3

故選：B.

16-i

4

【分析】根據(jù)C=28,由正弦定理得到26cosB=c,再由8b=5c,得到cos8=不，然后由

二倍角公式求解.

【詳解】解：因為C=28,

b

所以由正弦定理得:

sinBsinCsin282sinBcosB

即2bcosB=c,

因為86=5c,

Q

所以26cosB=—b,

4

即cosB=—,

所以cosC=cos2B=2C0S?5-1=-1=—

⑶25

答案第8頁，共12頁

故答案為：5

17.3

【分析】

借助正弦定理與余弦定理，可由4=28得到/=/b+c）,即可將+化簡為

T+審c-\-h+片4b，結(jié)合基本不等式即可得解.

bb+c

【詳解】

由/=25,則/-8=8,故sin（4-3）=sin3,

即sinAcos5-sin5cosA=sin5,

由正弦定理可得〃cos3-bcos/=b,

由余弦定理可得ax'+c2-'-6x"+1-，=g,

2ac2bc

222222

即可得a+c-b-（b+c-a）=2bcf即有/=辦e+Q,

c(26丫c4Z>2c4Z>2c4b1d■b4Z)

___i_Ii?----------______?_____________|________?_?______

b\a)bdbb(b-\-c)bbvcbh-c

當且僅當b+今c二4分b時，等號成立.

bb+c

故答案為：3.

18.-

3

【分析】根據(jù)"一6』。求出4=22,根據(jù)sin/=gsinB得到sin23=6sinB即可求解.

\9a2—b2=bc9:.a2=b2+bcfa2=b1+c2-2bccosA，

be=c2-2bccosA,/.b=c—2bcosA,

/.sin8=sinC—2sin8cosA,

/.sinB=sin(/+B)—2sinBcosA,

sin8=sin4cos5+sin8cos4一2sin8cosA，

sin5=sin4cos5-sin5cos/=sin(4—5),

因為48e（0,7i）,所以

答案第9頁，共12頁

=4—B或B+4—B=n(舍)，:.A=2B,

因為sin/二百sinBsin25=sin5

即2sinScos5=V3sin5，丁sin5w0,

...cosB————90<8<兀,

2

:.B=~,:.A=2B=-.

63

、7T

故答案為：—.

19.(1)證明見詳解

【分析】

(D利用正余弦定理得5詒/=5出。(2<：058+1),再利用兩角和與差的余弦公式化簡得

sin(S-C)=sinC,再根據(jù)8,C范圍即可證明；

(2)根據(jù)三角恒等變換結(jié)合(1)中的結(jié)論化簡得>=—二+3sin5,再求出B的范圍，從

sm3

而得到sinB的范圍，最后利用對勾函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案.

【詳解】(1)由/=。2+〃c及/=+。2一2QCCOSB得，a=C(2COS5+1).

由正弦定理得sin"=sinC(2cos8+l),

又4+5+。=兀，

sin/=sin(5+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinCcosB+sinC9

/.sinBcosC-cosBsinC=sinC,

sin(B-C)=sinC,

???4B,C都是銳角，則瓦C<0,?,5—C)

:.B-