2023北京高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷

2023年北京幣商考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷

一、選擇題(共10小題).

1.已知集合八=[-1,0,1,2,3},B={xk-l20},則ACB=()

A.{0,1,2,3}B.{1,2,3}C.{2,3}D.{3}

2.如果復(fù)數(shù)絲2_(b€R)的實部與虛部相等，那么b=()

1

A.-2B.1C.2D.4

3.已知等差數(shù)列{a}的前n項和為S,a=1,S=18,貝!]a[=()

nn391

A.0B.-1C.-2D.-3

4.已知圓x2+y2=4截直線y=kx+2所得弦的長度為27電,則實數(shù)k=（）

A-V2B--V3C.士我D.±73

22

5.已知雙曲線C：￥-X^l（a>0,b>0）的離心率為2,則雙曲線C的漸近線方程為

()

A.y:土V3xB.y;士^D.y=±2x

6.在AABC中，若a2-b2+c2+ac=0,貝!]B=

B.2LD.等

4

7.某三棱錐的三視圖如圖所示，已知網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則該三棱錐最長的棱

長為（）

（左）桃陽

8.在4ABC中，"taiAtaiBVl”是"△ABC為鈍角三角形”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.已知拋物線C：y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線為1,點P是直線1上的動點.若點A在拋物線

C上，且AF|=5,貝UpA|+10|(0為坐標(biāo)原點)的最小值為()

A.8B.2萬C.THD.6

10.在棱長為1的正方體ABCD-A]BICJD]中，P是線段BC]上的點，過A1的平面a與直線

PD垂直.當(dāng)P在線段BC1上運動時，平面a截正方體ABCD-人聲FJ1所得的截面面積

的最小值是()

A.1B.SC.匹D.后

42丫/

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

H-在(X+2)8的展開式中，X4的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

X

3x<i

12.已知函數(shù)f(x)=4則f(0)=；f(x)的值域為.

[-log2X,X>1,

13.已知向量二=1),E=(X,y)(xyWO),且￡1=1,W咤<0，則向量E的坐

標(biāo)可以是(寫出一個即可)

14.李明自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)營一家網(wǎng)店，每售出一件A商品獲利8元.現(xiàn)計劃在“五一”期間

對A商品進(jìn)行廣告促銷，假設(shè)售出A商品的件數(shù)m(單位：萬件)與廣告費用x(單位:

9

萬元)符合函數(shù)模型m=3--.若要使這次促銷活動獲利最多，則廣告費用x應(yīng)投入

x+1

萬元.

15.華人數(shù)學(xué)家李天巖和美國數(shù)學(xué)家約克給出了“混沌”的數(shù)學(xué)定義，由此發(fā)展的混沌理論

在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會學(xué)領(lǐng)域都有重要作用在混沌理論中，函數(shù)的周期點是一個關(guān)鍵

概念，定義如下：設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，對于X。國，令xn=f(x“「)(n=l,

2,3,-),若存在正整數(shù)k使得Xk=x0,且當(dāng)0<j<k時，x,^x0，則稱x0是f(x)的

一個周期為k的周期點.給出下列四個結(jié)論：

①若f(x)=ex-i,則f(x)存在唯一一個周期為1的周期點；

②若f(x)=2(1-x),則f(x)存在周期為2的周期點；

2x,X<y

③若f(x)=("則f(x)不存在周期為3的周期點；

2(l-x),x>^

④若f(x)=x(1-x),則對任意正整數(shù)n,，■都不是f(x)的周期為n的周期點.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

7T

16.已知函數(shù)f(x)=Asin(3x+@)(A>0,3>0,由下列四個條件中的

三個來確定：

JT

①最小正周期為“；②最大值為2；③f(——)=0；④f(o)=-2.

0

(I)寫出能確定f(x)的三個條件，并求f(x)的解析式；

(II)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，0是AD邊的中點，PO_L底面ABCD,PO=1.在底面

ABCD中，BC〃AD,CD±AD,BC=CD=1,AD=2.

(I)求證：AB〃平面POC；

(II)求二面角B-AP-D的余弦值.

18.我國脫貧攻堅戰(zhàn)取得全面勝利，現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下農(nóng)村貧困人口全部脫貧，消除了絕對貧困.為

了解脫貧家庭人均年純收入情況，某扶貧工作組對A,B兩個地區(qū)2019年脫貧家庭進(jìn)行

簡單隨機(jī)抽樣，共抽取500戶家庭作為樣本，獲得數(shù)據(jù)如表：

A地區(qū)B地區(qū)

2019年人均年純收入超過100戶150戶

10000元

2019年人均年純收入未超過200戶50戶

10000元

假設(shè)所有脫貧家庭的人均年純收入是否超過10000元相互獨立.

(I)從A地區(qū)2019年脫貧家庭中隨機(jī)抽取1戶，估計該家庭2019年人均年純收入超

過10000元的概率；

(II)在樣本中，分別從A地區(qū)和B地區(qū)2019年脫貧家庭中各隨機(jī)抽取1戶，記X為

這2戶家庭中2019年人均年純收入超過10000元的戶數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(III)從樣本中A地區(qū)的300戶脫貧家庭中隨機(jī)抽取4戶，發(fā)現(xiàn)這4戶家庭2020年人均

年純收入都超過10000元.根據(jù)這個結(jié)果，能否認(rèn)為樣本中A地區(qū)2020年人均年純收入

超過10000元的戶數(shù)相比2019年有變化？請說明理由.

19.已知橢圓C的短軸的兩個端點分別為A(0,1),B(0,-1),離心率為逅.

3

(I)求橢圓c的方程及焦點的坐標(biāo)；

(II)若點M為橢圓C上異于A,B的任意一點，過原點且與直線MA平行的直線與直

線y=3交于點P,直線MB與直線y=3交于點Q,試判斷以線段PQ為直徑的圓是否過

定點？若過定點，求出定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.

20.已知函數(shù)f(x)=(ax-1)ex(a@).

(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

2

(II)若直線y=ax+a與曲線y=f(x)相切，求證：(-1,-r-).

21.設(shè)數(shù)列A：a,a,a(m22),若存在公比為q的等比數(shù)列B：b,b,…，

m12mm+112

b,使得其中k=l,2,m,則稱數(shù)列B田為數(shù)列A的”等比分割

m++11kkk+1m+1m

數(shù)列”.

(I)寫出數(shù)列A/3,6,12,24的一個”等比分割數(shù)列"B§；

(II)若數(shù)列A1。的通項公式為a0=2n(n=l,2,…，10),其“等比分割數(shù)列"的

首項為1,求數(shù)列B“的公比q的取值范圍；

(III)若數(shù)列A,的通項公式為an=n2(n=l,2,…，m),且數(shù)列Am存在”等比分割

數(shù)列”，求m的最大值.

參考答案

一、選擇題（共10小題）.

1.已知集合八=[-1,0,1,2,3},B={xk-l20},則ACB=()

A.{0,1,2,3}B.{1,2,3}C.{2,3}D.{3}

解：因為集合八={-1,0,1,2,3},B={xk-l》0}={xjx，l},

所以ACB={1,2,3).

故選：B.

2.如果復(fù)數(shù)竺2_(bER)的實部與虛部相等，那么b=()

i

A.-2B.1C.2D.4

解：=(2+b：),-i)=b_2i的實部與虛部相等,

/.b=-2.

故選:A.

3.已知等差數(shù)列{a}的前n項和為S,a=1,S=18,則2=()

nn391

A.0B.-1C.-2D.-3

1o9(a]+an)

解：?.?S9=18=----L_2_=9a5，

；生=2,

又&3=1，

二由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a1+a5=a1+2=2a3=2,

.■1=0,

故選：A.

4-已知圓x2+y2=4截直線y=kx+2所得弦的長度為2b，則實數(shù)k=()

A.V2B--A/3C.土&D.±73

解：圓x2+y2=4截直線y=kx+2所得弦的長度為2爪,

可得弦心距為：V4Z3=1,

|2|L

所以：,2=1，解得k=±V3.

Vl+k"

故選：D.

5.已知雙曲線C：-24--^l(a>0,b>0)的離心率為2,則雙曲線C的漸近線方程為

a2b2

()

A.y=±?XB.y=±2^xC.y=±-^-xD.y=+2x

22

解：根據(jù)題意，雙曲線c：號-十l(a>0,b>0)的離心率為2,

ab

其焦點在y軸上，其漸近線方程為y=土也X

a

又由其離心率e=S=2,則c=2a,

a

則b=Vc2-a2=V3a?即包=?，

a

則其漸近線方程y=±J§x；

故選：A.

6.在aABC中，若a2-b2+c2+ac=0,則B=()

n7T

B.C.D.2冗

~43T

解：若a2-b2+c2+ac=0,

2,2

所以C°SB=￡皿-1

■—■.

C0SD2ac2

由于B￡(0,Ji),

所以B=2J兀-.

故選：D.

7.某三棱錐的三視圖如圖所示，已知網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則該三棱錐最長的棱

B-V5c-VsD-2V2

解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為三棱錐A-BCD；

如圖所示

所以：AB=BC=412+]2,CD=BD=1,AD=22+12=V5，AC=

Vl2+22+l2=V6>

故選：c.

8.在4ABC中，“taiAtaiBCl”是“△ABC為鈍角三角形”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

tanA+tanB

解：解法一：（1）若C為鈍角，貝！］A,B為銳角，1.taiC=-tan（A+B）=-------------

1-tanAtanB

<0,解得taiAtaiBVl.

若A或B為鈍角，則taiAtaiBV1成立.

（2）若tarAtaiBVl成立，假設(shè)A或B為鈍角，則4ABC為鈍角三角形.

假設(shè)A,都B為銳角，tarC=-tan（A+B）=_普苴詈吟<（）,解得C為鈍角，則^

1-tanAtanB

ABC為鈍角三角形.

綜上可得：在4ABC中，“taiAtaiBVl”是“△ABC為鈍角三角形”的充要條件.

解法二：tarAtaiBVlCIl-$1nAs>0口?！憧冢ā禃r），,?？?。。曲cosBcoS<（）□ZXABC

COSACOSDCOSACOSD

為鈍角三角形.

...在4ABC中，“tarAtaiBVl”是“ZkABC為鈍角三角形”的充要條件.

故選：C.

9.已知拋物線C：y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線為1,點P是直線1上的動點.若點A在拋物線

C上，且'F|=5,則pA|+p0|（0為坐標(biāo)原點）的最小值為（）

A.8B-2萬C.741D.6

解：不妨設(shè)A為第一象限內(nèi)的點，坐標(biāo)為(a,b),

由拋物線的方程可得焦點F(1,0),

則皿|=a+l=5,解得a=4,

所以A(4,4),

所以點A關(guān)于直線x=-1的對稱點為A'(-6,4),

故pA|+pO|=pA'|+忖01=病=2萬，

當(dāng)且僅當(dāng)A',P,0三點共線時，等號成立，

即PA|+10的最小值為2/13

故選：B.

10.在棱長為1的正方體ABCD-AiBfPi中，P是線段BC]上的點，過與的平面a與直線

PD垂直.當(dāng)P在線段BC1上運動時，平面a截正方體ABCD-A]BfJ]所得的截面面積

的最小值是()

A.1B.SC.匹D.、方

42

解：當(dāng)P在B點時，BDL平面ACC[A],平面a截正方體ABCD-A冏CJ1所得的截面面

積：1X?=正是最大值；

當(dāng)P與C1重合時，DC平面AJjCB,

平面a截正方體ABCD-A/fP1所得的截面面積：1X加=加是最大值；

當(dāng)P由B向C1移動時，平面a截正方體ABCD-A/f］所得的截面ApF,E由A向B

移動,

當(dāng)P到BC1的中點時，取得最小值，如圖

此時E為AB的中點，F(xiàn)為Dfi的中點，（P在底面ABCD上的射影為DH,H是BC的

中點，此時EC_LDH,可得DP_LEC,同理可得DPJ_CF,可證明DP_L平面A/CF），

A1E=CE=零，AC=73>EF=J2四邊形AJECF是菱形，

所以平面a截正方體ABCD-AFFPI所得的截面面積：y-EF*AC=yXV2XV3=

■是最小值.

2

故選：c.

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.在（X+2）8的展開式中，X4的系數(shù)為28.（用數(shù)字作答）

X

解：展開式的通項為（L）r=C；x&2r,

mo、Xo

令8-2丁=4,解得r=2,

所以x4的系數(shù)為c於28,

o

故答案為：28.

12.已知函數(shù)f(x)，'則f(0)=1；f(x)的值域為(-°°,2).

[-log2X,x〉l,

解：f(0)=20=1,

當(dāng)x<l時，0<2x<2,此時0<f(x)<2,

當(dāng)xNl時，lo&x'O,則-lo&xWO,即此時f(x)WO,

綜上f(x)<2,即函數(shù)f(x)的值域為(-8,2),

故答案為：1,(-8,2).

13.已知向量;=(正，1),1=(x,y)(xyWO),且￡1=1,之與<0,則向量1的坐

標(biāo)可以是(/一二8).(寫出一個即可)

22

解：向量W=(立，1),b=(x，y)(xyWO),且眉=1,ZW〈O,如圖，可知向量

%的坐標(biāo)可以是紅色曲線上的任意一點，向量三的坐標(biāo)可以是(~^2,~^2?

14.李明自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)營一家網(wǎng)店，每售出一件A商品獲利8元.現(xiàn)計劃在“五一”期間

對A商品進(jìn)行廣告促銷，假設(shè)售出A商品的件數(shù)m(單位：萬件)與廣告費用x(單位:

9

萬元)符合函數(shù)模型m=3-一若要使這次促銷活動獲利最多，則廣告費用x應(yīng)投入3

萬元.

解：由題意知，每售出1萬件A商品獲利8萬元，

二售出m萬件A商品的總獲利為：

8m-x=8(3--^-)-x=24-』--Y,

x+1x+1

設(shè)f(x)=24-羋--X(X2O),

x+1

貝If'(x)=------2-X(x20),令f(x)>0,

(x+1)2

16

Sp-(x20)

(X+14

解得0Wx<3,

/.當(dāng)0Wx<3時，f'(x)>0,函數(shù)f(x)在[0,3)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>3時，f(x)<0,函數(shù)f(x)在(3,+8)上單調(diào)遞減，

則當(dāng)x=3時，函數(shù)f(x)取得極大值，即最大值，

要使這次促銷活動獲利最多，則廣告費用x應(yīng)投入3萬元.

故答案為3.

15.華人數(shù)學(xué)家李天巖和美國數(shù)學(xué)家約克給出了“混沌”的數(shù)學(xué)定義，由此發(fā)展的混沌理論

在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會學(xué)領(lǐng)域都有重要作用在混沌理論中，函數(shù)的周期點是一個關(guān)鍵

概念，定義如下：設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，對于X。國，令xn=f(x“i)(n=l,

2,3,-),若存在正整數(shù)k使得Xk=x0,且當(dāng)0<j<k時，x,#x0，則稱x0是f(x)的

一個周期為k的周期點.給出下列四個結(jié)論：

①若f(x)=ex-i,則f(x)存在唯一一個周期為1的周期點；

②若f(x)=2(1-x),則f(x)存在周期為2的周期點；

2x,

③若f(x)=/2則f(x)不存在周期為3的周期點；

2(l-x),x>^

④若f(x)=x(1-x),則對任意正整數(shù)n,2■都不是f(x)的周期為n的周期點.

2

其中所有正確結(jié)論的序號是①②④.

解：對于X。國，令Xn=f(Xn1)(n=l,2,3,-■?),

若存在正整數(shù)k使得Xk=x。，且當(dāng)0<j<k時，Xj/x。，

則稱X。是f(x)的一個周期為k的周期點?

對于①f(x)=ex-i,當(dāng)k=l時，X]=f(x°)—exo-i,

因為直線y=x與y=f(x)只有一個交點(1,1),故①正確；

對于②，f(x)=2(1-x),k=2時，X2=f(xj=2(1-xJ=2[l-f(xQ)]=4xQ-2,

所以f(x)存在周期為2的周期點，故②正確;

2x,x</

對于③，f(x)=<,當(dāng)x<0時，f(x)<0恒成立；

2(l-x),x>|

當(dāng)xWO時，xi=f<x0)=2x0<0,X2=f(X；)=4XoWO,x3=f(x2)=8xQ^0,

顯然X°=X3在X0=O時成立,所以存在正確為3的周期點,故③錯誤；

對于④，f(x)=X(1-X)=-(X-)2+-^,?所以f(x)w",即f(x)

所以尹是周期點，故④正確.

故答案為：①②④.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

7F

16.已知函數(shù)f(x)=Asin(3x+O)(A>0,W>0,(X0號-)由下列四個條件中的

三個來確定：

TT

①最小正周期為JT；②最大值為2；③f(一丁)=0；④f(o)=-2.

(I)寫出能確定f(x)的三個條件，并求f(x)的解析式；

(II)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

解：(I)若函數(shù)f(x)滿足條件④，則f(0)=AsiM)=-2,

TT

這與A>0,0<@<一3矛盾，故函數(shù)f(x)不能滿足條件④，

所以函數(shù)f(x)只能滿足條件①，②，③，

由條件①，可得答r=m，

I⑴I

又因為3>0,可得3=2,

由條件②，可得A=2,.*.f(x)=2sin(2x+6)

冗TT

由條件③，可得f(——■)=2sin(——+=0,

63

71兀

/.sin(——+4))=0,——+(l)=kkW,

oO

TT71TT

4)=—+kn,kW,又因為0VeV丁，所以@=虧，

TT

所以f(x)=2sin(2x+—-).

o

TT7TTT

(II)4^--+2kJI^2X+—<—+2kJi,kS,

//

?5九))冗

..—+k兀WxW_777+k兀,

1212

Af(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[——+kJI,-y^-+kJt],(kW).

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，0是AD邊的中點，PO_L底面ABCD,P0=1.在底面

ABCD中，BC〃AD,CD1AD,BC=CD=1,AD=2.

(I)求證：AB〃平面POC；

(II)求二面角B-AP-D的余弦值.

【解答】(I)證明：在四邊形ABCD中，因為BC〃AD,BC卷AE,

0是AD的中點，則BC〃A0,BC=A0,

所以四邊形ABCO是平行四邊形，所以AB〃0C,

又因為AB可面POC,CO尸面POC,

所以AB〃平面POC；

(II)連結(jié)0B,因為PO_L平面ABCD,所以PO±0B,POI0D,

又因為點0時AD的中點，且BC《AD,所以BC=OD,

因為BC〃AD,CD±AD,BC=CD,

所以四邊形OBCD是正方形，所以BOLAD,

建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則A(0,-1,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1),

所以忘=(1,1,0),AP=(O,1,1),

設(shè)平面BAP的法向量為\=(x,y,z),

則，T廿°,X+y，，令y=l,則x=z=-1,故去(-1,1,-1),

m-AP=0

因為0B_L平面PAD,

所以祈=(1,0,0)是平面PAD的一個法向量,

所以日―麗〉1喏爵馬當(dāng)

由圖可知，二面角B-AP-D為銳角，

所以二面角B-AP-D的余弦值為

0

18.我國脫貧攻堅戰(zhàn)取得全面勝利，現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下農(nóng)村貧困人口全部脫貧，消除了絕對貧困.為

了解脫貧家庭人均年純收入情況，某扶貧工作組對A,B兩個地區(qū)2019年脫貧家庭進(jìn)行

簡單隨機(jī)抽樣，共抽取500戶家庭作為樣本，獲得數(shù)據(jù)如表：

A地區(qū)B地區(qū)

2019年人均年純收入超過100戶150戶

10000元

2019年人均年純收入未超過200戶50戶

10000元

假設(shè)所有脫貧家庭的人均年純收入是否超過10000元相互獨立.

(I)從A地區(qū)2019年脫貧家庭中隨機(jī)抽取1戶，估計該家庭2019年人均年純收入超

過10000元的概率；

(II)在樣本中，分別從A地區(qū)和B地區(qū)2019年脫貧家庭中各隨機(jī)抽取1戶，記X為

這2戶家庭中2019年人均年純收入超過10000元的戶數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(III)從樣本中A地區(qū)的300戶脫貧家庭中隨機(jī)抽取4戶，發(fā)現(xiàn)這4戶家庭2020年人均

年純收入都超過10000元.根據(jù)這個結(jié)果，能否認(rèn)為樣本中A地區(qū)2020年人均年純收入

超過10000元的戶數(shù)相比2019年有變化？請說明理由.

解：(I)設(shè)事件C：從A地區(qū)2019年脫貧家庭中隨機(jī)抽取1戶，該家庭2019年人均

純收入超過10000元，

從表格數(shù)據(jù)可知，A地區(qū)抽出的300戶家庭中2019年人均年收入超過10000元的有100

戶，

因此P(C)可以估計為黑=[■;

(II)設(shè)事件A：從樣本中A地區(qū)2019年脫貧家庭中隨機(jī)抽取1戶，該家庭2019年人

均純收入超過10000元,

設(shè)事件B：從樣本中B地區(qū)2019年脫貧家庭中隨機(jī)抽取1戶，該家庭2019年人均純收

入超過10000元，

由題意可知，X的可能取值為0,1,2,

P(X=0)=P(AB)=P(A)P(B)=(lg)x(卜為哈

346

P(X=1)=P(ABUAB)=P(A)P(B)4P(A)P(B)=(1-y)XT-4X

O703Let

iqi

P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)^x]=j

所以x的分布列為：

X012

P7

6124

171IQ

所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0X-^+1X-^-+2X4-=-^-；

612412

(III)設(shè)事件E為“從樣本中A地區(qū)的300戶脫貧家庭中隨機(jī)抽取4戶，

這4戶家庭2020年人均年純收入都超過10000元”，

假設(shè)樣本中A地區(qū)2020年人均年純收入超過10000元的戶數(shù)相比2019年沒有變化，

Linn

則由2019年的樣本數(shù)據(jù)可得P(E)=-？1=0.012

I

v300

答案示例1：可以認(rèn)為有變化，理由如下：

P(E)比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生，一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為樣本中A

地區(qū)2020年人均年純收入超過10000元的戶數(shù)相比2019年發(fā)生了變化，所以可以認(rèn)為

有變化.

答案示例2：無法確定有沒有變化，理由如下：

事件E是隨機(jī)事件，P(E)比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無法

確定有沒有變化.

19.已知橢圓C的短軸的兩個端點分別為A(0,1),B(0,-1),離心率為返.

3

(I)求橢圓c的方程及焦點的坐標(biāo)；

(II)若點M為橢圓C上異于A,B的任意一點，過原點且與直線MA平行的直線與直

線y=3交于點P,直線MB與直線y=3交于點Q,試判斷以線段PQ為直徑的圓是否過

定點？若過定點，求出定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.

【解答】解(I)由題意可得b=l,e=￡=酉，c2=a2-b2,

a3

解得a2=3,

2L

所以橢圓的方程為：&—+y2=l,且焦點坐標(biāo)(土五，0)；

3

(II)設(shè)直線MA的方程為：y=kx+l,(kWO),

則過原點的直線且與直線MA平行的直線為y=kx

3

因為P是直線y=kx,y=3的交點，所以P(―,3),

2

因為直線AM與橢圓三一+y2=l聯(lián)立：

3

y=kx+l

-?2,整理可得：(i+3k2)x2+6kx=0,

^+y=1

6k_-6k?_l-3k2

可得XMl+3k2，為l+3k2l+3k2

6klTk2

即M(-),因為B(0,-1),

l+3k2l+3k2

直線MB的方程為：y=-=j-l,

3k

X-

y=-------1

聯(lián)立，3k,解得：y=3,x=-12k,

y=3

由題意可得Q(-12k,3),

設(shè)T%，％),

所以F=(x()T，/-3),QJ=(x0+12k,y0-3),

由題意可得以線段PQ為直徑的圓過T點，所以有,荷=0,

9

所以(x0T，y0-3)□Q12k,yfl-3)=0,

可得x02+12kxQ-gx。-36+夠一6%+9=0,①，

K

要使①成立，

'xo=O

'2rcwc'解得：聞=°，丫。=一3,或x0=0,y0=_9,

y0-6y產(chǎn)-36=0

(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

2

(II)若直線y=ax+a與曲線y=f(x)相切，求證：(~1,—.

o

解：(I)F(x)=(ax+a-1)ex,令F(x)=0,得ax=l-a,

當(dāng)a=0時，f(x)=-ex<0,y=f(x)在R單調(diào)遞減，

當(dāng)a>0時，x,F(x),f(x)的變化如下：

X(-°°,1一及/1-a

(---,+

aa

±1)OO)

a

f(X)-0+

f(X)遞減極小值遞增

當(dāng)aVO時，x,f(x),f(x)的變化如下:

X(-°°,(l-a

(---,+

aa

旦OO)

a

f(X)+0-

f(x)遞增極大值遞減

綜上：當(dāng)a=0時，y=f(x)在R單調(diào)遞減,

當(dāng)a>0時，y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,23),單調(diào)遞減區(qū)間是(上3,+8),

aa

1—a1—a

當(dāng)<0時，y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,1支),單調(diào)遞減區(qū)間是(工生，+