2022年新高考數(shù)學(xué)仿真演練綜合能力測試(三)(原卷版+解析)

2022年新高考數(shù)學(xué)仿真演練綜合能力測試（三）注意事項(xiàng)： 1．答卷前，考生務(wù)必要填涂答題卷上的有關(guān)項(xiàng)目． 2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應(yīng)的位置上． 3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動、先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效． 4．請考生保持答題卷的整潔，考試結(jié)束后，將答題卷交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，且，則實(shí)數(shù)a的所有值構(gòu)成的集合是（

）A． B．C． D．2．18世紀(jì)末期，挪威測量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運(yùn)算具有了幾何意義．例如，，即復(fù)數(shù)的模的幾何意義為在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，為曲線上的動點(diǎn)，則與之間的最小距離為（

）A．3 B．4 C．5 D．63．某學(xué)校于3月12日組織師生舉行植樹活動，購買垂柳、銀杏、側(cè)柏、海桐四種樹苗共計(jì)1200棵，比例如圖所示.高一、高二、高三報(bào)名參加植樹活動的人數(shù)分別為600，400，200，若每種樹苗均按各年級報(bào)名人數(shù)的比例進(jìn)行分配，則高三年級應(yīng)分得側(cè)柏的數(shù)量為（

）A．34 B．46 C．50 D．704．已如函數(shù)，則（

）A． B． C． D．5．設(shè)，為兩個不同的平面，則的一個充要條件可以是（

）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．，垂直于同一個平面C．，平行于同一條直線 D．，垂直于同一條直線6．已知，則（

）A． B． C． D．7．在如今這個5G時代，6G研究已方興未艾．2021年8月30日第九屆未來信息通信技術(shù)國際研討會在北京舉辦．會上傳出消息，未來6G速率有望達(dá)到1Tbps，并啟用毫米波、太赫茲、可見光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立體網(wǎng)絡(luò)，預(yù)計(jì)6G數(shù)據(jù)傳輸速率有望比5G快100倍，時延達(dá)到亞毫秒級水平．香農(nóng)公式是被廣泛公認(rèn)的通信理論基礎(chǔ)和研究依據(jù)，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比．若不改變帶寬W，而將信噪比從9提升至161，則最大信息傳遞率C會提升到原來的（

）參考數(shù)據(jù)：．A．2.4倍 B．2.3倍 C．2.2倍 D．2.1倍8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若拋物線C:y2=2px()的焦點(diǎn)為F，直線x=3與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，｜AF|=4，圓E為的外接圓，直線OM與圓E切于點(diǎn)M，點(diǎn)N在圓E上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．已知是等差數(shù)列，公差，其前n項(xiàng)和為，若成等比數(shù)列，，則（

）A． B． C． D．當(dāng)時10．若橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，則下列的值，能使以為直徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)的有（

）A． B．C． D．11．在圓錐中，是母線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，底面圓的半徑為，圓錐的側(cè)面積為，則（

）A．當(dāng)時，從點(diǎn)到點(diǎn)繞圓錐側(cè)面一周的最小長度為B．當(dāng)時，過頂點(diǎn)和兩母線的截面三角形的最大面積為C．當(dāng)時，圓錐的外接球表面積為D．當(dāng)時，棱長為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動12．對圓周率的計(jì)算幾乎貫穿了整個數(shù)學(xué)史．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德（公元前287—公元前212）借助正96邊形得到著名的近似值：．我國數(shù)學(xué)家祖沖之（430—501）得出近似值，后來人們發(fā)現(xiàn)，這是一個“令人吃驚的好結(jié)果”．隨著科技的發(fā)展，計(jì)算的方法越來越多．已知，定義的值為的小數(shù)點(diǎn)后第n個位置上的數(shù)字，如，，規(guī)定．記，，集合為函數(shù)的值域，則以下結(jié)論正確的有（

）A． B．C．對 D．對中至少有兩個元素三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，若，則________．14．某中學(xué)開展勞動實(shí)習(xí)，學(xué)習(xí)加工制作包裝盒.現(xiàn)將一張足夠用的正方形硬紙片加工制作成軸截面的頂角為60°，高為6的圓錐形包裝盒，若在該包裝盒中放入一個球形冰淇淋（內(nèi)切），則該球形冰淇淋的表面積為___________.15．已知二項(xiàng)式的展開式中第四項(xiàng)與第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為____________.16．已知函數(shù)，其中，若在區(qū)間(，)上恰有2個零點(diǎn)，則的取值范圍是____________.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．在這兩個條件中任選一個補(bǔ)充在第（2）問中，并求解．(注意:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分)18．如圖，中，角，，的對邊分別為，，，且.(1)求角的大??；(2)已知，若為外接圓劣弧上一點(diǎn)，求的最大值.19．冬季兩項(xiàng)是第24屆北京冬奧會的比賽項(xiàng)目之一，它把越野滑雪和射擊兩種特點(diǎn)不同的競賽項(xiàng)目結(jié)合在一起.其中男子個人賽的規(guī)則如下：①共滑行5圈（每圈），前4圈每滑行1圈射擊一次，每次5發(fā)子彈；②射擊姿勢及順序?yàn)椋旱?圈滑行后臥射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后臥射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直達(dá)終點(diǎn)；③如果選手有發(fā)子彈未命中目標(biāo)，將被罰時分鐘；④最終用時為滑雪用時、射擊用時和被罰時間之和，最終用時少者獲勝.已知甲、乙兩人參加比賽，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙兩人每發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率分別為和.假設(shè)甲、乙兩人的射擊用時相同，且每發(fā)子彈是否命中目標(biāo)互不影響.(1)若在前三次射擊中，甲、乙兩人的被罰時間相同，求甲勝乙的概率；(2)若僅從最終用時考慮，甲、乙兩位選手哪個水平更高？說明理由.20．如圖，在三棱柱中，，側(cè)面是正方形，是的中點(diǎn)，.(1)求證：；(2)是線段上的點(diǎn)，若平面與平面的夾角為，求的長.21．已知雙曲線的離心率是，實(shí)軸長是8.(1)求雙曲線C的方程；(2)過點(diǎn)的直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點(diǎn)A和B，若直線l上存在不同于點(diǎn)P的點(diǎn)D滿足成立，證明：點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為定值，并求出該定值.22．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若在上有零點(diǎn)，①求a的取值范圍；②求證：．2022年新高考數(shù)學(xué)仿真演練綜合能力測試（三）注意事項(xiàng)： 1．答卷前，考生務(wù)必要填涂答題卷上的有關(guān)項(xiàng)目． 2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應(yīng)的位置上． 3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動、先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效． 4．請考生保持答題卷的整潔，考試結(jié)束后，將答題卷交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，且，則實(shí)數(shù)a的所有值構(gòu)成的集合是（

）A． B．C． D．答案:D解析：分析：根據(jù)，對進(jìn)行分類討論，由此求得的所有值構(gòu)成的集合.【詳解】，當(dāng)時，，滿足，只有D選項(xiàng)符合.當(dāng)時，，要使，則或或，即或或，所以實(shí)數(shù)a的所有值構(gòu)成的集合是.故選：D2．18世紀(jì)末期，挪威測量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運(yùn)算具有了幾何意義．例如，，即復(fù)數(shù)的模的幾何意義為在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，為曲線上的動點(diǎn)，則與之間的最小距離為（

）A．3 B．4 C．5 D．6答案:B解析：分析：化簡，得到，再根據(jù)的幾何意義和圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)榍€表示以為圓心，1為半徑的圓，所以，故與之間的最小距離為.故選：B.3．某學(xué)校于3月12日組織師生舉行植樹活動，購買垂柳、銀杏、側(cè)柏、海桐四種樹苗共計(jì)1200棵，比例如圖所示.高一、高二、高三報(bào)名參加植樹活動的人數(shù)分別為600，400，200，若每種樹苗均按各年級報(bào)名人數(shù)的比例進(jìn)行分配，則高三年級應(yīng)分得側(cè)柏的數(shù)量為（

）A．34 B．46 C．50 D．70答案:C解析：分析：根據(jù)給定的扇形統(tǒng)計(jì)圖求出購買的側(cè)柏?cái)?shù)量，再按各年級報(bào)名人數(shù)比求解作答.【詳解】由扇形統(tǒng)計(jì)圖知，購買的1200棵樹苗中，側(cè)柏的數(shù)量為，依題意，高一、高二、高三分到的側(cè)柏的棵數(shù)比為：，所以高三年級應(yīng)分得側(cè)柏的數(shù)量為.故選：C4．已如函數(shù)，則（

）A． B． C． D．答案:D解析：分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】由題，所以是奇函數(shù)，所以，故A，B錯誤，又因?yàn)?，且，即，解得，根?jù)單調(diào)性的結(jié)論可知為上的單調(diào)遞增函數(shù)，所有當(dāng)，，當(dāng)，；所以，C錯誤，，D正確.故選：D5．設(shè)，為兩個不同的平面，則的一個充要條件可以是（

）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．，垂直于同一個平面C．，平行于同一條直線 D．，垂直于同一條直線答案:D解析：分析：根據(jù)面面平行的判定定理逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A，內(nèi)有無數(shù)條直線與平行不能得出內(nèi)的所有直線與平行才能得出，故A錯；對于B、C，垂直于同一平面或平行于同一條直線，不能確定的位置關(guān)系，故B、C錯；對于D，垂直于同一條直線可以得出，反之當(dāng)時，若垂于某條直線，則也垂于該條直線.故選：D.6．已知，則（

）A． B． C． D．答案:C解析：分析：利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為用表示，然后代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，則.故選：C.7．在如今這個5G時代，6G研究已方興未艾．2021年8月30日第九屆未來信息通信技術(shù)國際研討會在北京舉辦．會上傳出消息，未來6G速率有望達(dá)到1Tbps，并啟用毫米波、太赫茲、可見光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立體網(wǎng)絡(luò)，預(yù)計(jì)6G數(shù)據(jù)傳輸速率有望比5G快100倍，時延達(dá)到亞毫秒級水平．香農(nóng)公式是被廣泛公認(rèn)的通信理論基礎(chǔ)和研究依據(jù)，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比．若不改變帶寬W，而將信噪比從9提升至161，則最大信息傳遞率C會提升到原來的（

）參考數(shù)據(jù)：．A．2.4倍 B．2.3倍 C．2.2倍 D．2.1倍答案:C解析：分析：按照題中所給公式分別求出當(dāng)時和當(dāng)時的最大信息傳遞率即可求出答案.【詳解】當(dāng)時，最大信息傳遞率當(dāng)時，最大信息傳遞率.故選：C.8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若拋物線C:y2=2px()的焦點(diǎn)為F，直線x=3與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，｜AF|=4，圓E為的外接圓，直線OM與圓E切于點(diǎn)M，點(diǎn)N在圓E上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案:B解析：分析：由已知及拋物線的定義，可求，進(jìn)而得拋物線的方程，可求，，的坐標(biāo)，直線的方程，可得圓的半徑，求得圓心，設(shè)的坐標(biāo)，求得的坐標(biāo)，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及輔助角公式和正弦函數(shù)的值域，可得所求范圍．【詳解】解：由題意，設(shè)，所以，解得，所以拋物線的方程為，，，，所以直線的方程為，設(shè)圓心坐標(biāo)為，，所以，解得，即，圓的方程為，不妨設(shè)，設(shè)直線的方程為，則，根據(jù)，解得，由，解得，設(shè)，所以，因?yàn)?，所以．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是：首先求出圓的方程為，然后利用直線OM與圓E切于點(diǎn)M，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，引入圓的參數(shù)方程表示N點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及輔助角公式，可得所求范圍．.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．已知是等差數(shù)列，公差，其前n項(xiàng)和為，若成等比數(shù)列，，則（

）A． B． C． D．當(dāng)時答案:BCD解析：分析：由題可得，進(jìn)而可得，結(jié)合條件可得，再利用通項(xiàng)公式及求和公式即得.【詳解】∵，∴當(dāng)時，可得，化為，即，∵成等比數(shù)列，∴，即，又公差，解得（舍去）或，∴，，，當(dāng)時，.故選：BCD.10．若橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，則下列的值，能使以為直徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)的有（

）A． B．C． D．答案:ABC解析：分析：依題意可得，再根據(jù)，即可取出的取值范圍，即可得解；【詳解】解：以為直徑的圓的方程為，因?yàn)閳A與橢圓有公共點(diǎn)，所以，即，所以，即，滿足條件的有A、B、C；故選：ABC11．在圓錐中，是母線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，底面圓的半徑為，圓錐的側(cè)面積為，則（

）A．當(dāng)時，從點(diǎn)到點(diǎn)繞圓錐側(cè)面一周的最小長度為B．當(dāng)時，過頂點(diǎn)和兩母線的截面三角形的最大面積為C．當(dāng)時，圓錐的外接球表面積為D．當(dāng)時，棱長為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動答案:ACD解析：分析：根據(jù)圓錐的側(cè)面積可得出，利用圓錐的側(cè)面展開圖與余弦定理可判斷A選項(xiàng)；計(jì)算出過頂點(diǎn)和兩母線的截面三角形的最大面積，可判斷B選項(xiàng)的正誤；根據(jù)幾何關(guān)系列等式求出圓錐的外接球的半徑，結(jié)合球體的表面積公式可判斷C選項(xiàng)的正誤；計(jì)算出圓錐的內(nèi)切球半徑以及棱長為的正四面體的外接球半徑，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】圓錐的側(cè)面積為，則.對于A選項(xiàng)，當(dāng)時，，將圓錐的側(cè)面沿著母線展開如下圖所示：則圓錐的底面周長為，，在中，，，由余弦定理可得，A對；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時，，設(shè)圓錐軸截面等腰三角形的頂角為，則，則為鈍角，在圓上任取兩點(diǎn)、，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故頂點(diǎn)和兩母線的截面三角形的最大面積為，B錯；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時，，圓錐的高為，設(shè)圓錐的外接球的半徑為，則，即，可得，故圓錐的外接球的表面積為，C對；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時，，圓錐的高為，設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，圓錐的軸截面面積為，圓錐的軸截面周長為，由等面積法可得，可得，將棱長為的正四面體可放在一個正方體內(nèi)，使得該正四面體的四個頂點(diǎn)恰為正方體的四個頂點(diǎn)，如下圖所示，則該正方體的棱長為，所以正四面體的外接球的半徑為，因此，當(dāng)時，棱長為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，D對.故選：ACD.12．對圓周率的計(jì)算幾乎貫穿了整個數(shù)學(xué)史．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德（公元前287—公元前212）借助正96邊形得到著名的近似值：．我國數(shù)學(xué)家祖沖之（430—501）得出近似值，后來人們發(fā)現(xiàn)，這是一個“令人吃驚的好結(jié)果”．隨著科技的發(fā)展，計(jì)算的方法越來越多．已知，定義的值為的小數(shù)點(diǎn)后第n個位置上的數(shù)字，如，，規(guī)定．記，，集合為函數(shù)的值域，則以下結(jié)論正確的有（

）A． B．C．對 D．對中至少有兩個元素答案:AC解析：分析：對于A：根據(jù)定義，直接求出，即可判斷；對于B：根據(jù)定義，直接求出的值域?yàn)椋纯膳袛?；對于C：求出，即可判斷；對于D：求出k=10時，的值域?yàn)椋纯煞穸ńY(jié)論.【詳解】對于A：由題意，集合為函數(shù)的值域，所以集合為函數(shù)的值域.所以由可得：，，，，，，，，，，故.故A正確.對于B：由題意，集合為函數(shù)的值域，所以集合為函數(shù)的值域.規(guī)定．記，，所以，令，，則，因?yàn)椋运缘闹涤驗(yàn)?故B錯誤.對于C：因?yàn)?，所以，所以?故C正確；對于D：由C的推導(dǎo)可知：.因?yàn)?，，所以，令，，則，因?yàn)椋?，，即k=10時，的值域?yàn)?故D錯誤.故選：AC【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：(1)仔細(xì)閱讀，理解新定義的內(nèi)涵；(2)根據(jù)新定義，對對應(yīng)知識進(jìn)行再遷移.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，若，則________．答案:##2.5解析：分析：利用數(shù)量積為零可求，從而可求.【詳解】因?yàn)?，故，故，故，故答案為?4．某中學(xué)開展勞動實(shí)習(xí)，學(xué)習(xí)加工制作包裝盒.現(xiàn)將一張足夠用的正方形硬紙片加工制作成軸截面的頂角為60°，高為6的圓錐形包裝盒，若在該包裝盒中放入一個球形冰淇淋（內(nèi)切），則該球形冰淇淋的表面積為___________.答案:解析：分析：由圓錐與球的關(guān)系可求出球的半徑，利用球表面積公式求解.【詳解】如圖，由題意知，,,故在中，,設(shè)內(nèi)切球球心為，則,在中，，所以，解得，所以，故答案為：15．已知二項(xiàng)式的展開式中第四項(xiàng)與第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為____________.答案:解析：分析：依題意可得，，從而可求得，利用其通項(xiàng)公式即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)．【詳解】解：由題意可得，，解得，所以展開式的通項(xiàng)為，由得，，所以常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)．故答案為：16．已知函數(shù)，其中，若在區(qū)間(，)上恰有2個零點(diǎn)，則的取值范圍是____________.答案:或.解析：分析：先求出零點(diǎn)的一般形式，再根據(jù)在區(qū)間(，)上恰有2個零點(diǎn)可得關(guān)于整數(shù)的不等式組，從而可求的取值范圍.【詳解】令，則，故，故，因?yàn)樵趨^(qū)間(，)上恰有2個零點(diǎn)，所以存在整數(shù)，使得：，若為偶數(shù)，則，整理得到：①，因?yàn)?，故，?dāng)時，，故①無解，當(dāng)時，有即.若為奇數(shù)，則，整理得到：②，因?yàn)?，故，?dāng)時，，故②無解，當(dāng)時，有，無解.當(dāng)時，有，故.綜上，或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于正弦型函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)問題，可先求出零點(diǎn)的一般形式，再根據(jù)零點(diǎn)的分布得到關(guān)于整數(shù)的不等式組，從而可求相應(yīng)的參數(shù)的取值范圍.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．在這兩個條件中任選一個補(bǔ)充在第（2）問中，并求解．(注意:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分)答案:(1)；(2)若選，；若選，.解析：分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可；（2）若選，利用錯位相減法進(jìn)行求解即可；若選，利用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得：；(2)若選.因?yàn)?，所以，因此，，兩個等式相減得：，，；若選，因?yàn)?，所以，因此有?18．如圖，中，角，，的對邊分別為，，，且.(1)求角的大?。?2)已知，若為外接圓劣弧上一點(diǎn)，求的最大值.答案:(1)(2)解析：分析：（1）法一：先用正弦定理化邊為角，再用正弦公式化簡，即可求得的值，最后結(jié)合三角形角的范圍即可求得結(jié)果；法二：先用余弦定理對化角為邊，化簡后再用余弦定理化邊為角，即可求得的值，再結(jié)合三角形角的范圍即可求得結(jié)果；（2）法一：設(shè)，先用正弦定理化角為邊，結(jié)合輔助角公式，即可得到關(guān)于的函數(shù)，討論最大值即可；法二：用余弦定理化角為邊，結(jié)合基本不等式得到關(guān)于的不等式，最后討論最大值及其成立的條件.(1)法一：∵，由正弦定理得：，∴，∴，∵，∴，又∵，∴.法二：∵，由余弦定理得：，∴，∴，∵，∴.(2)由（1）知，，而四邊形內(nèi)角互補(bǔ)，則，法一：設(shè)，則，由正弦定理得：，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，的最大值為.法二：在中，，，由余弦定理得：，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，的最大值為.19．冬季兩項(xiàng)是第24屆北京冬奧會的比賽項(xiàng)目之一，它把越野滑雪和射擊兩種特點(diǎn)不同的競賽項(xiàng)目結(jié)合在一起.其中男子個人賽的規(guī)則如下：①共滑行5圈（每圈），前4圈每滑行1圈射擊一次，每次5發(fā)子彈；②射擊姿勢及順序?yàn)椋旱?圈滑行后臥射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后臥射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直達(dá)終點(diǎn)；③如果選手有發(fā)子彈未命中目標(biāo)，將被罰時分鐘；④最終用時為滑雪用時、射擊用時和被罰時間之和，最終用時少者獲勝.已知甲、乙兩人參加比賽，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙兩人每發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率分別為和.假設(shè)甲、乙兩人的射擊用時相同，且每發(fā)子彈是否命中目標(biāo)互不影響.(1)若在前三次射擊中，甲、乙兩人的被罰時間相同，求甲勝乙的概率；(2)若僅從最終用時考慮，甲、乙兩位選手哪個水平更高？說明理由.答案:(1)(2)乙選手，理由見解析解析：分析：（1）依題意在第四次射擊中，甲至少要比乙多命中4發(fā)子彈，分甲有4發(fā)子彈命中目標(biāo)，乙均未命中目標(biāo)和甲有5發(fā)子彈命中目標(biāo)，乙至多有1發(fā)子彈命中目標(biāo)兩種情況討論，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式及互斥事件的概率公式計(jì)算可得；（2）設(shè)甲選手在比賽中未擊中目標(biāo)的子彈數(shù)為，乙選手在比賽中未擊中目標(biāo)的子彈數(shù)為，則，，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式求出罰時的期望值，再結(jié)合滑雪時兩人所用時差，即可判斷；(1)解：甲滑雪用時比乙多秒分鐘，因?yàn)榍叭紊鋼簦住⒁覂扇说谋涣P時間相同，所以在第四次射擊中，甲至少要比乙多命中4發(fā)子彈.設(shè)“甲勝乙”為事件A，“在第四次射擊中，甲有4發(fā)子彈命中目標(biāo)，乙均未命中目標(biāo)”為事件，“在第四次射擊中，甲有5發(fā)子彈命中目標(biāo)，乙至多有1發(fā)子彈命中目標(biāo)”為事件，依題意，事件和事件是互斥事件，，，，所以，.即甲勝乙的概率為.(2)解：依題意得，甲選手在比賽中未擊中目標(biāo)的子彈數(shù)為，乙選手在比賽中未擊中目標(biāo)的子彈數(shù)為，則，，所以甲被罰時間的期望為（分鐘），乙被罰時間的期望為（分鐘），又在賽道上甲選手滑行時間慢3分鐘，所以甲最終用時的期望比乙多2分鐘.因此，僅從最終用時考慮，乙選手水平更高.20．如圖，在三棱柱中，，側(cè)面是正方形，是的中點(diǎn)，.(1)求證：；(2)是線段上的點(diǎn)，若平面與平面的夾角為，求的長.答案:(1)答案見解析；(2).解析：分析：（1）先證明出AC⊥BC，利用線面垂直的判定定理證明出AC⊥平面BCC1B1，即可得到AC⊥CC1.（2）以C為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解.(1)因?yàn)樗倪呅蜝CC1B1為正方形，E為BB1的中點(diǎn)，，所以BC=2.在△ABC中，由正弦定理得：，所以∠ACB=90°，即AC⊥BC.因?yàn)锳C⊥CE，BC∩CE=C，BC平面BCC1B1，CE平面BCC1B1，所以AC⊥平面BCC1B1.又因?yàn)镃C1平面BCC1B1，所以AC⊥CC1.(2)由(1)得，兩兩垂直.以C為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0，0，0)，E(0，2，1)，，，于是，，