2024年高考數(shù)學(xué)大一輪(人教A版文)第二章2.8　對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)復(fù)習(xí)講義(學(xué)生版+解析)

§2.8對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)考試要求1.理解對(duì)數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)，能用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).2.通過實(shí)例，了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，會(huì)畫對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).3.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)．知識(shí)梳理1．對(duì)數(shù)的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作____________，其中________叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，________叫做真數(shù)．以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，記作______．以e為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，記作________．2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算性質(zhì)(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：loga1＝__________________，logaa＝________，＝________(a>0，且a≠1，N>0)．(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(M·N)＝________________；②logaeq\f(M,N)＝________________；③logaMn＝________________(n∈R)．(3)對(duì)數(shù)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．3．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域值域性質(zhì)過定點(diǎn)________，即x＝1時(shí)，y＝0當(dāng)x>1時(shí)，________；當(dāng)0<x<1時(shí)，________當(dāng)x>1時(shí)，________；當(dāng)0<x<1時(shí)，________在(0，＋∞)上是________在(0，＋∞)上是________4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)________________(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線________對(duì)稱．常用結(jié)論1．logab·logba＝1，＝eq\f(n,m)logab.2．如圖給出4個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象則b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象從左到右底數(shù)逐漸增大．3．對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象恒過點(diǎn)(1,0)，(a,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1)).思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若M＝N，則logaM＝logaN.()(2)函數(shù)y＝loga2x(a>0，且a≠1)是對(duì)數(shù)函數(shù)．()(3)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．()(4)函數(shù)y＝log2x與y＝的圖象重合．()教材改編題1．若函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)的定義域是[0,1]，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)?)A．[0,1] B．(0,1)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)2．函數(shù)y＝loga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的圖象恒過點(diǎn)________．3．eln2＋eq\f(log202216,log20224)＝________.題型一對(duì)數(shù)式的運(yùn)算例1(1)若2a＝5b＝10，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值是()A．－1B.eq\f(1,2)C.eq\f(7,10)D．1聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)計(jì)算：log535＋－log5eq\f(1,50)－log514＝________.聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華解決對(duì)數(shù)運(yùn)算問題的常用方法(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡(jiǎn)．(2)將同底對(duì)數(shù)的和、差、倍合并．(3)利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對(duì)數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022·保定模擬)已知2a＝3，b＝log85，則4a－3b＝________.(2)(lg5)2＋lg2lg5＋eq\f(1,2)lg4－log34×log23＝________.題型二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2(1)已知函數(shù)f(x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1)的圖象如圖所示，則以下說法正確的是________．(填序號(hào))①a>1；②0<a<1；③－1<b<0；④a＋b>0.聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2023·佛山模擬)已知函數(shù)f(x)＝|lnx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，則a＋2b的取值范圍是________．聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用方法(1)在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng)．(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知lga＋lgb＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，則函數(shù)f(x)＝ax與g(x)＝的圖象可能是()(2)(2023·濮陽模擬)已知a>0且a≠1，函數(shù)y＝ax的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)＝loga(－x＋1)的部分圖象大致為()題型三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用命題點(diǎn)1比較對(duì)數(shù)式的大小例3(2023·武漢質(zhì)檢)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．a(chǎn)<c<b D．c<a<b聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)2解對(duì)數(shù)方程、不等式例4(2022·重慶模擬)已知a>0，且a≠1，logaeq\f(3,4)<1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)3對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例5(2023·鄭州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，則f(x)()A．是偶函數(shù)，且在(－∞，－3)上單調(diào)遞減B．是奇函數(shù)，且在(－3,3)上單調(diào)遞減C．是奇函數(shù)，且在(3，＋∞)上單調(diào)遞增D．是偶函數(shù)，且在(－3,3)上單調(diào)遞增聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三個(gè)問題：一是定義域；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成．跟蹤訓(xùn)練3(1)(2023·寶雞模擬)設(shè)1<a<2，m＝log4(2a＋3a)，n＝log5(3m＋4m)，則()A．n＝2 B．n>2C．n<2 D．以上均有可能(2)(2022·惠州模擬)若函數(shù)f(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－ax＋\f(1,2)))(a>0，且a≠1)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．§2.8對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)考試要求1.理解對(duì)數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)，能用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).2.通過實(shí)例，了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，會(huì)畫對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).3.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)．知識(shí)梳理1．對(duì)數(shù)的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，記作lgN.以e為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，記作lnN.2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算性質(zhì)(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)對(duì)數(shù)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．3．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域(0，＋∞)值域R性質(zhì)過定點(diǎn)(1,0)，即x＝1時(shí)，y＝0當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．常用結(jié)論1．logab·logba＝1，＝eq\f(n,m)logab.2．如圖給出4個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象則b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象從左到右底數(shù)逐漸增大．3．對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象恒過點(diǎn)(1,0)，(a,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1)).思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若M＝N，則logaM＝logaN.(×)(2)函數(shù)y＝loga2x(a>0，且a≠1)是對(duì)數(shù)函數(shù)．(×)(3)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(×)(4)函數(shù)y＝log2x與y＝的圖象重合．(√)教材改編題1．若函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)的定義域是[0,1]，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)?)A．[0,1] B．(0,1)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)答案A解析根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，因?yàn)?≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，則log21≤log2(x＋1)≤log22，即f(x)∈[0,1]．2．函數(shù)y＝loga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的圖象恒過點(diǎn)．答案(3,2)解析∵loga1＝0，令x－2＝1，∴x＝3，y＝2，∴函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(3,2)．3．eln2＋eq\f(log202216,log20224)＝.答案4解析eln2＋eq\f(log202216,log20224)＝2＋log416＝2＋2＝4.題型一對(duì)數(shù)式的運(yùn)算例1(1)若2a＝5b＝10，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值是()A．－1B.eq\f(1,2)C.eq\f(7,10)D．1答案D解析由2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴eq\f(1,a)＝lg2，eq\f(1,b)＝lg5，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝lg2＋lg5＝lg10＝1.(2)計(jì)算：log535＋－log5eq\f(1,50)－log514＝.答案2解析原式＝log535－log5eq\f(1,50)－log514＋＝log5eq\f(35,\f(1,50)×14)＋＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2.思維升華解決對(duì)數(shù)運(yùn)算問題的常用方法(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡(jiǎn)．(2)將同底對(duì)數(shù)的和、差、倍合并．(3)利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對(duì)數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022·保定模擬)已知2a＝3，b＝log85，則4a－3b＝.答案eq\f(9,25)解析因?yàn)?a＝3，所以a＝log23，又b＝log85，所以b＝eq\f(1,3)log25，所以a－3b＝log2eq\f(3,5)，4a－3b＝＝eq\f(9,25).(2)(lg5)2＋lg2lg5＋eq\f(1,2)lg4－log34×log23＝.答案－1解析原式＝lg5(lg5＋lg2)＋－eq\f(2lg2,lg3)×eq\f(lg3,lg2)＝lg5＋lg2－2＝1－2＝－1.題型二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2(1)已知函數(shù)f(x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1)的圖象如圖所示，則以下說法正確的是________．(填序號(hào))①a>1；②0<a<1；③－1<b<0；④a＋b>0.答案①③④解析由圖象可知f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以a>1，故②錯(cuò)誤，①正確；令f(x)＝loga(x－b)＝0，即x＝b＋1，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為b＋1，結(jié)合函數(shù)圖象可知0<b＋1<1，所以－1<b<0，故③正確；因此a＋b>0，故④正確．(2)(2023·佛山模擬)已知函數(shù)f(x)＝|lnx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，則a＋2b的取值范圍是．答案(3，＋∞)解析f(x)＝|lnx|的圖象如圖，因?yàn)閒(a)＝f(b)，所以|lna|＝|lnb|，因?yàn)?<a<b，所以lna<0，lnb>0，所以0<a<1，b>1，所以－lna＝lnb，所以lna＋lnb＝ln(ab)＝0，所以ab＝1，則b＝eq\f(1,a)，所以a＋2b＝a＋eq\f(2,a)，令g(x)＝x＋eq\f(2,x)(0<x<1)，則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b>3，所以a＋2b的取值范圍為(3，＋∞)．思維升華對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用方法(1)在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng)．(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知lga＋lgb＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，則函數(shù)f(x)＝ax與g(x)＝的圖象可能是()答案B解析∵lga＋lgb＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，∴ab＝1，∴a＝eq\f(1,b)，∴g(x)＝＝logax，函數(shù)f(x)＝ax與函數(shù)g(x)＝互為反函數(shù)，∴函數(shù)f(x)＝ax與g(x)＝的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，且具有相同的單調(diào)性．(2)(2023·濮陽模擬)已知a>0且a≠1，函數(shù)y＝ax的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)＝loga(－x＋1)的部分圖象大致為()答案D解析由函數(shù)y＝ax的圖象可得a>1.當(dāng)a>1時(shí)，y＝logax經(jīng)過定點(diǎn)(1,0)，為增函數(shù)．因?yàn)閥＝logax與y＝loga(－x)關(guān)于y軸對(duì)稱，所以y＝loga(－x)經(jīng)過定點(diǎn)(－1,0)，為減函數(shù)．而f(x)＝loga(－x＋1)可以看作y＝loga(－x)的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，所以f(x)＝loga(－x＋1)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)(0,0)，為減函數(shù)．結(jié)合選項(xiàng)可知選D.題型三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用命題點(diǎn)1比較對(duì)數(shù)式的大小例3(2023·武漢質(zhì)檢)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．a(chǎn)<c<b D．c<a<b答案C解析a＝log30.5<log31＝0，即a<0；b＝log3π>log33＝1，即b>1；0＝log41<log43<log44＝1，即0<c<1，∴a<c<b.命題點(diǎn)2解對(duì)數(shù)方程、不等式例4(2022·重慶模擬)已知a>0，且a≠1，logaeq\f(3,4)<1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))∪(1，＋∞)解析當(dāng)a>1時(shí)，y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則logaeq\f(3,4)<0<1恒成立，當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，由logaeq\f(3,4)<1，可得logaeq\f(3,4)<logaa，解得0<a<eq\f(3,4)，綜上，使logaeq\f(3,4)<1成立的a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))∪(1，＋∞)．命題點(diǎn)3對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例5(2023·鄭州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，則f(x)()A．是偶函數(shù)，且在(－∞，－3)上單調(diào)遞減B．是奇函數(shù)，且在(－3,3)上單調(diào)遞減C．是奇函數(shù)，且在(3，＋∞)上單調(diào)遞增D．是偶函數(shù)，且在(－3,3)上單調(diào)遞增答案A解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠±3}，f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|＝ln|x2－9|，令g(x)＝|x2－9|，則f(x)＝lng(x)，函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間由圖象(圖略)可知，當(dāng)x∈(－∞，－3)，x∈(0,3)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(－3,0)，x∈(3，＋∞)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減得單調(diào)區(qū)間．由f(－x)＝ln|(－x)2－9|＝ln|x2－9|＝f(x)得f(x)為偶函數(shù)．思維升華求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三個(gè)問題：一是定義域；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成．跟蹤訓(xùn)練3(1)(2023·寶雞模擬)設(shè)1<a<2，m＝log4(2a＋3a)，n＝log5(3m＋4m)，則()A．n＝2 B．n>2C．n<2 D．以上均有可能答案C解析因?yàn)?<a<2，所以5<2a＋3a<13，所以1<log45<m<log413<2，所以1<m<2，故7<3m＋4m<25，所以1<log57<n<log525＝2.(2)(2022·惠州模擬)若函數(shù)f(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－ax＋\f(1,2)))(a>0，且a≠1)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．答案(1，eq\r(2))解析令u(x)＝x2－ax＋eq\f(1,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋eq\f(1,2)－eq\f(a2,4)，則u(x)有最小值eq\f(1,2)－eq\f(a2,4)，欲使函數(shù)f(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－ax＋\f(1,2)))有最小值，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,\f(1,2)－\f(a2,4)>0，))解得1<a<eq\r(2)，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1，eq\r(2))．課時(shí)精練1．函數(shù)f(x)＝eq\r(log0.52x－1)的定義域?yàn)?)A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) D．[1，＋∞)答案A解析由題意，要使函數(shù)f(x)＝eq\r(log0.52x－1)有意義，則滿足log0.5(2x－1)≥0，所以0<2x－1≤1，解得eq\f(1,2)<x≤1，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).2．若函數(shù)f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1,3)，則f(log28)等于()A．－1B．1C．2D．3答案B解析依題意，函數(shù)f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函數(shù)，即函數(shù)y＝ax的圖象過點(diǎn)(1,3)，則a＝3，f(x)＝log3x，于是得f(log28)＝log3(log28)＝log33＝1，所以f(log28)＝1.3．函數(shù)f(x)＝log2(|x|－1)的圖象為()答案A解析函數(shù)f(x)＝log2(|x|－1)的定義域?yàn)?－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除B，C；由f(－x)＝log2(|－x|－1)＝log2(|x|－1)＝f(x)，可知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除D.4．按照“碳達(dá)峰”“碳中和”的實(shí)現(xiàn)路徑，2030年為碳達(dá)峰時(shí)期，2060年實(shí)現(xiàn)碳中和，到2060年，純電動(dòng)汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%，新型動(dòng)力電池迎來了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口．Peukert于1898年提出蓄電池的容量C(單位：Ah)，放電時(shí)間t(單位：h)與放電電流I(單位：A)之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：C＝In·t，其中n為Peukert常數(shù)，為了測(cè)算某蓄電池的Peukert常數(shù)n，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流I＝20A時(shí)，放電時(shí)間t＝20h；當(dāng)放電電流I＝30A時(shí)，放電時(shí)間t＝10h．則該蓄電池的Peukert常數(shù)n大約為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48)()A.eq\f(4,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(8,3)D．2答案B解析根據(jù)題意可得C＝20n·20，C＝30n·10，兩式相比得eq\f(20n·20,30n·10)＝1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n＝eq\f(1,2)，所以n＝＝eq\f(lg2,lg

\f(3,2))＝eq\f(lg2,lg3－lg2)≈eq\f(0.3,0.48－0.3)＝eq\f(5,3).5．已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)－|x|，則不等式f(x)>0的解集是()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1,0) D．?答案B解析不等式f(x)>0?log2(x＋1)>|x|，分別畫出函數(shù)y＝log2(x＋1)和y＝|x|的圖象，由圖象可知y＝log2(x＋1)和y＝|x|的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，分別是(0,0)和(1,1)，由圖象可知log2(x＋1)>|x|的解集是(0,1)，即不等式f(x)>0的解集是(0,1)．6．已知函數(shù)f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，下列說法不正確的是()A．函數(shù)f(x)的圖象恒過定點(diǎn)(0,0)B．函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增C．函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))上的最小值為0D．若對(duì)任意x∈(1,2)，f(x)>1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2)答案D解析將(0,0)代入函數(shù)f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，成立，故A正確；當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，x＋1∈(1，＋∞)，又a>1，所以f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)單調(diào)遞增，故B正確；當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))時(shí)，x＋1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，所以f(x)＝|loga(x＋1)|≥loga1＝0，故C正確；當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)>1恒成立，所以由函數(shù)為增函數(shù)知loga2≥1，解得1<a≤2，故D不正確．7．(2023·淮北模擬)計(jì)算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2＋＝.答案10解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2＋＝4＋2＋4＝10.8．函數(shù)f(x)＝log2eq\r(x)·的最小值為．答案－eq\f(1,4)解析依題意得f(x)＝eq\f(1,2)log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2x＋\f(1,2)))2－eq\f(1,4)≥－eq\f(1,4)，當(dāng)且僅當(dāng)log2x＝－eq\f(1,2)，即x＝eq\f(\r(2),2)時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)f(x)的最小值為－eq\f(1,4).9．已知f(x)＝．(1)若a＝2，求f(x)的值域；(2)若f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．解(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝，令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9，∴t≥9，f(x)≤＝－2，∴f(x)的值域?yàn)?－∞，－2]．(2)令u(x)＝x2－ax＋5a，∵y＝為減函數(shù)，∴u(x)＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)≤1，,1＋4a>0，))解得－eq\f(1,4)<a≤2，∴a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).10．(2023·蘭州模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝logax(a>0，且a≠1)過點(diǎn)(3，－1)．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求函數(shù)f(x)的解析式；(3)求不等式f(x)<1的解集．解(1)因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，f(x)＝logax過點(diǎn)(3，－1)，所以loga3＝－1，解得a＝eq\f(1,3).(2)由(1)得，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝；當(dāng)x＝0時(shí)，易知f(x)＝0；當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝，綜上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(，x>0，,0，x＝0，,，x<0.))(3)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝，由f(x)<1得<1，解得x>eq\f(1,3)，故x>eq\f(1,3)，當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝0<1顯然成立；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝，由f(x)<1得<1，解得x>－3，故－3<x<0，綜上，f(x)<1的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<x≤0或x>\f(1,3))))).11．若非零實(shí)數(shù)a，b，c滿足2a＝3b＝6c＝k，則()A.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,c) B.eq\f(2,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(1,c)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2,c) D.eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2,c)答案A解析由已知，得2a＝3b＝6c＝k，得a＝log2k，b＝log3k，c＝log6k，所以eq\f(1,a)＝logk2，eq\f(1,b)＝logk3，eq\f(1,c)＝logk6，而2×3＝6，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,c).12．(2022·河南湘豫名校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝|log