江蘇省蘇州市蘇州高新區(qū)2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年蘇州新區(qū)實驗中學(xué)八年級月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題（本大題共8小題，共16分）

1.如圖所示新能源車企的車標中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

A.><B.xQ

2.如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)70。，得到若點。在線段BC的延長線上，則NB的大小是

（）

A.45°B.55°C.60°D.100°

3.以下命題中，真命題是（）

A.對角線互相垂直的四邊形是菱形

B.矩形和等邊三角形都是中心對稱圖形

C.順次連接梯形四邊中點得到的四邊形是平行四邊形

D.一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形

4.用反證法證明“同旁內(nèi)角不互補的兩條直線不平行”時，應(yīng)先提出的假設(shè)是（）

A.同旁內(nèi)角互補的兩條直線平行B.同旁內(nèi)角互補的兩條直線不平行

C.同旁內(nèi)角不互補的兩條直線平行D.同旁內(nèi)角不互補的兩條直線不平行

5.如圖，四邊形中，ADBC,ZC=90°,AB=AD,連接8。，/BA。的角平分線交80,BC

分別于點。、E,若EC=3,CD=4,則2。的長為（)

6.如圖，點、E,尸分別是菱形A8C。邊A。，的中點，交的延長線于點G.若

ZGEF=66°,則ZA的度數(shù)是（）

DFC

A.24°B.33°C.48°D.66°

7.如圖，矩形043c的頂點O為坐標原點，AC=4,對角線OB在第一象限的角平分線上.若矩形從圖示

位置開始繞點0以每秒45。的速度順時針旋轉(zhuǎn)，則當?shù)?024秒時，矩形的對角線交點G的坐標為()

A.(2,0)B.(0,2)C.(0,0)D.(-近,-6)

8.如圖，正方形ABC。中，AB=6,點E在邊CD上，且CD=3￡>E,將△AOE沿AE對折至△AFE,延

長EF交邊BC于點G,連接AG、CF,下列結(jié)論：

①△ABGZzXAFG；②BG=GC；③AGCF；@SAFGC=3.

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題(本大題共8小題，共16分)

9.平行四邊形ABC。中，ZA=3ZB,則NC=.

10.菱形ABC。中，對角線AC,3。相交于點0,且AC=6,BD=8,則菱形ABC。的面積為.

11.如圖，一個小孩坐在秋千上，若秋千繞點。旋轉(zhuǎn)了80。，小孩的位置從A點運動到了8點，則/OA8的

度數(shù)為.

o

12.如圖，在AABC中，ZB=45°,ZC=60°,AD，6c于點。，BD=4B若E,尸分別為AB,

8C的中點，則跖的長為.

13.有兩個直角三角形紙板，一個含45。角，另一個含30。角，如圖①所示疊放，先將含30。角的紙板固定不

動，再將含45。角的紙板繞頂點4順時針旋轉(zhuǎn)，使3cDE,如圖②所示，則旋轉(zhuǎn)角NBA。的度數(shù)為

DBAB

圖①圖②

14.如圖，四邊形ABC。為菱形，ZABC=72°,延長到點E,在/。CE內(nèi)作射線CM,使得

ZECM=18°,過點D作垂足為R若。歹=6,則8。的長為.

15.如圖，點E在正方形ABC。的邊C。上，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。到△ABE的位置，連接ER

過點A作所的垂線，垂足為點H,與BC交于點G.若BG=4,CG=3,則CE的長為.

16.如圖，在平面直角坐標系中，A(-1,0),B(0,2),點尸是x軸上一動點，四邊形48尸。是平行四邊

形，當5「+3。值最小時，點。的坐標為.

三、解答題(本大題共11小題，共68分)

17.(4分)如圖，在RtAABC中，NACB=90°,AC=3,BC=4,將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到

ADEC,使點A的對應(yīng)點。落在BC邊上，點8的對應(yīng)點為E,求線段80,OE的長.

18.(4分)如圖，在中，BE、CF分別是/ABC、/BCD的平分線，若AB=6,BC=10.

(1)求UABCD的周長；

(2)求線段的長.

19.(4分)如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐

標系，△ABC的頂點都在格點上.

（I）將小ABC向右平移6個單位長度得到△A4G請畫出△AB￡；

（2）畫出關(guān)于點。的中心對稱圖形；

（3）若將△ABC繞某一點旋轉(zhuǎn)可得到△4與。2，旋轉(zhuǎn)中心的坐標為.

20.（5分）如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,DE是AABC的中位線，A尸是△ABC的中線.求證:

DE=AF.

證法1：VDE是^ABC的中位線，

DE=.

是△ABC的中線，NB4c=90°,

AF=,

：.DE=AF.

（1）請把證法1補充完整；（2）試用不同的方法證明DE=A尸.

21.（5分）如圖1,某小區(qū)的大門是伸縮電動門，安裝驅(qū)動器的門柱EFGH是寬度為30cm的矩形，伸縮電

動門中有20個全等的菱形，每個菱形邊長為30cm,大門的總寬度為10.3m.（門框的寬度忽略不計）

圖1圖2

（1）當每個菱形的內(nèi)角度數(shù)為60。（如圖2）時，大門打開了多少m?

（2）當每個菱形的內(nèi)角度數(shù)張開至為90。時，大門未完全關(guān)閉，有一輛寬1.8m的轎車需進入小區(qū)，計算說

明該車能否直接通過.（參考數(shù)據(jù)：

22.（5分）如圖，已知點M在直線/外，點N在直線/上，完成下列問題：

NI

（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)，以線段為一條對角線作菱形MPNQ,使菱形的邊PN落在直線/上（要

求保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）若點〃到直線/的距離為4,的長為5,求這個菱形的邊長.

23.（6分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，把矩形C0A8繞點C順時針旋轉(zhuǎn)a角，得到矩形CFEO.設(shè)

（2）當0。<1<90。旋轉(zhuǎn)過程中，連接當△O8C為等腰三角形時，求點打的坐標.

24.（6分）如圖，在菱形ABC。中，對角線AC,BD交于點O,過點A作AE_L于點E,延長到點

F,使得CF=6￡,連接。足

(1)求證：四邊形AEm是矩形；

(2)連接?！?若AB=5,OE=J?,求AE的長.

25.(7分)如圖，四邊形A8C。為正方形，點E為線段AC上一點，連接。E,過點E作"，DE,交射

線BC于點尸,以DE、EF為鄰邊作矩形OEFG,連接CG.

(1)求證：ED=EF；

(2)若AB=2,CE=y/2,求CG的長度；

(3)當線段與正方形ABC。的某條邊的夾角是30。時，求/斯C的度數(shù).

26.(10分)在學(xué)習(xí)了“中心對稱圖形…平行四邊形”這一章后，同學(xué)小明對特殊四邊形的探究產(chǎn)生了濃厚的興

趣，他發(fā)現(xiàn)除了已經(jīng)學(xué)過的特殊四邊形外，還有很多比較特殊的四邊形，勇于創(chuàng)新的他大膽地作出這樣的定

義：有一個內(nèi)角是直角，且對角線互相垂直的四邊形稱為“雙直四邊形”.請你根據(jù)以上定義，回答下列問

(1)下列關(guān)于“雙直四邊形”的說法，正確的有(把所有正確的序號都填上)；

①“雙直四邊形”的對角線不可能相等：②“雙直四邊形”的面積等于對角線乘積的一半；

③若一個“雙直四邊形”是中心對稱圖形，則其一定是正方形.

(2)如圖①，正方形A8CD中，點、E、尸分別在邊A3、上，連接CE,BF,EF,CF,若4石=。尸，證

明：四邊形8CFE為“雙直四邊形”；

(3)如圖②，在平面直角坐標系中，已知點A(0,6),C(8,0),點B在線段0C上且=是否

存在點。在第一象限，使得四邊形48CZ)為“雙直四邊形”，若存在；求出所有點。的坐標，若不存在，請說

明理由.

27.(12分)實踐操作

在矩形ABC。中，AB=4,AD=3,現(xiàn)將紙片折疊，點。的對應(yīng)點記為點P,折痕為EF(點E、尸是折

痕與矩形的邊的交點)，再將紙片還原.

初步思考

(1)若點P落在矩形A8CD的邊AB上(如圖①).

當點尸與點A重合時，ZDEF=。；當點E與點A重合時，ZDEF=°；

深入探究

7

(2)當點E在A8上，點F在DC上時(如圖②)，求證：四邊形DEPF為菱形，并直接寫出當AP=一時

2

的菱形EPED的邊長.

拓展延伸

(3)若點產(chǎn)與點C重合，點￡在A。上，射線54與射線FP交于點M(如圖③).在折疊過程中，是否存

在使得線段AM與線段DE的長度相等的情況？若存在，請求出線段AE的長度；若不存在，請說明理由.

2023-2024學(xué)年蘇州新區(qū)實驗中學(xué)八年級月考數(shù)學(xué)試題

參考答案與解析

1?【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可.

【解答】解：A、原圖既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故此選項符合題意；

B、原圖不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

C、原圖不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

D、原圖既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

故選:A.

2.【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得=/BAD=70°,由等腰三角形的性質(zhì)可求解.

【解答】解：?.?將AABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)70。得到

180ZBAD

：.AB=AD,ZBAD=70°,：.ZB=ZADB=°~=550；

2

故選：B.

3?【分析】根據(jù)菱形的判定、中心對稱圖形的概念、平行四邊形的判定判斷即可.

【解答】解：A、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故本選項說法是假命題，不符合題意；

B、矩形是中心對稱圖形，而等邊三角形不是中心對稱圖形，故本選項說法是假命題，不符合題意；

C、順次連接梯形四邊中點得到的四邊形是平行四邊形，是真命題，符合題意；

D、一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形或梯形，故本選項說法是假命題，不符合題意；

故選：C.

4.【分析】首先明確什么反證法，然后根據(jù)命題“同旁內(nèi)角不互補的兩條直線不平行”可以得到應(yīng)先假設(shè)什

么，本題得以解決.

【解答】解：由題意可得，反證法證明命題“同旁內(nèi)角不互補的兩條直線不平行”時，應(yīng)先假設(shè)同旁內(nèi)角不互

補的兩條直線平行，故選：C.

5.【分析】連接。E,因為=AE±BD,ADBC,可證四邊形ABED為菱形，從而得到BE、

的長，進而解答即可.

【解答】解：連接。E.

在直角三角形CDE中，CE=3,CD=4,根據(jù)勾股定理，得DE=5.

"：AB=AD,AE平分/8A。，AAE±BD,

.\AE垂直平分BD,/BAE=ADAE.DE—BE-5.

VADBC,：.ZDAE=ZAEB,：.ZBAE=ZAEB,

AB—BE=5,BC=BE+EC—8,二?四邊形ABED是菱形，

由勾股定理得出BD=qBC?+DC。=J42+8z=46,B0=LBD=2下,

2

故選：D.

6.【分析】連接AC,由菱形的性質(zhì)推出ADBC,ZBAD=2ZDAC,判定EGLAZ),得到

ZDEF+ZFEG^90°,求出NDE戶=24°,由三角形中位線定理推出"AC,得到

ZDAC=ZDEF=24°,即可求出/B4￡>=2x24°=48°.

【解答】解：連接AC,

:四邊形ABC。是菱形，，ADBC,ZBAD=2ZDAC,

?：EG±BC,：.EG±AD,：.ZDEF+AFEG=9Q°,

?：ZGEF=66°,：.ZDEF=24°,

；E,尸分別是A。，C￡)的中點，，所是AZMC的中位線，EFAC,

:.NDAC=NDEF=24。,：.ZSAZ)=2x24o=48o,

故選：C.

7.【分析】求出0G,每秒旋轉(zhuǎn)45。，8次一個循環(huán)，2024+8=253,第2024秒時，矩形的對角線交點G

在第一象限，由此可得結(jié)論.

【解答】解：???四邊形ABC。是矩形，03=4,AG=CG,OG=BG,

：.0G=2,：.G@Q）,

:每秒旋轉(zhuǎn)45。，8次一個循環(huán)，2024+8=253,...點G在第一象限，.?.點G的坐標為（0,夜）.

8?【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AF=AD,ZAFE=ZD^90°,DE=EF,然后利用“乩"證明Rt"BG

和R3AFG全等，判斷出①正確；根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BG=EG,再根據(jù)“6=3￡＞石”求出?！?/p>

的長，然后設(shè)3G=x,表示出CG、EG,然后利用勾股定理列出方程求出無，從而求出BGuEGnCG,

判斷出②正確；根據(jù)等邊對等角可得NGb=NGFC,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得

ZAGB=ZAGF,再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得

ZBGF=ZGCF+ZGFC,然后求出NAGfi=NGCE,再根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得

AGCF,判斷出③正確；然后求出ACEG的面積，再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出^

CG尸的面積，判斷出④錯誤.

【解答】解：,?,△4?！暄?石對折至44尸￡,；.4^=仞，ZAFE=ZD=90°,DE=EF,

:四邊形ABC。是正方形，：.AB=AD,：.AB=AF,

AG=AG

在RtAABG和RtAAFG中，j筋A(yù)F'Rt&ABGmRtAAFG(HL),故①正確;

：.BG=FG,

,:AB—6,CD—3DE,:.DE=2,CE=6—2=4,

設(shè)BG=x,則CG=6—x,EG=x+2,

在RtACEG中，CG?+CE?=EG?,即(6—xp+4?=(x+2)?,解得％=3,

:.BG=FG=CG=3,故②正確；

/.ZGCF=ZGFC,

由RSABG和RtAAFG得，ZAGB=ZAGF,

由三角形的外角性質(zhì)，ZBGF=ZGCF+ZGFC,：,ZAGB=ZGCF,：.AGCF,故③正確；

11OIQ

△CEG的面積=—CG-CE=—x3x4=6,；.△CGF的面積=—^-x6='，故④錯誤；

222+35

綜上所述，正確的是①②③共3個.

故選：C.

9?【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得NA=NC,ADBC,可得NA+N3=180。，即可求解.

【解答】解：：四邊形A8CD是平行四邊形，NA=NC,ADBC,：.ZA+ZB=180°,

?：ZA=3ZB,.\ZA=135°,AZC=135°,

故答案為：135。.

10?【分析】直接利用菱形的面積公式得出答案.

【解答】解：：在菱形ABCD中，對角線AC、8。相交于點。，AC=6,BD=8,

菱形ABC。的面積是：-AC-BD=-x6x8=24.

22

故答案為：24.

11.【分析】先根據(jù)題意得到Q4=OB,=80°,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理進行

解答即可.

【解答】解：由題意可知：OA=OB,ZAOB=SO0,

'：OA=OB,：.ZOAB=ZOBA,

ZOAB+ZOBA+ZAOB=1SQ°,：.ZOAB+ZOBA=180°-80°=100°,

AOAB=ZOBA=50°,

故答案為：50。.

12?【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出A。，根據(jù)正弦的定義求出AC,根據(jù)三角形這中位線定理計算

即可.

【解答】解：在R3ADB中，NB=45°,BD=473,

AD=BD-4^/^,則AC="==8,

sinC近

~2

；E,尸分別為AB,BC的中點，；.￡尸是AABC的中位線，M=^AC=4,

2

故答案為：4.

13.【分析】由平行線的性質(zhì)可得NCE4=ND=90。，由外角的性質(zhì)可求NBA。的度數(shù).

【解答】解：如圖，設(shè)與BC交于點尸，

圖②

,?BCDE,：.ZCE4=ZD=90°,

,ZZCFA=AB+ABAD=60°+ABAD，,ZBAD=30°

故答案為：30°.

14.【分析】連接AC交BD于點H,先證NCDH=ZCDF,再證ACDH/ACDF^AAS),得

DH=DF=6,即可得出答案.

【解答】解：如圖，連接AC交3。于點X

:四邊形ABC。是菱形，ZABC=72°,：.BH=DH,AC±BD,CB=CD,

ZCBD=-ZABC=36°,ABCD,

2

AZ￡)HC=90°,ZCDB=ZCBD=36°,ZDCE=ZABC=72°,

?：ZECM=18°,ZDCF=ZDCB-NECM=72°-18°=54°,

■:DF工CM,：.ZDFC=90。，：.NCDF=90?！猌DCF=36。，：,NCDH=NCDF,

NDHC=ZDFC=90°

在小CDH和仆CDF中，JZCDH=ZCDF,：.Z^CDH^Z^CDF(AAS),

CD=CD

DH-DF-6,BD=2DH=12,

故答案為：12.

15.【分析】連接EG,根據(jù)AG垂直平分ER即可得出￡G=FG,設(shè)CE=x,則DE=7—x=,

FG=EG=U-x,再根據(jù)R3CEG中，CE~+CG2^EG\即可得到CE的長.

【解答】解：如圖所示，連接EG,

A,D

FBGC

由旋轉(zhuǎn)可得，△ADE@\ABF,：.AE=AF,DE=BF,

又???AG_L￡F,為EF的中點，垂直平分EF,￡G=FG,

設(shè)CE=x,則。E=7—x=FG=CF-CG=ll-x,：,EG=U-x,

：NC=90°,；.R3CEG中，CE2+CG?=EG2,即d+3?=(11—x)?,解得％=些，

11

?..CE的長為W，故答案為：—.

1111

16.【分析】先得出點Q是直線y=—2上的動點，再將5P+5Q轉(zhuǎn)化成AQ+5Q,考慮將軍飲馬.

【解答】解：A(-1,0),B(0,2),點P是無軸上一動點，四邊形ABP。是平行四邊形，根據(jù)平移的性質(zhì)

得丁。二一2,?,?點。是直線y=-2上的動點，

作5(0,2)關(guān)于直線丁二一2的對稱點8。連接BQ、ABT則夕(0,-6),

???四邊形ABP。是平行四邊形，ABP=AQ,：.BP+BQ=AQ+BQ=AQ+BfQ^ABf,

設(shè)直線A*的表達式為y=履一6,代入A(-1,0)得，k=-6,.\y=-6x-6,

22

令y=—6x—6=—2,得x=-§,???點Q的坐標為(——,—2),

2

故答案為：(——,—2).

17.【分析】由題意推出△A5CZ4DEC,所以A5=QE,AC=DC,DC=3,BD=1,再運用勾股

定理，求得A6=5,即推出￡>E=5.

【解答】解：根據(jù)題意，得△ABC學(xué)△口￡€：,：.AB=DE,AC=DC,

AC=3,/.DC=3,:BC=4,BD=1,

在RtAABC中，根據(jù)勾股定理，得AB==5.：,DE=5.

18.【分析】（1）證出A3=A￡=6,則可得出答案；

（2）根據(jù)（1）可知，AB=AE=6,同理可證：DF=DC=6,則可求出答案.

【解答】解：（1）四邊形ABC。是平行四邊形，

ADBC,AD=BC,：.ZAEB=ZEBC,

,.'BE平分NA8C,；.XABE=NEBC,AABE=/AEB,AB—AE=6,

BC=10,/.AD=10,

DABCD的周長是：AB+CE>+AD+BC=6+6+10+10=32；

（2）根據(jù)（1）可知，AB=AE=6,同理可證：DF=DC=6,

則￡71AE+FD—AD=6+6—10=2.

19.【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A,B,C的對應(yīng)點4，4，G即可；

（2）利用中心對稱變換的性質(zhì)分別作出A,4，C］的對應(yīng)點4,B2,C2即可；

（3）對應(yīng)點連線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心.

【解答】解：（I）如圖，△A與q即為所求；

（2）如圖，△4為02即為所求;

y八

6-L

(3)旋轉(zhuǎn)中心。的坐標為(-3,0),

故答案為：(-3,0).

20.【分析】(1)根據(jù)三角形中位線定理得到。石=工3。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到4尸=L3。，等量

22

代換證明結(jié)論；

(2)連接。尸、EF,根據(jù)三角形中位線定理得到。尸AC,EFAB,證明四邊形AOFE是矩形，根據(jù)

矩形的對角線相等證明即可.

【解答】解：(1)是△ABC的中位線，。石=L3。，

2

是△ABC的中線，ZBAC^9Q°,：.AF=-BC,：.DE=AF；

2

故答案為：—BC；—BC.

22

(2)連接。REF,

E是△ABC的中位線，A尸是△ABC的中線，:.DF、EP是△ABC的中位線，

：.DFAC,EFAB,...四邊形AD也是平行四邊形，

：/B4c=90。，...四邊形A。正是矩形，.

21.【分析】(1)連接2。，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得A3=AD=30cm,從而可得△A3。是等邊三角形，然后

利用等邊三角形的性質(zhì)可得B￡>=AB=AO=30cm,最后進行計算，即可解答;

(2)根據(jù)已知可得△是等腰直角三角形，從而可得3￡>=30&cm,然后進行計算即可解答.

【解答】解：(1)連接2D

四邊形ABC。是菱形，A3=AD=30cm,

：NA=60°,△A8D是等邊三角形，,=AB=AD=30cm,

30x20+30=630(cm)=6.3(m),

:大門的總寬度為10.3m,.?.大門打開的寬度=10.3—6.3=4(m),.?.大門打開了4m；

(2)該車不能直接通過，

理由：：AB=AD,ZA=90°,：.BD=42AB=30V2(cm),

/.30A/2x20+30=(600V2+30)cm?8.76(m)

???大門的總寬度為10.3m,...大門打開的寬度=10.3—8.76=1.54(m),

54m<L8m,...該車不能直接通過.

22.【分析】(1)連接MN,作MN的垂直平分線交直線/于P,交MN于。點，然后截取OQ=OP,則四

邊形MPNQ滿足條件；

(2)設(shè)菱形的邊長為x,根據(jù)菱形的性質(zhì)得到Q0=QV,OP=OQ,MNLPQ,根據(jù)菱形的面積公式

得到;xPQx5=4x,則PQ=：x,接著在R30PM中利用勾股定理得至U(g)2+([x)2=x2,然后解方程

即可.

【解答】解：(1)如圖，菱形MPNQ為所作；

(2)如圖，設(shè)菱形的邊長為x,

:四邊形MPNQ為菱形，OM=ON,OP=OQ,MNLPQ,

:點M到直線/的距離為4,MN的長為5,...LXPQX5=4X,0M=3,OP=-X,

2525

在RtAOPM中，(g)2+(1x)2=x2,解得％=V，

25

即這個菱形的邊長為

6

23?【分析】(1)根據(jù)有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形即可判斷；

(2)分三種情形分別求解即可解決問題；

【解答】解：(1):圖形旋轉(zhuǎn)后BC=CD,NBCD=Ne=60°,.??△8CQ是等邊三角形；

故答案為：等邊三角形.

(2)①當OH=OC=5時，在RtAAF/O中，AH=-\/52-32=4,:.H(4,3).

②當=H。時，AH^BH=2.5,AH(2.5,3).

③當CH=CO時，BH=4,AH=1,：.H(1,3)

綜上所述，點的坐標是(1,3)(2.5,3)(4,3).

24.【分析】(1)先證AO=石戶，再證四邊形是平行四邊形，然后證NA￡戶=90°,即可得出結(jié)論;

(2)由菱形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得OE=，AC=OA=石，AC=2OE=2卮再由

2

勾股定理得。3=20，則3。=203=4，？，然后由菱形面積公式即可解決問題.

【解答】(1)證明：：四邊形ABC。是菱形，...AD3c且AD=BC,

'/OF=BE,CF+CE—BE+CE,即EF=BC,AD=EF,

?；ADEF,：.四邊形AEFD是平行四邊形，

又?.?AEL5C,NA￡F=90°,.?.平行四邊形AEFD是矩形；

(2)解：：四邊形ABC。是菱形，AB=5,：.BC=AB=5,ACYBD,OA=OC=-AC,

2

OB=OD=-BD,

2

?：AELBC,；.ZAEC=90。，AOE=-AC=OA=y/5,AC=2OE=2非,

2

OB=JAB2—O42=小25一電)2=2也,...BD=2OB=46,

:菱形ABC。的面積=工5。-4。=3。-4E，即,x4j?x2j?=5xAE,解得：AE=4.

22

25?【分析】(1)作EP_LCD于尸，EQ上BC于Q,證明RfZ\EQF當RtaEPD,得到EF=ED；

(2)通過計算發(fā)現(xiàn)E是AC中點，點尸與C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解決問題.

(3)分兩種情形考慮問題即可；

【解答】（1）證明：作石尸，CD于尸，EQ，3c于。,

??ZDCA=ZBCA,：.EQ=EP,

:NQEF+NFEC=45。,ZPED+ZFEC=45°,：,ZQEF=APED,

ZQEF=APED

在Rt^EQF和RtAEPD中，＜EQ=EP,Rt/\EQF^Rt/\EPD(ASA),：.EF=ED,

ZEQF=ZEPD

(2)解：如圖2中，在R3ABC中.AC=42AB=2A/2,

=AE=CE,.?.點F與C重合，此時AOCG是等腰直角三角形，易知CG=J5.

（3）解：①當。E與AD的夾角為30。時，點廠在2C邊上，ZADE=30°,則NCDE=90°—30。=60。,

在四邊形C0EF中，由四邊形內(nèi)角和定理得：ZEFC=360°-90°-90°-60°=120°,

②當OE與。。的夾角為30。時，點尸在8c的延長線上，NCDE=30。，如圖3所示：

圖3

:ZHCF=ZDEF=90°,ZCHF=ZEHD,：.NEFC=NCDE=30。,

綜上所述，NEFC=120?；?0°.

26?【分析】（1）由“雙直四邊形”的定義依次判斷可求解;

(2)由“SAS，可證可得NABF=NBCE,由余角的性質(zhì)可證防，CE,可得結(jié)論;

(3)先求出由/的解析式，分兩種情況討論，將點。橫坐標代入，即可求解.

【解答】(1)解：；有一個內(nèi)角是直角，且對角線互相垂直的四邊形稱為“雙直四邊形”，

.,.正方形是“雙直四邊形”，“雙直四邊形”的面積等于對角線乘積的一半，故②正確；

...“雙直四邊形”的對角線可能相等，故①錯誤

;中心對稱的四邊形是平行四邊形，且有一個內(nèi)角是直角，對角線互相垂直，

...這樣的“雙直四邊形”是正方形，故③正確；

故答案為：②③；

(2)證明：設(shè)8尸與CE交于點。

AI-------------------------\D

圖①

:四邊形ABC。是正方形，；.AB=BC=AD,ZA=ZABC=90°,

,:AE=DF,BE=AF,；.&ABF%ABCE(SAS),ZABF=ZBCE,

'：ZABF+ZCBF=90°,：.ZBCE+ZCBF^90°,AZBOC=90°,BFLCE,

又?:Z￡BC=90°,.?.四邊形BCFE為“雙直四邊形”；

(3)解：如圖，設(shè)8。與AC交于點H,

Cx

圖②

;點A(0,6),C(8,0),：.OA=6,OC=8,

AB=BC,AB2=AO2+OB2,：.BC2=36+(100-BC)2,ABC=—,

77

：.OB=-,.?.點3(—,0),

44、

,/四邊形ABCD為“雙直四邊形”，；.AC±BD,

,：AB=BC,：.AH=HC,即點X是AC的中點,

:點A(0,6),C(8,0),:.點、H(4,3),

(r4

Q=—x+b女3

設(shè)直線BF/的解析式為y=依+Z?,，<4，.一,

3=4k+bb=

113

47

直線BH的解析式為y=—x——，

33

2525

當4CD=90。時，點。的橫坐標為8,y=寧，...點。(8,寧)，

當NZMB=90°時，'：AB^BC,是AC的垂直平分線，：.AD=CD,

25

又：5D=，；.也△BDCGS'SS)=ZDCB=90。，.?.點。(8,§),

當NA￡)C=90°時，過點。作DE,5c于E,于R

綜上所述：點。的坐標(8,—)或(7,7).

27.【分析】初步思考(1)當點尸與點A重合時，斯是的