人教A版選擇性必修時等比數(shù)列的性質(zhì)課件-3

第二課時等比數(shù)列的性質(zhì)學習目標1.掌握等比數(shù)列的幾個基本性質(zhì),能夠運用這些性質(zhì)解決等比數(shù)列中的有關問題,發(fā)展邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).2.熟練掌握等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應用,增強邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).3.能夠運用已學的等比數(shù)列知識解決一些實際應用問題,提升數(shù)學建模與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).知識梳理·自主探究師生互動·合作探究知識梳理·自主探究1.等比數(shù)列“下標和”的性質(zhì)(1)如果m+n=k+l(m,n,k,l∈N*),則有

.(2)如果m+n=2k(m,n,k∈N*),則有am·an=

.(3)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差數(shù)列,則am,an,ap成等比數(shù)列.(4)等比數(shù)列的項的對稱性:在有窮等比數(shù)列中,與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積,即a1·an=a2·an-1=ak·an-k+1=….知識探究am·an=ak·al[思考1]在等比數(shù)列{an}中,若am·an=ak·al,是否有m+n=k+l成立?提示:不一定成立,如an=2,a1a2=a3a4,但1+2≠3+4.[做一做1]已知等比數(shù)列{an}中,a6=4,a8=8,則a10等于(

)A.5 B.6 C.14 D.16D[問題1](1)將等比數(shù)列{an}中的前k項去掉,剩余各項組成一個新數(shù)列,這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎?如果是,它的首項與公比分別是多少?提示:(1)是.首項為ak+1,公比為q.(2)取出等比數(shù)列{an}中的所有奇數(shù)項,組成一個新的數(shù)列,這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎?如果是,它的首項與公比分別是多少?提示:(2)是.首項為a1,公比為q2.(3)如果取出數(shù)列{an}中所有k的倍數(shù)項呢?提示:(3)是.首項為ak,公比為qk.2.等比數(shù)列的“子數(shù)列”性質(zhì)對于無窮等比數(shù)列{an},若將其前k項去掉,剩余各項仍為等比數(shù)列,首項為ak+1,公比為q;若取出所有的k的倍數(shù)項,組成的數(shù)列為等比數(shù)列,首項為ak,公比為qk.[思考2]若數(shù)列{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等比數(shù)列,且公比相同,則{an}是等比數(shù)列嗎?提示:反例:1,3,2,6,4,12,…,顯然滿足條件,但不是等比數(shù)列.[做一做2](多選題)對任意等比數(shù)列{an},下列說法一定正確的是(

)A.a1,a3,a9成等比數(shù)列B.a3,a4,a6成等比數(shù)列C.a2,a5,a8成等比數(shù)列D.a3,a6,a9成等比數(shù)列CD解析:依據(jù)等比數(shù)列的有關性質(zhì),選項C,D中的項成等比數(shù)列.故選CD.[問題2]你能利用等比數(shù)列的定義推導出以下性質(zhì)嗎?3.等比數(shù)列的“運算”性質(zhì)[思考3]若{an},{bn}都是等比數(shù)列,則{an+bn}一定是等比數(shù)列嗎?提示:反例:{an}為1,-1,1,-1,…,{bn}為-1,1,-1,1,…,則{an+bn}為0,0,0,0,…,顯然不是等比數(shù)列.[做一做3]已知{an},{bn}都是等比數(shù)列,那么(

)A.{an+bn},{anbn}都一定是等比數(shù)列B.{an+bn}一定是等比數(shù)列,但{anbn}不一定是等比數(shù)列C.{an+bn}不一定是等比數(shù)列,但{anbn}一定是等比數(shù)列D.{an+bn},{anbn}都不一定是等比數(shù)列C解析:當兩個數(shù)列都是等比數(shù)列時,這兩個數(shù)列的和不一定是等比數(shù)列,比如取兩個數(shù)列是互為相反數(shù)的數(shù)列,兩者的和就不是等比數(shù)列,兩個等比數(shù)列的積一定是等比數(shù)列.故選C.[問題3]你能利用等比數(shù)列的通項公式與指數(shù)型函數(shù)的關系推導出以下性質(zhì)嗎?4.等比數(shù)列的單調(diào)性(1)當a1>0,q>1時,數(shù)列{an}為正項的遞增等比數(shù)列;(2)當a1>0,0<q<1時,數(shù)列{an}為正項的遞減等比數(shù)列;(3)當a1<0,q>1時,數(shù)列{an}為負項的遞減等比數(shù)列;(4)當a1<0,0<q<1時,數(shù)列{an}為負項的遞增等比數(shù)列;(5)當q=1時,數(shù)列{an}為常數(shù)列;(6)當q<0時,數(shù)列{an}為擺動數(shù)列,奇數(shù)項符號相同,偶數(shù)項符號相同.[做一做4]已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且公比大于0,則“q>1”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的(

)A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件D解析:當a1<0,q>1時,數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,即充分性不成立;當“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”時,可能是a1<0,0<q<1,即必要性不成立.即“q>1”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.故選D.師生互動·合作探究[例1]已知{an}為等比數(shù)列.探究點一等比數(shù)列的性質(zhì)(2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;(3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.[例1]已知{an}為等比數(shù)列.解:(3)由等比數(shù)列的性質(zhì)知a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9,所以log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]=log395=10.方法總結有關等比數(shù)列的計算問題,基本方法是運用方程思想列出基本量a1和q的方程組,先解出a1和q,然后利用通項公式求解.但有時運算稍繁,而利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題,卻簡便快捷,為了發(fā)現(xiàn)性質(zhì),要充分發(fā)揮項的“下標”的指導作用.[針對訓練](1)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a5a6+a4a7=6,則a1a2…a10等于(

)A.1B.35C.15D.30解析:(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a5a6=a4a7,又a5a6+a4a7=6,所以2a5a6=6,所以a5a6=3,因為a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=3,所以a1a2…a10=35.故選B.答案:(1)B

(2)已知公比為q的等比數(shù)列{an},a5+a9=q,則a6(a2+2a6+a10)的值為

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答案:(2)1[例2]某人買了一輛價值13.5萬元的新車,專家預測這種車每年按10%的速度貶值.探究點二等比數(shù)列的實際應用解:(1)從第一年起,每年車的價值(萬元)依次設為a1,a2,a3,…,an,由題意得a1=13.5,a2=13.5×(1-10%),a3=13.5×(1-10%)2,….由等比數(shù)列的定義,知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,首項a1=13.5,公比q=1-10%=0.9,所以an=a1·qn-1=13.5×0.9n-1.所以n年后車的價值為an+1=13.5×0.9n(萬元).(1)用一個式子表示n(n∈N*)年后這輛車的價值;[例2]某人買了一輛價值13.5萬元的新車,專家預測這種車每年按10%的速度貶值.解:(2)由(1)得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.9(萬元),所以用滿4年時賣掉這輛車,大概能得到8.9萬元.(2)如果他打算用滿4年時賣掉這輛車,他大概能得到多少錢?方法總結數(shù)列實際應用題常與現(xiàn)實生活和生產(chǎn)實際中的具體事件相聯(lián)系,建立數(shù)學模型是解決這類問題的核心,常用的方法有:(1)構造等差、等比數(shù)列的模型,然后用數(shù)列的通項公式或求和公式求解.(2)通過歸納得到結論,再用數(shù)列知識求解.[針對訓練]2022年,某縣甲、乙兩個林場森林木材的存量分別為16a和25a,甲林場木材存量每年比上一年遞增25%,而乙林場木材存量每年比上一年遞減20%.解:(1)由題意可得16a(1+25%)n-1=25a(1-20%)n-1,解得n=2,故到2023年兩林場木材的總存量相等.(1)哪一年兩林場木材的總存量相等?(2)兩林場木材的總量到2026年能否翻一番?角度1

an+1=an+f(n)型探究點三由遞推關系求通項公式方法總結把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1-an=f(n),再利用累加法(逐差相加法)求解,即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1).[針對訓練]在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+2n-1.求an.角度2

an+1=f(n)an型方法總結角度3

an+1=pan+q(其中p,q均為常數(shù),pq(p-1)≠0)型[例5]已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,求an.方法總結[針對訓練]已知數(shù)列{an}滿足a1=-2,an+1=2an+4.證明數(shù)列{an+4}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式.學海拾貝轉(zhuǎn)化思想、方程思想在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中的應用解有關等差、等比數(shù)列有關的綜合問題時,應注意以下方法與技巧的應用:(1)轉(zhuǎn)化思想:將非等差(比)數(shù)列轉(zhuǎn)化,構造出新的等差(比)數(shù)列,以便于利用其公式和性質(zhì)解題.(2)將等差(比)數(shù)列中的項用基本量a1和d(q)來表示得到方程或方程組,然后求解是解決等比數(shù)列問題的基本思想和方法.(3)等差(比)數(shù)列公式和性質(zhì)的靈活應用.(4)當題中有多個數(shù)列出現(xiàn)時,既要研究單一數(shù)列項與項之間的關系,又要關注各數(shù)列之間的相互聯(lián)系.(5)注意求通項與求和的相互聯(lián)系.典例探究:已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n(n+1)+2,其中n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;典例探究:已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n(n+1)+2,其中n∈N*.(2)若a2,ak+2,a3k+2(k∈N*)為等比數(shù)列{bn}的前三項,求數(shù)列{bn}的通項公式.應用探究:等比數(shù)列{an}中,已知a1=2,a4=16.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;解:(1)因為等比數(shù)列{an}中,a1=2,a4=16,所以2q3=16,解得q=2,所以an=2×2n-1=2n.應用探究:等比數(shù)列{an}中,已知a1=2,a4=16.(2)若a3,a5分別是等差數(shù)列{bn}的第4項和第16項,求數(shù)列{bn}的通項公式及前n項和Sn.當堂檢測1.在等比數(shù)列{an}中,an>0,且a1a10=27,則log3a2+lo