2022-2023學(xué)年遼寧省鞍山市一般高中協(xié)作校高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2遼寧省鞍山市一般高中協(xié)作校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考試題一、單選題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知圓心角是2弧度的扇形的周長為4，則扇形的面積為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗A〖解析〗由扇形的周長公式得，解得，所以扇形的面積為.故選：A.2.在邊長為1的正方形ABCD中，向量，則向量的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由向量關(guān)系知E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC靠近B端的三等分點(diǎn)，則，，，則由知，，則，故向量的夾角為.故選：B.3.下列各式正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對于A，，在第二象限是增函數(shù)，，錯誤；對于B，，，，錯誤；對于C，，在第一象限是增函數(shù)，，錯誤；對于D，，，，正確.故選：D.4.在中，角所對的邊分別為，若，則角的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，整理可得：，由余弦定理可得：，由為三角形內(nèi)角，即，可得：.故選：C．5.點(diǎn)A的坐標(biāo)為，將點(diǎn)A繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后到達(dá)點(diǎn)位置，則的橫坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)點(diǎn)是終邊上一點(diǎn)，則，，則點(diǎn)是終邊上一點(diǎn)，則，所以.故選：D.6.為捍衛(wèi)國家南海主權(quán)，我海軍在南海海域進(jìn)行例行巡邏.某天，一艘巡邏艦從海島出發(fā)，沿南偏東的方向航行40海里后到達(dá)海島，然后再從海島出發(fā)，沿北偏東的方向航行了海里到達(dá)海島.若巡邏艦從海島出發(fā)沿直線到達(dá)海島，則航行的方向和路程（單位：海里）分別為（）A.北偏東， B.北偏東，C.北偏東， D.北偏東，〖答案〗C〖解析〗據(jù)題意知，在中，，海里，海里，所以，所以海里，又，所以，又因為為銳角，所以，所以航行的方向和路程分別為北偏東，海里.故選：C.7.函數(shù)，將圖像向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖像，若對任意，都有成立，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，，，其中，∴的最大值為，依題意有，即，.故選：A.8.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且邊上的中線，則（）A.3 B. C.1或2 D.2或3〖答案〗C〖解析〗由得，∴，∵，∴，即，在中，由余弦定理可得，整理得，在中，，∴，即（*），當(dāng)時，（*）式可解得，；當(dāng)時，（*）式可解得，.故選：C.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A. B.的最小正周期為C.直線是函數(shù)的一條對稱軸 D.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱〖答案〗ABC〖解析〗對于A，，故A正確；對于B，的最小正周期為，故B正確；對于C，，所以直線是函數(shù)的一條對稱軸，故C正確，D不正確.故選：ABC.10.已知平面向量，，則下列說法正確的是（）A. B.C.向量與的夾角為 D.向量在上的投影向量為〖答案〗BD〖解析〗，所以，故A錯誤；，故B正確；，，，，故C錯誤；向量在上的投影向量為，故D正確．故選：BD.11.已知函數(shù)，下列命題中的真命題有（）A.，為奇函數(shù)B.，對恒成立C.，，若，則的最小值為D.，，若，則〖答案〗BC〖解析〗由題意，∵的圖象如圖所示：函數(shù)的圖象是的圖象向左或向右平移個單位，它不會是奇函數(shù)的，故A錯誤；若，∴，∴，∴，；又，∴取或時，∴對恒成立，故B正確；時，最小值為，故C正確；當(dāng)時，，故D錯誤.故選：BC.12.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為，則下列說法正確的是（）A.若，則△ABC有兩解B.若，則△ABC為直角三角形C.若，則D.若A=60°，，則△ABC面積的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗A：由正弦定理得，，角可以是銳角也可以是鈍角，有兩解，A正確；B：已知，由正弦定理及商數(shù)關(guān)系得，三角形中，所以，，或，即或，三角形為等腰三角形或直角三角形，B錯誤；C：由正弦定理，，，C正確；D：由余弦定理，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，所以最大值為，D正確．故選：ACD．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把〖答案〗填在答題紙上.）13.已知，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為______________．〖答案〗〖解析〗因為與的夾角為銳角，所以，解之得或，若與同向，則（），即，綜上，的取值范圍為.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，且，則__________.〖答案〗-〖解析〗由圖可知：，，又，即，.故〖答案〗為：-.15.設(shè)的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且滿足.則______.〖答案〗4〖解析〗解法1：有題設(shè)及余弦定理得，故.解法2：如圖，過點(diǎn)作，垂足為，則，，由題設(shè)得，又，聯(lián)立解得，，故.解法3：由射影定理得，又，與上式聯(lián)立解得，.故.故〖答案〗為：4.16.中，，，，是邊上一點(diǎn)，，則______．〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，因為，所以，解得，所以，則，所以.故〖答案〗為：.四、解答題（共6個小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗算步驟.）17.已知為銳角，.（1）求的值；（2）求函數(shù)的對稱中心和單調(diào)區(qū)間.解：（1）∵，∴，又為銳角，∴.（2）由題知函數(shù)，由，得，∴函數(shù)的對稱中心為；由，得，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間.18.的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，已知．（1）求；（2）若是銳角三角形，，求周長的取值范圍．解：（1）由正弦定理得，，在中，，，故，∴，∴，，從而，，∵，∴.（2）由正弦定理得，，，其中為的外接圓半徑，故，因為是銳角三角形，，，即且，故，，所以，從而，故，故三角形周長的取值范圍為．19.在①②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中并作答.在中，角A?B?C所對的邊分別是a?b?c，___________.（1）求角A﹔（2）若，面積為，求的周長.解：（1）若選擇①，由，得，即，由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以．若選擇②，因為，由正弦定理可得，又，所以，則，所以，由于，，所以，，故．（2）因為，，的面積為，所以，由余弦定理，可得，解得，所以的周長．20.如圖，在中，已知（1）求；（2）已知點(diǎn)是上一點(diǎn)，滿足點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，滿足，是否存在非零實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.解：（1）在中，，，則，顯然有，于是得，，所以.（2）假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)，使得，由，得，則，又，則，于是得，而，解得，所以存在非零實(shí)數(shù)，使得.21.如圖有一塊半徑為4，圓心角為的扇形鐵皮，是圓弧上一點(diǎn)（不包括，），點(diǎn)，分別半徑，上．（1）若四邊形矩形，求其面積最大值；（2）若和均為直角三角形，求它們面積之和的取值范圍．解：（1）連接OP，如圖，令，因四邊形為矩形，則，于是得矩形的面積，而，則當(dāng)，即時，取最大值1，即有，所以矩形面積最大值為8.（2）由(1)知，，則，，和的面積和：，令，即，而，則，，則，顯然在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時，，而，因此，，所以和的面積和的取值范圍是：.22.函數(shù)圖象的一條對稱軸為，一個零點(diǎn)為，最小正周期滿足．（1）求的〖解析〗式；（2）若對任意恒成立，求的最大值．解：（1）因為函數(shù)的最小正周期滿足，所以，即；因為函數(shù)圖象的一條對稱軸為，所以①，因為函數(shù)的一個零點(diǎn)為，所以②，②①，得，所以當(dāng)時，，因為，所以把代入①，得，所以.（2）因為，所以由，得，即，所以，即，所以，即，所以，所以，即，所以的最大值為.遼寧省鞍山市一般高中協(xié)作校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考試題一、單選題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知圓心角是2弧度的扇形的周長為4，則扇形的面積為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗A〖解析〗由扇形的周長公式得，解得，所以扇形的面積為.故選：A.2.在邊長為1的正方形ABCD中，向量，則向量的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由向量關(guān)系知E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC靠近B端的三等分點(diǎn)，則，，，則由知，，則，故向量的夾角為.故選：B.3.下列各式正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對于A，，在第二象限是增函數(shù)，，錯誤；對于B，，，，錯誤；對于C，，在第一象限是增函數(shù)，，錯誤；對于D，，，，正確.故選：D.4.在中，角所對的邊分別為，若，則角的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，整理可得：，由余弦定理可得：，由為三角形內(nèi)角，即，可得：.故選：C．5.點(diǎn)A的坐標(biāo)為，將點(diǎn)A繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后到達(dá)點(diǎn)位置，則的橫坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)點(diǎn)是終邊上一點(diǎn)，則，，則點(diǎn)是終邊上一點(diǎn)，則，所以.故選：D.6.為捍衛(wèi)國家南海主權(quán)，我海軍在南海海域進(jìn)行例行巡邏.某天，一艘巡邏艦從海島出發(fā)，沿南偏東的方向航行40海里后到達(dá)海島，然后再從海島出發(fā)，沿北偏東的方向航行了海里到達(dá)海島.若巡邏艦從海島出發(fā)沿直線到達(dá)海島，則航行的方向和路程（單位：海里）分別為（）A.北偏東， B.北偏東，C.北偏東， D.北偏東，〖答案〗C〖解析〗據(jù)題意知，在中，，海里，海里，所以，所以海里，又，所以，又因為為銳角，所以，所以航行的方向和路程分別為北偏東，海里.故選：C.7.函數(shù)，將圖像向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖像，若對任意，都有成立，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，，，其中，∴的最大值為，依題意有，即，.故選：A.8.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且邊上的中線，則（）A.3 B. C.1或2 D.2或3〖答案〗C〖解析〗由得，∴，∵，∴，即，在中，由余弦定理可得，整理得，在中，，∴，即（*），當(dāng)時，（*）式可解得，；當(dāng)時，（*）式可解得，.故選：C.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A. B.的最小正周期為C.直線是函數(shù)的一條對稱軸 D.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱〖答案〗ABC〖解析〗對于A，，故A正確；對于B，的最小正周期為，故B正確；對于C，，所以直線是函數(shù)的一條對稱軸，故C正確，D不正確.故選：ABC.10.已知平面向量，，則下列說法正確的是（）A. B.C.向量與的夾角為 D.向量在上的投影向量為〖答案〗BD〖解析〗，所以，故A錯誤；，故B正確；，，，，故C錯誤；向量在上的投影向量為，故D正確．故選：BD.11.已知函數(shù)，下列命題中的真命題有（）A.，為奇函數(shù)B.，對恒成立C.，，若，則的最小值為D.，，若，則〖答案〗BC〖解析〗由題意，∵的圖象如圖所示：函數(shù)的圖象是的圖象向左或向右平移個單位，它不會是奇函數(shù)的，故A錯誤；若，∴，∴，∴，；又，∴取或時，∴對恒成立，故B正確；時，最小值為，故C正確；當(dāng)時，，故D錯誤.故選：BC.12.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為，則下列說法正確的是（）A.若，則△ABC有兩解B.若，則△ABC為直角三角形C.若，則D.若A=60°，，則△ABC面積的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗A：由正弦定理得，，角可以是銳角也可以是鈍角，有兩解，A正確；B：已知，由正弦定理及商數(shù)關(guān)系得，三角形中，所以，，或，即或，三角形為等腰三角形或直角三角形，B錯誤；C：由正弦定理，，，C正確；D：由余弦定理，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，所以最大值為，D正確．故選：ACD．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把〖答案〗填在答題紙上.）13.已知，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為______________．〖答案〗〖解析〗因為與的夾角為銳角，所以，解之得或，若與同向，則（），即，綜上，的取值范圍為.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，且，則__________.〖答案〗-〖解析〗由圖可知：，，又，即，.故〖答案〗為：-.15.設(shè)的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且滿足.則______.〖答案〗4〖解析〗解法1：有題設(shè)及余弦定理得，故.解法2：如圖，過點(diǎn)作，垂足為，則，，由題設(shè)得，又，聯(lián)立解得，，故.解法3：由射影定理得，又，與上式聯(lián)立解得，.故.故〖答案〗為：4.16.中，，，，是邊上一點(diǎn)，，則______．〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，因為，所以，解得，所以，則，所以.故〖答案〗為：.四、解答題（共6個小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗算步驟.）17.已知為銳角，.（1）求的值；（2）求函數(shù)的對稱中心和單調(diào)區(qū)間.解：（1）∵，∴，又為銳角，∴.（2）由題知函數(shù)，由，得，∴函數(shù)的對稱中心為；由，得，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間.18.的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，已知．（1）求；（2）若是銳角三角形，，求周長的取值范圍．解：（1）由正弦定理得，，在中，，，故，∴，∴，，從而，，∵，∴.（2）由正弦定理得，，，其中為的外接圓半徑，故，因為是銳角三角形，，，即且，故，，所以，從而，故，故三角形周長的取值范圍為．19.在①②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中并作答.在中，角A?B?C所對的邊分別是a?b?c，___________.（1）求角A﹔（2）若，面積為，求的周長.解：（1）若選