2024屆高三年級上冊一模數(shù)學試題（附答案解析）

2024屆高三上學期一模數(shù)學試題

一'填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分)考

生應在答題紙的相應位置直接填寫結果.

1.已知集合人={1,2,3},B={3,4,5},則ACB=.

2.在復平面內，復數(shù)z對應的點的坐標是(-1,V3),則z的共輾復數(shù)2=.

3.不等式號>0的解集為

4.雙曲線久2_吟=1的離心率為.

5.已知角a,/?的終邊關于原點O對稱，則cos(a-6)=.

6.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，若它們的中位數(shù)相同，則圖中小的值

甲乙

723

9m3248

7.設圓臺的上底面和下底面的半徑分別為r'=l和r=2,母線長為1=3,則該該圓臺的高

為.

8.從1,2,3,4,5這五個數(shù)中隨機抽取兩個不同的數(shù)，則所抽到的兩個數(shù)的和大于6的概率為一

(結果用數(shù)值表示).

9.已知函數(shù)了=sin(co久)(?>0)在區(qū)間［0,兀］上是嚴格增函數(shù)，且其圖像關于點(4兀，0)對稱，則/

的值為.

10.若(10久+6y)3=ax3+bx2y+cxy2+dy3,則一a+2b—4c+8d=.

11.若函數(shù)/(x)=|(1—/)(￡2+。久+切］—。0)的圖像關于直線x=-2對稱，且該函數(shù)有且

僅有7個零點，則a+b+c的值為.

12.已知平面向量五、萬、妥滿足⑷=4歷—磯=2,\a+b\=\a—b\+|a|,且@c)-p貝皈?"的

取值范圍是.

二、選擇題(本題共有4題，滿分18分，13、14每題4分，15、16題每題5分)每題有且

只有一個正確選項，考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.

13.對于實數(shù)a,b,c,“a>b”是“ac2>be2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

14.已知事件A和B相互獨立，且2(4)=4，P(B)=則P(4B)=()

1「2pj16

AA.彳R21C-7D-21

15.如圖，在正方體力BCD-&BiCiA中，E、F為正方體內（含邊界）不重合的兩個動點，下列

結論錯誤的是（）.

A.若ECBDi，F(xiàn)￡BD,則EF1AC

B.若ECBDi，F(xiàn)eBD,則平面BEF1平面AiB。

C.若E€AC,Fee?！地怚JEF〃面AiBCi

D.若EeAC,FGCD「則EF〃4￡)i

16.設集合z={i,2,ioo},x、y均為4的非空子集（允許x=y）.x中的最大元素與丫中的

最小元素分別記為M、m,則滿足M>m的有序集合對（X,丫）的個數(shù)為（）.

A.2200-100-2100B.2200-101-2100

C.2201-100-2100D.2201-101-2100

三'解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)

定區(qū)域內寫出必要的步驟.

17.如圖，在四棱錐尸―4BCD中，底面4BC。為正方形，PAL^ABCD,PA=AD=2,E為PB

的中點，F(xiàn)為2C與BD的交點.

（1）證明：EF〃平面PCD；

（2）求三棱錐E—4BF的體積.

18.已知數(shù)列{冊}滿足log2Cln+l=1+log2an>且=2.

（1）求劭0的值；

（2）若數(shù)列｛廝+：｝為嚴格增數(shù)列，其中4是常數(shù)，求4的取值范圍.

an

19.網(wǎng)絡購物行業(yè)日益發(fā)達，各銷售平臺通常會配備送貨上門服務.小金正在配送客戶購買的電冰

箱，并獲得了客戶所在小區(qū)門戶以及建筑轉角處的平面設計示意圖.

（1）為避免冰箱內部制冷液逆流，要求運送過程中發(fā)生傾斜時，外包裝的底面與地面的傾斜角a

不能超過也且底面至少有兩個頂點與地面接觸.外包裝看作長方體，如圖1所示，記長方體的縱截

面為矩形4BCD,AD=0.8m,AB=2.4m,而客戶家門高度為2.3米，其他過道高度足夠.若以傾斜

角a=今的方式進客戶家門，小金能否將冰箱運送入客戶家中？計算并說明理由.

（2）由于客戶選擇以舊換新服務，小金需要將客戶長方體形狀的舊冰箱進行回收.為了省力，小

金選擇將冰箱水平推運（冰箱背面水平放置于帶滾輪的平板車上，平板車長寬均小于冰箱背面）.推

運過程中遇到一處直角過道，如圖2所示，過道寬為1.8米.記此冰箱水平截面為矩形EFGH,EH=

1.2m.設乙PHG=°,當冰箱被卡住時（即點H、G分別在射線PR、PQ上，點。在線段EF上），嘗試用

口表示冰箱高度EF的長，并求出EF的最小值，最后請幫助小金得出結論：按此種方式推運的舊冰

箱，其高度的最大值是多少？（結果精確到0.1m）

20.已知三條直線*y=kx+mi（j=1,2,3）分別與拋物線「y2=以交于點4、B”T（t,0）

為x軸上一定點，且加1<m2<m3<-t,記點T到直線乙的距離為d”△兀4/（的面積為S”

（1）若直線L的傾斜角為45。，且過拋物線廠的焦點F,求直線h的方程；

⑵若。■OB；=0,且人叫A0,證明：直線"過定點；

（3）當k=l時，是否存在點T,使得Si，S2,S3成等比數(shù)列，心，d2,d3也成等比數(shù)列？若存

在，請求出點T的坐標；若不存在，請說明理由.

21.設函數(shù)y=/（久）的定義域為D,給定區(qū)間［a,b］cD,若存在e（a,b）,使得f（殉）=

"4二"a）,則稱函數(shù)y=/（%）為區(qū)間［a,b］上的“均值函數(shù)”，￡°為函數(shù)y=/（久）的“均值點

（1）試判斷函數(shù)y=/是否為區(qū)間［1,2］上的“均值函數(shù)”，如果是，請求出其“均值點”；如果不

是，請說明理由;

（2）已知函數(shù)y=—22xT+m-2NT—12是區(qū)間［1,3］上的''均值函數(shù)”，求實數(shù)m的取值范圍;

（3）若函數(shù)y=；；+2）（常數(shù)是區(qū)間［-2,2］上的“均值函數(shù)”，且|為其“均值

點將區(qū)間［一2,0］任意劃分成m+1（meTV）份，設分點的橫坐標從小到大依次為以，…，

tm，記h=-2,片+1=0,G=2tolf（G+i）再將區(qū)間［0,2］等分成2"+1（TIEN）

份，設等分點的橫坐標從小到大依次為的，久2，…，￡2"，記（陽）.求使得H-G>2023

的最小整數(shù)n的值.

答案解析

L【答案】{3}

【解析】【解答】解：：A={1,2,3},B={3,4,5),

.\AnB={3},

故答案為：{3}.

【分析】由A,B,求出兩集合的交集即可.

2.【答案】一1一V3i/-V3i-1

【解析】【解答】因為復數(shù)z對應的點的坐標是(-1,V3),所以z=-l+V3i,所以z的共甄復數(shù)

z=-1-V3i-

故答案為：一1一8i.

【分析】利用復數(shù)與坐標對應關系以及共鈍復數(shù)定義，即可求解.

3.【答案】{久|%>1或無<-2]

【解析】【解答】因為曷〉0等價于(x-l)(x+2)>0,所以％>1或無<-2,

所以不等式晟>0的解集為{%■>1或久<-2).

故答案為：{久|久>1或久<—2}.

【分析】把分式不等式轉化為一元二次不等式，即可求解.

4.【答案】V3

【解析】【解答】由雙曲線久2—殍.=1知a?=1,b2=2,.?2=3,a=1,c=V3,..e=~=

V3.

故答案為：V3.

【分析】根據(jù)雙曲線方程a、b、c關系求得c,即可求得離心率.

5.【答案】—1

【解析】【解答】因為角a,。的終邊關于原點0對稱，所以0=a+(2k-l)Tr(keZ),

所以cos(a_6)=cos[a—a—(2k—l)n]=cos(2fc—1)TT=COSTT=—1.

故答案為：-L

【分析】根據(jù)角a,6的終邊關于原點O對稱，得。=a+(2k-l)n(k￡Z),代入cos(a-3)即可求

解.

6.【答案】3

【解析】【解答】根據(jù)莖葉圖知，甲的數(shù)據(jù)為：27,30+m,39.乙的數(shù)據(jù)為：23,32,34,38.

乙的中位數(shù)為：必#=33,所以30+m=33,所以m=3.

故答案為：3.

【分析】根據(jù)莖葉圖得甲乙數(shù)據(jù)，求得各自中位數(shù)即可求解.

7.【答案】2V2

【解析】【解答】圓臺的上底面和下底面的半徑分別為r'=l和r=2,母線長為1=3,則圓臺的高

h=J32—(2—1)2—2>/2?

故答案為：2魚.

【分析】如圖構造Rt三角形，利用勾股定理即可求解.

8.【答案】|

【解析】【解答】從1,2,3,4,5這五個數(shù)中隨機抽取兩個不同的數(shù)為基本事件，有*=10種抽

法.

設所抽到的兩個數(shù)的和大于6為基本事件A,有(2,5),(3,5),(4,5),(3,4)共4種抽法.

所以P(A)=克=|.

故答案為：|.

【分析】根據(jù)古典概型求概率方法，分別求出基本事件、基本事件A的個數(shù)即可.

9.【答案】/或/

【解析】【解答】因為函數(shù)丫=sin(3K)(3>0)其圖像關于點(4兀，0)對稱，所以sin4iT3=0

4110)=kn(k6Z),co=(kGZ)>因為y=sin(a)K)在—]+2/CTT<coxW]+2kn(keZ)上為增函

數(shù)，所以y=sin(3%)在(0,若j)上是增函數(shù)，

又、=sin(3久)在區(qū)間[0,捫上是嚴格增函數(shù)，所以兀三券，.?.0<3昱，所以3的值為抖當

故答案為:蚪.

【分析】根據(jù)函數(shù)y=sin(3%)圖像關于原點對稱，求得3=0(kCZ),再利用函數(shù)單調性，

4

求得0<3〈；，由kez進一步確定3的值即可.

10.【答案】8

【解析】【解答】解：令久=一1,y=2,代入化簡可得+bx2y+cxy2+dy3——a+2b-4c+

8d—(—10+12)3=8,故—a+2b—4c+8d=8.

故答案為：8.

【分析】根據(jù)題意，令久=-Ly=2,代入化簡即可求解.

11.【答案】32

【解析】【解答】函數(shù)f(x)=|(l-x2)(x2+ax+b)|-c,設g(x)=|(l-x2)(x2+ax+b)|

則函數(shù)g(x)=|(112)便+ax+b)|的圖形過點(1,0),(-1,0),

因為函數(shù)g(x)的圖像關于x=-2對稱，所以函數(shù)g(x)的圖像過點(-3,0),(-5,0),

所以g(—3)=|(1-9)(9—3a+b)|=或-1)=0,所以9-3a+b=0,

g(-5)=|(1-25)(25-5a+h)|=g(l)=0,所以25-5a+b=0,

聯(lián)立方程組戲—3；+b=0,解得｛a=8

所以g(x)=1(1-x2)(x2+8x+15)1，因為函數(shù)y=f(x)圖像關于直線x=-2對稱，且該函數(shù)有且僅有7個零

點，則x=-2必為函數(shù)y=f(x)的一個零點，即f(-2)=0,

可得|(1-4)(4-8x2+15)|-c=0,解得c=9,

所以a+b+c=32.

故答案為：32.

【分析】由g(x)=|(1-x2)(x?+ax+b)|的圖形過點(1,0),(-1,0),得到g(x)的圖像過點(-3,0),(-5,

0),根據(jù)函數(shù)g(x)的圖像關于x=-2對稱，得g(-l)=g(-3),g(l)=g(-5),聯(lián)立方程組，求得a,b的

值,得出f(x)=|(l-x2)(x2+8x+15)|-c,再利用函數(shù)g(x)的圖像關于x=-2對稱,得到x=-2必為函數(shù)

y=f(x)的一個零點，即f(-2)=0,求得c的值，代入即可求解.

12.【答案】［等，+00)

【解析】【解答】設a=OA=(2,0),b-OB—(%,y),c-OC，因為日+加=而一b|+而「

所以，(%+2)2+儼=’(%―2)2+y2+2,

所以B點的軌跡是以2為實軸長，(-2,0),(2,0)為焦點的雙曲線一支，

所以B點的軌跡方程為/—二=1(%>1),又因為@引=1

3。

所以C點軌跡為B點軌跡的漸近線，I：y-+V3%(X>0)

由圖形的對稱性不妨設C(m,V3m),則五V=2m

因為向=4值一3=2,|h-c|=|=\CB\,

當BC1I時，C點橫坐標m最小，由點到直線的距離公式可知|BC|=圍羅！=}|

而雙曲線在漸近線y=±V3x(x>0)下方，則遮x-y=l,

聯(lián)立:一專=1得卜竽所以B(孥，1),所以BC方程為y=—/［―孚)+1,

所以通加=一專(m-+1,即加加譏=與苧,所以萬亮=21112

故五?工的取值范圍是［攀，+00).

6

故答案為：［苧，+8>

【分析】設a=0A=(2,0),b=OB=(%/y),c-0C，將向+切=向―切+而代入坐標，得

B點軌跡方程為雙曲線一支，C點坐標為漸近線，當BC"時，C點橫坐標m最小，得|BC|二

\^x-y\_i.

-2--2

聯(lián)立方程組解得B點坐標，從而求得BC直線方程，根據(jù)C在直線BC上，即可求出m,即C點橫

坐標最小值，利用小c=2m即可求解.

13.【答案】B

【解析】【解答】當c=0時顯然左邊無法推導出右邊，但右邊可以推出左邊，

故答案為：Bo

【分析】由不等式的基本性質結合已知條件，再利用充分條件、必要條件的判斷方法，從而推出命

題“a>b”是命題“W>be2”的必要不充分條件。

14.【答案】A

【解析】【解答】依題意可P(4B)=P⑷P(B)=

故答案為：A

【分析】利用已知條件結合獨立事件乘法求概率公式，進而得出P(AB)的值。

15.【答案】D

【解析】【解答】對于A,若EGBDi，F(xiàn)eBD,則EFu平面B1D1DB.

因為叫1平面ABCD,ACu平面ABCD,所以。51AC,

又DB1AC,DD1CBD=D,AC1平面BiDiDB.所以；.AC1EF.故A正確.

對于B,二4C1平面BiDiDB,A1C1||AC,所以公的1平面BiDiDB,

即&的_L面BEF,又4的u平面&BC1,所以平面BEFJ■平面4#的.故B正確.

對于c,若Eeac,Fee%,貝UEFU平面ADC,

因為||DC&BC平面ADiC,DiCu平面ADiC,所以&B||平面ADiC,

同理QB||平面ADC又4iBnBCi=B,平面||平面ADiC,

所以EF〃面A.,故C正確.

對于D,若ECAC,FECD1,貝!JEFu平面ADiC,所以EF與ADi共面，所以EF與ADi不一定

平行，

故D錯誤.

故答案為：D.

AB

【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理、性質定理即可判斷A正確.根據(jù)線面垂直性質得&的1平面

BiDiDB,然后利用面面垂直判斷即可證明，故B正確.根據(jù)線面平行判定得||平面ADC,

C1BII平面ADiC,然后根據(jù)面面平行判定得平面//Ci||平面ADiC,利用面面平行性質定理即可證

明，故C正確.

根據(jù)EF與ADi共面，即可判斷D錯誤.

16.【答案】B

【解析】【解答】對于給定集合X最大元素M,因為集合*是4=｛1,2,6-1｝的任意一個子

集與｛6｝的并集，故有2加一1種不同取法.

對于給定集合Y最小元素m,因為集合Y是｛巾，m+1,m+2,…?100｝的任意一個非空子集，共

有

2100+1-m-1種取法.所以滿足M的有序集合對（X,丫）的個數(shù)為

m-1100+1-m100100100m-1100100

￡ioom=1［2（2-1）］=Sm=12-Xm=12=100x2-2+1,

因為有序對（X,Y）有（2］。?！?）（21°°—1）=（21°°—I）?，

滿足M>m的有序集合對（X,丫）的個數(shù)為（21。。-1）2-（100X2100-2100+1）=2200-101-2100-

故答案為：B.

【分析】先求出最大元素M、最小元素m不同取法種數(shù)，再求滿足M的有序集合對（X,丫）的個

數(shù)，有序對（X,Y）的個數(shù)，即可求得滿足M>m的有序集合對（X,丫）的個數(shù).

17.【答案】（1）證明：???四邊形ABCD為正方形，F(xiàn)為AC與BD的交點,

F是BC的中點，

又E是PB的中點,EF||PD,

又EFC平面PCD,PDu平面PCD,

EF〃平面PCD.

（2）解：???PA1平面ABC。，E是PB的中點，

E至U平面ABCD的距離d=^PA=1,

???四邊形力BCD是正方形，AD=2）SMBF=/正方形ABCD=匕

二三棱錐E—ABF的體積V=稱SMBFd=^XlXl=^.

【解析】【分析】（1）利用三角形中位線定理得線線平行，根據(jù)線面平行判定定理即可證明.

（2）求出三棱錐的底面積和高，根據(jù)棱錐體積公式計算即可.

18.【答案】（1）解：由10g2a九+i=1+10g2%i，得1。82。71+1=Sg2〈2。九），故斯+i=2。小即

皿=2.

又的=2。0,故數(shù)列｛%；｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.

從而，。幾=由?qn-1=2".所以Gio=1024.

n

（2）解：設數(shù)列也｝滿足勾=an+^-=2+^,

unz

因為數(shù)列｛%｝為嚴格增數(shù)列，

故星+1—羸=（2n+1+得）一（2n+用>。對正整數(shù)n恒成立，

2N

即，<22n+1對正整數(shù)葭恒成立，

當n=l時,22"+1取到最小值8.所以；I<8.

【解析】【分析】（1）通過對數(shù)運算證得數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項公式即可求解.

（2）將數(shù)列｛,｝為嚴格增數(shù)列，轉化為2<2291對正整數(shù)汨亙成立，即可求解.

19.【答案】（1）解：過A,D作水平線內，12,作CFl%，OE1%如圖，

E

當傾斜角a=印寸，冰箱傾斜后實際高度（即冰箱最高點到地面的距離）

h=DE+CF=0.8siny+2.4cosy=婆<2.3，

故冰箱能夠按要求運送入客戶家中.

（2）解：延長EF與直角走廊的邊相交于M、N,

則MN=0M+°N=9+,,EM=^,FN=1.2tan^

又EF=MN-ME-NF,

l1-81.811.8(sin^+cos/?)-1.2?,rt

則1me后/=四+砌一L2(tan￡+甌，夕e(0,？)?

設t=sin。+cos/S=V2sin(j6+?

因為SW（。/），所以0+1￡（處,筌）所以tG(1,V2],

1.8—12_6352

則即=1(t2-l)一耳產(chǎn)一]

再令加=3-2,則"=卷.原余==等.瓷/，me（l,3V2-2］；

易知，y=m—［+4在（1,3/—2］上單調遞增，

5411-

所以、=虧---577'血€（1,3魚—2］單調遞減，

」"I-記+4

故當m=3魚一2,BPt=<2,S=即寸，EF取得最小值竺考二2=2.69.

由實際意義需向下取，此情況下能順利通過過道的冰箱高度的最大值為2.6米.

【解析】【分析】（1）根據(jù)圖形分別解直角三角形，求得DE、CF即可.

（2）先表示MN,ME,NF進而表示EF,設「=sin。+cos。，利用和角正弦公式變形求得t的范圍，再

541r-

令m=3t—2,變形為29=虧----577-me（l,3V2-2］,利用函數(shù)單調性，即可求得最小值.

血一沅+4

20.【答案】（1）解：焦點F（2,0）,斜率k=l,

故直線辦的方程為y=x-2

（2）解：聯(lián)立‘8''消去工,整理，得/cy2_8y+87nl=0.

y=kx+'

易4=64-4kx87nl>0,即knii<2,

設4（久1，71）'B（%2，力），則y22=誓，X1Q=喝2=詈.

由西?西=0，即久1久2+%了2=°，得萼+絆1=0,

JfczK

由于miH0,所以mi=-8匕直線小y=kx—8k,

故直線。過定點（8,0）.

（3）解：當k=l時，乙：y=x+mi.

由于<m2<m3<—t,所以t+mj<0,

設?,。），則4=5=-號.

VZVZ

由d|二由?43，

2n

得（t+m2）=（t+租1）,（t+租3），即機習+2m2t=71117713+0l+租3）匕①

聯(lián)立消去y,整理，得%2+2（7?ii—4）%+加私=0.

于是|4出"=V2?4（mi-4）2—4m?=8,2-皿.

由S；=S「S3，於=詢〃3，且$=凱lABil?4,

M2B2I2=

得l^iBJ-\A3B3\,從而2-m2=J(2-四)(2-g),

即(2-62)？=(2-小1)(2—m3)，化簡，得mg—47n2=61加3—2(小1+加3).②

①②相減，整理，得。+2)(2血2-血1一63)=0?

而2(2—m2)=2^/(2—m1)(2—m2)<(2—m1)+(2—m3),即27n2<m1+m3,

故t+2=0,BPt——2.

mi=7?12=

又當亡=一2時，比如取—1,m3=1,2-遍滿足題意，

故存在點7(—2,0)滿足題意.

【解析】【分析】(1)先求得拋物線焦點及直線斜率，代入點斜式即可.

(2)聯(lián)立［步=8久，轉化為一元二次方程，利用韋達定理，結合數(shù)量積定義式，即可求得直線

y=kx+m19

方程，與k無關，即可求得定點.

⑶利用點到直線距離公式得力=-號，聯(lián)立方程組［儼=8%,根據(jù)弦長公式得M/il=

74(y=%+mp

8斤西，再根據(jù)等比中項代入化簡即可.

21.【答案】(1)解：設函數(shù)y=/是區(qū)間［1,2］上口“均值函數(shù)”，且均值點為久°€口，2］,

22

可得就=2?-；,解得%o=8或久o=-b(舍).

故y=/為區(qū)間口，2］上的“均值函數(shù)”，且國為其“均值點

(2)解：設久o為該函數(shù)的“均值點”，則為e(1,3),

且_22工。一+m.2-0-1_12=(―25+^22—12)—(―2+-2°—12),

3—1

即關于％0的方程22x?！?2刈+3m—6=0在區(qū)間(1,3)上有解，

整理得(2工。-3)m=22X?-6,

①當2刈=3時，0.m=3,方程無解.

②當2孫。3時，可得巾=堂二t

2x0-3

令t=2'。一3,則te(—1,0)U(0,5),且2*°=t+3,

2

可得（七+3）—63.