高考數(shù)學(xué) 特色題型匯編：計數(shù)原理原理與概率統(tǒng)計解答題-回歸分析（原卷及答案）（新高考地區(qū)專用）

計數(shù)原理原理與概率統(tǒng)計解答題——回歸分析

1.截至2021年12月，中國網(wǎng)民規(guī)模達(dá)10.32億人，隨之電信網(wǎng)絡(luò)詐騙犯罪形勢也非

常嚴(yán)峻.2021年6月，公安部推出國家級反詐防騙“王炸”系統(tǒng)一國家反詐中心APP”，

這是一款能有效預(yù)防詐騙、快速舉報詐騙內(nèi)容的軟件，用戶通過學(xué)習(xí)里面的防詐騙知識

可以有效避免各種網(wǎng)絡(luò)詐騙的發(fā)生，減少不必要的財產(chǎn)損失，某省自“國家反詐中心APP”

推出后，持續(xù)采取多措并舉的推廣方式，積極推動全省“國家反詐中心APP”安裝注冊工

作.經(jīng)統(tǒng)計，省反詐中心發(fā)現(xiàn)全省網(wǎng)絡(luò)詐騙舉報件數(shù)y（件）與推廣時間有關(guān)，并記錄

了經(jīng)推廣x個月后舉報件數(shù)的數(shù)據(jù)：

推廣月數(shù)（個）1234567

y（件）891888351220200138112

（1）現(xiàn)用y=作為回歸方程模型，利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程.

X

（2）分析該省一直加大力度推廣下去有可能將網(wǎng)絡(luò)詐騙舉報件數(shù)降至接近于零嗎？參考

數(shù)據(jù)（其中4='）：

公

7

tE?i2-7x?2

i=li=l

15860.370.55

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（不乂）,（々，%），（X3，%），（乙，以），其回歸直線y=6x+G的斜

Yx-.y.-nxy

率和截距的最小二乘估計公式分別為：^=-4----------------------，a=y-bx.

麻2

i=l

2.某省為調(diào)查北部城鎮(zhèn)2021年國民生產(chǎn)總值，抽取了20個城鎮(zhèn)進行分析，得到樣本

數(shù)據(jù)a，?)(i=l,2,,20),其中茗和y,分別表示第i個城鎮(zhèn)的人口(單位：萬人)和

該城鎮(zhèn)2021年國民生產(chǎn)總值(單位：億元)，計算得

202()202020

=100,￡%=800,￡(占-可一=70,￡(%-方:280,￡(x;-x)(y,.-y)=120.

i=l/=1/=!1=1/=!

(1)請用相關(guān)系數(shù)，?判斷該組數(shù)據(jù)中y與X之間線性相關(guān)關(guān)系的強弱(若卜歸[0.75』，相

關(guān)性較強；若M《0.30,0.75),相關(guān)性一般；若re[-0.25,0.25],相關(guān)性較弱)；

(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程；

(3)若該省北部某城鎮(zhèn)2021年的人口約為5萬人，根據(jù)(2)中的線性回歸方程估計該城

鎮(zhèn)2021年的國民生產(chǎn)總值.

￡(%-可包-刃

參考公式：相關(guān)系數(shù):=7丁'"』,對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)

\￡(七-可5(%一寸

V/=11=1

(七,y)(i=1,2,,〃)，其回歸直線a=Ex+G的斜率和截距的最小二乘估計分別為

,可(%-刃

b=--------,a=y-bx

t(占F

f=l

3.為了鞏固拓展脫貧攻堅的成果，振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟，某知名電商平臺決定為脫貧鄉(xiāng)村的

特色水果開設(shè)直播帶貨專場.該特色水果的熱賣黃金時段為2021年7月10日至9月

10S,為了解直播的效果和關(guān)注度，該電商平臺統(tǒng)計了已直播的2021年7月10日至7

月14日時段中的相關(guān)數(shù)據(jù)，這5天的第x天到該電商平臺專營店購物的人數(shù)y(單位:

萬人)的數(shù)據(jù)如下表：

日期7月10日7月11日7月12日7月13日7月14日

第X天12345

人數(shù)y(單位：萬人)75849398100

(1)依據(jù)表中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，請判斷該電商平臺的第x天與到該電商平臺專營店購物的人數(shù)

y（單位：萬人）是否具有較高的線性相關(guān)程度？（參考：若03＜0.75,則線性相

關(guān)程度一般，若卜1＞。-75,則線性相關(guān)程度較高，計算r時精確度為0.01）

（2）求購買人數(shù)y與直播的第x天的線性回歸方程；用樣本估計總體，請預(yù)測從2021年

7月10日起的第38天到該專營店購物的人數(shù)（單位：萬人）.

5_5_________

參考數(shù)據(jù)：＞'）2=434,Z（%-x）（%-y）=64,74340=65.979.

f=l1=1

2（x；-x）（?-y）Z區(qū)一6（凹一7）

附：相關(guān)系數(shù)r=I_，回歸直線方程的斜率方=———二

22

X（xi-x）X（yi-y），（±-x）2

V1=1/=!j=l

截距屋“版.

4.某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產(chǎn)品的非

原料成本y（元）與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量x（千件）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：

X12345678

y1126144.53530.5282524

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點圖.觀察散點圖，兩個變量不具有線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)考慮用

反比例函數(shù)模型y=a+-和指數(shù)函數(shù)模型y=ce"'分別對兩個變量的關(guān)系進行擬合.已求

得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸方程為a=96.540-0,1叮與戈的相關(guān)系數(shù)/;=-0.94.

（i）用反比例函數(shù)模型求y關(guān)于x的回歸方程；

（2）用相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個模型哪一個擬合效果更好（精確到o.oi）,并用其估計產(chǎn)量

為10千件時每件產(chǎn)品的非原料成本.

參考數(shù)據(jù)：

8888

Z?,2-2

UU-,0.61x6185.5e

i=li=l?=|<=|

183.40.340.1151.5336022385.561.40.135

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（%,為）,（的,修，，（““,乙）,其回歸直線￡=近+飽的斜率和截

n

2火匕—nuv

距的最小一乘估計分別為：8---------，a=v-pu,相關(guān)系數(shù)

￡仇；一nu2

/=1

n

歸"”疝2.歸口標(biāo)2

V,=1V<=1

5.近年來，新能源產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展，已成為我市的一大支柱產(chǎn)業(yè).據(jù)統(tǒng)計，我市一家新能

源企業(yè)近5個月的產(chǎn)值如下表：

月份5月6月7月8月9月

月份代碼X12345

產(chǎn)值）億元1620273037

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計算）與X的線性相關(guān)系數(shù)r,并說明y與X的線性相關(guān)性強弱；

（0.75<|r|<l,則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性很強；|r|<0.75,則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性不強）

（2）求出>關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測10月該企業(yè)的產(chǎn)值.

____

^y^nxy____________________________

參考公式：.，”…壬

心xjx心y--ny~nx

參考數(shù)據(jù)：￡卬=442,*X；=55,^y,2=3654,V2740?52.3.

/=!i=l/=!

6.魔方，又叫魯比克方塊，通常意義下的魔方，即指三階魔方，為3x3x3的正方體結(jié)

構(gòu)，由26個色塊組成.魔方競速是一項手部極限運動，常規(guī)競速玩法是將魔方打亂，然

后在最短的時間內(nèi)復(fù)原.

（1）某魔方愛好者進行一段時間的魔方還原訓(xùn)練，每天魔方還原的平均速度y（秒）與訓(xùn)

練天數(shù)x（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：

X（天）1234567

y（秒）99994532302421

現(xiàn)用y=a+2作為回歸方程類型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并預(yù)測該魔方愛

X

好者經(jīng)過長期訓(xùn)練后最終每天魔方還原的平均速度y約為多少秒（精確到1）?

184.50.370.55

參考公式：

對于一組數(shù)據(jù)（如匕），（的，?，…，（”"，％），其回歸直線/=&+加的斜率和截距的最

__

小二乘估計公式分別為：8=吟--------，a=v-pu.

Z?,2-?M2

/=1

（2）現(xiàn)有一個復(fù)原好的三階魔方，白面朝上，現(xiàn)規(guī)定只可以扭動最外層的六個表面.某人

按規(guī)定將魔方隨機扭動兩次，每次均順時針轉(zhuǎn)動90。，記頂面白色色塊的個數(shù)為X,求

X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.

7.在疫情防控常態(tài)化的背景下，山東省政府各部門在保安全，保穩(wěn)定的前提下有序恢

復(fù)生產(chǎn)，生活和工作秩序，五一期間，文旅部門在落實防控舉措的同時，推出了多款套

票文旅產(chǎn)品，得到消費者的積極回應(yīng).下面是文旅部門在某地區(qū)推出六款不同價位的旅

游套票，每款的套票價格x（單位：元）與購買人數(shù)y（單位：萬人）的數(shù)據(jù)如下表：

城市展館齊魯紅冷山游園套觀海套

旅游類別鄉(xiāng)村特色游

科技游色游套票票票

套票價格X（元）394958677786

購買數(shù)量y（萬人）16.718.720.622.524.125.6

在分析數(shù)據(jù)、描點繪圖中，發(fā)現(xiàn)散點（匕，母）（14區(qū)6）集中在一條直線附近，其中

匕=InXj,?=Iny

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程；

（2）按照文旅部門的指標(biāo)測定，當(dāng)購買數(shù)量y與套票價格x的比在區(qū)間上,；］上時，該套

票受消費者的歡迎程度更高，可以被認(rèn)定為“熱門套票”，現(xiàn)有三位同學(xué)從以上六款旅游

套票中，購買不同的三款各自旅游.記三人中購買“熱門套票'’的人數(shù)為X,求隨機變量

X的分布列和期望.

6666

附：①可能用到的數(shù)據(jù)；\＞。，=7532匕=246，＞,=18.3,\＞；=1014.

/=!＜=1i=lr=l

②對于一組數(shù)據(jù)（匕，班）,（彩，外）,…，（匕，你），其回歸直線治=加+&的斜率和截距的最小

〃

￡4例-rivco

二乘估計值分別為B=鳥---------方=切-加

i=l

8.某研究所為了研究某種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x之間的關(guān)系，現(xiàn)將收集到的溫度士和

一組昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y1=1,2,…,6）的6組觀測數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖的散點圖及

一些統(tǒng)計數(shù)據(jù).

薪90]

.80-

270-

60-

50-

40-

30-

20-

10-

0--

05101520253035

經(jīng)計算得到以下數(shù)據(jù):x=y.-j)=557,

6_26

之心-犬)=84,￡(y-y)2

（1）若用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)的變化關(guān)系，求），關(guān)于x的回歸方程§=必+%（結(jié)果

精確到0.1）;

（2）若用非線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)的變化關(guān)系，求得y關(guān)于X的回歸方程y=O.O6e°23O3i，

且相關(guān)指數(shù)為R2=0.9672.

①試與（1）中的回歸模型相比，用R2說明哪種模型的擬合效果更好；

②用擬合效果好的模型預(yù)測溫度為35℃時該組昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）.

附參考公式：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（％,.%）,（%,力），……，優(yōu)，券），其回歸

直線），=區(qū)+4截距和斜率的最小二乘法估計公式分別為:

￡(占-五)(為一刃Z(x-z)2

1=\________________9=亍-阮，相關(guān)系數(shù)：R2=1-參考數(shù)據(jù):

EU-^)2

t=l1=1

8.0605會3167?

9.學(xué)生的學(xué)習(xí)除了在課堂上認(rèn)真聽講，還有一個重要環(huán)節(jié)就是課后的“自主學(xué)習(xí)”，包

括預(yù)習(xí)，復(fù)習(xí)，歸納整理等等，現(xiàn)在人們普遍認(rèn)為課后花的時間越多越好，某研究機構(gòu)

抽查了部分高中學(xué)生，對學(xué)生花在課后的學(xué)習(xí)時間(設(shè)為x分鐘)和他們的數(shù)學(xué)平均成

績(設(shè)為y)做出了以下統(tǒng)計數(shù)據(jù)，請根據(jù)表格回答問題：

X60708090100110120130

y92109114120119121121122

(1)請根據(jù)所給數(shù)據(jù)繪制散點圖，并且從以下三個函數(shù)從①丫=法+"；②

y=mxk(m>O,k>Oi)：③y=??+A+e三個函數(shù)中選擇?一?個作為學(xué)習(xí)時間x和平均y

的回歸類型，判斷哪個類型更加符合，不必說明理由；

(2)根據(jù)(1)中選擇的回歸類型，求出y與x的回歸方程；

(3)請根據(jù)此回歸方程，闡述你對學(xué)習(xí)時長和成績之間關(guān)系的看法.

參考公式：回歸方程y=6+R中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為

^x^-nx-y

b=-〃------------,,aJ=y-bx.*

1=1

_______88

參考數(shù)據(jù)：Inx?4.52,Iny?4.74,In2x,.?164.18,InX,.Iny,.?171.64,e3-25?25.79

1=1<=l

10.當(dāng)下，大量的青少年沉迷于各種網(wǎng)絡(luò)游戲，極大地毒害了青少年的身心健康.為了

引導(dǎo)青少年抵制不良游戲，適度參與益腦游戲，某游戲公司開發(fā)了一款益腦游戲，在內(nèi)

測時收集了玩家對每一關(guān)的平均過關(guān)時間，如下表：

關(guān)卡X123456

平均過關(guān)時間y(單位：秒)5078124121137352

66

計算得到一些統(tǒng)計量的值為：Z%=28.5,?陽=106.05,其中，u.=In%.

/=lf=l

(1)若用模型y=ae"'擬合y與X的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出y與X的經(jīng)驗回歸方程;

(2)制定游戲規(guī)則如下:玩家在每關(guān)的平均過關(guān)時間內(nèi)通過可獲得積分2分并進入下一關(guān),

否則獲得T分且該輪游戲結(jié)束.甲通過練習(xí)，前3關(guān)都能在平均時間內(nèi)過關(guān)，后面3關(guān)

4

能在平均時間內(nèi)通過的概率均為I,若甲玩一輪此款益腦游戲，求“甲獲得的積分X”

的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(4%)(i=l,2,3,…其經(jīng)驗回歸直線？=〃+4的斜率和

截距的最小二乘估計分別為5=號-------------，a=y-bx.

3;_位-2

<=1

11.為迎接2022年北京冬奧會，踐行“更快更高更強”的奧林匹克格言，落實全民健身

國家戰(zhàn)略.某校高二年級發(fā)起了“發(fā)揚奧林匹克精神，鍛煉健康體魄”的年度主題活動，經(jīng)

過一段時間后，學(xué)生的身體素質(zhì)明顯提高.

(1)為了解活動效果，該年級對開展活動以來近6個月體重超重的人數(shù)進行了調(diào)查，調(diào)查

結(jié)果統(tǒng)計如上圖，根據(jù)上面的散點圖可以認(rèn)為散點集中在曲線y=e麻+"的附近，請根據(jù)

下表中的數(shù)據(jù)求出該年級體重超重人數(shù))與月份x之間的經(jīng)驗回歸方程(系數(shù)。和A的

最終結(jié)果精確到0.01),并預(yù)測從開展活動以來第幾個月份開始該年級體重超標(biāo)的人數(shù)

降至10人以下？

月份X123456

體重超標(biāo)人數(shù)y987754483227

z=\ny4.584.373.983.873.463.29

（2）在某次足球訓(xùn)練課上，球首先由A隊員控制，此后足球僅在A、B、C三名隊員之間

傳遞，假設(shè)每名隊員控球時傳給其他隊員的概率如下表所示：

控球隊員ABC

接球隊員BCAcAB

J_22J

概率

223333

若傳球3次，記B隊員控球次數(shù)為X,求X的分布列及均值.

附：經(jīng)驗回歸方程：中，$=—;z-，a-y-H>x；

i=l

666

參考數(shù)據(jù)：Zz；=23.52,2彬=77.72,=91,In10=2.30.

r=li=li=l

12.2018年9月10日，全國教育大會在北京召開，習(xí)近平總書記在會上提出“培養(yǎng)德

智體美勞全面發(fā)展的社會主義建設(shè)者和接班人''.某學(xué)校貫徹大會精神，為學(xué)生開設(shè)了一

門模具加工課，經(jīng)過一段時間的學(xué)習(xí)，擬舉行一次模具加工大賽，學(xué)生小明、小紅打算

報名參加大賽.

（1）賽前，小明進行了一段時間的強化訓(xùn)練，加工完成一個模具的平均速度y（秒）與訓(xùn)練

天數(shù)x（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如下表數(shù)據(jù)：

x（天）1234567

y（秒）990990450320300240210

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，可用y=a+2作為回歸方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并

X

預(yù)測小明經(jīng)過50天訓(xùn)練后，加工完成一個模具的平均速度y約為多少秒？

（2）小明和小紅擬先舉行一次模擬賽，每局比賽各加工一個模具，先加工完成模具的人獲

勝，兩人約定先勝4局者贏得比賽.若小明每局獲勝的概率為（，已知在前3局中小明勝

2局，小紅勝1局.若每局不存在平局，請你估計小明最終贏得比賽的概率.

參考數(shù)據(jù)：（其中（='）

77

tZd-7x產(chǎn)

/=1i=\

18450.370.55

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（如w）,魚，彩），…，（""#"），其回歸直線e=a+的的斜率

-nu-v

和截距的最小二乘估計公式分別為夕=R---------,a=v-pu.

￡u；-nu2

i=l

13.第24屆冬奧會于2022年2月4日在北京市和張家口市聯(lián)合舉行，此項賽事大大激

發(fā)了國人冰雪運動的熱情.某滑雪場在冬奧會期間開業(yè)，下表統(tǒng)計了該滑雪場開業(yè)第x

天的滑雪人數(shù)y（單位：百人）的數(shù)據(jù).

天數(shù)代碼X1234567

滑雪人數(shù)y（百人）11131615202123

（1）根據(jù)第1至7天的數(shù)據(jù)分析，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加

以說明（保留兩位有效數(shù)字）；

（2）經(jīng)過測算，若一天中滑雪人數(shù)超過3000人時，當(dāng)天滑雪場可實現(xiàn)盈利，請建立y關(guān)

于x的回歸方程，并預(yù)測該滑雪場開業(yè)的第幾天開始盈利.

附注：參考公式：1＞，=532￡（占-可￡（y-亍），57.5.

i=lV/=1/=!

參考公式：①對于一組數(shù)據(jù)（4,匕），（%,%），…，（〃”,5），其相關(guān)系數(shù)

V/=i/=i

②對于一組數(shù)據(jù)（4,匕），（〃2，彩），…，其回歸直線y=a+E的斜率和截距的

祖匕-v）

最小二乘估計分別為：b=J-------,§=

（=1

14.數(shù)獨是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)9x9盤面上的已知數(shù)字，

推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個粗線宮（3x3）內(nèi)的數(shù)字均

含1—9,不重復(fù).數(shù)獨愛好者小明打算報名參加“絲路杯”全國數(shù)獨大賽初級組的比賽.

（1）賽前小明在某數(shù)獨4尸尸上進行一段時間的訓(xùn)練，每天的解題平均速度y（秒）與訓(xùn)練天

數(shù)x（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如表的數(shù)據(jù)：

x（天）1234567

y（秒）990990450320300240210

現(xiàn)用y="+2作為回歸方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并預(yù)測小明經(jīng)過

X

50天訓(xùn)練后，每天解題的平均速度y約為多少秒？

（2）小明和小紅在數(shù)獨APP上玩“對戰(zhàn)賽”，每局兩人同時開始解一道數(shù)獨題，先解出題

3

的人獲勝，兩人約定先勝4局者贏得比賽.若小明每局獲勝的概率為《，已知在前3局

中小明勝2局，小紅勝1局.若每局不存在平局，請你估計小明最終贏得比賽的概率.

參考數(shù)據(jù)（其中4='）：

xi

7S7”7x廣

4%t

,=|;=1

18450.370.555

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（%,匕），魚，匕），…，其回歸直線y=C+例的斜率

Zuivi-nu-v

和截距的最小二乘估計公式分別為：夕=等-------，a=v-（3-u.

i=\

15.1G和2G時代.我們的聽覺得以隨時隨地的延伸，掏出手機撥通電話，地球那頭的

聲音近在咫尺.到了3G時代，我們的視覺也開始同步延伸，視頻通話隨時隨地，一個

手機像一個小小窗口，面對面輕聲閑聊笑眉如花，天涯若比鄰.4G時代，我們的思想

和觀念得以延伸，隨時的靈感隨時傳上網(wǎng)，隨手的視頻隨手拍和發(fā)，全球同步可讀可轉(zhuǎn)

可評，個人所有的思想和觀點能夠在全球的信息網(wǎng)絡(luò)中延伸、保存、碰撞、交流，博客、

微博、微信朋友圈、抖音等等這些我們生活中極其常見的社交網(wǎng)絡(luò)正是延伸與交流之

所.現(xiàn)在，5G的到來給人們的生活帶來更加顛覆性的變革，某科技創(chuàng)新公司基于領(lǐng)先

技術(shù)的支持，5G經(jīng)濟收入在短期內(nèi)逐月攀升，該創(chuàng)新公司在1月份至6月份的5G經(jīng)濟

收入y(單位，百萬元)關(guān)于月份x的數(shù)據(jù)如下表所示，并根據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的

散點圖.

收入〃百萬元

月份X23456

收入y(百萬元)6.68.616.121.633.341.0

(1)根據(jù)散點圖判斷，y=ax+b^y=c^(a,b,c,d均為常數(shù))哪一個更適宜作為

5G經(jīng)濟收入y關(guān)于月份x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)

(2)根據(jù)(1)的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測該公司7月份的

5G經(jīng)濟收入；(結(jié)果保留小數(shù)點后兩位)

(3)從前6個月的收入中隨機抽取2個，求恰有1個月的收入超過20百萬元的概率.

參考數(shù)據(jù)：

6_6-7

之（玉-幻2

2（巧7）（y-??2.66

XyU產(chǎn)

<=!1=1?=i

3.5021.152.8517.50125.356.734.5714.30

其中，設(shè)"=lny,/=lny(i=l,2,3,4,5,6).

參考公式：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x,/,)(i=l,2,3,L,〃)，其回歸直線

￡=依+〃的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為夕=上匕——Z—，a=v-px.

:(%-x)2

1

16.從2019年的11月份開始，新冠肺炎疫情逐漸在全球開始蔓延，目前，國內(nèi)外疫情

防控形勢仍嚴(yán)峻復(fù)雜.

(1)為有效控制疫情傳播，需對特殊人群進行核酸檢測，為提高檢測效率，多采用混合檢

測模式合1”“混采核酸檢測是指：先將女個人的樣本混合在一起進行1次檢測，如果

這么個人都沒有感染新冠病毒，則每人的檢測結(jié)果均為陰性，檢測結(jié)束；如果這女個人

中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測，得到每人的

檢測結(jié)果，檢測結(jié)束.現(xiàn)對100人進行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并

假設(shè)每次檢測結(jié)果準(zhǔn)確，若將這100人隨平均分成20組，每組5人，且對每組都采用“5

合1”混采核酸檢測試.求兩名感染者不在同一組的概率.

(2)2021年12月來，西安市爆發(fā)了新冠局部疫情，受疫情影響，餐飲和旅游都受到了影

響.某網(wǎng)站統(tǒng)計了西安“蓬鮑面”在2022年1月7至11日的網(wǎng)絡(luò)售量共單位:百件)，

得到以下數(shù)據(jù)：

日期X7891011

銷售量y(百件)1012111220

根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，用相關(guān)系數(shù)「加以判斷,是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？

若可以，求出y關(guān)于x之間的線性回歸方程；若不可以，請說明理由.

參考數(shù)據(jù)：V10?3.162,

Sa-初一)

參考公式：相關(guān)系數(shù)廠=I「“.回歸直線的方程是:y=bx+a,其中

V；=i<=i

一〃_

.2(%-丁)(%-刃Ex^-nxy

?=『--------=母---------，a=y-bx.

￡(%-可一一位2

;=1/=!

17.某西紅柿種植戶將一批西紅柿批發(fā)給當(dāng)?shù)匾患页校懈鶕?jù)西紅柿的品質(zhì)將其分

為一級品、二級品、和三級品，批發(fā)單價分別為6元/kg、5元/kg和4元/kg

(1)根據(jù)以往的經(jīng)驗，該種植戶的西紅柿為一級品、二級品和三級品的比例分別為

20%,50%,30%，估計這批西紅柿的批發(fā)單價的平均值；

(2)為了對西紅柿進行合理定價，超市對近5天的日銷量)，和單價若1=1,2,3,4,5)進行了

統(tǒng)計，得到一組數(shù)據(jù)如表所示：

銷售單價匕(元/kg)56789

日銷量％(kg)1501351109575

根據(jù)表中所給數(shù)據(jù),用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求出y關(guān)于尤的線性回歸方程,

并預(yù)測當(dāng)西紅柿單價為12元/kg時，該超市西紅柿的日銷量.

參考公式：線性回歸方程》=嬴+4中，B=吟------,a=y-bx.

*琴一〃廠

;=1

555

參考數(shù)據(jù)：?=565,2工/=3765,=255.

/=1r=li=1

18.隨著全球經(jīng)濟一體化進程的不斷加快，機械零件的加工質(zhì)量決定了制造工廠的生存,

零件加工精度逐漸成為供應(yīng)商判斷制造公司產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn).已知某公司生產(chǎn)不同規(guī)格的一

種產(chǎn)品，根據(jù)檢測精度的標(biāo)準(zhǔn)，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量y(g)與尺寸尤(mm)之間近似滿

足關(guān)系式y(tǒng)=(b,C為大于。的常數(shù)).現(xiàn)隨機從中抽取6件合格產(chǎn)品，測得數(shù)據(jù)如

下:

尺寸X(mm)384858687888

質(zhì)量y(g)16.818.820.722.42425.5

根據(jù)測得數(shù)據(jù)作出如下處理：令匕=lnx,,%=ln%,得相關(guān)統(tǒng)計量的值如下表:

6666

A，

i=li=1i=\i=\

75.324.618.3101.4

(1)根據(jù)所給統(tǒng)計數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程；

(2)若從一批該產(chǎn)品中抽取"件進行檢測，已知檢測結(jié)果的誤差%滿足求

至少需要抽取多少件該產(chǎn)品，才能使誤差J在（-0.1,0.1）的概率不少于0.9545?

附：①對于樣本（匕，2,〃），其回歸直線“=的斜率和截距的最小

Z（匕一"）ZViUi~nV'U

二乘估計公式分別為：bT-----------=e---------—，a=u-bvife?2.7182.@

:=1i=l

X?N（〃Q2）,則P（|X—〃K2b）=0.9545

19.數(shù)獨是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)9x9盤面上的已知數(shù)字，

推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個粗線宮（3x3）內(nèi)的數(shù)字均

含1-9,不重復(fù).數(shù)獨愛好者小明打算報名參加“絲路杯”全國數(shù)獨大賽初級組的比賽.

（1）賽前小明在某數(shù)獨APP上進行一段時間的訓(xùn)練，每天的解題平均速度y（秒）與

訓(xùn)練天數(shù)x（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如表的數(shù)據(jù)：

X（天）1234567

y（秒）990990450320300240210

現(xiàn)用y=a+2作為回歸方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并預(yù)測小明經(jīng)過

X

io。天訓(xùn)練后，每天解題的平均速度y約為多少秒？

（2）小明和小紅在數(shù)獨APP上玩“對戰(zhàn)賽”，每局兩人同時開始解一道數(shù)獨題，先解出

題的人獲勝，兩人約定先勝4局者贏得比賽.若小明每局獲勝的概率為金，已知在前3

局中小明勝2局，小紅勝1局.若不存在平局，請你估計小明最終贏得比賽的概率.參考

1

數(shù)據(jù)（其中4=一）

%

77

it：-7xf

t1

1=11=1

18450.370.55

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（%,為），（〃2，匕），…，（%匕），其回歸直線v=a+的的斜率

"___

和截距的最小二乘估計公式分別為：4二上廠——，a=v-pu.

Z-nu

/=1

20.某公司為了確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費用，需了解年宣傳費x（單位：萬

元）對年銷量y（單位：噸）和年利潤（單位：萬元）的影響，對近6年宣傳費x,和年

銷售量》1=1,2,3,4,5,6）的數(shù)據(jù)做了初步統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)：

年份201620172018201920202021

年宣傳費X（萬元）384858687888

年銷售量y（噸）16.818.820.722.424.025.5

經(jīng)電腦模擬，發(fā)現(xiàn)年宣傳費x（萬元）與年銷售量y（噸）之間近似滿足關(guān)系式

y=力＞0）,即Iny=61nx+lna,對上述數(shù)據(jù)作了初步處理，得到相關(guān)的值如下

表：

666

lnxE(ln.v,)『

Z(lnx,?ln%)E(()E(lnx,

i=!?=|/=1/=|

75.324.618.3101.4

（1）從表中所給出的6年年銷售量數(shù)據(jù)中任選2年做年銷售量的調(diào)研，求所選數(shù)據(jù)中至多

有一年年銷售量低于20噸的概率；

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求y關(guān)于X的回歸方程.

附：對于一組數(shù)據(jù)（如匕）、（%匕）、其回歸直線□=&中的斜率和截距的

-nuv

最小二乘估計分別為尸=6---------'a=工-萬晨

u-2-n-u2

E；=i

參考答案:

1000

1.(1)7=+30

x

⑵答案見解析

【分析】(1)通過令f=L,將問題轉(zhuǎn)化為線性回歸方程問題求解即可;

X

(2)根據(jù)得到的回歸方程及實際政策回答即可.

(1)

由題意亍=；(891+888+351+220+200+138+"2)=400.

令，=,，設(shè)y關(guān)于，的線性回歸方程為直線y=J+&

X

1586-7x0.37x400

則6二號-------=1000

*2-7X/0.55

*=1

則G=400-1000x0.37=30,

Ay=1000/+30,又/=,，

x

關(guān)于x的回歸方程為丫=幽+30.

X

(2)

僅從現(xiàn)有統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得回歸方程了=咽+30,可發(fā)現(xiàn)當(dāng)推廣時間越來越長時，即x越來越

x

大時，y的值會逐漸降至接近于30,可知該省一直加大力度推廣下去，網(wǎng)絡(luò)詐騙舉報件數(shù)大

概會逐漸降至30件.

但在使用經(jīng)驗回歸方程進行預(yù)測時，方程只適用于所研究的樣本總體，一般具有時效性，不

能期望回歸方程得到的預(yù)報值就是響應(yīng)變量的精確值，所以若加大力度一直推廣下去，并隨

著國家對網(wǎng)絡(luò)詐騙的嚴(yán)厲打擊和科技發(fā)展，再加上相關(guān)部門對個人信息防護手段的加強，人

們對網(wǎng)絡(luò)詐騙犯罪的防范意識逐步提高，網(wǎng)絡(luò)詐騙舉報件數(shù)是有可能降至接近于零的.

2.(1))與x之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系

_,12220

a)y=—x+—

(3)估計該城鎮(zhèn)2021年的國民生產(chǎn)總值40(億元)

【分析】(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)和公式可以求得「“0.857,結(jié)合題意理解分析；(2)根據(jù)題中數(shù)

據(jù)和公式運算求解；(3)根據(jù)(2)中所求公式代入求解.

(1)

￡20(巧-才)(凹-田

120120八?！?/p>

題意知相關(guān)系數(shù)r二i=l-.=---n0.857

[20Tlo7,70x280140

Jia-)$(%-打

V1=11i=l

因為y與X的相關(guān)系數(shù)r滿足|r|G[0.75,1],所以y與X之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系.

(2)

20

可(y,?-刃

12012

--------

;=1

。于心陋-以您=竺所以>馬+型

?207207-77

(3)

由（2）可估計該城鎮(zhèn)2021年的國民生產(chǎn)總值3=亍x5+寸=40（億元）.

3.（I）具有較高的線性相關(guān)程度

(2)^=6.4X+70.8，314萬人

【分析】（1）由已知計算相關(guān)系數(shù)，?即可.

（2）由列表計算“、人可得線性回歸方程進一步可得解.

（1）

5

由表中數(shù)據(jù)可得丁=3,歹=90,所以Z（%-丁產(chǎn)=1。，

<=!

又￡（%-y）*12*=434,￡（X,-x）（y,.-y）=64,

/=1i=l

5

￡（玉-可（%-方64

所以r=7^-----------------=石石“°97>0,75,

J2—）妄（%-才回

V;=1/=1

所以該電商平臺直播黃金時段的天數(shù)X與購買人數(shù)），具有較高的線性相關(guān)程度.

所以可用線性回歸模型擬合人數(shù)y與天數(shù)X之間的關(guān)系.

（2）

.￡5（七一?。┏鲆蝗?4

由表中數(shù)據(jù)可得6=上J-----------=—=6.4,

Z（iy10

r=l

貝！|&=歹一宸=90-6.4x3=70.8,所以y=6.4x+70.8.

令x=38,可得9=6.4x38+70.8=314（萬人）

4.

X

(2)用反比例函數(shù)模型擬合效果更好，21元

【分析】(1)利用換元法，根據(jù)題中所給的公式進行求解即可；

(2)根據(jù)題中所給的相關(guān)系數(shù)公式，結(jié)合代入法進行求解即可.

(1)

令〃=，，則y=a+2可轉(zhuǎn)化為〉=4+0”.

XX

8

因為一盲*360...

y=——=——=45

88

8

183.4-8x0.34x45

所以/；=/=1

1.53-8x0.115

—8w2

z=i

a==45-100x0.34=11,

得9=11+1(X)“，即y關(guān)于x的回歸方程為$,=11+Ud.

X

(2)

由定義知y與L的相關(guān)系數(shù)為:

X

8

E一.61

「2==里=。99,

\歸心獷品;一村70.61x6185.561.4

V/=!V/=1

則㈤＜同，所以用反比例函數(shù)模型擬合效果更好.

當(dāng)x=10時，5,=ll+-j^-=21(元)，

則當(dāng)產(chǎn)量為10千件時，每件產(chǎn)品的非原料成本為21元.

5.(l)r=0.993：相關(guān)系數(shù)較強；

(2)y=5.2x+10.4；10月該企業(yè)的產(chǎn)值約為41.6億元

【分析】(1)利用表中數(shù)據(jù)求出,再由相關(guān)系數(shù)的求解公式即可求解.

(2)利用最小二乘法即可求解.

(1)

-1+2+3+4+5--16+20+27+30+37

=3,y=

442-5x3x26

?0.993

解2~~V55-5X9X73654-5X262V10XV274

~nxJZ%一〃y

因為Ms[0.75,1],所以y與X線性相關(guān)性較強.

(2)

設(shè)線性回歸方程為：y=bx+a\

2-記442-5x3x26

/-I_______________________

55-5x9

a=y-1=26-5.2x3=10.4,

ERy=5.2x4-10.4,

10月份對應(yīng)的代碼為6,

y=5.2x6+10.4=41.6,

10月該企業(yè)的產(chǎn)值約為41.6億元.

6.⑴,，=13+^^,13秒

(2)分布列見解析，—

【分析】(1)根據(jù)回歸方程計算公式求得回歸方程，進而求得預(yù)測值.

(2)結(jié)合古典概型的概率計算公式，求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.

(1)

由題意，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，

—99+99+45+32+30+24+212

可得了==50,

Zzj-75?.區(qū)

184.5-7x0.37x50

可得3=/=1

/=1

所以<5=?一。三=50-100x0.37=13,

因此y關(guān)于x的回歸方程為a=13+他，當(dāng)x->+8時，手-13,

所以魔方愛好者經(jīng)過長期訓(xùn)練后最終每天還原的平均速度y約為13秒.

(2)

由題可得隨機變量X的取值為3,4,6,9,

所以X的分布列為: