傾斜角與斜率(2) 學(xué)案 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

2．1.1傾斜角與斜率(2)掌握直線的斜率與傾斜角之間的關(guān)系．活動(dòng)一鞏固直線的傾斜角與斜率的概念1.直線的傾斜角與斜率是如何定義的？2.如何證明三點(diǎn)共線？活動(dòng)二探究直線傾斜角和斜率的關(guān)系探究：(1)直線的傾斜角α與斜率k存在怎樣的關(guān)系？(2)直線的傾斜角α的變化對(duì)直線的斜率k的變化有怎樣的影響？例1如圖，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角．直線的傾斜角和斜率都是反映該直線的傾斜程度，它們之間的關(guān)系是k＝tanα，而當(dāng)知道直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2).已知M(2m＋3，m)，N(m－2，1).(1)當(dāng)m為何值時(shí)，直線MN的傾斜角為銳角？(2)當(dāng)m為何值時(shí)，直線MN的傾斜角為鈍角？(3)當(dāng)m為何值時(shí)，直線MN的傾斜角為直角？直線l1，l2，l3如圖所示，則l1，l2，l3的斜率k1，k2，k3的大小關(guān)系為_(kāi)_______，傾斜角α1，α2，α3的大小關(guān)系為_(kāi)_________．活動(dòng)三利用直線的傾斜角和斜率解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題例2已知兩點(diǎn)A(－2，－3)，B(3，0)，過(guò)點(diǎn)P(－1，2)的直線l與線段AB始終有公共點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍.利用正切函數(shù)y＝tanx在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上的圖象及單調(diào)性來(lái)解決直線的傾斜角和斜率之間的變化關(guān)系．1.(2023西寧階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有三條直線l1，l2，l3，其對(duì)應(yīng)的斜率分別為k1，k2，k3，則下列結(jié)論中正確的是()A.k3>k1>k2B.k1－k2<0C.k2k3>0D.k3>k2>k12.斜率為－eq\f(1,a2＋1)(a∈R)的直線的傾斜角的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))3.(多選)(2024大慶外國(guó)語(yǔ)學(xué)校開(kāi)學(xué)質(zhì)量檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系中，下列說(shuō)法中不正確的是()A.任意一條直線都有傾斜角和斜率B.直線的傾斜角越大，則該直線的斜率越大C.若一條直線的傾斜角為α，則該直線的斜率為tanαD.與坐標(biāo)軸垂直的直線的傾斜角是0°或90°4.已知點(diǎn)P(x，－2)在A(－1，1)，B(1，7)兩點(diǎn)所連的直線上，則實(shí)數(shù)x的值為_(kāi)_______．5.如圖，菱形OBCD的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，一邊在x軸的正半軸上，已知∠BOD＝60°，求菱形各邊和兩條對(duì)角線所在直線的傾斜角及斜率．【參考答案與解析】2．1.1傾斜角與斜率(2)【活動(dòng)方案】1.當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．2.如果已知三點(diǎn)A，B，C，可以取AB，BC，AC分別算出兩點(diǎn)斜率，若三個(gè)斜率相等，則A，B，C三點(diǎn)共線．探究：(1)當(dāng)直線的傾斜角α為銳角時(shí)，直線的斜率的符號(hào)為正，此時(shí)k＝tanα；當(dāng)直線的傾斜角α為鈍角時(shí)，直線的斜率的符號(hào)為負(fù)，此時(shí)k＝－tan(π－α)；當(dāng)直線的傾斜角α為直角時(shí)，直線的斜率不存在．因此，當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，直線的斜率k與傾斜角α之間滿(mǎn)足k＝tanα.(2)當(dāng)傾斜角α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，k≥0，且k隨α的增大而增大；當(dāng)傾斜角α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時(shí)，k<0，且k隨α的增大而增大；當(dāng)傾斜角α＝eq\f(π,2)時(shí)，k不存在．例1直線AB的斜率kAB＝eq\f(1－2,－4－3)＝eq\f(1,7)；直線BC的斜率kBC＝eq\f(－1－1,0－(－4))＝eq\f(－2,4)＝－eq\f(1,2)；直線CA的斜率kCA＝eq\f(2－(－1),3－0)＝eq\f(3,3)＝1.由kAB>0及kCA>0可知，直線AB與CA的傾斜角均為銳角；由kBC<0可知，直線BC的傾斜角為鈍角．跟蹤訓(xùn)練1由題意，得kMN＝eq\f(m－1,(2m＋3)－(m－2))＝eq\f(m－1,m＋5).(1)當(dāng)傾斜角為銳角時(shí)，則kMN＝eq\f(m－1,m＋5)>0，解得m>1或m<－5.(2)當(dāng)傾斜角為鈍角時(shí)，則kMN＝eq\f(m－1,m＋5)<0，解得－5<m<1.(3)當(dāng)傾斜角為直角時(shí)，則kMN不存在，此時(shí)2m＋3＝m－2，解得m＝－5.跟蹤訓(xùn)練2k1>k2>k3α3>α1>α2例2由題意，得直線PA的斜率是k1＝5,直線PB的斜率是k2＝－eq\f(1,2).當(dāng)直線l由PA變化到與y軸平行位置PC時(shí)，它的傾斜角由銳角α(tanα＝5)增至90°，斜率的變化范圍是[5，＋∞)；當(dāng)直線l由PC變化到PB位置時(shí)，它的傾斜角由90°增至βeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanβ＝－\f(1,2)))，斜率的變化范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))).綜上，斜率k的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪[5，＋∞).【檢測(cè)反饋】1.A由題圖可知，k1<0，k2<0，k3>0，且k1>k2，所以k3>k1>k2，k1－k2>0，k2k3<0.故選A.2.B由于0>－eq\f(1,a2＋1)≥－1，設(shè)直線的傾斜角為α，則0≤α<π，－1≤tanα<0，所以eq\f(3π,4)≤α<π.3.ABC對(duì)于A，當(dāng)直線的傾斜角為90°時(shí)，直線沒(méi)有斜率，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)直線的傾斜角為45°時(shí)，斜率為1，當(dāng)直線的傾斜角為135°時(shí)，斜率為－1，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若一條直線的傾斜角為α＝90°，則該直線的斜率不存在，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，直線的傾斜角是90°，當(dāng)直線與y軸垂直時(shí)，直線的傾斜角是0°，即與坐標(biāo)軸垂直的直線的傾斜角是0°或90°，故D正確．故選ABC.4.－2因?yàn)辄c(diǎn)P(x，－2)在A(－1，1)，B(1，7)兩點(diǎn)所連的直線上，所以kPA＝kAB，即eq\f(1－(－2),－1－x)＝eq\f(7－1,1－(－1))，解得x＝－2.5.因?yàn)镺D∥BC，∠BOD＝60°，所以直線OD，BC的傾斜角都是60°，斜率都是tan60°＝eq\r(3)