高中數(shù)學(xué)推理與證明11綜合法課件新人教A版選修1010311148

直接證明與間接證明綜合法和分析法第1課時綜合法必備知識·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.什么是綜合法?2.如何利用綜合法解決問題?綜合法(1)定義:利用_________和某些數(shù)學(xué)_____、_____、_____等,經(jīng)過一系列的_________,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法.條件定義定理公理推理論證(2)框圖表示:用P表示條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示所要證明的結(jié)論,那么綜合法可用框圖表示為:【思考】(1)合情推理得到的結(jié)論為什么要證明提示:歸納推理和類比推理可以發(fā)現(xiàn)很多新的結(jié)論,但這些結(jié)論都不一定正確,需要進(jìn)一步證明.(2)求差比較兩個數(shù)的大小是不是綜合法提示:是,這是利用兩個實數(shù)的大小與差的符號間的關(guān)系證明兩個數(shù)的大小.【根底小測】1.辨析記憶(對的打“√〞,錯的打“×〞)(1)綜合法是演繹推理. ()(2)綜合法是“由果索因〞. ()(3)應(yīng)用綜合法證明數(shù)學(xué)命題實際上是尋求使命題成立的充分條件. ()提示:(1)√.綜合法的推理過程是演繹推理,它的每一步推理都是嚴(yán)密的邏輯推理,得到的結(jié)論是正確的.(2)×.綜合法是由因?qū)Ч?(3)×.應(yīng)用綜合法證明數(shù)學(xué)命題實際上是尋求使命題成立的必要條件.2.在△ABC中,tanA·tanB>1,那么△ABC是 ()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定【解析】選A.因為tanA·tanB>1,所以A,B只能都是銳角,所以tanA>0,tanB>0,1-tanA·tanB<0.所以tanA+tanB>0所以tan(A+B)=<0.所以A+B是鈍角,所以角C為銳角.3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)對任意的銳角α,β,以下不等式中正確的選項是()A.sin(α+β)>sinα+sinβB.sin(α+β)>cosα+cosβC.cos(α+β)>sinα+sinβD.cos(α+β)<cosα+cosβ【解析】選D.因為α,β為銳角,所以0<α<α+β<π,所以cosα>cos(α+β).又cosβ>0,所以cosα+cosβ>cos(α+β).關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一用綜合法證明不等式(邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象)【題組訓(xùn)練】1.a,b是正數(shù),且a+b=1.求證:≥4.【證明】證法一:因為a,b是正數(shù),且a+b=1,所以a+b≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時取等號,所以≤,所以當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時取等號.證法二:因為a,b是正數(shù),所以a+b≥>0,>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時取等號,所以(a+b)≥4.又a+b=1,所以≥4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時取等號.證法三:當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時,取等號.2.a,b,c是不全相等的正數(shù),求證:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.【證明】因為a,b,c是正數(shù),所以b2+c2≥2bc,所以a(b2+c2)≥2abc.①同理,b(c2+a2)≥2abc,②c(a2+b2)≥2abc.③因為a,b,c不全相等,所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab三式中不能同時取到“=〞.所以①②③式相加得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.【解題策略】綜合法證明不等式的主要依據(jù)綜合法證明不等式所依賴的主要是不等式的根本性質(zhì)和的重要不等式,其中常用的有以下幾個:①a2≥0(a∈R);②(a-b)2≥0(a,b∈R),其變形有a2+b2≥2ab,≥ab,a2+b2≥;③假設(shè)a,b∈(0,+∞),那么≥,特別地,≥2;④a2+b2+c2≥ab+bc+ac(a,b,c∈R),由不等式a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,易得a2+b2+c2≥ab+bc+ac,此結(jié)論是一個重要的不等式,在不等式的證明中使用頻率很高;⑤(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac),表達(dá)了a+b+c,a2+b2+c2與ab+bc+ac這三個式子之間的關(guān)系.類型二用綜合法解決三角問題(邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象)【典例】1.在△ABC中,三邊a,b,c成等比數(shù)列,求證:acos2

+ccos2

≥

b.2.證明:sin(2α+β)=sinβ+2sinαcos(α+β).【思路導(dǎo)引】1.利用降冪公式化簡acos2

+ccos2

,再結(jié)合余弦定理證明.2.配湊角:2α+β=α+(α+β),展開左邊即可.【解析】1.因為a,b,c成等比數(shù)列,所以b2=ac.因為左邊==(a+c)+(acosC+ccosA)=(a+c)+=(a+c)+b≥+=b+=b=右邊,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號,所以acos2+ccos2≥b.2.因為sin(2α+β)-2sinαcos(α+β)=sin[(α+β)+α]-2sinαcos(α+β)=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα-2sinαcos(α+β)=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=sin[(α+β)-α]=sinβ.所以原命題成立.【解題策略】證明三角等式的主要依據(jù)(1)三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及同角根本關(guān)系式.(2)和、差、倍角的三角函數(shù)公式.(3)三角形中的三角函數(shù)及三角形內(nèi)角和定理.(4)正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式.【跟蹤訓(xùn)練】(2021·全國Ⅱ卷)函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.(1)討論f(x)在區(qū)間(0,π)的單調(diào)性;(2)證明:|f(x)|≤;(3)設(shè)n∈N*,證明:sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.【解析】(1)由函數(shù)的解析式可得:f(x)=2sin3xcosx,那么:f'(x)=2(3sin2xcos2x-sin4x)=2sin2x(3cos2x-sin2x)=2sin2x(4cos2x-1)=2sin2x(2cosx+1)(2cosx-1),f'(x)=0在x∈(0,π)上的根為:x1=,x2=,當(dāng)x∈時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.(2)注意到f(x+π)=sin2(x+π)sin=sin2xsin2x=f(x),故函數(shù)f(x)是周期為π的函數(shù),結(jié)合(1)的結(jié)論,計算可得:f(0)=f(π)=0,據(jù)此可得:f(x)max=,f(x)min=-,即|f(x)|≤.(3)結(jié)合(2)的結(jié)論有:sin2xsin22xsin24x…sin22nx

=[sinx(sin2xsin2x)(sin22xsin4x)…(sin22n-1xsin2nx)sin22nx

類型三用綜合法證明立體幾何問題(直觀想象、邏輯推理)【典例】如下圖,在四面體P-ABC中,∠ABC=90°,PA=PB=PC,D是AC的中點,求證PD垂直于平面ABC.【思路導(dǎo)引】根據(jù)線面垂直的判定定理,要證PD⊥平面ABC,只需在平面ABC內(nèi)找到兩條相交的直線,使它們分別與PD垂直即可.【證明】連接BD.因為BD是Rt△ABC斜邊上的中線,所以DA=DB=DC.又PA=PB=PC,且PD為△PAD,△PBD,△PCD的公共邊,所以△PAD≌△PBD≌△PCD,于是∠PDA=∠PDC=90°,所以∠PDB=90°,所以PD⊥AC,PD⊥BD.因為AC∩BD=D,所以PD⊥平面ABC.【解題策略】綜合法證明問題的步驟【跟蹤訓(xùn)練】1.如下圖,在四棱錐P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,E為PD的中點,AB=1,求證:CE∥平面PAB.【證明】由條件有AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=2.如下圖,延長DC,AB,設(shè)其交于點N,連接PN,因為∠NAC=∠DAC=60°,AC⊥CD,所以C為ND的中點,又因為E為PD的中點,所以EC∥PN,因為EC?平面PAB,PN?平面PAB,所以CE∥平面PAB.2.如下圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.(1)求證:CD⊥AE.(2)求證:PD⊥平面ABE.【證明】(1)在四棱錐P-ABCD中,因為PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,故PA⊥CD.因為AC⊥CD,PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC,而AE?平面PAC,所以CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA,因為E是PC的中點,所以AE⊥PC.由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD,所以AE⊥PD.因為PA⊥底面ABCD,BA?平面ABCD,所以PA⊥BA,又因為AB⊥AD,且PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD,而PD?面PAD,所以PD⊥AB,又因為AB∩AE=A,所以PD⊥平面ABE.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.設(shè),那么a,b,c的大小順序是 ()A.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.a>c>b【解析】選A.因為所以所以a>b>c.2.函數(shù)f(x)=lg,假設(shè)f(a)=b,那么f(-a)等于 ()C.【解析】選B.函數(shù)f(x)的定義域為{x|-1<x<1},且f(-x)=-f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù),所以f(-a)=-f(a)=-b.3.假設(shè),那么a,b應(yīng)滿足的條件是________.

【解析】>0?a≥0,b≥0且a≠b.答案:a≥0,b≥0且a≠b4.a,b,m是正數(shù),求證:【證明】由(a+b)2≥4ab,得,即,同理可得三式相加即可得證.5.(2021·浙江高考)數(shù)列{an},{bn},{cn}中,a1=b1=c1=1,cn=an+1-an,cn+1=·cn(n∈N*).(1)假設(shè)數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,且公比q>0,且b1+b2=6b3,求q與an的通項公式;(2)假設(shè)數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,且公差d>0,證明:c1+c2+…+cn<1+