人教A版選擇性必修時(shí)等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式課件

4.3等比數(shù)列4.3.1等比數(shù)列的概念第一課時(shí)等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)實(shí)例,理解等比數(shù)列和等比中項(xiàng)的概念,達(dá)成數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).2.探索并掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,能運(yùn)用通項(xiàng)公式解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題,發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3.會(huì)判斷和證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列,提升邏輯推理的核心素養(yǎng).知識(shí)梳理·自主探究師生互動(dòng)·合作探究知識(shí)梳理·自主探究我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有一個(gè)有趣的問(wèn)題叫“出門(mén)望九堤”:“今有出門(mén)望九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雛,雛有九毛,毛有九色,問(wèn)各有幾何?”[問(wèn)題1]試寫(xiě)出“出門(mén)望九堤”問(wèn)題構(gòu)成的數(shù)列.提示:構(gòu)成數(shù)列:9,92,93,94,95,96,97,98.[問(wèn)題2]根據(jù)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系,上述數(shù)列有什么特點(diǎn)?提示:數(shù)列中,從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都是9.知識(shí)探究1.等比數(shù)列的定義一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于

.

,那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的

,通常用字母q表示(顯然q≠0).[思考1]等比數(shù)列中能有0項(xiàng)嗎?提示:不能.[思考2]常數(shù)列是否一定是等比數(shù)列?提示:常數(shù)列都是等差數(shù)列,但卻不一定是等比數(shù)列.如常數(shù)列是各項(xiàng)都為0的數(shù)列,它就不是等比數(shù)列;當(dāng)常數(shù)列各項(xiàng)不為0時(shí),是等比數(shù)列,對(duì)于含字母的數(shù)列應(yīng)注意討論.同一個(gè)常數(shù)公比A.1個(gè) B.2個(gè)

C.3個(gè) D.4個(gè)解析:①中,數(shù)列不符合等比數(shù)列的定義,故不是等比數(shù)列;②中,前3項(xiàng)是等比數(shù)列,多于3項(xiàng)時(shí),無(wú)法判定,故不能判定是等比數(shù)列;③中,當(dāng)a=0時(shí),不是等比數(shù)列;④中,數(shù)列符合等比數(shù)列的定義,是等比數(shù)列.故選A.A[問(wèn)題3]如果2,a,4成等差數(shù)列,如何求a?那如果是2,a,4成等比數(shù)列,如何求a?答案唯一嗎?2.等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成

,那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).此時(shí),G2=ab.等比數(shù)列[做一做2]2和8的等比中項(xiàng)為(

)A.-4 B.4C.5 D.-4或4D[問(wèn)題4](1)如何利用等比數(shù)列的定義歸納出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式?(2)在等比數(shù)列{an}中,任意兩項(xiàng)an與am有怎樣的關(guān)系?能否用它們求公比?(其中n>m,m,n∈N*).提示:(2)an=amqn-m,能用它們求公比.(3)在等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式中,an與n的關(guān)系與以前所學(xué)過(guò)的什么函數(shù)有關(guān)?3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)首項(xiàng)為a1,公比為q(q≠0)的等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=

.a1qn-1amqn-m師生互動(dòng)·合作探究[例1]在等比數(shù)列{an}中.(1)a1=1,a4=8,求an;探究點(diǎn)一等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解:(1)因?yàn)閍4=a1q3,所以8=q3,所以q=2,所以an=a1qn-1=2n-1.(2)an=625,n=4,q=5,求a1.方法總結(jié)與求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量一樣,求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量也常運(yùn)用方程的思想和方法.從方程的觀點(diǎn)看等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1·qn-1(a1q≠0)中包含了四個(gè)量,已知其中的三個(gè)量,可以求得另一個(gè)量.求解時(shí),要注意應(yīng)用q≠0驗(yàn)證求得的結(jié)果.[針對(duì)訓(xùn)練]在等比數(shù)列{an}中,(1)a4=2,a7=8,求an;[針對(duì)訓(xùn)練]在等比數(shù)列{an}中,(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.[例2]有四個(gè)數(shù),前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)之和為16,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)之和為12,求這四個(gè)數(shù).探究點(diǎn)二等比中項(xiàng)及其應(yīng)用變式探究:將本例條件“第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和為16”改為“前三個(gè)數(shù)的和為48”,將“第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12”改為“后三個(gè)數(shù)的積為8000”,其他條件不變,求這四個(gè)數(shù).方法總結(jié)(2)在一個(gè)等比數(shù)列中,從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的等比中項(xiàng).(4)四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,不能確定它們的符號(hào)相同時(shí),可設(shè)為a,aq,aq2,aq3.[針對(duì)訓(xùn)練]有四個(gè)實(shí)數(shù),前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,且它們的乘積為216,后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,且它們之和為12,求這四個(gè)數(shù).探究點(diǎn)三等比數(shù)列的判定與證明方法總結(jié)(3)通項(xiàng)公式法:若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.備用例題[例1]若等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別為5,-15,45,求a5.[例2]設(shè)四個(gè)實(shí)數(shù)依次成等比數(shù)列,其積為210,中間兩項(xiàng)的和是4,則這四個(gè)數(shù)為多少?當(dāng)堂檢測(cè)C1.數(shù)列{an}中,如果an=32-n(n=1,2,3,…),那么這個(gè)數(shù)列是(

)A.公比為2的等比數(shù)列B.公差為3的等差數(shù)列C.首項(xiàng)為3的等比數(shù)列D.首項(xiàng)為3的等差數(shù)列C答案:±1解析:4,a,b,25成等