2024年中考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題-尺規(guī)作圖

中考特色題型專(zhuān)練之尺規(guī)作圖

幾何篇

題型一、與三角形結(jié)合

I.在學(xué)習(xí)等邊三角形的過(guò)程中，小睿同學(xué)發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律：在等邊中，點(diǎn)。是

邊上任意一點(diǎn)，連接S,過(guò)點(diǎn)/的射線/E交3c于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)、F,當(dāng)

7砌￡=7/CD時(shí)，則必有8D=C￡.為驗(yàn)證此規(guī)律的正確性，小睿的思路是：先利用

圖，作7BAE=7ACD,再通過(guò)證全等得出結(jié)論.請(qǐng)根據(jù)小睿的思路完成以下作圖與填

空：

(1)用直尺和圓規(guī)在圖的基礎(chǔ)上作7氏4￡=7NC￡>,AE交BC于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)?(不

寫(xiě)作法，不下結(jié)論，只保留作圖痕跡)

(2)證明：???A/5C為等邊三角形，

:AC=AB=BC,①

試卷第1頁(yè)，共16頁(yè)

在A/CD和&BAE中，

“②)I

—)=N￡M￡

??.△ACD臥BAE(ASA),

:-------③，

又?:AB=BC

:.AB-AD=④，

:.BD=CE.

2.如圖，itRtA43C中，上C=90。，_bl=30。,.

（1）用尺規(guī)作圖作43邊上的中垂線DE,交4c于點(diǎn)D,交4B于點(diǎn)E,再連接AD（保

留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法和證明）

⑵在（1）題的基礎(chǔ)上，求證：CD=DE

3.如圖，在A/3C中，,點(diǎn)。在的延長(zhǎng)線上，連接40.

（1）在線段4。上確定點(diǎn)P,使得上。尸。=上5；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)

作法）

⑵在（1）的條件下，如果48=5,40=8,求24的長(zhǎng).

4.（1）如圖，已知RtZUBC中，1ACB=90o,O是Z8上一點(diǎn).求作。。，使得。。過(guò)

點(diǎn)A,且與3c相切.

要求：①用直尺和圓規(guī)作圖；②保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明.

試卷第2頁(yè)，共16頁(yè)

（備用圖1）（備用圖2）

（2）如圖，在RtAiBC中，±ACB=90o，上CBN=30。，/C=1,。是邊N5上一點(diǎn)（點(diǎn)。

與點(diǎn)A不重合）.若在的直角邊上存在不同的點(diǎn)分別和點(diǎn)A、。構(gòu)成直角三角

形，直接寫(xiě)出不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)的月。的長(zhǎng)的取值范圍.

題型二、與四邊形結(jié)合

（1）若點(diǎn)￡為邊4D上一點(diǎn)，且上8EC=_tOEC,請(qǐng)?jiān)趫D1中用尺規(guī)作圖確定點(diǎn)E的位置,

并將圖形補(bǔ)充完整；（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，并將痕跡描粗加黑）

（2）在（1）的條件下，已知線段DE=2,線段/5=6,求2C的長(zhǎng).（請(qǐng)用圖2進(jìn)行探

究）

6.如圖，在AN5C中，±ACB=90o.

（1）按下列要求作圖（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）.

①作線段N8的垂直平分線，交線段3C于點(diǎn)。，連接40.

②以點(diǎn)8為圓心，8。長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交線段48的垂直平分線于另一點(diǎn)E.

③連接/E,BE.請(qǐng)作出四邊形4D8E.

（2）在（1）的條件下，若月E=5,sin上=[,求CB的長(zhǎng).

7.如圖，已知“3C.

A

BC

試卷第3頁(yè)，共16頁(yè)

(1)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在邊2C'CA'48上分別確定點(diǎn)D,E,尸，使四邊形3DE廠是

菱形，并畫(huà)出菱形(要求：不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)

(2)若48=10,2C=15,求(1)中所作菱形3。￡下的邊長(zhǎng).

8.如圖1,在矩形Z8CD中，AB=3,3c=5,點(diǎn)尸是邊8C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接/P,

點(diǎn)。是CD邊上的一點(diǎn)，且滿足△PC0sAABP.

(1)在圖1中作出點(diǎn)Q；(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡并用黑筆描黑加粗，不寫(xiě)作法)

(2)當(dāng)AP=1時(shí),則C0=_；

(3)隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，C0是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

題型三、與圓結(jié)合

9.在。。中，AB=AC,連接3。.

A

/?\

\o\\

(i)尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)/作40nBe1,交BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。(不寫(xiě)作法，保留作圖痕

跡)；

(2)求證：AD為00的切線；

(3)若=2,1JDBC=2上48。，則。。的半徑為.

10.如圖，8c是。。的直徑，點(diǎn)A在。。上.

圖1圖2

⑴請(qǐng)?jiān)趫D1中的。。上作一點(diǎn)D(異于點(diǎn)8),使和=W，連接AD并延長(zhǎng)交NC的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)〃，過(guò)A作3c的垂線交9于點(diǎn)G；(作圖使用沒(méi)有刻度的真尺和圓規(guī)，不

寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，并在圖中標(biāo)注必要的字母)

試卷第4頁(yè)，共16頁(yè)

(2)在(1)中所作的圖形中，求證：ABAGsABDA.(如需畫(huà)草圖，請(qǐng)使用圖2)

(3)在(1)中所作的圖形中，若/3=12,AC=9,求/G的長(zhǎng).(如需畫(huà)草圖，請(qǐng)使用

圖2)

11.尺規(guī)作圖：

如圖，已知，在AN8C中，上C=90。，

(1)已知點(diǎn)。在邊2C上，請(qǐng)用圓規(guī)和直尺作出。。，使。。經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且與48相切(保

留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明)

(2)若。。與48切于點(diǎn)D,與C8的另一個(gè)交點(diǎn)為E,若上5=30。，。。的半徑為2,求

劣弧DE與線段3。、所圍成的圖形的面積.(結(jié)果保留萬(wàn))

12.已知，正方形/2CO,邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)尸是邊48、3c上一動(dòng)點(diǎn)，以。尸為直徑作

00,

(1)點(diǎn)尸在邊48上時(shí)(如圖1)

1*11

①求證：點(diǎn)。在邊月。的垂直平分線上；

②如圖2,若。。與邊3C相切，請(qǐng)用尺規(guī)作圖，確定圓心的位置，(不寫(xiě)作法，保留作

圖痕跡)，并求出■長(zhǎng)；

試卷第5頁(yè)，共16頁(yè)

@如圖3,點(diǎn)尸從A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)5的過(guò)程中，若7/始終是F77D的中點(diǎn)，寫(xiě)出〃點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的

軌跡并求出路徑長(zhǎng):

圖3

(2)當(dāng)點(diǎn)廠在邊2C上時(shí)(如圖4),若H始終是RD的中點(diǎn)，連接四，—,連接

題型四、與相似結(jié)合

13.如圖，RtA48C中，上/CB=90。.

為二

(1)作M3C的外接圓。。(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)；

(2)在(1)的條件下，點(diǎn)。在。。上且與點(diǎn)。位于異側(cè)，連接3D并延長(zhǎng)交的垂

直平分線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作昉±CB交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)色上BEF=2上BEO.

①求證：ED=EF;

試卷第6頁(yè)，共16頁(yè)

@喑《求?的值.

14.“關(guān)聯(lián)”是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思維方式.角平分線的有關(guān)聯(lián)想就有很多…

小明思路：關(guān)聯(lián)“平行線、等腰三角形”，利用“三角形相似”.

小紅思路：關(guān)聯(lián)“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等“，利用“等面積法”.

請(qǐng)根據(jù)小明或小紅的思路，選擇一種并完成證明.

【作圖應(yīng)用】(2)如圖@,48是0。的弦，在優(yōu)弧48上作出點(diǎn)P,使得1=3.

PR

要求：①用直尺和圓規(guī)作圖；

@保留作圖的痕跡.

【結(jié)論應(yīng)用】(3)在A48C中，最大角＜4是最小角＜C的2倍，且N3=3,NC=4,

求.

15.如圖，A4BC中，AB=BC,D、E分別為邊48、NC的點(diǎn)，DEIIBC,

AD=2BD.

(1)用圓規(guī)和沒(méi)有刻度的直尺在線段DE上求作一點(diǎn)尸，使工?=邑尊/(兩種工具分別

只限使用一次，并保留作圖痕跡)；

(2)在(1)的條件下，過(guò)點(diǎn)尸作尸G2IZC交48于G,AC=9,求尸G的值.

16.如圖，在菱形/BCD中，DP_LAB于P.

試卷第7頁(yè)，共16頁(yè)

D

B

(1)尺規(guī)作圖：求作。。，使得43、cz＞分別切eo于點(diǎn)尸、D；要求：保留作圖痕跡,

不寫(xiě)作法)

(2)在(1)的條件下，設(shè)分別交BD于點(diǎn)E、F,連接E7L求證：

DE.DA=DF.DB.

題型五、與三角函數(shù)結(jié)合

17.如圖，海中有一個(gè)小島/,該島四周lOnmile內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向東航行，

開(kāi)始在/島南偏西58。的2處，往東行20mnile后到達(dá)該島的南偏西30。的C處之后，貨

輪繼續(xù)向東航行.(tan58oa160,.a1.73)

R(

(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖，找到貨輪距離小島4最近時(shí)的位置點(diǎn)P(不寫(xiě)過(guò)程，需保留作圖痕

跡)；

(2)當(dāng)貨輪航行到尸點(diǎn)位置時(shí)，距離小島N有多遠(yuǎn)，貨輪有觸礁危險(xiǎn)嗎？

18.小磊安裝了一個(gè)連桿裝置，他將兩根定長(zhǎng)的金屬桿各自的一個(gè)端點(diǎn)固定在一起，形

成的角大小可變，將兩桿各自的另一個(gè)端點(diǎn)分別固定在門(mén)框和門(mén)的頂部.

如圖1是俯視圖，OA,。2分別表示門(mén)框和門(mén)所在位置，M,N分別是04,03上的定

點(diǎn)，3/=27cm,ON=36cm,MF,NF的長(zhǎng)度固定，上WFN的大小可變.

試卷第8頁(yè)，共16頁(yè)

(1)圖2是門(mén)完全打開(kāi)時(shí)的俯視圖，此時(shí)，04_LOB,±MFN=1800,求上必?的度

數(shù).

(2)圖1中的門(mén)在開(kāi)合過(guò)程中的某一時(shí)刻，點(diǎn)9的位置如圖3所示，請(qǐng)?jiān)趫D3中作出此

時(shí)門(mén)的位置03.

(用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)

(3)在門(mén)開(kāi)合的過(guò)程中，sin上的最大值為.(參考數(shù)據(jù)：

sin37o~0.60,cos37o~0.80,tan37o~0.75)

19.為了加強(qiáng)樹(shù)木的穩(wěn)定性，園林部門(mén)常常在樹(shù)的周?chē)蛏夏緭巫?如圖1),若木撐在

地面上的三個(gè)落腳點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，即圖中的樹(shù)的根部正好在等邊三角形的

中心O處.

圖1圖2

(1)若。/的長(zhǎng)為50cm,求*ABC的邊長(zhǎng).

(2)如圖2,已知樹(shù)根部。及木撐的落腳點(diǎn)A確定，試只用圓規(guī)確定另兩個(gè)落腳點(diǎn)3、

C.(不寫(xiě)作法，保留作圖的痕跡)

20.(1)如圖①，射線與直線/N垂直相交，交點(diǎn)為。，且＜W=3,ON=4,請(qǐng)

你在直線/N和射線ON上找出一點(diǎn)尸，使得APMN為等腰三角形，請(qǐng)用尺規(guī)作圖，在

試卷第9頁(yè)，共16頁(yè)

圖中作出所有滿足條件的點(diǎn)尸（用乙，尸2，…表示）；（保留作圖痕跡，不必寫(xiě)作法）

（2）如圖②，平地上一幢建筑物48與鐵塔CD相距50m,在建筑物的頂部A處測(cè)得

鐵塔頂部C的仰角為280,鐵塔底部。的俯角為400,求鐵塔CD的高度.（參考數(shù)據(jù)：

sin28o工0.47,cos28o?0.88,tan28o?0.53,sin40o?0.64,cos40o?0.77,

tan40o=0.84）

函數(shù)篇

題型一、與一次函數(shù)結(jié)合

21.已知一次函數(shù)v=+b（左、b為常數(shù)，k卞03的圖像如圖所示.

（1）若圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一1,0）和（0,2）.

①求了與x的函數(shù)表達(dá)式；

②當(dāng)TVxV1時(shí)，y的取值范圍是.

（2）尺規(guī)作圖：在同一坐標(biāo)系中作產(chǎn)一6一2b的函數(shù)圖像.（保留作圖的痕跡，寫(xiě)出必要

的文字說(shuō)明.）

22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正比例函數(shù)）=!尤的圖像為直線/,已知兩點(diǎn)

/（0,1）、5（0,3）.

試卷第10頁(yè)，共16頁(yè)

(1)在直線/找一點(diǎn)C,使得7G4B=7CBH.(尺規(guī)作圖，不寫(xiě)畫(huà)法，保留作圖痕跡)；

(2)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)為；

(3)若點(diǎn)尸在直線/上，點(diǎn)尸關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為0,且PQ=3,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)是

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,0),B是y軸上一點(diǎn).

(1)3上求作點(diǎn)m，使得人/“。-\4。5(要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)；

(2)在(1)的條件下，AB=AAM,0c是A/02的中線，過(guò)點(diǎn)V的直線交。C于點(diǎn)D,

交x軸于點(diǎn)尸，當(dāng)兒/。=〃尸時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

24.如圖，直線y='jx+m(m>0)與x軸交于/,與y軸交于3,/C平分NA40.

(1)尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)。作交48于。(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)；

(*求證：AD=\BD+AO；

(3)若沉=41，點(diǎn)E、/分別為/C、/。上的動(dòng)點(diǎn)，求OE+E尸的最小值.

題型二、與反比例函數(shù)結(jié)合

試卷第11頁(yè)，共16頁(yè)

25.如圖，一次函數(shù)y=左ix+6的圖象與反比例函數(shù)1=2的圖象交于4（4,-1）,

Y

兩點(diǎn).

（2）點(diǎn)尸（〃,0）為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)，過(guò)圖中所標(biāo)的尸點(diǎn)作x軸的

垂線，分別交反比例函數(shù)及一次函數(shù)的圖象于C,。兩點(diǎn)（要求：不寫(xiě)作法，保留作圖

痕跡，使用2B鉛筆作圖）.

（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)D上方時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出〃的取值范圍.

26.如圖，反比例函數(shù)?J［一的圖象與正比例函數(shù)1=L的圖象交于點(diǎn)/（2,加），

過(guò)點(diǎn)A作/C_Lx軸，垂足為C,3為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)3的坐標(biāo)為（0,4）,連接48.

（1）求反比例函數(shù)的解析式.

（2）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在圖中找出的中點(diǎn)。（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）.

（3）在（2）的條件下，連接C。，求"CD的面積.

27.如圖，已知反比例函數(shù)、?：（，）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,、i3）,點(diǎn)P為該圖象上一動(dòng)點(diǎn),

連接。尸.

試卷第12頁(yè)，共16頁(yè)

(1)求該反比例函數(shù)解析式；

(2)在圖中請(qǐng)你利用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作線段OP的垂直平分線交x軸于點(diǎn)

A.(要求：不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，使用22鉛筆作圖).

(3)當(dāng)上尸=30。時(shí)，求點(diǎn)4的坐標(biāo).

28.如圖,已知，/(0,4),5(—3,0),C(2,0).

(1)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)3關(guān)于直線NC的對(duì)稱點(diǎn)D.(要求：不寫(xiě)作法，保

留作圖痕跡)

(2)若反比例函數(shù),?='的圖象過(guò)點(diǎn)。，求此反比例函數(shù)的解析式；

T

(3)求sin±DAC的值.

題型三、與二次函數(shù)結(jié)合

29.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，拋物線＞=!犬+樂(lè)+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(一4,0),點(diǎn)8在^

軸上，直線N3與拋物線在第一象限交于點(diǎn)C(2,6).

(1)求拋物線的解析式;

試卷第13頁(yè)，共16頁(yè)

(2)點(diǎn)P在拋物線上，若使得SA^C=。的點(diǎn)尸恰好只有三個(gè)，求。的值;

(3)請(qǐng)使用圓規(guī)和無(wú)刻度直尺，在x軸下方的拋物線上確定一點(diǎn)。，使得。/=2D。，并

說(shuō)明理由(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法).

30.在初中函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫(huà)函數(shù)圖象，結(jié)合圖象研究函數(shù)

性質(zhì)并對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行應(yīng)用的過(guò)程.小麗同學(xué)學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，對(duì)函數(shù)了=/-2卜|(自

變量x可以是任意實(shí)數(shù))圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究.請(qǐng)同學(xué)們閱讀探究過(guò)程并解答：

⑴作圖探究：

②在平面直角坐標(biāo)系xQy中，描出表中各組對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并根據(jù)描出的點(diǎn)，畫(huà)

出該函數(shù)的圖象：

(2)深入思考：

根據(jù)所作圖象，回答下列問(wèn)題：

①方程9-2|x|=0的解是;

②如果y=x2-2M的圖象與直線y=上有4個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍是；

⑶延伸思考：

將函數(shù)＞=/-2卜|的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移可得到乃=(X+1)2-2|X+1|-2的圖象？請(qǐng)寫(xiě)

出平移過(guò)程.

31.對(duì)函數(shù)y=/-443的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，過(guò)程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整.

試卷第14頁(yè)，共16頁(yè)

【作圖】①列表

②描點(diǎn)并連線：請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)并畫(huà)出該函數(shù)

的圖象.

①平行于X軸的一條直線＞=在與了=卜-443的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則后的取值范圍為

②已知函數(shù)y=x-3的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫(huà)的函數(shù)圖象，寫(xiě)出方程

p-4x|-3=x-3的解為.

32.在初中函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫(huà)函數(shù)圖象，結(jié)合圖象研究函數(shù)

性質(zhì)并對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行應(yīng)用的過(guò)程.小麗同學(xué)學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，對(duì)函數(shù)y=N-3|x|（自變

量x可以是任意實(shí)數(shù)）圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究.請(qǐng)同學(xué)們閱讀探究過(guò)程并解答：

⑴作圖探究：

①下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值：

X-201234

431

y40-2m0-2-2n4

m=,n-

②在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出表中各組對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并根據(jù)描出的點(diǎn)，畫(huà)

出該函數(shù)的圖象：

試卷第15頁(yè)，共16頁(yè)

③根據(jù)所畫(huà)圖象，寫(xiě)出該函數(shù)的一條性質(zhì)：;

(2)深入思考：根據(jù)所作圖象，回答下列問(wèn)題：

①方程N(yùn)-3慟=0的解是；

②如果y=N-3博的圖象與直線y=左有4個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍是；

(3)延伸思考：將函數(shù)y=N-3團(tuán)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移可得到%=(x+1)2-3|x+l|-2

的圖象？寫(xiě)出平移過(guò)程，并直接寫(xiě)出當(dāng)-39/〈-2時(shí)，自變量x的取值范圍

試卷第16頁(yè)，共16頁(yè)

1.⑴見(jiàn)解析；

(2)等邊三角形的性質(zhì)，AC=AB,AD=BE,BC-BE.

【分析】本題考查了作圖一基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練

掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意作出圖形即可；

(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖所示，即為所作的角；

(2)證明：△48c為等邊三角形，

:AC=AB=BC(等邊三角形的性質(zhì)),

在MCD和4BAE中,

:AACD冬BAE(ASA),

-,AD=BE,

又?；AB=BC,

■.AB-AD=BC-BE,

:BD=CE,

故答案為：等邊三角形的性質(zhì)，AC=AB,AD=BE,BC-BE.

2.(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】此題主要考查了基本作圖以及線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，正確掌握

線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

答案第1頁(yè)，共47頁(yè)

(1)直接利用線段垂直平分線的作法得出答案;

(2)直接利用中垂線的性質(zhì)結(jié)合角平分線的性質(zhì)得出CD=DE.

【詳解】⑴解：如圖所示：

(2)證明：7C=90o,7A=300

:7CBA=900-30o=600

又???￡)￡垂直平分48

:AD=DB

:1DBA=7A=30o

:7CBD=1DBA=300

v7C=900,DELAB

■.CD-DE

3.(1)見(jiàn)解析

(2>.4/?=Y

【分析】本題考查了作圖一復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練

掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

(1)在/C右側(cè)作7/CT=7。，CT必。于點(diǎn)P,點(diǎn)尸即為所求；

(2)利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：如圖，點(diǎn)尸即為所求；

BCD

答案第2頁(yè)，共47頁(yè)

由作圖可得：7ACT=7D,

：7D+7CPD+7PCD=1800,7ACP+7ACB+7PCD=1800,

:7ACB=7CPD,

：AB=AC,

：7ACB=7B,

\7CPD=IB；

(2)解：：CAP=7CAD,7ACP=7D,

,MAPS八DAC,

.ACAP

AD-

：AB=AC=5,AD=S,

T

\AP=■.

8

4.(1)圖見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)題意，確定圓心。的位置，再以04為半徑畫(huà)圓即可；

(2)當(dāng)以4。為直徑的圓與5C相切時(shí)，求出此時(shí)圓的半徑，分四種情況進(jìn)行討論求解即

可.

【詳解】解：(1)作＜氏4。的角平分線，交BC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)〃作(WT5C,交45于點(diǎn)

O,以。為圓心，以04為半徑畫(huà)圓，。。即為所求，如圖：

(2)當(dāng)以4。為直徑的圓與5C相切時(shí)：如圖

答案第3頁(yè)，共47頁(yè)

R

-7ACB=900,7CBA=300,AC=1,

-.AB=2,

設(shè)。O的半徑為「，貝!hOA=OD=OM=rf

???OM\BC,7B=300,

:OB=OM=2r,

:2r+r=2,

當(dāng)存在1個(gè)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)5C與。。相離，或3、。兩點(diǎn)重合，40=2,

U(D\_____

當(dāng)存在2個(gè)點(diǎn)時(shí)，止匕時(shí)3C與00相切'"3,

答案第4頁(yè)，共47頁(yè)

B

當(dāng)存在3個(gè)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)2C與OO相交，,<AD<2,

3

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)雜作圖一作圓，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，

直線與圓的位置關(guān)系，掌握尺規(guī)作角平分線，作垂線的方法，利用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的思

想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.

5.（1）見(jiàn)解析

(2)5C=10

【分析】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，矩形的性質(zhì)，勾股定理:

（1）以點(diǎn)3為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交4D于點(diǎn)E即可；

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得上J=900,CD=AB=6,BC=AD,由（1）可得BE=BC,根據(jù)

勾股定理可得結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖，以點(diǎn)2為圓心，3c長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交ZD于點(diǎn)E,

B

答案第5頁(yè)，共47頁(yè)

；._tBCE=±_BEC,

???四邊形/BCD是矩形，

■■.ADIIBC,

.■.±BCE=±J)EC,

；.±BEC=±DEC；

.??點(diǎn)E即為所求；

(2)解：?.?四邊形NBC〃是矩形，

.■■±A=900,CD=AB=6,BC=AD,

■■DE-7.,

AEAD-DE=BC-2,

由(1)可知：BE=BC,

在中，根據(jù)勾股定理得：AE2+AB2=BE2

：.(3C-2)2+6?=BC2

:.BC=10.

6.(1)見(jiàn)解析

!2>T

【分析】(1)根據(jù)題意用尺規(guī)作圖即可；

(2)由作圖可知4￡=8￡1=/。=8。=5,則四邊形ND8E是菱形，設(shè)N8與DE的交點(diǎn)為

F,在RtA/EF中，求出所=)』￡=3,求出3月=4尸=4,DF=EF=3,即可得到

AB=AF+BF=8,在RtA^SC和Rtz\NCD中,由勾股定理得到

AC2=AB2-BC2=AD2-CD2,貝的?T，八?、?=5'—CD?,解得CD=:,即可得到答

案.

【詳解】(1)如圖所示即為所求，

答案第6頁(yè)，共47頁(yè)

n

(2)解：????！甏怪逼椒?5,

\AE=BE,AD=BD,

BD-BE,

-AE=BE=AD=BD=5,

:四邊形4O8E是菱形，

設(shè)與DE的交點(diǎn)為「

:AB±DE,DF=EF,AF=BF,

在RtME尸中，AE=5,sin上EN3=-,

Eh--cAE—3,

■BF=AF=.-'-=4,DF=EF=3,

:AB=AF+BF=S,

在和Rt^/CD中，由勾股定理得到，

AC2=AB2-BC2=AD2-CD2,

:82-{CD+5『=52-CD2,

解得1/?=-s,

7

=CD+fiZ)=-s+5=—s1

即C5的長(zhǎng)為1.

【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的作圖、勾股定理、解直角三角形

等知識(shí)，利用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵.

7.(1)見(jiàn)解析

⑵邊長(zhǎng)為6

【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，菱形的性質(zhì)與判定，角平分線，線段的垂直平分線以及

答案第7頁(yè)，共47頁(yè)

相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí).

(1)作V/2C的角平分線交NC于點(diǎn)E,作線段3E的垂直平分線交于點(diǎn)F，交BC于

點(diǎn)。，連接ERED,四邊形斯即為所求.

(2)根據(jù)菱形性質(zhì)可得_b48C,進(jìn)一步證明得?讓_LL，代入相

AHW

關(guān)數(shù)據(jù)可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖所示，菱形區(qū))跖為所求.

(2)解：???四邊形所是菱形，

:BF=EF,EFIIBD,

■./\AFE^ABC,

AFEF

*%(

AHRC

誼FE-x,則AF-10—x,

,--,解得x=6,

inK

：(1)中所作菱形瓦)跖的邊長(zhǎng)為6.

8.(1)詳見(jiàn)解析

(3)Cg存在最大值為三

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)P作尸。_L4P,交CD于點(diǎn)。，即點(diǎn)。為所求；

DB|D

(2)通過(guò)證明△兒?2s^pc。,可得為=—.即可求解；

bhj6

(3)由相似三角形的性質(zhì)可得,由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解.

【詳解】(1)如圖，點(diǎn)。為所求點(diǎn)；

答案第8頁(yè)，共47頁(yè)

D

0

BP\C

(2)???四邊形45CQ是矩形，

:=±C=900,

???/尸_L尸。，

：_b4P2=-t^=±C=900,

\±APB+上CPQ=900=±APB+1A4P,

:±LBAP=上CPQ,

:Z\ABPs△尸0。,

RPAB

?而一而‘

-AB=3,BC=5,BP=1,

:CP=4,

I3

41

??.CQ=]

i

故答案為:。.

(3)C。存在最大值；

.BP_IB

理由I*.一，

COCP

…臥(A")\(on5Y.25

v33{2)12

:當(dāng)BP=:時(shí)，C。存在最大值為::.

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)雜作圖——作垂線，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函

數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵.

9.(1)圖見(jiàn)解析

⑵證明見(jiàn)解析

(3)2

答案第9頁(yè)，共47頁(yè)

【分析】本題考查了圓的綜合，熟悉相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，（1）以“為圓心，8C長(zhǎng)

為半徑畫(huà)弧，以C為圓心48長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)P,連接NP,延長(zhǎng)80交4尸于點(diǎn)。即可；

（2）連接/。并延長(zhǎng)交8C于點(diǎn)證明是線段8C的垂直平分線即可；G）證明

Z.ADO=AAOD=450即可.

【詳解】（1）如圖所示：

（2）如圖連接/。并延長(zhǎng)交8c于點(diǎn)”,

：AM是線段8C的垂直平分線;

■.AMJ_BC;

■■■ADIIBC；

:OA±AD；

■.AD為。。的切線.

⑶設(shè)±XSZ）=Q8c=（2x）0；

OA-OB；

:N0AB=ZABD=xO；

ADIIBC；

:/BAD+ABC=1800；

即2x+x+x+90=180；

解得:x=22.5；

:±ADB=±VBC=450；

:上4OD=_b4DO=45O；

答案第10頁(yè)，共47頁(yè)

-'-AO=AD=2；

故答案為：2.

10.(1)見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

⑶1。

【分析】本題考查了弧與弦的關(guān)系，垂線的作圖，圓周角定理，三角形相似的判定和性質(zhì),

三角函數(shù)的應(yīng)用

(1)以點(diǎn)/為圓心，為半徑畫(huà)弧，得到=23即得力，/，再根據(jù)垂線的基本作

圖，利用圓規(guī)，規(guī)范畫(huà)出即可.

(2)根據(jù)上4BG=±JDBA,±ADB=上G43證明AA4Gs△2/)/即可.

一過(guò)點(diǎn)/作于點(diǎn)X,根據(jù)7=顯得至以。=AB,利用等腰三角形的三線合

一性質(zhì)，得到DH,±ABD=±ADB=±GAB=±BCA,得到4G=BG,根據(jù)

4B=12,/C=9,得3C=,,.=15,根據(jù)

BH=ABCOSiiABD=42cos上BC4=ABx〔=',，得至llBD,繼而利用Z\BAGsABDA,

*r*c

求得NG的長(zhǎng).

【詳解】(1)以點(diǎn)/為圓心，N5為半徑畫(huà)弧，得至以。=ZB即得77>_Tf!再根據(jù)垂線的

基本作圖，利用圓規(guī)，直尺畫(huà)圖如下：

(2)設(shè)/G與8C得交點(diǎn)為點(diǎn)E,

???8C是。。的直徑，AG±BC,

.?.±&4C=±3E4=90O,

1BAG=±BCA=900—±ABC,

_tBDA=±BCA

答案第11頁(yè)，共47頁(yè)

■.1JSAG=±BDA,

±ABG=±JDBA,

:ABAGsABDA.

(3)過(guò)點(diǎn)A作4/_LBD于點(diǎn)H,

AD=AB

AD=AB,

：■BH=DH,1ABD=±ADB,

,.公BAGsABDA,

±ADB=上GAB,

1ABD=±ADB=±.GAB

：.AG=BG,

???3C是0O的直徑，AG±BC,

.■■±BAC=±^EA=90O,

.-■±BAG=±BCA=90O—±ABC,

..hABD=±ADB=±GAB=±BCA,

12,NC=9,

tiC'=JAB'+AC'?IS<

一.“93

cos.W,4=—=—=一?

HCK5

AH…II,3,

S

BH=dBcos￡ABH=-xl2=—1

?：/\BAGsABDA,

答案第12頁(yè)，共47頁(yè)

II.⑴見(jiàn)解析

⑵28:

【分析】本題是一道圓的知識(shí)的綜合題，考查了切線的判定和性質(zhì)、尺規(guī)作圖、勾股定理等

知識(shí)：

（1）作的平分線與8C的交點(diǎn)即為圓心O,然后以點(diǎn)。為圓心，以O(shè)C的長(zhǎng)為半徑

作圓。即可；

（2）連接0。，根據(jù)切線的性質(zhì)可得可得上20。=600,從而得到2。=2」；，再

由劣弧DE與線段8。、所圍成的圖形的面積為SBOO—S扇形E8，即可求解.

【詳解】（1）解：如圖，。。即為所求；

(2)解：如圖，連接OD,

???48是圓。的切線，

???OD1.AB,

：.±ACB=±ADO=900,

-.-±B=3CO,

.?.±BG?=60O,

答案第13頁(yè)，共47頁(yè)

■??00的半徑為2,

??.OD=2,

???OB-2OD=4,

???8D==2>/3

劣弧DE與線段3。、BE所圍成的圖形的面積為

12.(1)①證明見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析，4F=3；③H點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡為線段MC,線段MC=2?石

(2)%s=12；/2-16

【分析】此題考查了切線的性質(zhì)，線段垂直平分線的作法、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似

三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理等.此題的關(guān)鍵是注意掌握輔助線的作法，注

意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

(1)①證明。/=0D即可證明點(diǎn)。在邊4。的垂直平分線上；②作ND的垂直平分線，作

切點(diǎn)與N所連線段的垂直平分線，即可找到圓心；③由由△曲是等腰直角三角形，證明

△DFBs/XDHC,進(jìn)而即可求解；

(2)先證明△DEgsaoac,設(shè)CH=k,則CF=2k,BF=?、k,-k+2k=4,進(jìn)而即

可求解.

【詳解】(1)解：①：。尸為直徑，上/l=90O；

:點(diǎn)A在圓上，

連接/O,

：AO=DO,

:點(diǎn)。在的垂直平分線上；

答案第14頁(yè)，共47頁(yè)

D

F

B

圖1

②設(shè)。。與邊8C相切于點(diǎn)E,則OA=OD=OE,如圖所示:

^OA=OD=OE=x,則08=4—x,

22

...（4-x）+2=?,解得：

...aw-4-1-2,

???OH是尸的中位線，

■.AF=2OH=3；

③連接,HD；

答案第15頁(yè)，共47頁(yè)

D

田始終是玲。的中點(diǎn),

?AFHD是等腰直角三角形，

.■■±FDH=450,

連接8。、AC交于點(diǎn)M,則上BDC=450,

±BDF=上CDH=450—1BDH,

DFDB后

?：-----=—=V2■

DHDC

???4DFBsADHC,

:上DBF=±DCH=450；

當(dāng)點(diǎn)尸與A點(diǎn)重合，H點(diǎn)與〃■點(diǎn)重合，當(dāng)點(diǎn)尸與3點(diǎn)重合，石點(diǎn)與C點(diǎn)重合,

\H點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡為線段MC,MC=2、小

(2)解：連接BD,DH、FH,過(guò)點(diǎn)〃作aGj_FC,

由(1)③可得：dDFRsADHC,

二空.空mQ±MZ)=45O,

1)((H

.,.上〃CG=45O,

設(shè)=k,貝!JCF=2后，BF=J、k,^-k+2k=4,

解得：左=4一25，//G?^(4-272)=2x2;，

二、\,“=—,2?(4—2>/2HlSVZ_2)=12^2—16.

答案第16頁(yè)，共47頁(yè)

D

13.(1)見(jiàn)詳解；

⑵①見(jiàn)詳解；②!的值為［.

【分析】(1)由上NCB=900知，8是。。的直徑，先作線段45的垂直平分線，垂直平分線

與4B的交點(diǎn)即為圓心。，再以O(shè)為圓心，04長(zhǎng)為半徑作圓即可；

(2)①由￡。是48的垂直平分線，可證Rt^BEO之Rt54E。，得上BEO=±AEO,再結(jié)合

上BEF=2上3E。，可以得出上BEF=±AEB,再證明出ABEF沿AAED,進(jìn)而證明出

ED-EF-,

②由ABEF名AAED和圓內(nèi)接四邊形幺DBC得出±J)AE=±.CAD,再證明^MDA2^EDA得

出"D=DE,可設(shè)EF=\5x,則DE=15x,ME=30x,證明E尸〃WW,通過(guò)平行線分線

段成比例得二二人-士，再設(shè)2b=切，在RtzXB跖中，通過(guò)勾股定理可求出y=5x,

REW/S

則5F=20x,BE=25x,再通過(guò)線段加減關(guān)系求出BC=4xfBD=lOx,由ABEFmAAED

得4D=BF=20x,再利用勾股定理依次求出4g=10J*,AC=22x,進(jìn)而得出

BC4x2

----■------■—

AC21s11

【詳解】(1)解：。。如圖所示：

答案第17頁(yè)，共47頁(yè)

(2)①連接ZE，AD,

是。。的直徑，

：±ADE=±ADB=900,

:EO是4B的垂直平分線，

:AE=BE,±BOE=±AOE=900，

：EO=EO,

：Rt△BEORt△AEO(HL),

：±BEO=±AEO,

：±AEB=±BEO+±AEO=2±5EO,

:上BEF=2上BE。，

：±BEF=±AEB,

：EF±CB,

：±F=±ADE=900,

：AE=BE,

:ABEF冬AED(AAS),

：ED=EF.

②延長(zhǎng)E8,交NC的延長(zhǎng)線于M,

：^BEF^4AED,

：±EBF=±DAE,AD=BF,

：±LEBF+上CBE=1800,±.CAD+±_CBE=1800,

：上EBF=±CAD,

：±DAE-±CAD,

答案第18頁(yè)，共47頁(yè)

：AD=AD,±ADE=±ADB=90o,

:也△瓦M(jìn)（ASA）,

：MD=DE,

\ME=IDE,

設(shè)EF=15x,則DE=15x,ME=30x,

?產(chǎn)5

一?

CFX

:CF-24x,

：±F+±ACB=180o,

：EFIIAM,

BhCF24J4

/.—=-----=------=-1

AAl/Ain.?

設(shè)2尸=4y,貝UBE=5y,

在RtZXBE尸中，跖=-JBP—BF2=3y=15x,

'.y=5x,

：AD=BF=4y=20x,BE=5y=25x,

：BC=CF—BF=24x—20x=4x,BD=BE—DE=25x—l5x=lOx,

22

在RtZXABD中，AB=?I，；；—，，=J（10x）+（20x）=10v5x,

在RtZXABC中，/C=、IT-pi）=22%,

ffC4x2

,\4r"?7"7T'

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和

判定等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線模型的常見(jiàn)輔助線的做法，平行線分線段成

比例，勾股定理求邊長(zhǎng)；

14.（1）證明見(jiàn)解析；Q）見(jiàn)解析；（3）J21

【分析】（1）小明思路，BD//PC,利用平行線分線段成比例定理得到匚=立，再利

PI）M

用等角對(duì)等邊求得尸。=PB,即可證明結(jié)論；

小紅思路，作尸CE1.PA,CF±PB,利用面積法即可證明結(jié)論；

（2）作弦Z3的垂直平分線，再作線段3。的垂直平分線，利用垂徑定理即可求解；

（3）利用相似三角形利用相似三角形的性質(zhì)，即可求出8C的長(zhǎng).

答案第19頁(yè)，共47頁(yè)

【詳解】⑴解：小明思路：過(guò)點(diǎn)B作尸。交4尸的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O,

,上1二-toJz2二Jz3,

pnHC

???PC是SAB的角平分線，

???上1=Jz2,

±P二上3,

:?PD=PB,

PAAC

??--=；

PHfK'

小紅思路：分別過(guò)點(diǎn)尸，。作CE_LPA,CF_LPB,垂足為D,E,F,

P

PC是APAB的角平分線，

:.CE=CF,

IIII

.-5...?-PACt?-A(PD,S?一PBd-Bi-PD,

PACEACPD

PRCF-.

PiiC

iRC'

(2)解：①作弦45的垂直平分線，交弦45于點(diǎn)。，交。。點(diǎn)E,

由垂徑定理得/5-BE'

②再作線段的垂直平分線，交弦45于點(diǎn)C,

③連接EC并延長(zhǎng)交。。點(diǎn)P,

點(diǎn)尸即為所求；

答案第20頁(yè)，共47頁(yè)

,AE-HE,

:PC平分<APB,

....4/)=?/)=-(/)=?(=-?/).

M

Tv

由⑴的結(jié)論得言.■-3,

同理，點(diǎn)尸2也為所求;

(3)如圖所示，作V詡。的平分線交于點(diǎn)，

???45=3,AC=4,

BDAB3

,??——■——--,

CH4C4

7

±BAC=2±J3AD,±J3AC=2上C,

\±BAD=±.Cf

又；±ABD;上CBA,

:ABDAsABAC,

BD2U

--=?

fi4M

-.AB2=BD.BC

答案第21頁(yè)，共47頁(yè)

即3：.BC

-BC2=21,

:BC=（負(fù)值舍去）.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的作法確定的圓的條件，平行線分線

段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握題意，正確的作出

圖形.

15.（1）見(jiàn)解析

（2）FG=2

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似

三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì).

（1）以點(diǎn)3為圓心，8。為半徑畫(huà)弧交3C于點(diǎn)連接交DE于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為歹點(diǎn)；

（2）由（1）可證明ABDMSABAC,得到月C〃DA/,推出DM=-IL,再證明

1?

RDFMSZEFA,得至l」匕L=-=-,最后證明&AFGS4AMD,得到,進(jìn)而得

〃54"l）\f

到震喑4即可求解.

【詳解】（1）如圖所示即為所求，

A

A

/?\

/：\

,/9.\\

P/-L______V

/諾\

/,\

//\

R1/€

（2）連接。拉，由（1）可得BD=BM,

:AB=BC,上B=上3,

：^BDMsABAC,

:AC//DM,

：DM-?=-AE,±AEF=上MDF,上EAF=上DMF,

x?

:△DFMs